Chỉ số chính qui castelnuovomumford và các bất biến liên quan

Có thể nói Chỉ số chính qui Castelnuovo-Mumford đo độ phức tạp của cấu trúc môđun phân bậc.. Trong phần đầu tiên của bài báo chứng minh rằng tại sao có hai địnhnghĩa tương đương về chỉ s

LÊ THỊ QUỲNH TRANG

CHỈ SỐ CHÍNH QUI CASTELNUOVO-MUMFORD

VÀ CÁC BẤT BIẾN LIÊN QUAN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Nghệ An - 2015

LÊ THỊ QUỲNH TRANG

CHỈ SỐ CHÍNH QUI CASTELNOUVO-MUMFORD

CÁC BẤT BIẾN LIÊN QUAN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI SỐ VÀ LÍ THUYẾT SỐ

MÃ SỐ: 60.46.01.04

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS ĐÀO THỊ THANH HÀ

VINH 2015

2.1 Chỉ số chính qui Castelnuovo-Mumford 11 2.2 Dãy lọc chính qui 14 2.3 Chỉ số chính qui yếu 18

MỞ ĐẦU

Cho R = k[x1, , xn] là một vành đa thức trên trường k Giả sử M làmột R-môđun phân bậc hữu hạn sinh Cấu trúc của M được hiểu tốt nhấttheo giải tự do phân bậc tối tiểu của M

0 → Fs → F1 → → F0 → M → 0

Giả sử bi(M ) là kí hiệu bậc cực là đại của các phần tử sinh của Fi Chỉ

số chính qui Castelnuovo-Mumford (hay chỉ số chính qui) của M được địnhnghĩa bởi số

reg(M ) = max{bi(M ) − i | i = 0, , s}

Chỉ số chính qui được đưa ra bởi Mumford bằng việc tổng quát hóa ýtưởng hình học của Castelnuovo Có thể nói Chỉ số chính qui Castelnuovo-Mumford đo độ phức tạp của cấu trúc môđun phân bậc Thật vậy, một sốbất biến của vành và môđun phân bậc có thể ước lượng bằng chỉ số chínhqui

Trong bài báo “ Castelnuovo-Mumford regularity and related invariants”của Ngô Việt Trung [8] giới thiệu một số kết quả cơ bản về chỉ số chính quiCastelnuovo-Mumford và các bất biến liên quan, để nghiên cứu sâu hơn saunày Chúng tôi sẽ nghiên cứu và trình bày lại một cách chi tiết một số kếtquả của bài báo này

Trong phần đầu tiên của bài báo chứng minh rằng tại sao có hai địnhnghĩa tương đương về chỉ số chính qui và thảo luận về các hệ quả của chúngkhi R là một vành đa thức trên một trường Chứng minh các đặc trưng củachỉ số chính qui theo môđun Ext và Tor Các định nghĩa và các đặc trưngchứng tỏ tại sao chỉ số chính qui đo độ phức tạp của môđun

Phần tiếp theo biểu diễn đặc trưng của chỉ số chính qui theo dãy các dạngtuyến tính mà dáng điệu như dãy chính qui với bậc lớn hơn Một dãy nhưthế được gọi là dãy lọc chính qui Đặc trưng này rút gọn sự tính toán chỉ sốchính qui về sự tính toán bậc không triệt tiêu lớn nhất của môđun thươngđơn mà có độ dài hữu hạn nếu vành cơ sở là một vành địa phương Artin.Tiếp đến nghiên cứu khái niệm của dãy chính qui yếu điều khiển sự triệttiêu của môđun đối đồng điều địa phương theo độ dịch chuyển Việc tính

toán chỉ số chính qui cần kiểm tra sự triệt tiêu của vô hạn các thành phầnđối dồng điều địa phương.

