chỉ số chính quy CastelnuovoMumford

Bộ Giáo Dục Và Đào Tạo Đại Học Huế Trờng Đại Học S Phạm đậu văn lơng chặn segre cho số quy vành tọa độ xác định n+2 điểm béo không suy biến không gian xạ ảnh Pn Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 60 46 05 Luận văn thạc sÜ to¸n häc ng−êi h−íng dÉn khoa häc ts phan văn thiện Huế, năm 2007 i lời cam đoan Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu riêng tôi, số liệu kết nghiên cứu nêu luận văn trung thực, đợc đồng tác giả cho phép sử dụng cha đợc công bố công trình khác Đậu Văn Lơng ii lời cảm ơn Luận văn đợc hoàn thành dới hớng dẫn tận tình, nghiêm túc thầy giáo TS Phan Văn Thiện Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc thầy, ngời tận tình dẫn động viên thời gian học môn, đặc biệt trình làm luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn giúp đỡ mặt Ban giám hiệu cán phòng Quản lý Khoa học - §èi ngo¹i Tr−êng §¹i häc S− Ph¹m HuÕ, Ban l·nh đạo Khoa Toán quý thầy cô tận tình giảng dạy giúp đỡ suốt thời gian học tập hoàn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Lãnh đạo Sở Giáo dục Đào tạo tỉnh Đăk Nông, Ban Giám hiệu thầy cô tổ Toán, Trờng PTTH Chu Văn An Gia Nghĩa - Đăk Nông, tạo điều kiện thuận lợi cho hoàn thành khóa học Cuối cùng, xin chân thành cản ơn ngời thân, bạn bè bạn học viên cao học lớp Toán khóa XIV động viên, giúp đỡ thời gian học tập vừa qua Huế, tháng 11 năm 2007 Tác giả luận văn Đậu Văn Lơng iii mục lục Trang phụ bìa i Lời cam đoan ii Lời cảm ơn iii Mục lục Lời mở đầu Chơng Kiến thức liên quan 1.1 Đa tạp xạ ảnh 1.1.1 Vµnh ph©n bËc 1.1.2 Kh«ng gian t«p« Zariski 1.1.3 Đa tạp xạ ¶nh Hàm Hilbert đa thức Hilbert môđun phân bậc hữu hạn sinh 1.2.1 Môđun phân bậc 1.2.2 Hµm Hilbert 1.2.3 §a thøc Hilbert 12 1.2 1.3 Chỉ số quy Castelnuovo-Mumford môđun phân bậc hữu hạn sinh 13 1.3.1 Môđun xoắn-Hàm tử xoắn 13 1.3.2 Đối đồng điều 17 1.3.3 §ång lu©n 21 1.3.4 PhÐp gi¶i néi x¹ 21 1.3.5 Hàm tử đối đồng điều địa phơng 23 1.3.6 ChØ sè chÝnh quy Castelnuovo-Mumford 26 Ch−¬ng Chặn Segre cho số quy vành tọa độ xác định n + điểm béo không suy biến 2.1 28 Hàm Hilbert, số quy vành tọa độ xác định tập điểm 28 2.1.1 Vành tọa độ xác định tËp ®iĨm bÐo 2.1.2 Hµm Hilbert, số quy vành tọa độ xác ®Þnh bëi mét tËp ®iĨm bÐo 2.2 28 29 Chặn Segre cho số quy vành tọa độ xác định n + điểm béo không suy biÕn Pn 30 2.2.1 Một số Bổ đề liên quan 31 2.2.2 Chặn Segre cho số quy vành tọa