TẠP CHÍ KHOA HỌC, Đại học Huế, Số 53, 2009 CHỈ SỐ CHÍNH QUI CỦA s ĐIỂM BÉO Ở VỊ TRÍ TỔNG QUÁT TRONG P n , s ≤ n + 2 Phan Văn Thiện Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế TÓM TẮT Chúng tôi sẽ chỉ ra công thức tính chỉ số chính qui của tập s điểm béo ở vị trí tổng quát trong P n , s ≤ n + 2, công thức này mở rộng kết quả của M.V. Catalissano, N.V. Trung và G. Valla [2] về chỉ số chính qui của tập điểm béo ở vị trí tổng quát. Sau đó chúng tôi sẽ chỉ ra công thức tính chỉ số chính qui của tập s điểm béo tùy ý trong P n , s ≤ 4. 1 Giới thiệu Cho P 1 , . . . , P s là các điểm phân biệt trong không gian xạ ảnh n-chiều P n := P n k , với k là trường đóng đại số. Cho ℘ 1 , . . . , ℘ s là các iđêan nguyên tố thuần nhất trong vành đa thức R := k[X 0 , . . . , X n ] được xác định bởi các điểm P 1 , . . . , P s tương ứng. Cho m 1 , . . . , m s là các số nguyên dương. Lược đồ chiều không Z := m 1 P 1 + · · · + m s P s được xác định bởi iđêan ℘ m 1 1 ∩ · · · ∩ ℘ m s s được gọi là s điểm béo trong P n . Vành toạ độ thuần nhất của tập điểm béo m 1 P 1 + · · · + m s P s là: A := R/(℘ m 1 1 ∩ · · · ∩ ℘ m s s ). Vành A = ⊕ t≥0 A t là k-đại số phân bậc Cohen-Macaulay một chiều có số bội là e := r i=1 m i +n−1 n . Với mỗi t, phần phân bậc A t là một k -không gian véc tơ hữu hạn chiều. Hàm Hilbert H A (t) := dim k A t là hàm tăng chặt cho đến khi nó đạt đến số bội e, tại đó nó dừng. Chỉ số chính qui của tập điểm béo Z được định nghĩa là số nguyên t bé nhất sao cho H A (t) = e và chúng tôi ký hiệu nó là reg(A) (hay reg(Z)). Chỉ số chính qui reg(A) cho chúng ta biết nhiều thông tin về tập điểm béo Z, nhưng việc tính toán được chỉ số chính qui của một tập điểm béo là rất khó. Vì vậy, thay vào đó người ta thường tìm những chặn trên cho reg(A) (xem [1]-[10]). 119 Bài toán tìm chặn trên cho reg(A) cũng không phải là dễ, hiện nay giả thuyết của N.V. Trung (xem [9]) về chặn trên cho chỉ số chính qui của một tập điểm béo tùy ý được xem là tốt nhất, giả thuyết này đã được chứng minh trong một số trường hợp không gian xạ ảnh có chiều bé (xem [4]-[5], [8]-[10]). Bởi vì việc tính toán chỉ số chính qui reg(A) là không dễ, cho nên đến nay chỉ có rất ít kết quả được công bố: với tập s điểm béo m 1 P 1 + · · · + m s P s trong P n , E.D. Davis và A.V. Geramita (xem [3]) đã chứng minh reg(A) = m 1 + · · · + m s − 1 khi và chỉ khi tất cả các điểm P 1 , . . . , P s nằm trên cùng một đường thẳng. Tập điểm béo trong P n được gọi là ở vị trí tổng quát nếu không có j + 2 điểm trong chúng nằm trên cùng một j-phẳng với mọi j < n. Cho n ≥ 3, 2 ≤ s ≤ n + 2 và m 1 P 1 + · · · + m s P s là tập s điểm béo ở vị trí tổng quát