Chỉ số chính quy Castelnuovo - Mumford của môđun chính tắc và môđun khuyết

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN HUỲNH NGỌC TÚ CHỈ SỐ CHÍNH QUY CASTELNUOVO – MUMFORD CỦA MÔĐUN CHÍNH TẮC VÀ MÔĐUN KHUYẾT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN - 2014 1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN HUỲNH NGỌC TÚ CHỈ SỐ CHÍNH QUY CASTELNUOVO – MUMFORD CỦA MÔĐUN CHÍNH TẮC VÀ MÔĐUN KHUYẾT Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS. ĐÀO THỊ THANH HÀ NGHỆ AN - 2014 2 MỤC LỤC MỤC LỤC 1 MỞ ĐẦU 2 CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 5 1.1. Vành và môđun phân bậc 5 1.2. Độ dài môđun 7 1.3. Chiều Krull 9 1.4. Dãy chính qui 10 1.5. Iđêan nguyên tố liên kết 11 1.6. Môđun đối đồng điều địa phương 13 CHƯƠNG 2. CHỈ SỐ CHÍNH QUI CASTELNUOVO – MUMFORD CỦA MÔĐUN CHÍNH TẮC VÀ MÔĐUN KHUYẾT 15 2.1. Các khái niệm và tính chất cơ sở của chỉ số chính qui Castelnuovo–Mumford 15 2.2. So sánh chỉ số chính qui Castelnuovo-Mumford của môđun chính tắc và môđun khuyết với bậc đồng điều 18 KẾT LUẬN 26 TÀI LIỆU THAM KHẢO 27 3 MỞ ĐẦU Giả sử [ ] 1 , , n R k x x= là vành đa thức phân bậc chuẩn, và giả sử M là R môđun phân bậc hữu hạn sinh có chiều d. Môđun chính tắc ( ) ( ) ( ) , d n d R K M Ext M R n − = − của M được đưa ra bởi Grothendieck đóng một vai trò quan trọng trong Đại số giao hoán và Hình học Đại số (Xem, chẳng hạn [3]). Một câu hỏi tự nhiên đặt ra là có thể chặn trên cho chỉ số chính qui Castelnuovo-Mumford ( ) ( ) d reg K M của ( ) d K M theo các bất biến khác của M hay không. Bên cạnh môđun chính tắc, người ta cũng quan tâm đến môđun khuyết ( ) ( ) ( ) , , i n i R K M Ext M R n i d − = − < Các môđun này có thể xem là độ đo cho sự lệch của môđun M với tính chất Cohen-Macaulay. Hơn nữa, ngay cả trong trường hợp đơn giản hơn đó là mối quan hệ giữa ( ) ( ) d reg K M và ( ) ( ) i reg K M , i < d. Người ta có thể nói rằng chỉ số chính qui Castelnuovo-Mumford reg(M) điều khiển thành phần phân bậc dương của tất cả các môđun đối đồng điều địa phương ( ) i m H M của M, chúng triệt tiêu trên mức ( ) reg M . Mặc dù thành phần phân bậc âm ( ) i m H M không nhất thiết triệt tiêu nhưng hàm số ( ) ( ) i m j l H M sẽ trở thành đa thức với ( ) ( ) i j reg K M< − . Từ điều này ta có thể nói ( ) ( ) i reg K M kiểm soát dáng điệu của l(H i m (M) j ) ở các thành phần âm. Chú ý rằng trong các bài báo của M. Brodmann và một số nhà Toán học khác đã xét đến vấn đề khi nào ( ) ( ) i m j l H M trở thành đa thức (xem, chẳng hạn [2]). Trên thực tế, một kết quả của [2] sẽ đóng một vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu 4 các kết quả của [8]. Trong [8] đưa ra hai loại chăn trên cho ( ) ( ) i reg K M . Trong phần 2 ([8]) chứng minh rằng có thể dùng bậc đồng điều để chặn cho ( ) ( ) i reg K M . Bậc đồng điều đã được đưa ra bởi Vasconcelos [11] và người ta có thể dùng nó để chặn ( ) reg M (xem [4], Định lý 2.4). Đối với trường hợp vành có chặn đơn giản: ( ) ( ) degreg S h S< trong đó S là vành thương của R. Định lý 2.2.3 ([8]) nói rằng ( ) ( ) ( ) . deg i reg K M d h S≤ , với mọi i. Kết quả này bổ sung mối quan hệ giữa chỉ số chính qui Castelnuovo-Mumford và bậc đồng điều. Mục đích của luận văn là nghiên cứu và trình bày lại chi tiết các vấn đề trong bài báo [8] của Lê Tuấn Hoa và E. Hyry. Ngoài lời mở đầu, mục lục, tài liệu tham khảo và kết luận, luận văn sẽ được chia thành 2 chương. Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ sở cuả Đại số giao hoán có sử dụng trong luận văn như: Vành và môđun phân bậc, chiều, độ sâu của môđun, hàm và đa thức Hilbert, Chương 2. Chỉ số chính qui Castelnuovo-Mumford của môđun chính tắc và môđun khuyết 2.1. Các khái niệm và tính chất cơ sở của chỉ số chính qui Castelnuovo- Mumford. 2.2. So sánh chỉ số chính qui Castelnuovo-Mumford của môđun chính tắc và môđun khuyết với bậc đồng điều. Luận văn được hoàn thành với sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình của TS. Đào Thị Thanh Hà - Trường Đại học Vinh. Từ đáy lòng mình, em xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với sự quan tâm, động viên và sự hướng dẫn của cô. Em 5 xin trân trọng cảm ơn tới ban giám hiệu cùng quí Thầy Cô khoa Toán của Trường Đại Học Vinh đã tạo điều kiện để em hoàn thành luận văn này. Do đây là lần đầu tiên thực hiện công việc nghiên cứu, nên trong luận văn không tránh khỏi những thiếu sót, em rất mong được sự đóng góp ý kiến của các Thầy, Cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện. Đồng Tháp, ngày 09 tháng 09 năm 2014 Tác giả Nguyễn Huỳnh Ngọc Tú 6 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Vành và môđun phân bậc 1.1.1. Định nghĩa (i) Vành R được gọi là ¢ -phân bậc nếu i R R ∈ = ⊕ ¢ xét như nhóm cộng, và i j i j R R R + ⊆ , với mọi , i j ∈¢ . Hơn nữa, nếu 0 i R = với mọi 0i < thì gọi R là vành phân bậc dương hay ¥ -phân bậc. (ii) Môđun M trên vành ¥ -phân bậc ¡ được gọi là môđun ¢ -phân bậc nếu i i M M ∈ = ⊕ ¢ xét như nhóm cộng, và i j i j R M M + ⊆ , với mọi , i j ∈¢ (iii) Nếu M là môđun phân bậc trên vành phân bậc R , thì mọi phân tử x của i R (hoặc i M ) là phần tử thuần nhất bậc i. Kí hiệu ( ) deg x = i . Ta qui ước bậc của phần tử 0 là một số nguyên tuỳ ý. Như vậy, nếu , x Ma R∈ ∈ là các phần tử thuần nhất thì ( ) ( ) ( ) deg ax = deg a + deg x , hoặc 0ax = Từ định nghĩa ta suy ra 0 R là một vành con của R và mỗi thành phần phân bậc i M là 0 R -môđun. Nếu x M∈ và 1 ; i i j x x x x + = + + +L Với , ; , k k x M i k j i j∈ ≤ ≤ ∈¢ Thì k x (có thể 0 k x = ) được gọi là thành phần thuần nhất hoặc thành phần phân bậc k của x. Mỗi phần tử chỉ có một biểu diễn duy nhất thành tổng các thành phần phân bậc. Cho S là vành con của vành R (không nhất thiết phân bậc). Khi đó người ta gọi R là S -đại số. Nếu 1 , , n a a R∈K , kí hiệu [ ] 1 , , n S a aK là tập hợp các tổ hợp tuyến tính 7 trên S của các phần tử 1 1 , , n p p n a aK với ( ) 1 , , n n p p ∈K ¥ . Tập hợp này rõ ràng là vành con của R . Có thể xem nó như vành các đa thức, nhưng 1 , , n a aK ở đây không phải là các biến độc lập. Nếu tồn tại 1 , , n a a R∈K để [ ] 1 , , n R S a a= K thì R được gọi là S -đại số hữu hạn sinh. 1.1.2. Định nghĩa. Vành phân bậc dương 0i R R ≥ = ⊕ được gọi là vành phân bậc chuẩn trên 0 R nếu [ ] 0 1 R R R= . 