độ xác định n + điểm béo không suy biÕn Pn 32 KÕt ln 36 Tµi liƯu tham khảo 37 Lời mở đầu Chỉ số quy Castelnuovo-Mumford vành tọa độ xác định tập điểm béo không gian xạ ảnh Pn có ứng dụng quan trọng, chẳng hạn giúp đánh giá độ phức tạp tính toán đại số máy tính Vấn đề đợc nhiều nhà làm toán quan tâm Trong nhiều năm qua có nhiều công trình khoa học nghiên cứu vấn đề này, nh công trình Ngô Việt Trung, G Valla, A Hirschowitz, Vào năm 1996 Ngô Việt Trung đa dự đoán chặn cho số quy vành tọa độ xác định tập điểm béo không gian xạ ảnh Pn Công thức đợc chứng minh trờng hợp n = n = 3, báo [7] [10], [11] n = cho trờng hợp tập điểm kép [12], gần B Benedetti, G Fatabbi A Lorenzini chứng minh kết chặn cho số quy vành tọa độ xác định n + điểm béo không suy biến không gian xạ ảnh Pn , nhng chứng minh dùng công cụ Hình học đại số, chứng minh dài Với đề tài "Chặn Segre cho số quy vành tọa độ xác định n + điểm béo không suy biến không gian xạ ảnh Pn " Chúng chứng minh lại kết phơng pháp khác dùng công cụ đơn giản hơn, dùng đại số tuyến tính Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn đợc chia làm hai chơng Chơng 1, trình bày số khái niệm, tính chất hàm tử đối đồng điều địa phơng, đa tạp xạ ảnh, hàm Hilbert - ®a thøc Hilbert, chØ sè chÝnh quy Castelnuovo-Mumford cđa môđun phân bậc hữu hạn sinh Chơng 2, trình bày số quy vành tọa độ xác định tập điểm béo Sau chứng minh chặn cho số quy vành tọa độ xác định n + điểm béo không suy biến không gian xạ ảnh Pn cách dùng Đại số tuyến tính, kết luận văn Vì thời gian khả thân có hạn nên luận văn tránh khỏi sai sót, mong nhận đợc góp ý quý thầy cô bạn đọc để luận văn đợc hoàn thiện Huế, tháng 11 năm 2007 Tác giả Chơng kiến thức liên quan Trong chơng trình bày số khái niệm, tính chất đa tạp đại số, hàm Hilbert, số quy Castelnuovo-Mumford môđun phân bậc hữu hạn sinh Các kiến nằm chơng đợc trích dẫn [2], [3], [4], [8], [9] 1.1 Đa tạp xạ ảnh 1.1.1 Vành phân bậc Định nghĩa 1.1.1 [8, tr.9] Vành S đợc gọi vành phân bậc S = Sd d0 tổng trực tiếp nhóm aben Sd cho víi bÊt kú d, e ≥ th× Sd Se Sd+e Mỗi phần tử s Sd gọi phần tử bậc d Nhận xét: Vành đa thức R = K[x0 , , xn ] vành phân bậc R = Rd d≥0 Rd = αv1 xv11 xvnn , αv1 ∈ K f ∈R f = v1 +···+vn =d Từ đến hết luận văn ký hiƯu R = K[x0 , , xn ] lµ vµnh ®a thøc theo c¸c biÕn x0 , , xn , với hệ tử trờng đóng đại số K Định nghĩa 1.1.2 [8, tr.32] Một iđêan a vành phân bậc S đợc gọi đợc sinh phần tử Định lý 1.1.3 [8, tr.32] Cho iđêan I vành phân bậc G, điều kiện sau tơng đơng a) I b) Bất kỳ a I thành phần ak a thuộc I(k Z) c) G/I vành phân bậc Với phân bậc {(G/I)k }kZ , (G/I)k := Gk + I/I Cho f R đa thức nhất, ta định nghĩa hàm nh sau f : PnK −→ {0, 1} P −→ f (P ) =    0 nÕu f (a0 , , an ) =   1 nÕu f (a0 , , an ) = Định nghĩa 1.1.4 [8] Cho f R đa thức nhất, tập Z(f ) = {P PnK | f (P ) = 0} đợc gọi tập không điểm f Định nghĩa 1.1.5 [8] Cho T tập phần tử bÊt kú cđa R, ®ã tËp Z(T ) = {P ∈ PnK | f (P ) = 0, ∀f T } đợc gọi tập không điểm T Nhận xét: Nếu I iđêan R sinh bëi T th× Z(I) = Z(T ), R vành nơte nên iđêan I R có hữu hạn phần tử f1 , , fk ∈ I cho Z(I) = Z(f1 , , fk ) Định nghĩa 1.1.6 Một tập Y PnK đợc gọi tập đại số tồn tập T gồm phÇn tư thn nhÊt cđa R cho Y = Z(T ) Mệnh đề 1.1.7 [8, tr.19] Hợp hai tập đại số tập đại số Giao họ tập đại số tập đại số Tập PnK tập đại số 1.1.2 Không gian tôpô Zariski Định nghĩa 1.1.8 Tôpô Zariski PnK tôpô xác định tập mở phần bù tập đại số Định nghĩa 1.1.9 Một tập khác rỗng Y không gian tôpô X đợc gọi bất khả quy biểu diễn thành Y = Y1 Y2 Y1 , Y2 tập thực đóng Y 1.1.3 Đa tạp xạ ảnh Định nghĩa 1.1.10 [8, tr.10] Một tập đại số xạ ảnh bất khả quy PnK đợc gọi đa tạp xạ ảnh Định nghĩa 1.1.11 [9] Cho kh«ng gian t«p« X = ∅, chiỊu Krull X (kí hiệu: dim X ) cận số nguyên n cho tồn dây chuyÒn X0 ⊂ X1 ⊂ · · · ⊂ Xn , (Xi = Xi+1 ) tập đóng bất khả quy Xi X Định nghĩa 1.1.12 Cho Y lµ mét tËp bÊt kú cđa Pn Ký hiÖu I(Y ) := {f ∈ R | f đa thức f (P ) = 0, P Y } đợc gọi iđêan Y R Định nghĩa 1.1.13 [8, tr.10] Cho Y tập đại số, A(Y ) := R/I(Y ) đợc gọi vành tọa độ thn nhÊt cđa Y i ) víi (IM iN Bmôđun nội xạ Nh vậy, với Bmôđun M ta chọn đợc phép giải nội xạ tơng ứng , d ); a) Và gọi Cách chọn phép giải nội xạ Bmôđun I = ((IM M Với Bmôđun bất kỳ, đặt BiI (F (M )) = H i (F (IM ), F (d•M )), i ∈ N∗ Khi ®ã, ta cã ®èi phøc F (d0M ) F (d1M ) F (d2M ) −→ F (IM ) −→ F (IM ) −→ F (IM ) −→ F (IM ) ã ã ã phạm trù B môđun B môđun thơng i1 BiI (F (M )) = ker(F (diM ))/ Im(F (dM )) Cho h : M N đồng cấu Bmôđun, theo Mệnh đề 1.3.20 h , d ) (I , d ) Hơn thế, theo Hệ có lời giải phải Kí hiệu h : (IM M N N 1.3.22 đồng cấu H i (F (h• )) : H i (F (IM ), F (d•M )) −→ H i (F (IN ), F (dN )) nh lời giải phải h h Ta xác định BiI (F (h)) : BiI∗ (F (M )) −→ BiI∗ (F (N )) i−1 i ker(F (diM ))/ Im(F (di−1 M )) −→ ker(F (dN ))/ Im(F (dN )) i−1 m + Im(F (dM )) −→ hi (m) + Im(F (di−1 N )) víi mäi m ∈ ker(F (diM )) MƯnh ®Ị 1.3.25 [3, tr.24] T−¬ng øng BiI∗ F = BiI∗ F (•) h : (M −→ N ) BiI∗ F (h) i (BI∗ F (M ) −→ BiI∗ F (N )) M −→ BiI∗ F (M ) lµ mét hµm tử tuyến tính hiệp biến từ phạm trù Bmôđun đến phạm trù B môđun 24 Định nghĩa 1.3.26 Hàm tử BiI F = BiI F () đợc gọi hàm tử dẫn xuất phải thứ i hàm tử F theo cách chọn phép giải nội xạ I , d ); b) B môđun Cố Bây ta chọn phép giải nội xạ thứ hai JM = ((JM M • , d• ) −→ (J • , e ) lời giải phải id định Bmôđun M cho k : (IM M M M M Khi ta có đẳng cấu B môđun H i (F (k )) : H i (F (IM ), F (d•M )) −→ H i (F (JM ), F (eM )) Cố định i N , đẳng cấu H i (F (k )) nh với lời giải phải , d ) (J , e ) xác định đẳng cấu B môđun k • : (IM M M M H i (F (k • )) : BiI∗ F (M ) −→ BiJ∗ F (M ) i,M i Đặt i,M I ,J = H (F (k )), đẳng cấu I ,J chØ phơ thc vµo M, I∗ vµ J∗ NÕu h : M N đồng cấu B môđun, ta cã i,M i i εi,N I∗ ,J∗ ◦ BI∗ F (h) = BJ∗ F (h) ◦ εI∗ ,J∗ nghÜa sơ đồ sau giao hoán i,M I ,J BiI∗ F (M ) −−∗−→ BiJ∗ F (M )     i i BJ∗ F (h) BI∗ F (h) BiI∗ F (N ) −−−→ BiJ∗ F (N ) i,N I ,J Định nghĩa 1.3.27 [2] Hàm tử Bi F = BiI F đợc gọi hàm tử dẫn xuất phải thứ i hàm tử F Định nghĩa 1.3.28 [2] Cho a B iđêan, i N Hàm tử đối đồng điều địa phơng thứ i, Hai = Hai () hàm tử dẫn xuất hàm tử axoắn Tức Hai () = Bi a (), i N Định nghĩa 1.3.29 Chọn phép giải nội xạ ((I , d ); a) Bmôđun M Khi ta có dãy khớp đồng cấu Bmôđun (I i )iN Bmôđun nội xạ a d0 d1 d2 −→ M −→ IM −→ IM −→ IM −→ IM −→ · · · 25 ®ã ta cã ®èi phøc d0 d1 d2 −→ · · · −→ IM −→ IM IM IM Khi đó, ta thu đợc đối phøc (Γa (I • ); Γa (d• )) Γa (d0 ) Γa (d1 ) Γa (d2 ) −→ Γa (I ) −→ Γa (I ) −→ Γa (I ) −→ Γa (I ) −→ · ã ã áp dụng đối đồng điều địa phơng thứ i cho đối phức (a (I ), a (d )) ta thu đợc Hai (M ) = H i (Γa (I • ), Γa (d• )) = ker(Γa (di ))/ Im(a (di1 )) Môđun Hai (M ) đợc gọi môđun đối đồng điều địa phơng thứ i Bmôđun M theo iđêan a Chúng ta xét vành nơte R = K[x0 , x1 , , xn ], víi K trờng đóng đại số, ta có Rd vành phân bậc R = K[x0 , x1 , , xn ] = d0 Đặt m = Ri iđêan cực đại R i>0 Cho M Rmôđun phân bậc hữu hạn sinh Chọn phép giải nội xạ ((I , d ); a) Rmôđun M , ®ã d·y d0 a d1 d2 −→ M −→ I −→ I −→ I −→ I −→ · · · lµ d·y khớp Rđồng cấu Nên với đối phức d0 d1 d2 −→ I −→ I −→ I −→ I −→ · · · ta thu đợc đối phức (m (I ), m (d )) Γm (d0 ) Γm (d1 ) Γm (d2 ) −→ Γm (I ) −→ Γm (I ) −→ Γm (I ) −→ Γm (I ) −→ · · · Khi ®ã i (M ) = ker(m (di ))/ Im(m (di1 )) Hm môđun đối đồng điều địa phơng thứ i Rmôđun M theo iđêan m 26 1.3.6 Chỉ số quy Castelnuovo-Mumford Cho M Rmôđun phân bậc hữu hạn sinh, với i Z+ , tồn i (M ) = 0, ∀t ≥ r, [2, tr.279] r ∈ Z, cho Hm t Đặt (M ) =    i (M ) = 0}, max{t | Hm t nÕu Hmi (M ) =   , Hmi (M ) = Định nghĩa 1.3.30 [2, tr.288] Sè reg(M ) := max{ai (M ) + i | i 0} đợc gọi số quy Castelnuovo-Mumford Rmôđun M Giữa hàm Hilbert HM (t), đa thức Hilbert PM (t) môđun đối đồng điều địa phơng Hmi (M ) có mối liên hệ sau: Định lý 1.3.31 [4, tr.175] d i (1)i dimK Hm (M )t , ∀t ∈ Z HM (t) PM (t) = i=0 27 Chơng chặn segre cho số quy vành tọa độ xác định n + điểm béo không suy biÕn 2.1 Hµm Hilbert, chØ sè chÝnh quy cđa vµnh tọa độ xác định tập điểm Trong chơng kí hiệu Pn := PnK không gian xạ ảnh nchiều trờng đóng đại số K Các khái niệm tính chất phần chóng t«i trÝch dÉn [5], [6], [10], [11] 2.1.1 Vành tọa độ xác định tập điểm béo §Þnh nghÜa 2.1.1 Cho X = {P1 , , Pn+2 } n + điểm không gian xạ ảnh Pn X đợc gọi không suy biến chúng không nằm (n 1)phẳng Định nghĩa 2.1.2 TËp ®iĨm X = {P1 , , Pr } Pn đợc gọi vị trí tổng quát t + điểm chúng nằm tphẳng, với 28 t < n Định nghĩa 2.1.3 Cho X = {P1 , , Ps } tập hợp điểm phân biệt Pn , , s iđêan nguyên tố R xác định tơng ứng điểm s P1 , , Ps Cho m1 , , ms số nguyên dơng Đặt I = ℘1m1 ∩ ∩ ℘m s Khi ®ã tËp X với iđêan I đợc gọi tập điểm bÐo Pn , kÝ hiƯu lµ Z = {(P1 , m1 ), , (Ps , ms )} Định nghĩa 2.1.4 Vành A := R/I đợc gọi vành tọa độ Z 2.1.2 Hàm Hilbert, số quy vành tọa độ xác định tập điểm béo Do R vành phân bậc nên theo Bổ đề 1.2.2 A = R/I vành phân bậc A = At t0 Định nghÜa 2.1.5 [2] Cho X = {P1 , , Ps } tập điểm phân biệt Pn m1 , , ms số nguyên dơng Hàm Hilbert cđa tËp ®iĨm bÐo Z = {(P1 , m1 ), , (Ps , ms )} lµ hµm Hilbert cđa vµnh tọa độ Kí hiệu HA (t) := dimK At ChØ sè chÝnh quy cđa hµm Hilbert HA (t) lµ δ(A) = min{r ∈ Z | HA (t) = PA (t)} Vì A vành Cohen-Maccaulay có chiều (chiều Krull) nên đa thức Hilbert A có bậc không nên đa thức h»ng vµ PA (x) = e(A) lµ sè béi cđa vành A Hơn nữa, A vành Cohen-Maccaulay có chiều nên Hm0 (A) = Theo Định lý 1.3.31, ta cã HA (t) − e(A) = − dimK Hm (A)t 29 Suy δ(A) = min{t | Hm (A)t = 0} (2.1) Mặt khác reg(A) = max{ai (A) + i | i = 0, 1} (2.2) = a1 (A) + 1 = max{t | Hm (A)t = 0} + Tõ (2.1) vµ (2.2), suy δ(A) = reg(A) VËy chØ sè chÝnh quy cđa hµm Hilbert vµ chØ sè chÝnh quy Castelnuovo-Mumford cđa vành A nh 2.2 Chặn Segre cho số quy vành tọa độ xác định n + điểm béo không suy biến Pn ViƯc tÝnh chÝnh x¸c chØ sè chÝnh quy cđa vành tọa độ xác định tập điểm béo khó, vậy, ngời ta cố gắng tìm chặn tốt cho Một số kết chặn tốt đến chứng minh đợc cho tập điểm có tính chất đặc biệt Gần đây, B Benedetti, G Fatabbi A Lorenzini [1] chứng minh đợc kết quả: Định lý 2.2.1 [1, Định lý 4.8] Cho X = {P1 , , Pn+2 } n + điểm không suy biến Pn , m1 , , mn+2 số nguyên dơng, Z = {(P1 , m1 ), , (Pn+2 , mn+2 )} Đặt hZ (i) = max ( mij ) + i − i Pij ∈ Λi với i iphẳng Và hZ = max{hZ (i)|i = 1, , n} 30 Khi ®ã reg(Z) ≤ hZ Để chứng minh Định lý G Fatabbi, A Lorenzini B Benedetti sử dụng kiến thức Đại số giao hoán Hình học đại số, chứng minh dài Chúng chứng minh lại kết ngắn gọn dùng công cụ đơn giản (dùng đại số tuyến tính), kết luận văn 2.2.1 Một số Bổ đề liên quan để chứng minh định lý 2.2.5 cần sử dụng bổ đề sau Bổ đề 2.2.2 [5, tr.719] Cho P1 , , Pr , P điểm phân biệt vị trí tổng quát mr PnK , cho m1 ≥ m2 ≥ · · ã mr số nguyên dơng, cho J = ℘1m1 ∩℘m ∩· · ·∩℘r NÕu t số nguyên cho nt mi t m1 , tồn t siêu phẳng, L1 , , Lt tr¸nh P cho L1 Lt ∈ J Bỉ ®Ị 2.2.3 [5, tr.718] Cho P1 , , Pr , P điểm phân biệt Pn , vµ m1 , , mr , a số nguyên dơng Gọi , r , iđêan nguyên tố xác định a mr bëi P1 , , Pr , P tơng ứng Đặt J = m r I = J reg(R/I) = max{a − 1, reg(R/J), reg(R/(J + ℘a ))} Bỉ ®Ị 2.2.4 [5, tr.719] Cho P1 , , Pr , P điểm phân biệt Pn , m1 , , mr , a số nguyên dơng Gọi , r , iđêan nguyên tố xác định mr P1 , , Pr , P tơng ứng Giả sử = x1 , , xn , đặt J = m ∩ ∩ ℘r Khi ®ã reg(R/(J + ℘a )) b i+1 với đơn thức M bậc i theo c¸c biÕn x , , x , nÕu vµ chØ nÕu xb−i n M ∈ J +℘ víi i = 0, , a − NhËn xét: Nếu có t siêu phẳng L1 , , Lt tránh P cho L1 Lt M J reg(R/(J + ℘a )) ≤ t + i ThËt vËy, siêu phẳng L1 , , Lt tránh P nªn víi 31 i = 1, , t ta cã thĨ viÕt Li = x0 + Gi ®ã Gi ∈ ℘ Khi ®ã ta cã (x0 + G1 ) · · · (x0 + Gt )M ∈ J ⇒xt0 M + GM ∈ J ( víi G ∈ ℘) ⇒xt0 M ∈ J + ℘i+1 (do G ∈ ℘ M = xc11 xcnn i ) 2.2.2 Chặn Segre cho số quy vành tọa độ xác định n + điểm béo không suy biến Pn để chứng minh định lý 2.2.1, chứng minh định lý sau mà định lý 2.2.1 j = n Định lý 2.2.5 Cho X = {P1 , , Pj+2 } lµ j + điểm Pn cho chúng không nằm (j 1)phẳng, j n Cho m1 , , mj+2 số nguyên dơng đặt Z = {(P1 , m1 ), , (Pj+2 , mj+2 )}, A vành tọa độ Z Khi ®ã reg(A) ≤ T, ®ã T = max{Tj | j = 1, , n} Tj := max j = 1, , n, mH = (mH + j 