Chỉ số chính qui Castelnuovo - Mumford và tính hữu hạn của hàm Hilbert

Trong chương này, ch ng tôi tr nh bày một số khái niệm cơ sở của Đại số giao hoán có s dụng trong luận văn như: Vành và môđun phân bậc, cơ sở Groebner,… goài ra ch ng tôi c n trích d n m

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

Nghệ An - 2013

Mục lục

Trang

Mở đầu 2

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị 4

1.1 Vành và môđun phân bậc 4

1.2 Trường đóng đại số 6

1.3 Chiều Krull 6

1.4 Hệ tham số, số bội 8

1.5 Dãy chính quy 10

1.6 Môđun đối đồng điều địa phương 11

1.7 Iđêan khởi đầu và cơ sở Groebner 13

Chương 2: Chỉ số chính quy Castelnuovo - Mumford và tính hữu hạn của Hàm Hibert……… 17

2.1 Một số kiến thức cơ bản của chỉ số chính qui Castelnuovo- Mumford 17

2.2 Tính hữu hạn của hàm Hilbert……… 21

2.3 Đại số chặn trên chỉ số chính quy và Định lý Kleiman………24

Kết luận 29

Tài liệu tham khảo 30

ội dung chính của luận văn là tr nh bày lại một phần của bài báo 11 của

M E Rossi – N V Trung – G Valla

goài phần mở đầu, kết luận và Tài liệu tham khảo, luận văn gồm hai chương

Chương 1 là chương kiến thức chuẩn bị Trong chương này, ch ng tôi tr nh bày một số khái niệm cơ sở của Đại số giao hoán có s dụng trong luận văn như: Vành và môđun phân bậc, cơ sở Groebner,… goài ra ch ng tôi c n trích d n một số kết quả đã có nh m phục vụ cho các chứng minh ở phần sau Trong chương 2 ch ng tôi s tr nh bày một số điều sơ lược về chỉ số chính qui Castelnuovo-Mumford và các khái niệm liên quan như chỉ số chính qui yếu và chỉ số chính qui h nh học êu r mối liên hệ giữa tính chặn trên của chỉ số chính qui Castelnuovo-Mumford tương ứng chỉ số chính qui h nh học

và tính hữu hạn của hàm Hilbert (tương ứng đa thức Hilbert Chỉ ra r ng chặn trên của chỉ số chính qui của các l p đại số phân bậc v i độ sâu dương

có th được suy ra t chặn trên của chiều của thành phần bậc của môđun đối đồng điều địa phương thứ nhất

Qua đây tác giả cũng xin được bày tỏ l ng biết ơn t i người hư ng d n khoa học của m nh là TS Đào thị Thanh Hà, nhờ sự hư ng d n chỉ bảo tận

t nh của cô mà luận văn đã được hoàn thành Xin chân thành cảm ơn các thầy

cô công tác tại Đại học Vinh và Đại học Sài G n đã trực tiếp giảng dạy, cảm

ơn bạn bè và gia đ nh đã động viên, gi p đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng chắc chắn trong luận văn v n c n có nhiều sai sót, tác giả mong nhận được sự chỉ bảo quý báu của các thầy cô và các bạn học viên

Tác giả

gô Hồng Huấn

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Vành và môđun phân bậc

1.1.1 Định nghĩa Vành R được gọi là - phân bậc nếu R  i Z R i xét như

nhóm cộng, và R R i j  R i j , v i mọi i j ,  Hơn nữa nếu R i  0 v i mọi

0

i  , th gọi R là vành phân bậc dương, hay - phân bậc

Môđun M trên vành - phân bậc R được gọi là - phân bậc nếu

i Z i

M   M xét như nhóm cộng, và R M i j  M i j v i mọi i j , 

ếu M là môđun phân bậc trên vành phân bậc R, th gọi phần t x của

i

R hoặc M i là phần t thuần nhất bậc i Kí hiệu deg x( )i Ta qui ư c bậc

của phần t 0 là một số nguyên tùy ý hư vậy, nếu aRvà xM là các

phần t thuần nhất, th

deg ax( ) deg a( ) deg x( ), hoặc ax0

T định nghĩa suy ra R0 là một vành con của R và mỗi thành phần phân bậc

phân bậc k của x Mỗi phần t chỉ có một bi u diễn duy nhất thành tổng của các thành phần phân bậc

cho S là vành con của vành R không nhất thiết phân bậc) Khi đó, người ta gọi R là S – đại số

ếu a1, ,a nR, ký hiệu S[a1, ,a n tổ hợp tuyến tính trên S của các phần t

ếu tồn tại a1, ,a nR đ R = S[a1 , ,a n th R được gọi là S – đại số hữu hạn sinh.