trong P n với 2 ≤ m 1 ≥ m 2 ≥ · · · ≥ m s . M.V. Catalissano, N.V. Trung và G. Valla (xem [2], Corollary 8) đã chứng minh reg(A) = m 1 + m 2 − 1. Những kết quả trên giúp cho chúng tôi chứng minh được một công thức tính chỉ số chính qui của s điểm béo ở vị trí tổng quát trong P n với s ≤ n + 2 (Định lý 3.1), công thức này mở rộng kết quả của M.V. Catalissano, N.V. Trung và G. Valla ([2], Corollary 8). Sau đó, chúng tôi sẽ chỉ ra công thức tính chỉ số chính qui của tập s điểm béo tùy ý trong P n , s ≤ 4 (Định lý 3.3). 2 Một số bổ đề cần dùng Chúng tôi sẽ cần đến các bổ đề sau đây, chúng đã được chứng minh trong [2]. Bổ đề đầu tiên cho phép chúng ta tính chỉ số chính qui bằng qui nạp trên số các điểm. Bổ đề 2.1. [2, Lemma 1] Cho P 1 , . . . , P r , P là các điểm phân biệt trong P n và cho ℘ là iđêan xác định bởi điểm P. Nếu m 1 , . . . , m r và a là các số nguyên dương, J = ℘ m 1 1 ∩ · · · ∩ ℘ m r r , I = J ∩ ℘ a và A = R/I, thì reg(A) = max {a − 1, reg(R/J), reg (R/(J + ℘ a ))} . Bổ đề thứ hai cho chúng ta một chặn dưới cho chỉ số chính qui của một tập điểm béo. Bổ đề 2.2. [2, Corollary 2] Cho s ≥ 2, P 1 , . . . , P s là các điểm phân biệt trong P n và m 1 ≥ . . . ≥ m s là các số nguyên dương. Đặt I = ℘ m 1 1 ∩ · · · ∩ ℘ m s s và A = R/I. Khi đó reg(A) ≥ m 1 + m 2 − 1. M.V. Catalisano. N.V. Trung và G. Valla đã chỉ ra một chặn trên cho chỉ số chính qui của một tập điểm béo ở vị trí tổng quát. 120 Bổ đề 2.3. [2, Theorem 6] Cho s ≥ 2, P 1 , . . . , P s là các điểm phân biệt ở vị trí tổng quát trong P n và m 1 ≥ . . . ≥ m s là các số nguyên dương. Đặt I = ℘ m 1 1 ∩ · · · ∩ ℘ m s s và A = R/I. Khi đó, reg(A) ≤ max m 1 + m 2 − 1, ( s i=1 m i + n − 2)/n . Sau đó, các tác giả này đã chỉ ra công thức tính chỉ số chính qui của một tập s điểm béo ở vị trí tổng quát trong P n , với n ≥ 3 và 2 ≤ s ≤ n + 2 như sau. Bổ đề 2.4. [2, Corollarry 8] Cho n ≥ 3, 2 ≤ s ≤ n + 2 và P 1 , . . . , P s là các điểm phân biệt ở vị trí tổng quát trong P n . Nếu 2 ≤ m 1 ≥ . . . ≥ m s là các số nguyên dương, I = ℘ m 1 1 ∩ · · · ∩ ℘ m s s và A = R/I. Khi đó, reg(A) = m 1 + m 2 − 1. Bổ đề sau đây chỉ ra một tính chất của vành artin R/(J + ℘ a ). Bổ đề 2.5. [2, Lemma 3] Cho P 1 , . . . , P r là các điểm phân biệt trong P n và m 1 , . . . , m r , a là các số nguyên dương. Đặt J = ℘ m 1 1 ∩· · ·∩℘ m r r và ℘ = (X 1 , . . . , X n ). Khi đó, reg(R /(J + ℘ a )) ≤ b nếu và chỉ nếu X b−i 0 M ∈ J + ℘ i+1 với mọi đơn thức M bậc i theo các biến X 1 , . . . , X n , i = 0, . . . , a − 1. 