Mục đích của luận văn là nghiên cứu và trình bày lại các kết quả của bàibáo [8]

Ngoài lời mở đầu, mục lục, tài liệu tham khảo và kết luận luận văn sẽđược chia làm 2 chương

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ sở có sử dụngtrong luận văn nhằm giúp cho người đọc dễ theo dõi nội dung của luận văn.Ngoài ra chúng tôi còn trích dẫn một số kết quả đã có nhằm phục vụ choviệc chứng minh ở chương 2

Chương 2 Chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford

Trong chương này chúng tôi trình bày các vấn đề của chỉ số chính quiCastelnuovo-Mumford như khái niệm và tính chất của chỉ số chính qui, chỉ

số chính qui yếu

Luận văn được hoàn thành vào tháng 9 năm 2015 tại trường Đại học Vinhdưới sự hướng dẫn của tiến sĩ Đào Thị Thanh Hà Nhân dịp này tác giả xinbày tỏ sự biết ơn sâu sắc tới cô, người đã hướng dẫn tận tình, chu đáo vànghiêm khắc suốt quá trình học tập và nghiên cứu Tác giả cũng xin trântrọng cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Sư phạm toán học, khoa Sau đạihọc, ban giám hiệu trường Đại học Vinh, tác giả xin cảm ơn các học viênlớp Cao học 21 Đại số - Lý thuyết số, bạn bè và gia đình đã động viên giúp

đỡ và tạo điều kiện cho tác giả trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu vàhoàn thành luận văn Mặc dù đã có nhiều cố gắng, nhưng luận văn khôngtránh khỏi những thiếu sót Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiếnđóng góp để luận văn được hoàn thiện hơn

Vinh, tháng 9 năm 2015

Tác giả

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Vành và môđun phân bậc

1.1.1 Định nghĩa Vành R được gọi là vành Z-phân bậc nếu R = L

i∈Z

Ri

xét như nhóm cộng và RiRj ⊆ Ri+j, với mọi i, j ∈ Z Hơn nữa nếu Ri = 0

với mọi i < 0 thì R được gọi là vành phân bậc dương hay N-phân bậc.Môđun M trên vành Z-phân bậc R được gọi là Z-phân bậc nếu như

i∈Z

Mi xét như nhóm cộng, và RiMj ⊆ Mi+j, với mọi i, j ∈Z.

Nếu M là môđun phân bậc trên vành phân bậc R, thì gọi phần tử x của

Ri (hoặc Mi) là phần tử thuần nhất bậc i, kí hiệu deg(x) = i Ta qui ướcbậc của phần tử 0 là một số nguyên tùy ý Như vậy, nếu a ∈ R, x ∈ M làcác phần tử thuần nhất, thì

deg(ax) = deg(a) + deg(x), hoặc ax = 0

Từ định nghĩa ta suy ra R0 là một vành con của R và mỗi thành phầnphân bậc Mi là R0-môđun Nếu x ∈ M và

x = xi + xi+1+ + xj với xk ∈ Mk, i ≤ k ≤ j, i, j ∈ Z

thì xk (có thể xk = 0) được gọi là thành phần thuần nhất hoặc thành phầnphân bậc k của x Mỗi phần tử chỉ có một biểu diễn duy nhất thành tổngcủa các thành phần phân bậc

Cho S là vành con của vành R (không nhất thiết phân bậc) Khi đó người

Nếu tồn tại a1, , an ∈ R để R = S[a1, , an] thì R được gọi là S-đại sốhữu hạn sinh.