1.1.3. Ví dụ. Xét vành đa thức n biến [ ] 1 , , n R k x x= K . Gọi R t là tập hợp các đa thức thuần nhất bậc t, khi đó 0 t t R R ≥ = ⊕ và tích của hai đa thức thuần nhất bậc t và s là đa thức thuần nhất bậc t + s. Do đó [ ] 1 , , n k x xK là vành phân bậc. Hơn nữa [ ] 1 , , n k x xK là vành phân bậc chuẩn vì [ ] 0 1 R R R= , ở đây 0 R k= , 1 R là tập hợp tất cả các đa thức thuần nhất bậc nhất. 1.1.4. Định nghĩa. Môđun con N M⊆ được gọi là môđun con thuần nhất, hay môđun con phân bậc nếu nó thoã mãn một trong ba điều kiện tương đương sau. (i) N sinh bởi các phần tử thuần nhất (ii) Với mỗi x N∈ , mọi thành phần thuần nhất của nó thuộc N. (iii) ( ) i i N N M ∈ = ⊕ ∩ ¢ . 1.1.5. Chú ý. Nếu I là iđêan thuần nhất của R, thì R I là vành phân bậc. Cũng vậy, nếu N M⊆ là môđun con thuần nhất, thì môđun thương M N là R-môđun phân bậc. 1.1.6. Ví dụ. (i) [ ] 1 , , n k x xK là vành phân bậc chuẩn, mọi iđêan đơn thức là iđêan thuần nhất, vì vậy chẳng hạn [ ] ( ) 2 5 , , , , z k x y z t x y x t là vành phân bậc chuẩn. 8 (ii) ( ) 4 3 3 4 2 2 , 4xx yz x yz y z y z− − + là iđêan thuần nhất của vành [ ] , ,k x y z . Khi đó [ ] ( ) 4 3 3 4 2 2 , , , 4x k x y z x yz x yz y z y z− − + là vành phân bậc chuẩn. 1.1.7. Ví dụ. Cho M là môđun phân bậc trên vành phân bậc R. Cho p∈¢ . Kí hiệu ( ) M p là môđun M nhưng với phân bậc ( ) p i i M p M + = . Khi đó ( ) M p cũng là môđun phân bậc trên R. Ta nói ( ) M p là môđun dịch chuyển của M với p là số dịch chuyển. 1.1.8. Định nghĩa. Cho M và N là hai môđun phân bậc trên vành phân bậc R. Đồng cấu môđun :f M N→ được gọi là đồng cấu thuần nhất (hay phân bậc) nếu với mọi i∈¢ ta có ( ) i i f M N⊆ . 1.1.9. Mệnh đề. (i) Nếu f là đồng cấu thuần nhất thì hạch (hạt nhân) Kerf và ảnh Imf của nó là các môđun con thuần nhất. (ii) Nếu có dãy khớp M N P→ → →K K Các môđun phân bậc với các đồng cấu phân bậc, thì ta cũng có dãy khớp sau với mọi i∈¢ i i i M N P→ → →K K 1.1.10. Định nghĩa. Một tập sinh của R-môđun phân bậc bao gồm các phần tử thuần nhất được gọi là tập sinh thuần nhất. Đối với iđêan thuần nhất cũng như môđun phân bậc, số phần tử sinh của mọi tập sinh thuần nhất tối tiểu nói chung là như nhau. Cụ thể ta có: 1.1.11. Định lý ( [ ] 1 , Định lý 6.5) Giả sử i 0 i R R ≥ = ⊕ với 0 R là vành chỉ có một iđêan cực đại duy nhất m và M là R-môdun phân bậc hữu hạn sinh. Khi đó mọi tập sinh thuần nhất tối tiểu của M có số phần tử như nhau. Nói riêng nếu 0 R k= là một trường số thì mọi tập sinh thuần nhất tối tiểu của M có số phần tử như nhau. 9 1.2. Độ dài môđun 1.2.1. Định nghĩa. Một R-môđun M khác môđun không được gọi là một môđun đơn, nếu M chỉ có đúng hai môđun con là môđun không và chính nó. 1.2.2. Định nghĩa. Một