3 Các kết quả của bài báo Chúng ta đến kết quả đầu tiên của bài báo này, nó mở rộng một kết quả của M.V. Catalisano, N.V. Trung và G. Valla ([2], Corollary 8). Định lý 3.1. Cho s ≤ n + 2 và P 1 , . . . , P s là các điểm phân biệt ở vị trí tổng quát trong P n . Nếu 2 ≤ m 1 ≥ m 2 ≥ · · · ≥ m s là các số nguyên dương, I = ℘ m 1 1 ∩ · · · ∩ ℘ m s s và A = R/I. Khi đó, reg(A) = max h − 1, s i=1 m i + n − 2 /n , với h = max m i 1 + · · · + m i q |P i 1 , . . . , P i q nằm trên một đường thẳng . Chứng minh: Nếu s = 1, thì h − 1 = m 1 − 1 ≥ (m 1 + n− 1)/n . Khi đó, với vành artin A = R/℘ m 1 1 chúng ta đều biết là reg(A) = reg(R/℘ m 1 1 ) = m 1 − 1. Nếu s ≥ 2, chúng ta xem xét ba trường hợp sau: 121 Trường hợp n = 1: Khi đó P 1 , . . . , P s nằm trên một đường thẳng. Trong trường hợp này, E.D. Davis và A.V. Geramita [3] đã chứng minh: reg(A) = m 1 + · · · + m s − 1 = h − 1. Trường hợp n = 2: Nếu m 1 + m 2 − 1 ≥ s i=1 m i /2 , thì h − 1 = m 1 + m 2 − 1 = max h − 1, s i=1 m i /2 . Theo Bổ đề 2.2 và Bổ đề 2.3 chúng ta nhận được reg(A) = m 1 + m 2 − 1 = max h − 1, s i=1 m i /2 . Nếu m 1 + m 2 − 1 < s i=1 m i /2 , thì s = 4, m 1 = m 2 = m 3 = m 4 = m và h−1 = 2m−1. Do các điểm P 1 , . . . , P s ở vị trí tổng quát trong P n nên chúng ta có thể giả sử rằng P 4 = (1, 0, 0), P 1 = (0, 1, 0), P 2 = (0, 1, 0) và P 3 = (1, a, b), ab = 0. Vì vậy, ℘ 4 = (X 1 , X 2 ), ℘ 1 = (X 0 , X 2 ), ℘ 2 = (X 1 , X 2 ), ℘ 3 = (aX 0 − X 1 , bX 0 − X 2 ). Đặt J = ℘ m 1 ∩ ℘ m 2 ∩ ℘ m 3 , I = J ∩ ℘ m 4 . Bởi vì vành R/(J + ℘ m 4 ) là vành artin và X m 0 X m−1 1 /∈ J + ℘ m 4 nên reg(R/(J + ℘ m 4 )) ≥ 2m. Theo Bổ đề 2.1 chúng ta nhận được reg(A) ≥ 2m. Mặt khác, theo Bổ đề 2.3 chúng ta có reg(A) ≤ 2m. Từ đó, reg(A) = 2m = max h − 1, 4 i=1 m i /2 . Trường hợp n ≥ 3 : Khi đó, m 1 + m 2 − 1 = max m 1 + m 2 − 1, s i=1 m i + n − 2 /n . Theo Bổ đề 2.4 chúng ta nhận được reg(A) = max m 1 + m 2 − 1, s i=1 m i + n − 2 /n . Định lý 3.1 đã được chứng minh xong. Trong Định lý 3.1 trên, nếu n ≥ 3 thì h = m 1 + m 2 − 1 ≥ s i=1 m i + n − 2 /n . Lúc đó, từ Định lý 3.1 chúng ta nhận được kết quả của M.V. Catalissano, N.V. Trung và G. Valla ([2], Corollary 8). Bây giờ chúng ta sẽ tính chỉ số chính qui của tập 4 điểm béo tùy ý trong P n . 122 Mệnh đề 3.2. Cho P 1 , . . . , P 4 là bốn điểm phân biệt tuỳ ý trong P n và m 1 ≥ · · · ≥ m 4 là các số nguyên dương. Đặt I = ℘ m 1 1 ∩ · · · ∩ ℘ m 4 4 và A = R/I. Với j = 1, . . . , n, đặt T j = max m i 1 + · · · + m i q + j − 2 j |P i 1 , , P i q nằm trên một j-phẳng , T = max{T j |j = 1, . . . , n}. Khi đó, reg(A) = T. Chứng minh: Chúng ta xét ba trường hợp sau: Trường hợp 1: Các điểm P 1 , . . . , P 4 ở vị trí tổng quát trong P n . Khi đó, T 1 = m 1 + m 2 − 1 = max T j |j = 1, . . . , n − 1 . Theo Định lý 3.1 chúng ta có reg(A) = max T 1 , ( 4 i=1 m i + n − 2)/n = T. Trường hợp 2: Các điểm P 1 , . . . , P 4 nằm trên một đường thẳng. Khi đó, T 1 = 4 i=1 m i − 1 = T . Trong trường hợp này, E.D. Davis và A.V. Geramita (xem [3]) đã chứng minh reg(A) = T. Trường hợp 3: Các điểm P 1 , . . . , P 4 không ở vị trí tổng quát của P n và không nằm trên một đường thẳng. Khi đó, tồn tại một đường thẳng, gọi là l, chứa đúng 3 điểm của {P 1 , P 2 , P 3 , P 4 } và có duy nhất một điểm P i k /∈ l. Đặt J = ∩ P i ∈l ℘ m i i . Khi đó, I = J ∩ ℘ m i k i k . Chúng ta có thể giả sử P i k = (1, 0, . . . , 0), do đó ℘ i k = (X 1 , . . . , X n ). Bởi vì P i k /∈ l nên chúng ta có thể tìm được một siêu phẳng L thỏa mãn l ⊂ L và P i k /∈ L. Vì P i k = (1, 0, . . . , 0), ℘ i k = (X 1 , . . . , X n ) và P i k /∈ L nên chúng ta có thể viết L = X 0 + H, với một dạng tuyến tính H ∈ ℘ i k . Do L m 1 +m 2 −m i k ∈ J nên chúng ta có X m 1 +m 2 −m i k 0 ∈ J + ℘ i k . Với mọi đơn thức M bậc i theo n biến X 1 , . . . , X n , 0 ≤ i ≤ m i k − 1. Bởi vì M ∈ ℘ i i k và theo trên chúng ta có X m 1 +m 2 −m i k 0 ∈ J +℘ i k , do đó X m 1 +m 2 −m i k 0 M ∈ J + ℘ i+1 ik . Theo Bổ đề 2.5 chúng ta nhận được reg(R/(J + ℘ m i k i k )) ≤ m 1 + m 2 − 1. Do I = J ∩ ℘ m i k i k , nên theo Bổ đề 2.1 chúng ta có reg(A) = max m i k − 1, reg(R /J), reg(R/(J + ℘ m i k i k )) . Vì các điểm của {P 1 , P 2 , P 3 , P 4 } \ {P i k } nằm trên đường thẳng l nên theo kết quả của E.D. Davis và A.V. Geramita (xem [3]) chúng ta nhận được reg(R/J) = P i ∈l m i − 1. Nếu P i ∈l m i ≥ m 1 + m 2 thì T 1 = P i ∈l m i − 1 = T . Vì vậy, reg(A) = reg(R/J) = T. 123 Nếu P i ∈l m i < m 1 + m 2 thì T 1 = m 1 + m 2 −1 = T . Do reg(R/J) = P i ∈l m i −1 ≤ m 1 + m 2 − 1 và reg(R/(J + ℘ m i k i k )) ≤ m 1 + m 2 − 1 nên chúng ta có reg(A) ≤ m 1 + m 2 − 1. Hơn nữa, theo Bổ đề 2.2 chúng ta có reg(A) ≥ m 1 + m 2 − 1. Từ đó suy ra, reg(A) = m 1 + m 2 − 1 = T. Mệnh đề 3.2 đã được chứng minh xong. Từ Định lý 3.1 và Mệnh đề 3.2 chúng ta suy ra công thức tính chỉ số chính qui của tập s điểm béo tùy ý trong P n , s ≤ 4 như sau: Định lý 3.3. Cho s ≤ 4 và P 1 , . . . , P s là các điểm phân biệt tuỳ ý trong P n . Cho m 1 ≥ · · · ≥ m s là các số nguyên dương. Đặt I = ℘ m 1 1 ∩ · · · ∩ ℘ m s s và A = R/I. Với j = 1, . . . , n, đặt T j = max m i 1 + · · · + m i q + j − 2 j |P i 1 , , P i q nằm trên một j-phẳng . Khi đó, i) Nếu s = 1 thì reg(A) = m 1 − 1. ii) Nếu s = 2 thì reg(A) = m 1 + m 2 − 1. iii) Nếu s = 3 và các điểm P 1 , P 2 , P 3 nằm trên cùng một đường thẳng thì reg(A) = m 1 + m 2 + m 3 − 1. Nếu s = 3 và các điểm P 1 , P 2 , P 3 không nằm trên cùng một đường thẳng thì reg(A) = m 1 + m 2 − 1. iv) Nếu s = 4 thì reg(A) = max{T j |j = 1, . . . , n}. Chứng minh: i), ii) và iii) được suy ra dễ dàng từ Định lý 3.1 và kết quả của E.D. Davis và A.V. Geramita (xem [3]) khi các điểm nằm trên một đường thẳng. iv) chính là Mệnh đề 3.2. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] M.V. Catalisano, Fat points on a conic, Comm. Algebra 19 (1991), 2153- 2168. [2] M.V. Catalisano, N.V. Trung and G. Valla, A sharp bound for the regularity index of fat points in general position, Proc. Amer. Math. Soc. 118 (1993), 717-724. 124 [3] E.D. Davis and A.V. Geramita, The Hilbert function of a special class of 1-dimensional Cohen-Macaulay graded algebras, The Curves Seminar at Queen’s, Queen’s Papers in Pure and Appl. Math. 67 (1984), 1-29. [4] G. Fatabbi, Regularity index of fat points in the projective plane, J. Algebra 170 (1994), 916-928. [5] G. Fatabbi, A. Lorenzini On a sharp bound for the regularity index of any set of fat points, J. Pure and Appl. Algebra 161 (2001), 91-111. [6] W. Fulton, Algebraic Curves, Math. Lect. Note Series, Benjamin 1969. [7] B. Segre, Alcune questioni su insiemi finiti di punti in geometria algebrica, Atti. Convergno. Intern. di Torino 1961, 15-33. [8] P.V. Thien, On Segre bound for the regularity index of fat points in P 2 , Acta Math. Vietnamica 24 (1999), 75-81. [9] P.V. Thien, Segre bound for the regularity index of fat points in P 3 , J. Pure and Appl. Algebra 151 (2000), 197-214. [10] P.V. Thien, Sharp upper bound for the regularity of zero-schemes of double points in P 4 , Comm. Algebra 30 (2002), 5825-5847. REGULARITY INDEX OF s FAT POINTS IN GENERAL POSITION IN P n , s ≤ n + 2 Phan Van Thien College of Pedagogy, Hue University SUMMARY We will give a formula to compute the regularity index of s fat points in general position in P n , s ≤ n + 2, which generalizes Catalisano, Trung, and Valla’s result [2] for the regularity index of fat points in general position. Then we will show a formula to compute the regularity index s arbitrary fat points in P n , s ≤ 4. Keywords : Mathematics subject classification: 13C20; 13D40. 125 . tính chỉ s chính qui của tập s điểm béo ở vị trí tổng quát trong P n , s ≤ n + 2, công thức n y mở rộng kết quả của M.V. Catalissano, N. V. Trung và G. Valla [2] về chỉ s chính qui của tập điểm. P s n m tr n cùng một đường thẳng. Tập điểm béo trong P n được gọi là ở vị trí tổng quát n u không có j + 2 điểm trong chúng n m tr n cùng một j-phẳng với mọi j < n. Cho n ≥ 3, 2 ≤ s ≤ n +. m 2 − 1. Những kết quả tr n giúp cho chúng tôi chứng minh được một công thức tính chỉ s chính qui của s điểm béo ở vị trí tổng quát trong P n với s ≤ n + 2 (Định lý 3.1), công thức n y mở rộng kết