1.1.2 Định nghĩa Vành phân bậc dương R i0R i được gọi là vành phân

bậc chuẩn trên R0 nếu RR R0 [ 1 ]

1.1.3 Ví dụ Vành phân bậc chuẩn hay gặp nhất là vành đa thức A x[ ], trong

đó A là một vành, v i A i là tổ hợp tuyến tính của các đơn thức có bậc tổng

th là i và hệ số thuộc A hư vậy đa thức thuần nhất là tổng của các t có bậc tổng th b ng nhau

I là iđêan thuần nhất của A x[ ] nếu nó sinh bởi các đa thức thuần nhất Chẳng hạn iđêan đơn thức là iđêan thuần nhất; 3 2 4 5 2 4

(x y z  x yz  y z  6y z ) là

iđêan thuần nhất của vành K x y z[ , , ] Khi đó vành thương A x[ ] /I là một ví dụ khác về vành phân bậc chuẩn

1.1.4 Định nghĩa Gọi môđun con ⊆ M là môđun con thuần nhất, hay

môđun con phân bậc nếu nó thoả mãn một trong ba điều kiện tương đương sau:

a sinh ra bởi các phần t thuần nhất

b V i mỗi x , mọi thành phần thuần nhất của nó thuộc

(c) N = i Z (N  Mi)

1.1.5 Định nghĩa Cho M và N là hai môđun phân bậc trên vành phân bậc R

Đồng cấu môđun f M: N được gọi là đồng cấu thuần nhất hay phân bậc

nếu v i mọi n ; f M( i)N i

1.1.6 nh đ

(i) Nếu f là đồng cấu thuần nhất thì hạch (hạt nhân) Ker f và ảnh Im f

của nó là các môđun con thuần nhất

(ii) Nếu có dãy khớp

M N  L

Các môđun phân bậc với các đồng cấu thuần nhất, thì ta cũng có dãy

M i N i L i 

1.2 Trường đóng đại số

Theo định lý cơ bản của đại số th mọi phương tr nh đa thức đều có nghiệm

phức Ta có th khái quát hoá tính chất này như sau

1.2.1 Định nghĩa Trường K được gọi là đóng đại số nếu mọi đa thức bậc

dương trong K[x] đều có ít nhất một nghiệm trong K

ii Cũng v thế trường các số hữu tỉ không là đóng đại số

iii Tất cả các trường hữu hạn K không là đóng đại số v nếu a1, ,a n là các phần t của K, th đa thức

uôn khác 0 trên K

iv Trường số phức là trường đóng đại số

Cho   Spec R, cận trên của tất cả các xích nguyên tố v i 0  được gọi là độ cao của  , ký hiệu là ht(), nghĩa là

ht() = sup độ dài các xích nguyên tố v i 0 }

Cho I là một iđêan của R, khi đó độ cao của iđêan I được

định nghĩa

ht(I) = inf{ ht() |   spec R,  I }

Cận trên của tất cả độ dài của các xích nguyên tố trong R được gọi là chiều

Krull của vành R, ký hiệu là dim R hoặc dim R K

Cho M là một R – môđun Khi dó dim R / a nn M R được gọi là chiều Krull của

môđun M, ký hiệu là dim M hoặc dim M K Khi đó ta suy ra

iv Xét vành đa thức vô hạn biến R = K[ x x1, 2, , x n ,…] Ta có dim R = ∞, v

có dãy vô hạn các iđêan nguyên tố

0  ( )x1  ( ,x x1 2 )   (x x1, 2, ,x n) …

R cũng chính là vành không oether

1 Định nghĩa Tập con Supp M = {Spec R|M  0} của Spec R được

gọi là giá của môđun M

V i mỗi xM ta ký hiệu Ann x R  {aR| ax = 0};

