Chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford bậc lũy linh

m [...]... CH Sẩ CHNH QUY CASTELNUOVO-MUMFORD V BC LễY LINH Trong chữỡng ny, chúng tổi s tẳm hiu vã ch số chẵnh quy cừa mổun phƠn bêc liản kát theo bêc m rởng, bêc lụy linh V trẳnh by cĂc kát quÊ vã chn trản cho cĂc hằ số Hilbert 2.1 Chn trản cho ch số chẵnh quy Castelnuovo-Mumford cừa mổun phƠn bêc liản kát GiÊ sỷ M(R) l lợp cĂc R-mổun hỳu hÔn sinh Bêc m rởng trản M(R) ối vợi iảan I l mởt hm số D(I, ) trản... trữớng hủp c số cừa trữớng thng dữ cừa R bơng 0 31 KT LUN Luên vôn ny dỹa vo ti liảu tham khÊo [5] Chúng tổi  trẳnh by lÔi cĂc kát quÊ vã ch số chẵnh quy Castelnuovo-Mumford v bêc lụy linh Cử th chúng tổi  hon thnh ữủc nhỳng viằc sau Ơy 1 Trẳnh by mởt số kát quÊ vã chn trản cho ch số chẵnh quy CastelnuovoMumford cừa mổun phƠn bêc liản kát 2 Trẳnh by mởt số kát quÊ vã chn trản cho hằ số Hilbert... nhỳng số nguyản v e0(q, M ) > 0 Gồi a0 l hằ số cao nhĐt cừa a thực Pq,M (n) thẳ e0(q, M ) = a0d! 1.4.6 nh nghắa (i) Số tỹ nhiản e0(q, M ) trong khai trin (*) cừa Pq,M (n) ữủc gồi l số bởi cừa M ối vợi iảan tham số q c biằt khi q = m thẳ ta kẵ hiằu số bởi e(q, M ) = e0(q, M ) = e(M ) v gồi nõ l số bởi cừa mổun M (ii) ei(q, M ) ữủc gồi l cĂc hằ số Hilbert cừa M ối vợi I 1.4.7 Vẵ dử Số bởi... nghắa ch số chẵnh quy Castelnuovo-Mumford nhữ sau 2.1.3 nh nghắa Cho R = n0 Rn l mởt Ôi số phƠn bêc chuân hỳu hÔn sinh trản vnh giao hoĂn Noether R0 Ta kỵ hiằu R+ l iảan thuƯn nhĐt cỹc Ôi cừa R Náu M l mởt R-mổun phƠn bêc hỳu hÔn sinh, ta t i i max {n | HR (M )n = 0} náu HR (M ) = 0 ai(M ) = i náu HR (M ) = 0 i trong õ HR (M ) l ối ỗng iãu a phữỡng thự i cừa M vợi giĂ R+ Ch số chẵnh quy Castelnuovo-Mumford. .. R-mổun PhƯn tỷ a R ữủc gồi l phƯn tỷ lồc chẵnh quy cừa M náu 1.5.8 Chú ỵ (0 :M a) < (i) PhƯn tỷ x M l M -chẵnh quy khi v ch khi x p, p AssM (ii) Tỗn tÔi phƯn tỷ M -chẵnh quy khi v ch khi m AssRM (iii) a R l phƯn tỷ lồc chẵnh quy cừa M khi v ch khi a p, p AssM \ m (iv) Tứ (i) v (iii) ta thĐy mởt phƯn tỷ l phƯn tỷ chẵnh quy thẳ nõ l phƯn tỷ lồc chẵnh quy 1.6 Mổun Cohen-Macaulay, mổun Cohen-Macaulay... R1 Rn Ta cõ hm Hilbert-Samuel HR (t) = (k) + (R1 ) + + (Rt ) = 1 + số ỡn thực bêc 1 + + số ỡn thực bêc t 13 hay HR (n) = số = ỡn thực bêc n d+n n = (d + n)! n!d! (n + 1) (n + d) d! d n = + cĂc số hÔng d! = Ta lÔi cõ cổng thực HR (n) = e(R) d n + cĂc d! bêc thĐp hỡn số hÔng bêc thĐp hỡn Do õ e(R) = 1 1.5 DÂy chẵnh quy 1.5.1 nh nghắa Cho M l R-mổun (i) PhƯn tỷ x R, x = 0 ữủc gồi l ữợc... tỗn tÔi chn trản cho số mụ rút gồn cừa I theo n(I) cho vnh Cohen-Macaulay cõ c số l 0 Vasconcelos cụng ữa ra chn trản cho số mụ rút gồn cừa I theo e(I, R) v n(I) ối vợi vnh Cohen-Macaulay 2.2 Chn trản cho hằ số Hilbert Trong suốt phƯn ny, ta luổn giÊ thiát (R, m) l mởt vnh a phữỡng Noether v I l mởt iảan m-nguyản sỡ GiÊ sỷ M l mởt R-mổun hỳu hÔn sinh Ta cõ mởt chn trản cho số giÊ nh cừa M ối... chẵnh quy cừa M thẳ M/(x1, , xi)M cụng l mổun Cohen-Macaulay; (iii) Mp l mổun Cohen-Macaulay vợi mồi p SuppM 1.6.3 Hằ quÊ Mồi hằ tham số cừa mởt mổun Cohen-Macaulay ãu l dÂy chẵnh quy 1.6.4 Vẵ dử (i) Xt vnh a thực R = K[x1, , xn] hay cõ th xem R nhữ l R-mổun Ta cõ {x1, , xn} l mởt dÂy chẵnh quy cừa K[x1, , xn] Hỡn nỳa ta  biát dimK[x1, , xn] = n v depth M dimM Suy ra {x1, , xn} l dÂy chẵnh quy. .. PhƯn tỷ x R ữủc gồi l M -chẵnh quy náu M = xM v x khổng l ữợc cừa 0 ối vợi M (iii) Mởt dÂy {x1, , xt} cĂc phƯn tỷ cừa R ữủc gồi l dÂy chẵnh quy cừa M hay M -dÂy náu M/(x1 , , xt )M = 0 v xi khổng l ữợc cừa 0 cừa mổun M/(x1 , , xi1 )M, i = 1, 2, , t 1.5.2 nh nghắa Cho I R l mởt iảan Náu x1, , xt I v l dÂy chẵnh quy thẳ dÂy {x1, , xt} ữủc gồi l dÂy M -chẵnh quy cỹc Ôi náu khổng tỗn tÔi y... (ii) thẳ M khổng cõ phƯn tỷ chẵnh quy Suy ra depthM = 0 Mt khĂc ta cõ dimM = max{dimR/p | p AssM } = 2 Vẳ vêy M khổng 16 phÊi l mổun Cohen-Macaulay Cho (R, m) l vnh a phữỡng Noether M l R-mổun hỳu hÔn sinh vợi dimM = d Gồi x = (x1, , xd) l mởt hằ tham số cừa M , q = xR = (x1 , , xd )R l mởt iảan tham số cừa M Ta luổn cõ e0 (x, M ) = e(q, M ) (M/qM ) Xt hiằu số IM (q) = (M/qM ) e(q, M ) 0 t