dãy hợp thành của R-môđun M là một dãy giảm gồm một số hữu hạn các R-môđun M { } 0 1 0 n M M M M= ⊃ ⊃ ⊃ =K Sao cho 1i i M M − là một môđun đơn, 1, , .i n= K Khi đó số n được gọi là độ dài của dãy hợp thành này. 1.2.3. Ví dụ. (i) Một không gian véc tơ có dãy hợp thành khi và chỉ khi nó có chiều dài hữu hạn. Một không gian véc tơ có dãy hợp thành với độ dài d khi và chỉ khi nó có chiều d. (ii) Vành số nguyên ¢ là một ¢ -môđun không có dãy hợp thành. 1.2.4. Định lý (Jordan-Holder). Nếu R-môđun M có một dãy hợp thành với độ dài n, thì tất cả các dãy hợp thành của M cũng có độ dài n. Hơn thế nữa, mỗi dãy tăng hoặc giảm thật sự các môđun con của M đều có độ dài không vượt quá độ dài của các dãy hợp thành, và đều có thể mở rộng thành một dãy hợp thành. Từ Định lý 1.2.4 ta có định nghĩa sau. 1.2.5. Định nghĩa. Độ dài của các dãy hợp thành tuỳ ý của R-môđun M được gọi là độ dài của môđun M và ký hiệu là ( ) R l M hoặc đơn giản là ( ) l M . Nếu R-môđun M không có dãy hợp thành thì ta qui ước độ dài ( ) R l M = ∞ và gọi nó là môđun có độ dài vô hạn. 1.2.6. Ví dụ. (i) Độ dài của một không gian véc tơ chính là số chiều của không gian véc tơ đó. (ii) ( ) 1l = ¤ ¤ (iii) ( ) 3 18 l = ¢ ¢ ¢ vì 18 ¢ ¢ có 3 dãy hợp thành là 10 [...]... n −1 n I 17 Chương 2 CHỈ SỐ CHÍNH QUI CASTELNUOVO- MUMFORD CỦA MÔĐUN CHÍNH TẮC VÀ MÔĐUN KHUYẾT 2.1 Các khái niệm và tính chất cơ sở của chỉ số chính qui Castelnuovo Mumford Trong suốt luận văn ta cho R = k [ x1 , , xn ] là vành đa thức phân bậc chuẩn, trong đó k là trường vô hạn, và cho m = ( x1 , , xn ) Với R -môđun phân bậc tuỳ ý N, đặt beg ( N ) = inf { i ∈ ¢ / [ N ] i ≠ 0} , và end ( N ) = sup {... (2) và từ H m ( M ) = 0 ∀i < d 2.2 So sánh chỉ số chính qui Castelnuovo- Mumford của môđun chính tắc và môđun khuyết với bậc đồng điều Từ đây trở về sau cho M là R -môđun phân bậc hữu hạn sinh chiều d Bậc đồng điều của R -môđun phân bậc M được đưa ra bởi Vasconcelos Nó được định nghĩa một cách đệ quy theo chiều như sau: 2.2.1 Định nghĩa ( [ 11] và [ 12] , Định nghĩa 9.4.1) Bậc đồng điều của M là số d... 20.20 và [ 8] , Bổ đề 2) 2.1.4 Bổ đề Cho x là phần tử M-lọc chính qui tuyến tính reg1 ( M ) ≤ reg ( M / xM ) ≤ regM 19 Cuối cùng chúng ta hãy nhớ lại khái niệm của chỉ số chính qui (của hàm Hilbert) Hàm Hilbert của M là hàm số hM ( t ) = dim k ( M t ) và đa thức Hilbert pM ( M ) của M là đa thức có bậc d - 1 sao cho hM ( t ) = pM ( t ) ∀t ? 0 trong đó d là số chiều của môđun M Hàm Hilbert hM ( n ) và. .. KẾT LUẬN Luận văn đã trình bày lại một số kết quả sau 1 Các khái niệm và tính chất cơ sở của chỉ số chính qui CastelnuovoMumford 2 So sánh chỉ số chính qui Castelnuovo- Mumford của môđun chính tắc và môđun khuyết với bậc đồng điều 29 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Lê Tuấn Hoa (2003), Đại số máy tính – Cơ sở Groebner, NXB ĐHQG Hà Nội Tiếng Anh [2] M Brodmann, C Matteotti and N D Minh (2003), Bounds... N ) = +∞ và end ( N ) = −∞ nếu N = 0.) 