ếu M là R - môđun hữu hạn sinh th

Supp M = V( Ann M ) = {  spec R,  Ann M}

1 .4 Định nghĩa Cho R là vành giao hoán, có đơn vị và M là R – môđun

Iđêan nguyên tố p của R được gọi là iđêan nguyên tố liên kết của M nếu tồn tại 0   M sao cho

  Ann R {rR|r x 0}

Tập các iđêan nguyên tố liên kết của M được ký hiệu là Ann M R hay Ass M

1.4 H ham số số b i

1.4.1 Định nghĩa Giả s (R, m là một vành địa phương eother M là R –

môđun v i dim M d Hệ các phần t {x x1 , 2 , , x d}m được gọi là hệ tham

số của M nếu độ dài (M/(x x1 , 2 , ,x d M < ∞

Và khi đó iđêan q ( , ,x1 x R d) được gọi là iđêan tham số

1.4 Ch Hệ tham số của môđun M luôn tồn tại

1.4 Ví dụ Cho R là một vành giao hoán có đơn vị, ta gọi R x[[ ]] là tập hợp các chuỗi lu th a h nh thức ký hiệu

hép cộng và phép nhân trong R x[[ ]] được định nghĩa hoàn toàn thứ tự như trong vành đa thức R x[ ] Khi đó R x[[ ]] cũng là một vành giao hoán có đơn vị

Ta xem K x x[[ , 1 2 , , x n]] là môđun trên chính nó v i

dimK x x[[ , 1 2 , ,x n]] = n Khi đó { ,x x1 2, ,x n} là một hệ tham số của

Gọi a0 là hệ số cao nhất của đa thức p q M, ( )n th

e q M0 ( , ) = a0.d!

1.4.6 Định nghĩa i Số tự nhiên e q M0( , ) trong khai tri n của p q M, ( )n

được gọi là số bội của M đối v i iđêan tham số q

ii Khi q m ta ký hiệu số bội e(q,M) = e q M0( , ) e M và gọi là số bội của môđun M

1.4 Ví dụ Số bội của vành đa thức R = k[x x1, 2, ,x n là 1

1.5 D chính ui

1.5.1 Định nghĩa Cho M là R – môđun

i hần t xR, x0 được gọi là ư c của 0 đối v i M nếu tồn tại phần t

m M , m ≠ sao cho xm

ii hần t xR được gọi là M – chính qui nếu M  x M và x không là

ư c của không đối v i M

iii Một dãy { , , }x1 x t các phần t của R được gọi là dãy chính quy của M

hay M - dãy nếu

1

0 ( , , )t

1.5 Định nghĩa Cho I ⊆ R là một iđêan ếu x1, , x t I và là dãy chính

qui th dãy { , ,x1 x t} được gọi là dãy M chính quy cực đại nếu không tồn tại

yI đ { , ,x1 x y t, } là một dãy M - chính qui và t được gọi là độ dài của

dãy trên

1.5 nh đ ho là vành đ a ph ng và I  R là m t iđ an hi đó đ dài của dãy - ch nh ui c c đại n m t ong iđ an I luôn nh nhau