2) H jphẳng j mi Pi H Chứng minh Gọi , , j+2 iđêan nguyên tố xác định P1 , , Pj+2 tơng ứng Ta chứng minh quy nạp sè ®iĨm cđa tËp X 32 NÕu X n»m vị trí tổng quát Pn , M.V Catalisano, N.V Trung G Valla [5] chứng minh: reg(R/I) T Nếu X không nằm vị trí tổng quát Pn , suy X nằm j−ph¼ng Víi j = XÐt tËp X = {P1 , P2 , P3 } Vì X không nằm vị trí tổng quát nên P1 , P2 , P3 thẳng hàng, ta có ([6]) reg(A) = m1 + m2 + m3 = T1 T Vậy định lý với j = Giả sử định lý với tập có số điểm nhỏ j + đặt m m j+1 j+2 J = ℘m ∩ · · · ∩ ℘j+1 , I = J ∩ ℘j+2 Ta xÐt hai trờng hợp sau: Trờng hợp 1: Không có (j 1)phẳng qua j + điểm X Theo Bỉ ®Ị 2.2.3, ta cã m j+2 reg(R/I) = max{mj+2 − 1, reg(R/J), reg(R/(J + ℘j+2 ))} Do tập X nằm jphẳng Pn nên mặt hình học ta xem X nằm Pj Cã thĨ gi¶ sư r»ng m1 ≥ m2 ≥ · · · ≥ mj+2 Chän Pj+2 = (1 : : · · · : 0) vµ P1 = (0 : : · · · : 0), , Pj = (0 : · · · : : : · · · : 0) Suy ℘j+2 = x1 , , xn j+1 Víi đơn thức M = x1c1 xcnn , c1 + · · · + cn = i, i = 1, , mj+2 đặt j+1 l=1 t = max m1 , ml + j − j víi ml = ml − i + cl , l = 1, , j + Theo Bỉ ®Ị 2.2.2, ta chọn đợc t (j 1)phẳng L1 , , Lt tránh Pj+2 Pl , l = 1, , j , cã ml (j − 1)−ph¼ng {L1 , , Lt } qua Vì có t siêu phẳng H1 , , Ht tránh Pj+2 thỏa H1 Ht M J Nên theo Bổ đề 2.2.4, m j+2 reg(R/(J + ℘j+2 )) ≤ t + i ≤ T 33 Ta cã, mj+2 − ≤ T1 T Mặt khác tập Y = {P1 , , Pj+1 } nằm vị trí tổng quát Pn nªn theo [5], ta cã reg(R/J) ≤ T VËy reg(R/I) ≤ T Tr−êng hỵp 2: Cã j + điểm X nằm (j 1)phẳng K2 , ta giả sử Pj+2 không thuộc K2 Theo Bổ đề 2.2.3, m j+2 ))} reg(R/I) = max{mj+2 − 1, reg(R/J), reg(R/(J + ℘j+2 Ta cã mj+2 − ≤ T1 ≤ T XÐt tËp W = {P1 , , Pj+1 } n»m trªn (j − 1)phẳng K2 Do X không nằm (j 1)phẳng nên Y không nằm (j 2)phẳng Theo giả thiết quy nạp, reg(R/J) T với T := max{Ti } Ti := max (mK2 + i 2) K2 iphẳng , i = 1, , n i mi DÔ thÊy r»ng T ≤ T m K2 = Pi ∈K2 mj+2 )) ≤ T Bây ta phải chứng minh reg(R/(J + j+2 Chän Pj+2 = (1 : : · · · : 0) Khi ®ã ℘j+2 = x1 , , xn Đặt k2 = max{m1 , , mj+1 } Gọi N siêu phẳng chứa K2 tránh Pj+2 Ta cã m j+1 N k2 ∈ ℘1m1 ∩ · · · ∩ ℘j+1 Suy m j+1 N k2 M ∈ ℘ m ∩ · · ã j+1 = J, với đơn thức M bËc i theo c¸c biÕn x1 , , xn , i = 1, , mj+2 − Theo Bỉ ®Ị 2.2.4, ta cã m j+2 reg(R/(J + ℘j+2 )) ≤ k2 + i ≤ k2 + mj+2 − ≤ T1 T 34 định lý đợc chứng minh 35 kết luận Trong luận văn trình bày số khái niệm chứng minh lại số tính chất đa tạp đại số, hàm Hilbert, số quy Castelnuovo Mumford môđun phân bậc hữu hạn sinh, hàm tử môđun đối đồng điều địa phơng, số quy vành tọa độ xác định tập điểm béo Kết luận văn chứng minh lại kết "chặn Segre cho số quy vành tọa độ xác định n + điểm béo không suy biến không gian xạ ảnh Pn " cách ngắn gọn, dùng công cụ đơn giản cách chứng minh B Benedetti, G Fatabbi A Lorenzini, kết đợc thể định lý 2.2.5 định lý mà B Benedetti, G Fatabbi A Lorenzini trờng hợp đặc biệt dự đoán chặn cho tập s điểm béo tùy ý Pn N.V Trung đa Đến vấn đề toán mở Trong trình làm luận văn cố gắng thử sức chứng minh dự đoán N.V Trung nhng cha thu đợc kết quả, kính mong thầy cô bạn góp ý, thảo luận để đề tài đợc hoàn chỉnh Một lần xin chân thành cảm ơn TS Phan Văn Thiện tận tình hớng dẫn hoàn thành luận văn 36 tài liệu tham kh¶o [1] B Benedetti, G Fatabbi, A Lorenzini, "Genericity of Segre's bound and the case of n + fat points of Pn " (Preprint, Submit to Amer Math Algebra) [2] M.P Brodmann, R.Y.Sharp (1998), Local Cohomology: an algebraic introduc- tion with geometric applications, University Press [3] M.P Brodmann (1999), Lectures on local chomology, Autumn scholl, Univer- sity of Quinhon [4] W Bruns, J.Herzog (1998), Cohen - Macaulay rings, Cambridge University Press [5] M.V Catalisano, N.V Trung, G.Valla (1993), "Sharp bound for the regularity index of fat points in general position", Amer Math Algebra, (118), 717-724 [6] E Davis, A.V Geramita (1984), "The Hilbert funtion of a special class of 1- dimensional Cohen-Macaulay graded algebras", The Curves Seminar at Queen's, Vol.III, Queen's Papers in Pure and Appl Math, (67), 1H-29H [7] G Fatabbi, A Lorenzini (2001) "On a sharp bound for the regularity index of any set of fat points" , Journal of Pure and Applied Algebra, (161), 91-111 [8] R Hartshorne (1977), Algebraic Geometry, Springer-Varlag [9] E Kunz (1985), Introduction to Commutative Algebra and Algebra Geometry, Springer-Varlag [10] P.V Thien (1999), "On segre for the regularity index of fat paints in P2 ", Acta Vietnamica (24), 75-81 [11] P.V Thien (2000), "Segre bound for the regularity index of fat points in P3 ", J.Pure and Appl Algebra , (151), 197-214 [12] P.V Thien (2002), "Sharp upper bound for the regular of zero-schemes of double points in P4 ", communications in Algebra, (12), 5825-5847 37 [13] N.V Trung, G Valla (1995), "Upper bounds for the regularity index of fat points with uniform position property", J Algebra, (176), 182-209 38