1.1.2 Định nghĩa Vành phân bậc dương R = L

i≥0

Ri được gọi là vànhphân bậc chuẩn trên R0 nếu R = R0[R1]

1.1.3 Ví dụ Vành phân bậc chuẩn hay gặp nhất là vành đa thứcA[x1, , xn]

trong đó A là một vành, với Ai là tổ hợp tuyến tính của các đơn thức có bậctổng thể là i với hệ số thuộc A Như vậy đa thức thuần nhất là tổng của cácđơn thức có bậc tổng thể bằng nhau

I là iđêan thuần nhất của A[x1, , xn] nếu nó sinh bởi các đa thức thuầnnhất Chẳng hạn:

i) Mọi iđêan đơn thức là thuần nhất;

ii) < x2y3+ xyz3 − xy2z2, x2y2z2 + x3y3 + xy2z3 > là iđêan thuần nhấtcủa vành k[x, y, z]

Khi I là iđêan thuần nhất của vành đa thức A[x1, , xn] thì vành thương

A[x 1 , ,x n ]/I là một ví dụ khác về vành phân bậc chuẩn của vành thương.1.1.4 Định nghĩa Gọi môđun con N ⊆ M là môđun con thuần nhấthay môđun con phân bậc nếu nó thỏa mãn một trong ba điều kiện tươngđương sau

i) N sinh ra bởi các phần tử thuần nhất

ii) Với mỗi x ∈ N, mọi thành phần thuần nhất của nó thuộc N

iii) N = L

i∈Z(N ∩ Mi)

1.1.5 Định nghĩa Cho M và N là hai môđun phân bậc trên vành phânbậc R Đồng cấu R-môđun f : M −→ N được gọi là đồng cấu thuần nhất(hay phân bậc) nếu với mọi n ∈Z, f (Mi) ⊆ Ni

1.1.6 Mệnh đề i) Nếu f là đồng cấu thuần nhất thì hạch (hạt nhân)

kerf và ảnh imf của nó là các môđun con thuần nhất

ii) Nếu có dãy khớp

→ M → N → L →

các môđun phân bậc với các đồng cấu thuần nhất, ta cũng có dãy khớpsau với mọi i ∈ Z

→ Mi → Ni → Li →

1.2 Chiều Krull.

1.2.1 Định nghĩa Một dãy giảm các iđêan nguyên tố của vành giao hoán

R

P0 ⊃ P1 ⊃ P2 ⊃ ⊃ Pn

được gọi là một xích nguyên tố có độ dài n

Cho P ∈ SpecR (SpecR là tập hợp các iđêan nguyên tố của R) cận trêncủa tất cả các xích độ dài của các xích nguyên tố với P0 = P được gọi là độcao của P kí hiệu ht(P ), nghĩa là

ht(P ) = sup{ độ dài các xích nguyên tố với P0 = P }

Cho I là một iđêan của vành R, khi đó độ cao của I được định nghĩa

ht(I) = inf {ht(P )|P ∈ SpecR, P ⊇ I}

Cận trên của tất cả các độ dài của các xích nguyên tố trong R được gọi

là chiều Krull của vành R kí hiệu là dim R hoặc dimkR

Cho M là R-môđun Với mỗi x ∈ M ta kí hiệu

AnnR(x) = {a ∈ R | ax = 0}

và ta kí hiệu

AnnR(M ) = {a ∈ R | aM = 0} = {a ∈ R | ax = 0,∀x ∈ M }

Ta có AnnR(x) và AnnR(M ) là những iđêan của R AnnR(x), AnnR(M )

lần lượt được gọi là linh hóa tử của x và linh hóa tử của môđun M Đểđơn giản ta thường kí hiệu Ann(x) hoặc Annx thay cho AnnR(x), Ann(M )

hoặc AnnM thay cho AnnR(M ) Khi đó dim( R/Ann(M )) được gọi là chiềuKrull của môđun M, kí hiệu là dim M

Vì vậy, ta có dim M 6 dim R

1.2.2 Ví dụ a) dim K = 0 với K là một trường vì trường K chỉ có haiiđêan là 0 và K, 0 là iđêan nguyên tố duy nhất của K

b) dimZ = 1 vì Z có các iđêan nguyên tố là 0 hoặc pZ vớip là số nguyên

tố Mặt khác, mọi iđêan pZ với p là số nguyên tố cũng là iđêan cực đại Vậyxích nguyên tố của Z có độ dài lớn nhất là 0 ⊂ pZ.

c) Xét vành đa thức vô hạn biếnR = k[x1, x2, , xn, ]ta códim R = ∞,

vì có dãy vô hạn các iđêan nguyên tố

0 ⊂< x1 >⊂< x1, x2 >⊂ ⊂< x1, x2, , xn >⊂

1.3 Iđêan nguyên tố liên kết Sự phân tích nguyên sơ của

môđun

1.3.1 Định nghĩa Cho M là một R-môđun Một iđêan nguyên tố P của

R được gọi là iđêan nguyên tố liên kết của M nếu tồn tại phần tử x ∈ M

để

P = 0 :R x = Annx = {r ∈ R | rx = 0}

Tập tất cả các iđêan nguyên tố liên kết của M được kí hiệu là AssR(M )

hoặc Ass(M ) Như vậy

Ass(M ) = {P ∈ SpecR | P = Annx với x ∈ M nào đó}

1.3.2 Mệnh đề i) Nếu M là R-môđun Noether thì Ass(M ) là tập hữuhạn

ii) Nếu N là một môđun con của M thì Ass(N ) ⊆ Ass(M )

iii) Cho 0 → M0 → M → M00 → 0 là dãy khớp ngắn các R-môđun.Khi đó

Ass(M0) ⊆ Ass(M ) ⊆ Ass(M0) ∪ Ass(M00)

Để định nghĩa phân tích nguyên sơ chúng ta có khái niệm môđun connguyên sơ

1.3.3 Định nghĩa Môđun con N của M được gọi là môđun con nguyên

sơ nếu Ass(M/N)chỉ gồm một phần tử, có nghĩa là tồn tại một iđêan nguyên

tố P sao cho Ass(M/N) = {P } Khi đó ta nói N là môđun con P-nguyênsơ

1.3.4 Định nghĩa Cho N là môđun con củaM, N được gọi là phân tíchnguyên sơ nếu N được biểu diễn dưới dạng

Trong đó Nilà môđun con Pi-nguyên sơ,i = 1, 2, , n Phân tích nguyên

sơ (∗) được gọi là phân tích nguyên sơ thu gọn nếu các Pi từng đôi mộtphân biệt và không thể bỏ đi môđun Ni nào trong phân tích trên

1.3.5 Định lí Nếu N là một môđun con của môđun Noether M thì N

có phân tích nguyên sơ Hơn nữa N có phân tích nguyên sơ thu gọn.1.3.6 Định lí Cho M là một môđun hữu hạn sinh trên vành Noether

R Khi đó nêu môđun con N của M có dạng phân tích nguyên sơ thu

1.4 Dãy chính qui Dãy lọc chính qui.

1.4.1 Định nghĩa ChoRlà một vành giao hoán Noether, M làR-môđun.Phần tử a ∈ R được gọi là M-chính qui nếu ax 6= 0 với mọi 0 6= x ∈ M.Hay nói cách khác, a không là ước của 0 trên M

1.4.2 Ví dụ M = R = k[x] là vành đa thức một biến trên trường k Khi

đó x là phần tử chính qui trên M

1.4.3 Định nghĩa Một dãy các phần tử a1, , at của R được gọi là dãychính qui của M hay M-dãy chính qui nếu hai điều kiện sau đây đúngi) a1 là M-chính qui, a2 là M/a1M-chính qui, ,, at là M/(a1,a2, ,at−1)M

-chính qui

ii) M/(a1,a2, ,at−1)M 6= 0

1.4.4 Ví dụ x1, , xt là dãy chính qui của vành đa thức k[x1, , xt].Giả sử R là vành Noether và M là R-môđun hữu hạn sinh Nếu x1, , xn

là dãy chính qui thì chuỗi (x1) ⊂ (x1, x2) ⊂ ⊂ (x1, x2, , xn) tăng ngặt

Vì vậy, một M-dãy có thể mở rộng thành một dãy cực đại (vì R là vànhNoether), và do đó chuỗi phải dừng

1.4.5 Định nghĩa Cho I ⊆ R là một iđêan Nếu x1, xn ∈ I và là dãychính qui thì x1, , xn được gọi là dãy chính qui cực đại nếu không tồn tại

y ∈ I để {x1, , xn, y} là dãy chính qui và n được gọi là độ dài của dãytrên

Cho R là vành địa phương và M là R-môđun hữu hạn sinh Khi đó độdài của hai dãy M-chính qui cực đại nằm trong iđêan I luôn như nhau Do

đó ta có định nghĩa sau

1.4.6 Định nghĩa Cho(R,m)là một vành địa phương Noether Khi đó độdài của dãy chính qui cực đại trong m kí hiệu là depth(m, M ) hay depth(M )

và được gọi là độ sâu của môđun M

1.4.7 Chú ý Cho M là R-môđun Ta luôn có depth (M ) ≤ dim (M ).1.4.8 Định nghĩa Cho (R,m) là một vành địa phương Noether, M là

R-môđun

( i) Phần tử x ∈ m được gọi là M-lọc chính qui nếu

0 :M x = {m ∈ M | xm = 0}

là môđun có độ dài hữu hạn, kí hiệu l(0 :M x) < ∞

(ii) Nếu x1, x2, , xt ∈ m được gọi là dãy lọc chính qui nếu xi là phần

tử lọc chính qui của M/(a1, ,ai−1M ),∀i = 1, , t

1.4.9 Nhận xét (i) Nếu x là phần tử chính qui thì theo Định nghĩa 1.4.1,

ta có

0 :M x = {m ∈ M | xm = 0} = {0}

nên l(0 :M x) = 0 < ∞ Vì vậy x cũng là phần tử lọc chính qui

(ii) Nếu x1, x2, , xt ∈ m là một dãy M- chính qui thì x1, x2, , xt cũng

là M- dãy lọc chính qui

1.4.10 Nhận xét (i) Phần tử x ∈ m là M-chính qui khi và chỉ khi

x /∈ P, ∀P ∈ AssM

(ii) Tồn tại phần tử M-chính qui khi và chỉ khi m ∈ AssM/

(iii)Ta có x ∈ m là phần tử lọc chính qui khi và chỉ khi x /∈ P với mọi

P ∈ AssM \ {m}

1.5 Môđun đối đồng điều địa phương

Khái niệm đối đồng điều địa phương được đưa ra bởi Grothendieck Tagọi R là vành giao hoán địa phương Noether, I là iđêan của R và M là

R-môđun Ta có

0 :M I ⊆ 0 :M I2 ⊆ ⊆ 0 :M In ⊆

là dãy các môđun con lồng nhau của M nên S

n∈N(0 :M In) cũng là môđuncon của M, kí hiệu là ΓI(M ) và gọi là môđun con I-xoắn của M

Xét đồng cấu R-môđun f : M −→ N, khi đó

1.5.2 Định nghĩa Hàm tử dẫn xuất phải thứ i của hàm tử I-xoắn ΓI

được gọi là hàm tử đối đồng điều địa phương với giá là I và kí hiệu là

HIi(◦)

1.5.3 Mệnh đề Giả sử x1, , xi ∈ I là dãy M-chính qui Khi đó

HIi(M ) = 0 , ∀i < σ

Từ đó ta có hệ quả sau

1.5.4 Hệ quả HIi(M ) = 0 , ∀i < depthM

1.5.5 Định lí ( Định lý triệt tiêu của Grothendieck) Cho I làiđêan của vành giao hoán Noether R và M là R-môđun hữu hạn sinhchiều d Khi đó

