Chỉ số chính qui castelnuovomumford và các bất biến liên quan

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH LÊ THỊ QUỲNH TRANG CHỈ SỐ CHÍNH QUI CASTELNUOVO-MUMFORD VÀ CÁC BẤT BIẾN LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An - 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH LÊ THỊ QUỲNH TRANG CHỈ SỐ CHÍNH QUI CASTELNOUVO-MUMFORD CÁC BẤT BIẾN LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI SỐ VÀ LÍ THUYẾT SỐ MÃ SỐ: 60.46.01.04 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS ĐÀO THỊ THANH HÀ VINH 2015 MỤC LỤC Mục lục Mở đầu KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Vành môđun phân bậc 1.2 Chiều Krull 1.3 Iđêan nguyên tố liên kết Sự phân tích nguyên sơ môđun 1.4 Dãy qui Dãy lọc qui 1.5 Môđun đối đồng điều địa phương CHỈ SỐ CHÍNH QUI CASTELNOUVO-MUMFORD 11 2.1 Chỉ số qui Castelnuovo-Mumford 11 2.2 Dãy lọc qui 14 2.3 Chỉ số qui yếu 18 KẾT LUẬN 23 TÀI LIỆU THAM KHẢO 24 MỞ ĐẦU Cho R = k[x1 , , xn ] vành đa thức trường k Giả sử M R-môđun phân bậc hữu hạn sinh Cấu trúc M hiểu tốt theo giải tự phân bậc tối tiểu M → Fs → F1 → → F0 → M → Giả sử bi (M ) kí hiệu bậc cực đại phần tử sinh Fi Chỉ số qui Castelnuovo-Mumford (hay số qui) M định nghĩa số reg(M ) = max{bi (M ) − i | i = 0, , s} Chỉ số qui đưa Mumford việc tổng quát hóa ý tưởng hình học Castelnuovo Có thể nói Chỉ số qui CastelnuovoMumford đo độ phức tạp cấu trúc môđun phân bậc Thật vậy, số bất biến vành môđun phân bậc ước lượng số qui Trong báo “ Castelnuovo-Mumford regularity and related invariants” Ngô Việt Trung [8] giới thiệu số kết số qui Castelnuovo-Mumford bất biến liên quan, để nghiên cứu sâu sau Chúng nghiên cứu trình bày lại cách chi tiết số kết báo Trong phần báo chứng minh có hai định nghĩa tương đương số qui thảo luận hệ chúng R vành đa thức trường Chứng minh đặc trưng số qui theo môđun Ext Tor Các định nghĩa đặc trưng chứng tỏ số qui đo độ phức tạp môđun Phần biểu diễn đặc trưng số qui theo dãy dạng tuyến tính mà dáng điệu dãy qui với bậc lớn Một dãy gọi dãy lọc qui Đặc trưng rút gọn tính toán số qui tính toán bậc không triệt tiêu lớn môđun thương đơn mà có độ dài hữu hạn vành sở vành địa phương Artin Tiếp đến nghiên cứu khái niệm dãy qui yếu điều khiển triệt tiêu môđun đối đồng điều địa phương theo độ dịch chuyển Việc tính toán số qui cần kiểm tra triệt tiêu vô hạn thành phần đối dồng điều địa phương Mục đích luận văn nghiên cứu trình bày lại kết báo [8] Ngoài lời mở đầu, mục lục, tài liệu tham khảo kết luận luận văn chia làm chương Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương trình bày số khái niệm sở có sử dụng luận văn nhằm giúp cho người đọc dễ theo dõi nội dung luận văn Ngoài trích dẫn số kết có nhằm phục vụ cho việc chứng minh chương Chương Chỉ số quy Castelnuovo-Mumford Trong chương trình bày vấn đề số qui Castelnuovo-Mumford khái niệm tính chất số qui, số qui yếu Luận văn hoàn thành vào tháng năm 2015 trường Đại học Vinh hướng dẫn tiến sĩ Đào Thị Thanh Hà Nhân dịp tác giả xin bày tỏ biết ơn sâu sắc tới cô, người hướng dẫn tận tình, chu đáo nghiêm khắc suốt trình học tập nghiên cứu Tác giả xin trân trọng cảm ơn thầy cô giáo khoa Sư phạm toán học, khoa Sau đại học, ban giám hiệu trường Đại học Vinh, tác giả xin cảm ơn học viên lớp Cao học 21 Đại số - Lý thuyết số, bạn bè gia đình động viên giúp đỡ tạo điều kiện cho tác giả suốt trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng, luận văn không tránh khỏi thiếu sót Chúng mong nhận ý kiến đóng góp để luận văn hoàn thiện Vinh, tháng năm 2015 Tác giả CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Vành môđun phân bậc 1.1.1 Định nghĩa Vành R gọi vành Z-phân bậc R = Ri i∈Z xét nhóm cộng Ri Rj ⊆ Ri+j , với i, j ∈ Z Hơn Ri = với i < R gọi vành phân bậc dương hay N-phân bậc Môđun M vành Z-phân bậc R gọi Z-phân bậc M= Mi xét nhóm cộng, Ri Mj ⊆ Mi+j , với i, j ∈ Z i∈Z Nếu M môđun phân bậc vành phân bậc R, gọi phần tử x Ri (hoặc Mi ) phần tử bậc i, kí hiệu deg(x) = i Ta qui ước bậc phần tử