2.1.1 Định nghĩa Cho M là R -môđun hữu hạn sinh Số i reg ( M ) = max { i + end ( H m ( M ) ) / i ≥ 0} được gọi là chỉ số chính qui Castelnuovo Mumford của M Chú ý rằng nếu I ⊂ R là iđêan thuần nhất khác 0, thì ( I ) + 1 reg ( I ) = reg R Chúng ta cũng xét i reg1 ( M ) = max { i + end ( H m ( M ) ) / i ≥ 1} , đôi khi gọi là chỉ số chính qui Castelnuovo Mumford ở... là một dãy M -chính qui và t được gọi là độ dài của dãy trên Cho R là một vành địa phương và I ⊆ R là một iđêan Khi đó độ dài của hai dãy M -chính qui cực đại nằm trong iđêan I luôn như nhau Vì vậy ta có định nghĩa sau 1.4.3 Định nghĩa Cho ( R, m ) là vành địa phương Noether Khi đó độ dài của dãy chính qui cực đại trong m kí hiệu là depth ( m, M ) hay depth ( M ) và được gọi là độ sâu của môđun M 1.4.4... t ) - môđun 1.6 Môđun đối đồng điều địa phương Khái niệm đối đồng điều địa phương được đưa ra bởi Grothendieck Giả sử R là vành giao hoán địa phương Noether, I là iđêan của R và M là R -môđun Ta có 0: M I ⊆ 0: M I2 ⊆K ⊆ 0: M In ⊆K n Là dãy các môđun con lồng nhau của M nên n∪ ( 0 : M I ) cũng là môđun con của M ∈¥ và kí hiệu Γ I ( M ) 1.6.1 Định nghĩa Môđun Γ I ( M ) xác định ở trên được gọi là môđun. .. M ) = Ext R −i ( M , R ) ( −n ) d Môđun K ( M ) là môđun chính tắc của M Theo Schenzel ( [ 9] , phần 3.1) người ta i i gọi môđun K ( M ) , i < d , là môđun số khuyết của M Lưu ý rằng K ( M ) = 0 với i i < 0 và i > d Tất cả môđun K ( M ) là hữu hạn sinh và từ [ 9] , phần 3.1 ( xem Bổ đề 3.1.1 và trang 63) chúng ta có: dim K i ( M ) ≤ i, i < d , dim K d ( M ) = d , và depth ( K d ( M ) ) ≥ min { 2,dim... R được gọi là M -chính qui nếu M ≠ xM và x không là ước của 0 đối với M 13 (iii) Một dãy { x1 ,K , xt } các phần tử của R được gọi là dãy chính qui của M hay MM dãy nếu M ( x ,K , x ) M 1 ( x ,K , x ) M ≠0 t và xi không là ước của 0 của môđun ,∀i = 1,2,K t i −1 1 1.4.2 Định nghĩa Cho I ⊆ R là một iđêan Nếu { x1 ,K , xt } ∈ I và là dãy chính qui thì dãy { x1 ,K , xt } được gọi là dãy M -chính qui cực...  Lưu ý rằng ( a) h deg ( M ) ≥ deg ( M ) , và đẳng thức đúng khi và chỉ khi M là một môđun Cohen-Macaulay 0 0 (b) h deg ( M ) = h deg ( M / H m ( M ) ) + l ( H m ( M ) ) Cho gen ( M ) là bậc cực đại của các phần tử trong tập sinh thuần nhất tối tiểu của M Có nghĩa là gen ( M ) = end ( M / mM ) Bậc đồng điều cho chặn trên của chỉ số chính qui Castelnuovo- Mumford 21 2.2.2 Bổ đề ( [ 4] , Định lý 2.4) . văn như: Vành và môđun phân bậc, chiều, độ sâu của môđun, hàm và đa thức Hilbert, Chương 2. Chỉ số chính qui Castelnuovo- Mumford của môđun chính tắc và môđun khuyết 2.1. Các khái niệm và tính. Các khái niệm và tính chất cơ sở của chỉ số chính qui Castelnuovo- Mumford. 2.2. So sánh chỉ số chính qui Castelnuovo- Mumford của môđun chính tắc và môđun khuyết với bậc đồng điều. Luận văn. cấu nối. 16 Chương 2. CHỈ SỐ CHÍNH QUI CASTELNUOVO- MUMFORD CỦA MÔĐUN CHÍNH TẮC VÀ MÔĐUN KHUYẾT 2.1. Các khái niệm và tính chất cơ sở của chỉ số chính qui Castelnuovo Mumford Trong suốt luận