HIi(M ) = 0 , ∀i > d

CHƯƠNG 2 CHỈ SỐ CHÍNH QUI CASTELNOUVO-MUMFORD

Ví dụ:

Ta có:

• reg(R) = 0

• reg(R/f R) = deg(f ) − 1 với mọi đa thức thuần nhất f ∈ R

Theo định nghĩa trên, các thành phần phân bậc của M được xem tương

reg(M ) = max{t | T oriR(M, k)t−i 6= 0 với i ≥ 0}

= max{t | ExtRi (M, R)−t−i 6= 0 với i ≥ 0} (2)

Chứng minh Vì giải đã cho tối tiểu nên ta có T oriR(M, k) ∼= Fi⊗ k Do đó

bi(M ) = max{t/T oriR(M, k)t 6= 0}

Suy ra công thức đầu của reg(M )

Để chứng minh công thức thứ hai ta đặtr = reg(M )vàFi∗ = HomR(Fi, R)

Từ Fi không có phần tử sinh có bậc lớn hơn r + i, Fi∗ phải bằng 0 ở bậc

< −r − i Chú ý rằng ở đây ExtiR(M, R)t là đồng điều của giải đối ngẫu của

M tại Fi∗ Khi đó ExtiR(M, R)t = 0 với t < −r − i Bây giờ giả sử i là chỉ

số lớn nhất sao cho r = bi− i Khi đó Fi∗ có hạng tử R(r + i), trái lại Fi+1R

không có hạng tử dạng R(m) với m > r + i Vì là giải cực tiểu nên hạng tử

R(r + i) của Fi∗ nhận giá trị không trong Fi+1∗ Ngoài ra , không có thànhphần nào trong Fi−1∗ sinh ra R(r + i) trong Fi∗ Vì vậy nó sẽ cho một lớpkhác không trong ExtiR(M, R)t có bậc −r − i Do đó

r = max{t/ExtiR(M, k)−t−i 6= 0 ,∀i > 0}

Định nghĩa và tính chất trên chỉ rõ vì sao chỉ số chính qui lại có thể đo

độ phức tạp của cấu trúc của M Để biết thêm thông tin về điều này thamkhảo tại [2], [4], [9]

Bài báo cũng chỉ ra rằng chỉ số chính quy có thể được định nghĩa chomôđun trên lớp rộng hơn của đại số phân bậc mà không có giải tự do tốitiểu hữu hạn

Từ bây giờ đặt R = L

n > 0

Rn là vành phân bậc chuẩn hữu hạn sinh trênvành giao hoán Noether R0, ở đây “chuẩn” nghĩa là được sinh bởi phần tửcủa R1 Với mọi R-môđun phân bậc M ta đặt:

+(M ) là môđunphân bậc với HRi(M )t = 0 với t  0 Hơn nữa, nếuM 6= 0 tồn tại số nguyên

s ≤ dim M sao cho HRs

2.1.2 Định lí (Đối ngẫu địa phương) Cho R là vành đa thức trêntrường K với n biến Khi đó

HRi+(M )t ∼= Extn−i

R (M, R)−t−n

với mọi i và t

Bây giờ, từ ExtjR(M ) = 0 với j > n, ta thu được:

max{ai(M ) + i | i > 0} = max{t | Extn−iR (M, R)−t−n+i 6= 0 i = 0, , n}

= max{t | ExtjR(M, R)−t−j 6= 0 với j > 0} .

Theo Mệnh đề 2.1.1, nó chỉ ra rằng định nghĩa mới của chỉ số chính quitrùng với định nghĩa(1)trong trường hợp Rlà vành đa thức trên một trường.Định nghĩa mới của chỉ số chính qui có nhiều ưu thế hơn Thứ nhất, nóđúng cho lớp rộng hơn các đại số phân bậc khi mà không phải tất cả môđunđều có giải tự do hữu hạn Thứ hai, nó giúp chúng ta linh hoạt hơn trongviệc lựa chọn vành cơ sở