số nguyên tùy ý Như vậy, a ∈ R, x ∈ M phần tử nhất, deg(ax) = deg(a) + deg(x), ax = Từ định nghĩa ta suy R0 vành R thành phần phân bậc Mi R0 -môđun Nếu x ∈ M x = xi + xi+1 + + xj với xk ∈ Mk , i ≤ k ≤ j, i, j ∈ Z xk (có thể xk = 0) gọi thành phần thành phần phân bậc k x Mỗi phần tử có biểu diễn thành tổng thành phần phân bậc Cho S vành vành R (không thiết phân bậc) Khi người ta gọi R S -đại số Nếu a1 , , an ∈ R, kí hiệu S[a1 , , an ] tổ hợp tuyến tính S phần tử ap1 , , apn với (p1 , , pn ) ∈ Nn Tập rõ ràng tập R Có thể xem vành đa thức a1 , , an biến độc lập Nếu tồn a1 , , an ∈ R để R = S[a1 , , an ] R gọi S -đại số hữu hạn sinh 1.1.2 Định nghĩa Vành phân bậc dương R = Ri gọi vành i≥0 phân bậc chuẩn R0 R = R0 [R1 ] 1.1.3 Ví dụ Vành phân bậc chuẩn hay gặp vành đa thức A[x1 , , xn ] A vành, với Ai tổ hợp tuyến tính đơn thức có bậc tổng thể i với hệ số thuộc A Như đa thức tổng đơn thức có bậc tổng thể I iđêan A[x1 , , xn ] sinh đa thức Chẳng hạn: i) Mọi iđêan đơn thức nhất; ii) < x2 y + xyz − xy z , x2 y z + x3 y + xy z > iđêan vành k[x, y, z] Khi I iđêan vành đa thức A[x1 , , xn ] vành thương A[x1 , ,xn ] / ví dụ khác vành phân bậc chuẩn vành thương I 1.1.4 Định nghĩa Gọi môđun N ⊆ M môđun hay môđun phân bậc thỏa mãn ba điều kiện tương đương sau i) N sinh phần tử ii) Với x ∈ N , thành phần thuộc N iii) N = (N ∩ Mi ) i∈Z 1.1.5 Định nghĩa Cho M N hai môđun phân bậc vành phân bậc R Đồng cấu R-môđun f : M −→ N gọi đồng cấu (hay phân bậc) với n ∈ Z, f (Mi ) ⊆ Ni 1.1.6 Mệnh đề i) Nếu f đồng cấu hạch (hạt nhân) kerf ảnh imf môđun ii) Nếu có dãy khớp → M → N → L → môđun phân bậc với đồng cấu nhất, ta có dãy khớp sau với i ∈ Z → Mi → Ni → Li → 1.2 Chiều Krull 1.2.1 Định nghĩa Một dãy giảm iđêan nguyên tố vành giao hoán R P0 ⊃ P1 ⊃ P2 ⊃ ⊃ Pn gọi xích nguyên tố có độ dài n Cho P ∈ SpecR (SpecR tập hợp iđêan nguyên tố R) cận tất xích độ dài xích nguyên tố với P0 = P gọi độ cao P kí hiệu ht(P ), nghĩa ht(P ) = sup{ độ dài xích nguyên tố với P0 = P } Cho I iđêan vành R, độ cao I định nghĩa ht(I) = inf {ht(P )|P ∈ SpecR, P ⊇ I} Cận tất độ dài xích nguyên tố R gọi chiều Krull vành R kí hiệu dim R dimk R Cho M R-môđun Với x ∈ M ta kí hiệu AnnR (x) = {a ∈ R | ax = 0} ta kí hiệu AnnR (M ) = {a ∈ R | aM = 0} = {a ∈ R | ax = 0,∀x ∈ M } Ta có AnnR (x) AnnR (M ) iđêan R AnnR (x), AnnR (M ) gọi linh hóa tử x linh hóa tử môđun M Để đơn giản ta thường kí hiệu Ann(x) Annx thay cho AnnR (x), Ann(M ) AnnM thay cho AnnR (M ) Khi dim( R/Ann(M ) ) gọi chiều Krull môđun M , kí hiệu dim M Vì vậy, ta có dim M dim R 1.2.2 Ví dụ a) dim K = với K trường trường K có hai iđêan K , iđêan nguyên tố K b) dim Z = Z có iđêan nguyên tố pZ với p số nguyên tố Mặt khác, iđêan pZ với p số nguyên tố iđêan cực đại Vậy xích nguyên tố Z có độ dài lớn ⊂ pZ c) Xét vành đa thức vô hạn biến R = k[x1 , x2 , , xn , ] ta có dim R = ∞, có dãy vô hạn iđêan nguyên tố ⊂< x1 >⊂< x1 , x2 >⊂ ⊂< x1 , x2 , , xn >⊂ 1.3 Iđêan nguyên tố liên kết Sự phân tích nguyên sơ môđun 1.3.1 Định nghĩa Cho M R-môđun Một iđêan nguyên tố P R gọi iđêan nguyên tố liên kết M tồn phần tử x ∈ M để P = :R x = Annx = {r ∈ R | rx = 0} Tập tất iđêan nguyên tố liên kết M kí hiệu AssR (M ) Ass(M ) Như Ass(M ) = {P ∈ SpecR | P = Annx với x ∈ M đó} 1.3.2 Mệnh đề i) Nếu M R-môđun Noether Ass(M ) tập hữu hạn ii) Nếu N môđun M Ass(N ) ⊆ Ass(M ) iii) Cho → M → M → M → dãy khớp ngắn R-môđun Khi Ass(M ) ⊆ Ass(M ) ⊆ Ass(M ) ∪ Ass(M ) Để định nghĩa phân tích nguyên sơ có khái niệm môđun nguyên sơ 1.3.3 Định nghĩa Môđun N M gọi môđun nguyên sơ Ass(M /N ) gồm phần tử, có nghĩa tồn iđêan nguyên tố P cho Ass(M /N ) = {P } Khi ta nói N môđun P -nguyên sơ 1.3.4 Định nghĩa Cho N môđun M , N gọi phân tích nguyên sơ N biểu diễn dạng N = N1 ∩ N2 ∩ ∩ Ni (∗) Trong Ni môđun Pi -nguyên sơ, i = 1, 2, , n Phân tích nguyên sơ (∗) gọi phân tích nguyên sơ thu gọn Pi đôi phân biệt bỏ môđun Ni phân tích 1.3.5 Định lí Nếu N môđun môđun Noether M N có phân tích nguyên sơ Hơn N có phân tích nguyên sơ thu gọn 1.3.6 Định lí Cho M môđun hữu hạn sinh vành Noether R Khi nêu môđun N M có dạng phân tích nguyên sơ thu r gọn N = Ni , Ni môđun Pi -nguyên sơ i = 1, , r, i=1 Pi xác định N , ta có Ass(M /N ) = {P1 , , Pr } 1.3.7 Ví dụ Xét I =< x21 , x32 , x1 x2 x3 >⊆ k[x1 , x2 , x3 ] Có thể xem I môđun k[x1 , x2 , x3 ] I =< x21 , x32 , x1 > ∩ < x21 , x32 , x2 > ∩ < x21 , x32 , x3 > N1 =< x21 , x32 , x1 > , N2 =< x21 , x32 , x2 > , N3 =< x21 , x32 , x3 > ⇒ N1 =< x1 , x32 > , N2 =< x21 , x2 > , N3 =< x21 , x32 , x3 > Ta có P1 =< x1 , x2 > , P2 =< x1 , x2 > , P3 =< x1 , x2 , x3 > Đặt N1 = N1 ∩ N2 =< x21 , x32 , x1 x2 > ta có N1 môđun < x1 , x2 >- nguyên sơ Vậy ta có phân tích nguyên sơ thu gọn I I =< x21 , x32 , x1 x2 > ∩ < x21 , x32 , x3 > Và tập Ass(k[x1 ,x2 ,x3 ] /I ) = {P1 , P3 } 1.4 Dãy qui Dãy lọc qui 1.4.1 Định nghĩa Cho R vành giao hoán Noether, M R-môđun Phần tử a ∈ R gọi M -chính qui ax = với = x ∈ M Hay nói cách khác, a không ước M 1.4.2 Ví dụ M = R = k[x] vành đa thức biến trường k Khi x phần tử qui M 1.4.3 Định nghĩa Một dãy phần tử a1 , , at R gọi dãy qui M hay M -dãy qui hai điều kiện sau i) a1 M -chính qui, a2 M /a1 M -chính qui, ,, at M /(a1 ,a2 , ,at−1 )M -chính qui ii) M /(a1 ,a2 , ,at−1 )M = 1.4.4 Ví dụ x1 , , xt dãy qui vành đa thức k[x1 , , xt ] Giả sử R vành Noether M R-môđun hữu hạn sinh Nếu x1 , , xn dãy qui chuỗi (x1 ) ⊂ (x1 , x2 ) ⊂ ⊂ (x1 , x2 , , xn ) tăng ngặt Vì vậy, M -dãy mở rộng thành dãy cực đại (vì R vành Noether), chuỗi phải dừng 10 R-môđun Ta có :M I ⊆ :M I ⊆ ⊆ :M I n ⊆ (0 :M I n ) môđun dãy môđun lồng M nên n∈N M , kí hiệu ΓI (M ) gọi môđun I -xoắn M Xét đồng cấu R-môđun f : M −→ N , f (ΓI (M )) ⊆ ΓI (N ) Kí hiệu ΓI (f ) hay f ∗ ánh xạ hạn chế f ΓI (M ) ΓI (f ) f ΓI (◦) : (M −→ N ) −→ (ΓI (M ) −→ ΓI (N )) hàm tử hiệp biến, cộng tính, khớp trái gọi hàm tử I -xoắn 1.5.1 Định nghĩa Xét giải nội xạ môđun M d0 d1 di−1 di E ◦ : −→ M −→ E −→ E −→ −→ E i −→ E i+1 −→ Khi ta có dãy phức ΓI (d0 ) ΓI (E ◦ ) :0 → ΓI (M ) → ΓI (E ) −→ ΓI (E ) ΓI (d1 ) ΓI (di−1 ΓI (di ) −→ −→ ΓI (E i ) −→ Γ − I(E i+1 ) → i Đặt H i (ΓI (E ◦ )) = KerΓI (d ) /KerΓI (di−1 ) gọi môđun đối đồng điều thứ i M với giá iđêan I 1.5.2 Định nghĩa Hàm tử dẫn xuất phải thứ i hàm tử I -xoắn ΓI gọi hàm tử đối đồng điều địa phương với giá I kí hiệu HIi (◦) 1.5.3 Mệnh đề Giả sử x1 , , xi ∈ I dãy M -chính qui Khi HIi (M ) = , ∀i < σ Từ ta có hệ sau 1.5.4 Hệ HIi (M ) = , ∀i < depthM 1.5.5 Định lí ( Định lý triệt tiêu Grothendieck) Cho I iđêan vành giao hoán Noether R M R-môđun hữu hạn sinh chiều d Khi HIi (M ) = , ∀i > d 11 CHƯƠNG CHỈ SỐ CHÍNH QUI CASTELNOUVO-MUMFORD 2.1 Chỉ số qui Castelnuovo-Mumford Cho R = k[x1 , , xn ] vành đa thức trường k Giả sử M R-môđun phân bậc hữu hạn sinh Theo định lý xoắn Hilbert, M có giải tự phân bậc tối tiểu có độ dài hữu hạn → Fs → F1 → F → M → Ở tất ánh xạ bậc Giả sử bi (M ) ký hiệu bậc cực đại phần tử sinh Fi hay gọi bậc sinh cực đại Fi Chỉ số qui Castelnuovo-Mumford hay số qui M định nghĩa số reg(M ) = max{bi (M )−i : i = 0, , s} (1) Ví dụ: Ta có: • reg(R) = • reg(R/f R) = deg(f ) − với đa thức f ∈ R Theo định nghĩa trên, thành phần phân bậc M xem tương tự bậc reg(M ) Chẳng hạn ta kí hiệu d(M ) bậc sinh cực đại M , đó: d(M ) = b0 (M ) reg(M ) Sau vài tính chất thú vị số qui đặc biệt hữu ích 2.1.1 Mệnh đề reg(M ) = max{t | T oriR (M, k)t−i = với i ≥ 0} = max{t | ExtR i (M, R)−t−i = với i ≥ 0} (2) 12 Chứng minh Vì giải cho tối tiểu nên ta có T oriR (M, k) ∼ = Fi ⊗ k Do bi (M ) = max{t/T oriR (M, k)t = 0} Suy công thức đầu reg(M ) Để chứng minh công thức thứ hai ta đặt r = reg(M ) Fi∗ = HomR (Fi , R) Từ Fi phần tử sinh có bậc lớn r + i, Fi∗ phải bậc < −r − i Chú ý ExtiR (M, R)t đồng điều giải đối ngẫu M Fi∗ Khi ExtiR (M, R)t = với t < −r − i Bây giả sử i R số lớn cho r = bi − i Khi Fi∗ có hạng tử R(r + i), trái lại Fi+1 hạng tử dạng R(m) với m r + i Vì giải cực tiểu nên hạng tử ∗ Ngoài , thành R(r + i) Fi∗ nhận giá trị không Fi+1 ∗ sinh R(r + i) F ∗ Vì cho lớp phần Fi−1 i khác không ExtiR (M, R)t có bậc −r − i Do r = max{t/ExtiR (M, k)−t−i = ,∀i 0} Định nghĩa tính chất rõ số qui lại đo độ phức tạp cấu trúc M Để biết thêm thông tin điều tham khảo [2], [4], [9] Bài báo số quy định nghĩa cho môđun lớp rộng đại số phân bậc mà giải tự tối tiểu hữu hạn Từ đặt R = Rn vành phân bậc chuẩn hữu hạn sinh n vành giao hoán Noether R0 , “chuẩn” nghĩa sinh phần tử R1 Với R-môđun phân bậc M ta đặt: ΓR+ (M ) = {e ∈ M | Rt e = , ∀t 0} Dễ dàng kiểm tra ΓR+ (.) hiệp biến khớp trái phạm trù môđun R Hàm tử đối đồng điều địa phương hàm dẫn xuất phải i (M ) môđun phân bậc đối đồng điều địa ΓR+ (.) Với i ta kí hiệu HR + phương thứ i M Nhận xét HR0 + (M ) = ΓR+ (M ) = ∪t>0 (0M : (R+ )t ), giao tất thành phần nguyên sơ 0M mà iđêan nguyên tố liên kết không chứa R+ Giả sử M R-môđun hữu hạn sinh Ta biết HRi + (M ) môđun phân bậc với HRi (M )t = với t Hơn nữa, M = tồn số nguyên 13 s = H i (M ) = với i > s Tìm hiểu thêm chi s ≤ dim M cho HR R+ + tiết [3] Để nghiên cứu cấu trúc phân bậc HRi + (M ) người ta sử dụng khái niệm sau Với R-môđun phân bậc H tùy ý có Ht = 0, t ta đặt a(H) := sup{t | Ht = 0} với quy ước a(H) = −∞ H = Bất biến hiểu bậc không triệt tiêu lớn H Nếu ta đặt (M ) := a(HRi + (M )), số quy Castelnuovo M định nghĩa số: reg(M ) := max{ai (M ) + i | i 0} Từ tính chất môđun đối đồng điều địa phương ta thấy reg(M ) số hữu hạn M = 0 (M ) = M H i (M ) = Nhận xét Nếu Mt = với t 0, ta có HR R+ + với i > Do reg(M ) = a0 (M ) = max{t | Mt = 0}, trường hợp reg(M ) bậc không triệt tiêu lớn M Nếu R vành đa thức trường, định nghĩa số quy trùng với định nghĩa trước Đây hệ định lý đối ngẫu địa phương sau (xem [3]) 2.1.2 Định lí (Đối ngẫu địa phương) Cho R vành đa thức trường K với n biến Khi H i (M )t ∼ = Extn−i (M, R)−t−n R+ R với i t Bây giờ, từ ExtjR (M ) = với j > n, ta thu được: max{ai (M ) + i | i > 0} = max{t | Extn−i R (M, R)−t−n+i = i = 0, , n} = max{t | ExtjR (M, R)−t−j = với j 0} Theo Mệnh đề 2.1.1, định nghĩa số qui trùng với định nghĩa (1) trường hợp R vành đa thức trường Định nghĩa số qui có nhiều ưu Thứ nhất, cho lớp rộng đại số phân bậc mà tất môđun có giải tự hữu hạn Thứ hai, giúp linh hoạt việc lựa chọn vành sở 14 Thứ nhất, R vành thương đại số phân bậc, HRi + (M ) = HSi + (M ) với i Do đó, số quy R-môđun phân bậc hữu hạn sinh M không thay đổi ta xem M S -môđun Thứ hai, tồn đại số phân bậc chuẩn A R cho R A-môđun hữu hạn Mọi phần tử R+ nguyên A Do R+ chứa A+ R Nó có nghĩa HRi + (M ) = HSi + (M ) với i Do reg(M ) không thay đổi xem M A-môđun phân bậc Nhận xét Nếu R đại số phân bậc chuẩn trường, ta xem R vành thương vành đa thức trường Trong trường hợp sử dụng định nghĩa số qui cách dùng giải tối tiểu hữu hạn lần Sử dụng định nghĩa theo ngôn ngữ đối đồng điều địa phương dễ dàng suy luận số tính chất số qui Ví dụ số quy sử dụng tốt dãy khớp ngắn 2.1.3 Định lí Cho 0→E→M →F →0 dãy khớp ngắn R môđun hữu hạn sinh Khi a) reg(E) max{reg(M ), reg(F ) + 1} b) reg(M ) max{reg(E), reg(F )} c) reg(F ) max{reg(M ), reg(E) − 1} Chứng minh Chúng ta cần xét dãy khớp dài môđun đối đồng điều địa phương i−1 i i i i+1 → HR (F )t → HR (E)t → HR (M )t → HR (F )t → HR (E)t → + + + + + Từ ta có: (E) (M ) (F ) max{ai−1 (F ), (M )}, max{ai (E), (F )}, max{ai (M ), ai+1 (M )} Từ định nghĩa số qui ta có điều cần chứng minh Nhiều thông tin tham khảo [3], [4] 2.2 Dãy lọc qui Cho R đại số phân bậc chuẩn hữu hạn sinh vành Noether M R-môđun phân bậc hữu hạn sinh Ta gọi phần tử z ∈ R phần 15 tử M -lọc qui (0M : z)t = với t Nó có nghĩa z giống phần tử M -chính quy bậc cao Dễ dàng nhận thấy z phần tử M -lọc qui z ∈ / ρ với + iđêan nguyên tố liên kết ρ R M Ngoài ra, phần tử M -lọc qui có bậc tùy ý tồn R0 vành địa phương với trường thặng dư vô hạn Sử dụng phần tử M -lọc qui ta dễ dàng tính toán a0 (M ) 2.2.1 Bổ đề Cho z M -lọc qui dạng tuyến tính Khi a0 (M ) = a(0M : z) = a(0M : R+ ) Chứng minh Theo đặc trưng phần tử lọc qui, ∪i≥1 (0M : z t ) giao tất thành phần nguyên sơ 0M mà iđêan nguyên tố liên kết không chứa R+ Theo ta có ∪i≥1 (0M : z i ) = ∪i≥1 (0M : (R+ )i ) Do đó, 0M : R+ ⊆ 0M : z ⊆ ∪i≥1 (0M : (R+ )i ) = HR0 + (M ) Có nghĩa: a(0M : R+ ) a(0M : z) a0 (M ) mặt khác, phần tử có bậc không triệt tiêu lớn HR0 + (M ) chứa 0M : R+ Do a(0M : R+ ) = a0 (M ), với bất đẳng thức ta có điều cần chứng minh Dưới mối quan hệ reg(M ) reg(M/zM ) 2.2.2 Bổ đề Cho z M -lọc quy dạng tuyến tính Khi reg(M ) = max{a0 (M ), reg(M/zM )} Chứng minh Từ (0M : z)t = với t Bây từ dãy khớp ngắn i (0 : z) = với i ≥ 0, ta có HR M + → (0M : z) → M → M/(0M : z) → i (M/(0 : z)) với i ta thu HRi + (M ) ∼ = HR M + Từ dãy khớp ngắn z → M/(0M : z) −→ M → M/zM → ta thu dãy dài khớp môđun đối đồng điều địa phương i−1 i−1 i → HR (M )t → HR (M/zM )t → HR (M )t−1 + + + 16 i i → HR (M )t → HR (M/zM )t → + + Như hệ quả, ánh xạ HRi + (M )t−1 → HRi + (M )t đơn ánh với điều kiện i (M ) = với t i (M ) t > ai−1 (M/zM ) Từ HR 0, có nghĩa HR t t−1 = với + + t > ai−1 (M/zM ) Do (M ) ai−1 (M/zM ) − Dãy khớp đối đồng điều địa phương kéo theo ai−1 (M/zM ) max{ai−1 (M ), (M ) + 1} Do (M ) + i ai−1 (M/zM ) + (i − 1) ≤ max{ai−1 (M ) + (i − 1), (M ) + i} với i > Từ ta có: max{ai (M ) | i ≥ 1} ≤ reg(M/zM ) ≤ reg(M ) suy reg(M ) = max{a0 (M ), reg(M/zM )} Từ phần tử M -chính qui M -lọc qui, Bổ đề 2.2.2 suy tính chất sau 2.2.3 Hệ Giả sử z M -lọc qui dạng tuyến tính M qui Khi reg(M ) = reg(M/zM ) Chứng minh Sự tồn dạng M -lọc qui có nghĩa 0M iđêan nguyên tố liên kết chứa R+ nghĩa HR0 + (M ) = Do từ Bổ đề 2.2 ta có điều cần chứng minh Ta gọi dãy phần tử z1 , , zs dãy M -lọc qui zi+1 phần tử M/Qi M -lọc qui với i = 0, , s − 1, Q0 = Qi = (z1 , , zi ) Điều kiện có nghĩa a((Qi M : zi+1 )/Qi M ) < ∞ với i = 0, , s − Để đơn giản ta đặt a(z1 , , zi ; M ) = max{a((Qi M : zi+1 )/Qi M ) | i = 0, , s − 1} Nhận xét Dãy lọc qui nói chung tính giao hoán Ví dụ, giả sử R = k[x, y, z]/(x) ∩ (x2 , y), ta có z, y dãy R-lọc qui y, z dãy lọc qui Ta gọi iđêan Q ⊆ R+ M -rút gọn R+ Q sinh dạng tuyến tính (M/QM )t = với t Các bổ đề dẫn đến đặc trưng không đối đồng điều sau số qui 17 2.2.4 Định lí Cho z1 , , zs dãy M -lọc qui dạng tuyến tính cho Q = (z1 , , zs ) M - rút gọn R+ Khi reg(M ) = max{a(z1 , , zi ; M ), a(M/QM )} = max{a((Qi M : zi+1 )/Qi M )/i = 0, , s − 1} Chứng minh Áp dụng Bổ đề 2.2.2 cho môđun thương M/Qi−1 M với i = 1, , r, ta thu reg(M ) = max{a0 (M/Q0 M ), , a0 (M/Qs−1 M ), reg(M/QM )} theo Bổ đề 2.2.1, ta có a0 (M/Qi M ) = a((Qi M : zi+1 )/Qi M ) = a((Qi M : R+ )/QM ) reg(M/QM ) = a0 (M/QM ) = a(QM : R+ )/QM ) Do ta có điều cần chứng minh Ví dụ: Cho R = R0 [x1 , , xn ] vành đa thức trường R0 Khi x1 , , xn dãy qui R Do a(x1 , , xn ) = 0, kéo theo reg(R) = a(R0 ) = Trong trường hợp tổng quát, M -rút gọn R+ sinh dãy M -lọc qui mở rộng phẳng R 2.2.5 Bổ đề Cho Q M -rút gọn sinh dạng tuyến tính s uij xj , U = {uij | i, j = 1, , s} x1 , , xs Với i = 1, , s đặt zi = j=1 ma trận vô định Đặt A = A[U, det(U )−1 ], R = R ⊗A A , M = M ⊗A A Nếu xem R đại số phân bậc chuẩn R M R -môđun phân bậc, z1 , , zs dãy M -lọc qui Chứng minh Ta thấy z1 M -lọc qui Nó kéo theo zi (M/(z1 , , zi−1 )M )-lọc qui với i = 2, , s Chúng ta z1 ∈ /P với iđêan nguyên tố liên kết P R+ M Theo định nghĩa R , iđêan nguyên tố phải có dạng ρR với iđêan nguyên tố liên kết P R+ M Nếu Q ⊆ ρ, (M/ρM )n = với n M/ρM môđun thương M/QM Từ có số t cho (R+ )t M ⊆ ρM Từ ann(M ) ⊆ ρ, có nghĩa R+ ⊆ ρ, mâu thuẫn nên ta Q ρ Từ Q = (x1 , , xs ), ta có z1 = u11 x1 + + u1s xs ∈ / ρR = P , mong muốn 18 Bổ đề 2.2.5 thừa nhận việc sử dụng Định lý 2.2.4 để tính toán reg(M ) Thật vậy, từ R mở rộng phẳng R, ta có HRi + (M )n với n i ≥ 0, reg(M ) = reg(M ) Kí hiệu d(M ) bậc cực đại hệ sinh tối tiểu M Hệ sau Định lý 2.2.4 biết trường hợp R vành đa thức 2.2.6 Hệ d(M ) ≤ reg(M ) Chứng minh Dễ dàng nhận thấy d(M ) = d(M/R+ M ) = a(M/R+ M ) Theo Bổ đề 2.2.5 ta giả sử R+ sinh dãy M -lọc qui dạng tuyến tính Áp dụng Định lý 2.2.4 ta thu a(M/R+ M ) ≤ reg(M ) Do ta trực tiếp thu khẳng định 2.3 Chỉ số qui yếu Theo định nghĩa, để đánh giá số qui ta cần kiểm tra triệt tiêu vô hạn thành phần môđun đối đồng địa phương Chúng ta thấy đủ để kiểm tra vài thành phần Khái niệm sau giới thiệu với mục đích Cho R đại số phân bậc chuẩn hữu hạn sinh vành noether M R-môđun phân bậc hữu hạn sinh Với số nguyên t tùy ý ta nói M i (M ) t-chính qui Hm n t Dễ dàng kiểm tra n−i+1 = với i reg(M ) = min{t ∈ Z | M t − qui } i (M ) Ta nói M t-chính qui yếu Hm Trong t−i+1 = với i trường hợp tổng quát t-chính qui yếu không kéo theo t-chính qui Ví dụ: Cho M = R = k trường Khi HRi + (M ) = HRi + (E) = với i ≥ Do M t-chính qui yếu không t-chính qui với t ≤ −2 Tuy nhiên, hai khái niệm trùng số thu hẹp 19 2.3.1 Định lí Giả sử t ≥ d(M ) Khi M t-chính qui M t-chính qui yếu Chứng minh Sử dụng định Bổ đề 2.2.5 ta giả sử tồn dãy M -lọc qui dạng tuyến tính z1 , , zs cho R+ = (z1 , , zs ) Nếu s = 0,R+ = Trong trường hợp này, HR0 + (M ) = M HRi + (M ) = với i > Do đó, M t-chính qui Mn = với n > t, điều kiện sau thỏa mãn t > d(M ) R+ = Nếu s > 0, ta đặt z = z1 Như chứng minh Bổ đề 2.2.2 ta có dãy khớp i i i i+1 HR (M )n−1 → HR (M )n → HR (M/zM )n → HR (M )n−1 + + + + với i i (M/zM ) Từ HRi + (M )t−i+1 = HRi+1 (M )t−i = ta có HR t−i+1 = + + với i ≥ Do M/zM t-chính qui yếu Từ d(M/zM ) = d(M ), sử dụng phương pháp quy nạp ta giả thiết M/zM t-chính qui Có nghĩa reg(M/zM ) ≤ t Như hệ quả, HR0 + (M/zM )n = 0 HR (M/(0M : z))n−1 = HR (M )n + + với n ≥ t + Mặt khác, từ HR1 + (0M : z) = từ dãy khớp → (0M : z) → M → M/(0M : z) → ta suy ánh xạ HR0 + (M ) → HR0 + (M/(0M : z)) toàn ánh Do (M ) 0 HR n−1 → HR+ (M )n toàn ánh ∀ n ≥ t + Từ HR+ (M )t+1 = 0, + có nghĩa HR0 + (M )n = với n ≥ t + tương đương a0 (M ) ≤ t Tóm lại, ta có reg(M ) = max{a0 (M ), reg(M/zM )} ≤ t Do M t-chính qui 2.3.2 Hệ reg(M ) = min{t ≥ d(M )|M t − qui yếu} Chứng minh Từ reg(M ) ≥ d(M ), ta có reg(M ) = min{t ≥ d(M )|M t − qui} = min{t ≥ d(M )|M t − qui yếu} yêu cầu 20 Chỉ số qui trường hợp hình học đại số định nghĩa khác trường hợp đại số Ta có khái niệm sau Cho R đại số phân bậc chuẩn hữu hạn sinh vành Noether M R- môđun phân bậc hữu hạn sinh Ta nói M t-chính qui hình học i (M ) HR n−i+1 = với n ≥ t i ≥ Kết sau Mumford thể + cần kiểm tra điều kiện với n = t 2.3.3 Định lí M t-chính qui hình học HRi + (M )t−i+1 = với i ≥ Chứng minh Sử dụng Bổ đề 2.2.5 ta giả sử tồn dãy t-lọc qui dạng tuyến tính z1 , , zs cho R+ = (z1 , , zs ) Như chứng minh Định lý 2.3.1 trường hợp s = tầm thường i (M/zM ) s > ta giả sử HR n−i+1 với n ≥ t i ≥ 1, z = z1 + Có nghĩa HRi + (M )n−i → HRi + (M )n−i+1 toàn ánh với n ≥ t i (M ) i i ≥ Từ HR t−i+1 = suy HR+ (M )n−i+1 = với n ≥ t + i ≥ Điều phải chứng minh Định lý 2.3.3 t-chính qui hình học yếu t-chính qui yếu t-chính qui Tuy nhiên HR0 + (M ) = 0, ba khái niệm trùng Trong trường hợp Định lý 2.3.3 diễn đạt lại sau 2.3.4 Hệ Giả sử HR0 + (M ) = Khi M t-chính qui M t-chính qui yếu Ta gọi số g − reg(M ) := max{ai (M ) + i|i ≥ 1} số qui hình học M Vậy rõ ràng g − reg(M ) = min{t|M t − qui hình học } Chỉ số qui có liên hệ với số quy hình học theo công thức reg(M ) = max{a0 (M ), g − reg(M )} So sánh với số quy, số quy hình học thuận lợi ước lượng theo quan điểm số quy hình học “lát cắt siêu phẳng” tổng quát Từ cần có nhận xét sau Cho R đại số vành địa phương Artin R0 Với t ∈ Z thành phần phân bậc Mt R0 -môđun có độ dài hữu hạn Chúng ta xem xét hàm Hilbert hM (t) := l(Mt ) Ta biết hM (t) trở thành đa thức pM (t) 21 với t Ta gọi pM (t) đa thức Hilbert M Hiệu hM (t) − pM (t) biểu thị theo ngôn ngữ môđun đối đồng điều địa phương, dựa kết Serre( xem [3]) 2.3.5 Định lí Cho R đại số vành địa phương Artin Khi dimM i (−1)i l(HR (M )t ) + hM (t) − pM (t) = i=0 Công thức sử dụng chứng minh ước lượng sau số qui hình học dựa ý tưởng Mumford ( [6] trang 101, chứng minh định lý) 2.3.6 Định lí Cho R đại số vành địa phương Artin Cho z M -lọc qui dạng tuyến tính Cho t ≥ d(M ) cho M/zM tchính qui hình học Khi M (t + pM (t) − hM/L (t))-chính qui hình học, L = ΓR+ (M ) Chứng minh Chúng ta phải chứng minh g − reg(M ) ≤ t + pM (t) − hM/L (t) i (L) = với Xét môđun thương M/L Từ Ln = với n 0, ta có HR + i i i ≥ HR+ (M ) = HR+ (M/L) với i ≥ Vì g − reg(M/L) = g − reg(M ) Hơn nữa, ta có hM (n) = hM/L (n) với n 0, kéo theo pM (n) = pM/L (n) Mặt khác, d(M/L) ≤ d(M ) suy t ≥ d(M/L) Từ ((L + zM )/zM )n = với n 0, HRi + ((L + zM )/zM )n = i i HR (M/(L + zM )) ∼ (M/zM ) = HR + + với i ≥ Như vậy, M/(L + zM ) t-chính quy hình học giống M/zM Nên ta thay M M/L Nó có nghĩa ta giả sử L = z M -chính qui Như ta nhận thấy chứng minh Bổ đề 2.2.2 (M ) + i ≤ ai−1 (M/zM ) + i − với i ≥ Từ M/zM t-chính qui hình học, ai−1 (M/zM ) + i − ≤ t với i ≥ Do (M ) + i ≤ t với i ≥ 22 Cho s số nguyên nhỏ ≥ t cho HR0 + (M/zM ) = Khi M/zM t-chính qui yếu Theo Định lí 2.3.1 reg(M/zM ) ≤ s Như vậy,a1 (M ) + ≤ a0 (M/zM ) ≤ s Trước ta có ai−1 (M ) + i ≤ ai−1 (M/zM ) + i − ≤ s với i ≤ 2, ta có g − reg(M ) ≤ s Bây ta chứng minh s ≤ t + pM (t) − hM (t) Từ HR0 + (M ) = L = HR1 + (M/zM )n = n ≤ t, từ dãy khớp z → M −→ M → M/zM → ta thu dãy khớp 1 → HR (M/zM )n → HR (M )n−1 → HR (M )n → + + + với n ≥ t Từ HR0 + (M/zM )n = với l n < s, ta có l(HR1 + (M )n−1 > 1(HR1 + (M )n với t ≤ n < s Do s − t ≤ l(HR1 + (M )t ) Mặt khác pM (t) − hM (t) = l(HR1 + (M ))t theo Định lí 2.3.5 Nên ta thu s ≤ t + pM (t) − hM (t), yêu cầu Sự đánh giá đặc biệt hữu ích việc tìm chặn số qui theo bậc Tham khảo [5] 23 KẾT LUẬN Tóm lại, luận văn trình bày cách tường minh kết báo [8] Ngô Việt Trung Cụ thể hoàn thành nội dung sau: Chỉ hai định nghĩa tương đương (1) (2) trùng R vành đa thức trường (các định nghĩa số qui mệnh đề 2.1.1) Các đặc trưng số qui thông qua khái niệm dãy lọc qui Nghiên cứu khái niệm số qui yếu, số qui hình học để tìm đặc trưng tìm chặn số qui (hệ 2.3.2, định lí 2.3.6) 24 TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT [1] Lê Tuấn Hoa (2003), Đại số máy tính sở Grobner, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội TIẾNG ANH [2] D Bayer and D Mumford (1993), What can be computed in algebraic geometry? In: D Eisenbud and L Robbiano (eds.), Computational algebraic geometry and commutative algebra, Proceeding, Cortona 1991, Cambridge University Press, 1-48 [3] M Brodmann and R Y Sharp (1998), Local cohomology: an algebraic introduction with geometric applications, Cambridge University Press [4] D Eisenbud and S Goto (1984), Linear free resolutions and minimal multiplicities, J Algebra 88, 89-133 [5] S.Kleiman (1971) Théorie des intersections et théorème de RiemannRoch In: SGA 6, Lect Notes in Math 225, Springer [6] D.Mumford.(1966) Lectures on curves on an algebraic surface Princeton University Press, New Jersey [7] N.V.Trung (1987) Reduce exponent and degree bounds for the defining equations of a graded ring Proc Amer Math Soc 102, 2813-2832 [8] Ngo Viet Trung (2007), Castelnuovo-Mumford regularity and related invariants In: Commutative algebra and combinatorics, 157 - 180, Ramanujan Math Soc Lect Notes Ser 4, Ramanujan Math Soc., Mysore [9] W Vasconcelos (1998) Cohomological degrees of graded modules In Six lectures on commutative algebra, Progress in Mathematics 166, Birkhauser, Boston, 345-392 [...]... là t -chính qui nếu M là t -chính qui yếu Ta gọi số g − reg(M ) := max{ai (M ) + i|i ≥ 1} là chỉ số chính qui hình học của M Vậy rõ ràng g − reg(M ) = min{t|M là t − chính qui hình học } Chỉ số chính qui có liên hệ với chỉ số chính quy hình học theo công thức reg(M ) = max{a0 (M ), g − reg(M )} So sánh với chỉ số chính quy, chỉ số chính quy hình học thuận lợi hơn vì nó có thể ước lượng được theo quan. .. chỉ số chính qui và mệnh đề 2.1.1) 2 Các đặc trưng về chỉ số chính qui thông qua khái niệm dãy lọc chính qui 3 Nghiên cứu các khái niệm chỉ số chính qui yếu, chỉ số chính qui hình học để tìm ra các đặc trưng hoặc tìm chặn trên của chỉ số chính qui (hệ quả 2.3.2, định lí 2.3.6) 24 TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT [1] Lê Tuấn Hoa (2003), Đại số máy tính và cơ sở Grobner, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội... của chỉ số chính qui theo bậc Tham khảo [5] 23 KẾT LUẬN Tóm lại, trong luận văn này chúng tôi đã trình bày một cách tường minh các kết quả của bài báo [8] của Ngô Việt Trung Cụ thể chúng tôi đã hoàn thành được những nội dung chính sau: 1 Chỉ ra rằng hai định nghĩa tương đương (1) và (2) này trùng nhau khi R là vành đa thức trên một trường (các định nghĩa về chỉ số chính qui và mệnh đề 2.1.1) 2 Các. .. t -chính qui 2.3.2 Hệ quả reg(M ) = min{t ≥ d(M )|M là t − chính qui yếu} Chứng minh Từ reg(M ) ≥ d(M ), ta có reg(M ) = min{t ≥ d(M )|M là t − chính qui} = min{t ≥ d(M )|M là t − chính qui yếu} như yêu cầu 20 Chỉ số chính qui trong trường hợp hình học đại số được định nghĩa hơi khác hơn trong trường hợp đại số Ta có khái niệm sau đây Cho R là đại số phân bậc chuẩn hữu hạn sinh trên vành Noether và. .. Nếu R là đại số phân bậc chuẩn trên một trường, ta có thể xem R như vành thương của vành đa thức trên một trường Trong trường hợp này chúng ta có thể sử dụng định nghĩa chỉ số chính qui bằng cách dùng giải tối tiểu hữu hạn một lần nữa Sử dụng định nghĩa theo ngôn ngữ đối đồng điều địa phương chúng ta có thể dễ dàng suy luận một số tính chất cơ bản của chỉ số chính qui Ví dụ như chỉ số chính quy được... lọc chính qui nếu xi là phần tử lọc chính qui của M /(a1 , ,ai−1 M ) ,∀i = 1, , t 1.4.9 Nhận xét (i) Nếu x là phần tử chính qui thì theo Định nghĩa 1.4.1, ta có 0 :M x = {m ∈ M | xm = 0} = {0} nên l(0 :M x) = 0 < ∞ Vì vậy x cũng là phần tử lọc chính qui (ii) Nếu x1 , x2 , , xt ∈ m là một dãy M - chính qui thì x1 , x2 , , xt cũng là M - dãy lọc chính qui 1.4.10 Nhận xét (i) Phần tử x ∈ m là M -chính qui. .. qui } i (M ) Ta nói rằng M là t -chính qui yếu nếu Hm 0 Trong t−i+1 = 0 với i trường hợp tổng quát t -chính qui yếu không kéo theo t -chính qui Ví dụ: Cho M = R = k là một trường Khi đó HRi + (M ) = 0 và HRi + (E) = 0 với i ≥ 1 Do đó M là t -chính qui yếu nhưng không là t -chính qui với t ≤ −2 Tuy nhiên, hai khái niệm này trùng nhau trong một số thu hẹp 19 2.3.1 Định lí Giả sử t ≥ d(M ) Khi đó M là t -chính. .. 2.1.1, nó chỉ ra rằng định nghĩa mới của chỉ số chính qui trùng với định nghĩa (1) trong trường hợp R là vành đa thức trên một trường Định nghĩa mới của chỉ số chính qui có nhiều ưu thế hơn Thứ nhất, nó đúng cho lớp rộng hơn các đại số phân bậc khi mà không phải tất cả môđun đều có giải tự do hữu hạn Thứ hai, nó giúp chúng ta linh hoạt hơn trong việc lựa chọn vành cơ sở 14 Thứ nhất, nếu R là vành thương... -chính qui là M -lọc chính qui, Bổ đề 2.2.2 suy ra tính chất sau 2.2.3 Hệ quả Giả sử rằng z là M -lọc chính qui dạng tuyến tính M chính qui Khi đó reg(M ) = reg(M/zM ) Chứng minh Sự tồn tại của dạng M -lọc chính qui có nghĩa 0M không có iđêan nguyên tố liên kết chứa R+ nghĩa là HR0 + (M ) = 0 Do đó từ Bổ đề 2 2.2 ta có điều cần chứng minh Ta gọi dãy các phần tử thuần nhất z1 , , zs là dãy M -lọc chính. .. iđêan Nếu x1 , xn ∈ I và là dãy chính qui thì x1 , , xn được gọi là dãy chính qui cực đại nếu không tồn tại y ∈ I để {x1 , , xn , y} là dãy chính qui và n được gọi là độ dài của dãy trên Cho R là vành địa phương và M là R-môđun hữu hạn sinh Khi đó độ dài của hai dãy M -chính qui cực đại nằm trong iđêan I luôn như nhau Do đó ta có định nghĩa sau 1.4.6 Định nghĩa Cho (R, m) là một vành địa phương Noether ... GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH LÊ THỊ QUỲNH TRANG CHỈ SỐ CHÍNH QUI CASTELNOUVO-MUMFORD CÁC BẤT BIẾN LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI SỐ VÀ LÍ THUYẾT SỐ MÃ SỐ: 60.46.01.04... R vành đa thức trường (các định nghĩa số qui mệnh đề 2.1.1) Các đặc trưng số qui thông qua khái niệm dãy lọc qui Nghiên cứu khái niệm số qui yếu, số qui hình học để tìm đặc trưng tìm chặn số qui. .. Chỉ số qui Castelnuovo-Mumford (hay số qui) M định nghĩa số reg(M ) = max{bi (M ) − i | i = 0, , s} Chỉ số qui đưa Mumford việc tổng quát hóa ý tưởng hình học Castelnuovo Có thể nói Chỉ số qui