T Mệnh đề 1 ta có định nghĩa sau

1.5.4 Định nghĩa Cho (R, m là vành địa phương oether Khi đó độ dài của

dãy chính qui cực đại trong m kí hiệu là depth (m,M) hay depth M được gọi

là độ sâu của môđun M

1.5.5 Ch Ta luôn có depth ≤ dim

1.5.6 Định nghĩa R – môđun M được gọi là môđun Cohen – Macaulay nếu

depth M = dim M ếu R là môđun Cohen – Macaulay trên chính nó th ta nói

r ng R là vành Cohen – Macaulay

1.5 Ví dụ (i) Vành R1k x[ , ,1 x n], R2 k x[[ , ,1 x n]] là Cohen – Macaulay

v depth R1 = dim R1 = n; depth R2 = dim R2 = n là vành Cohen –

Macaulay v depth = dim = 1

(ii) R = k[x,y,z] / ((x2)(x2

,y3,z)) không phải là vành Cohen – Macaulay v

dim R = 2 trong khi depth R = 0

1.6 ô đun đối đ ng đi u địa phư ng

khái niệm đối đồng điều địa phương được đưa ra bởi Grothendieck

Ta gọi R là vành giao hoán địa phương oether, I là iđêan của R và M là

H i(I(E))  KerI(d i) / ImI(d i1) được gọi là môđun đối đồng

điều địa phương thứ i của M v i giá là I

1.6 Định ho là iđ an của vành giao hoán Noethe và là –

môđun h u hạn sinh chi u d Khi đó

H M I i( )  0, ⩝ i depth và ⩝ i > d

1.7 Iđ an kh i đ u và c s Gro bn r

Trư c hết ta xét đến thứ tự t dùng trong cơ sở Groebner đó là thứ tự trên

tập tất cả các đơn thức của vành đa thức một biến hay nhiều biến

1.7.1 Định nghĩa Thứ tự t ≤ là một thứ tự toàn phần trên tập  tất cả các

đơn thức của k x thoả mãn các tính chất sau:

a V i mọi m , 1 ≤ m

b ếu m m m1, 2,  mà m1  m2th mm1  mm2

T định nghĩa ta thấy trên vành đa thức một biến chỉ có một thứ tự t Đó là

thứ tự xác định bởi bậc đơn thức

Sau đây là một khái niệm thứ tự t khi số biến t hai trở lên

1.7 Định nghĩa Th t t đi n ký hiệu lex xác định như sau:

11 n 11 n

x x  x x nếu thành phần đầu tiên khác không

k t bên trái của véc tơ ( 1  1 , ,nn) là một số âm ói cách khác, tồn

tại ≤ i < n sao cho 11, ,n  n nhưng i1  i1.

1.7 Định nghĩa Th t t đi n ng ợc là thứ tự lex xác định như sau:

t bên phải của vectơ

1.7.4 Định nghĩa Cho ≤ là một thứ tự t và f  R = K[ ,x x1 2, ,x n] T khởi

đầu của f ký hiệu là inf, là t l n nhất của đa thức f đối v i thứ tự t ≤

T khởi đầu c n gọi là t đầu hay t đầu tiên ếu viết f theo thứ tự giảm dần đối v i thứ tự t đã chọn th in f s xuất hiện đầu tiên

Đ đơn giản ta thường viết in(f), lc(f), lm(f) thay cho in( )f , lc( )f ,

(i) in(fg) = in(f) in(g)

(ii) in(mf) = m in(f)

(iii) lm( +g) ≤ ma lm( ), lm(g) ấu y a khi và ch khi in(f) = - in(g)

Ta có một khái niệm xuất phát đi m h nh thành lý thuyết cơ sở Groebner

1.7.6 Định nghĩa Cho I là iđêan của R và ≤ là một thứ tự t Iđêan khởi đầu

của I, ký hiệu là in I hay in I , là iđêan của R sinh bởi các t khởi đầu của

các phần t của I, có nghĩa là

In(I) = (in(f) | f  I)

Một số tính chất cơ bản của iđêan khởi đầu là:

1.7 nh đ ho ≤ là m t th t t và , là các iđ an của hi đó

(i) in(I) = (in(f) | f  I )

(ii) Nếu là iđ an đ n th c thì in(I) = I

(iv) in(I) in(J) ⊆ in(IJ)

(v) in(I) + in(J) ⊆ in(I + J)

1.7.8 Định nghĩa Cho I, là hai iđêan của một vành oether T tính

oether của vành suy ra tồn tại s đ

I : J, chẳng hạn iđêan I : (x1, ,x ) n ∞ được gọi là iđ an bão hoà của I, ký

hiệu là Isat

CHƯƠNG : CHỈ SỐ CHÍNH QUI CASTELNUOVO - MUMFORD

là giải tự do phân bậc tối ti u của S - môđun M

Viết b i là bậc cực đại của phần t sinh F i Theo trong ([6] 20.5) ta nói r ng

M là m - chính qui v i số nguyên m nào đó nếu b i- j <= m, j

Chỉ số chính qui Castelnuovo – Mumford reg(M) của M được xác định là số nguyên m nhỏ nhất, sao cho M là m-chính qui, có nghĩa là

reg(M) = max{ bi –i , i …s}

Ta biết r ng M là m- chính qui khi và chỉ khi i( )

i

hờ một kết quả của Mumford, nếu depth M và M là

m – chính qui yếu, thì M là m - chính qui (xem [6]) T điều này ta có th dễ dàng suy ra kết quả sau xem 10], Hệ quả 1.2

2.1.1 nh đ Giả sử S/ là m t đại s phân bậc chu n và m là s

nguyên không âm Nếu R là m - ch nh ui yếu, thì R là m - chính qui

h ng minh S dụng đối ng u địa phương ta có th đặc trưng khái niệm đó

của tính chính qui theo nghĩa của môđun đối đồng điều địa phương của M Giả s kí hiệu là iđêan phân bậc cực đại của S và M là S - môđun phân bậc hữu hạn sinh V i số nguyên i tuỳ ý ta ký hiệu i

H(M) là môđun đối đồng điều thứ i của M v i giá  Theo đối ng u địa phương xem 6 , A 4.2 ta có

v i n reg(M) Đây là một hệ quả của công thức Serre nó đ ng v i mọi số

reg ( M ) = g - reg ( M ) nếu depth M > 0

V i một đại số phân bậc chuẩn R = S/I một định lý của Got mann cho một chặn trên cho chỉ số chính quy h nh học theo một số nguyên được tính t

đa thức Hilbert của R

2.1.2 Định (xem [7]) Giả thiết ng

( 1) 1

g - reg ( R) = reg ( S/ I sat ) ≤ s – 1

Chẳng hạn: nếu R có chiều là 1 và số bội e th đa thức của nó là :

( 1) 1

Một chứng minh thuộc lý thuyết vành có th t m trong [10, Định lý 1.4]

2.1.3 Định lý Cho R = S / I là đại s phân bậc chu n và z  R1 là dạng tuyến t nh ch nh ui t ong nếu g – reg (R/ Zr ) ≤ m thì

Mục đích của phần này là chỉ r về tính hữu hạn của hàm Hilbert đối v i

l p các đại số phân bậc chuẩn liên quan đến chỉ số chính quy Castelnuovo –

Mumford của những thành phần của l p đó

K t đây ch ng ta giả s R S/I trong đó S = k [x1, ,xr ] là một vành

đa thức trên trường k vô hạn có đặc số tuỳ ý Và I là một iđêan thuần nhất của

S Ta kí hiệu embdim (R) là chiều nh ng của R, có nghĩa là hR(1) Ta đã biết

hS/I(t) = hS/in(I)(t)  t ≥ 0,

trong đó in I kí hiệu là iđêan khởi đầu của I theo thứ tự nào đó Hơn nữa

ch ng ta có th nghiên cứu hàm Hilbert của vành thương theo iđêan khởi đầu Mặt khác, ta có kết quả cơ sở sau của Bayer và Stillman về dáng điệu của chỉ số chính quy khi bỏ qua iđêan khởi đầu

2.2.1 nh đ ( xem [2] ) Giả sử S/ là m t đại s phân bậc chu n Khi

đó

reg ( R) = reg( S/gin(I))

T ong đó gin(I) là iđ an khởi đầu tổng uát của theo th t t đi n ng ợc

Hơn nữa nó được quy ra t một kết quả của Bigatti và Hulett v i char k

và của ardue v i char k

Trong các iđêan v i hàm Hilbert giống nhau, iđêan đoạn t đi n có chỉ số chính quy l n nhất

Nh lại r ng iđêan đoạn t đi n ex I của I là một iđêan đơn thức sinh bởi

hI t đơn thức bậc t đầu tiên theo thứ tự t đi n Và iđêan khởi đầu tổng quát của I là iđêan đơn thức in( I v i  U trong đó là tập con mở Zarislei

2.2.2 nh đ (xem [3]) Giả sử S/ là m t đại s phân bậc chu n khi

đó

Reg (R) ≤ reg (S/Lex(I))

Và sau đây là một số khái niệm

Giả s  là l p của đại số phân bậc chuẩn Ta nói: