Chỉ số chính quy của môđun phân bậc liên kết và chỉ số hilbert (tt)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN HUY HỒNG CHỈ SỐ CHÍNH QUY CỦA MÔĐUN PHÂN BẬC LIÊN KẾT VÀ CHỈ SỐ HILBERT Chuyên ngành: ĐẠI SỐ - LÝ THUYẾT SỐ Demo Version - Select.Pdf SDK Mã số : 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS CAO HUY LINH HUẾ, năm 2014 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu tơi Các kết tác giả khác đồng ý tác giả đưa vào luận văn Các kết nêu luận văn trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Nguyễn Huy Hoàng Demo Version - Select.Pdf SDK ii LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn thầy giáo TS Cao Huy Linh Tôi xin gửi lời cám ơn chân thành sâu sắc đến thầy, mong thầy gia đình ln dồi sức khỏe, gặp nhiều may mắn thành công Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Ban Giám Hiệu, Khoa Tốn, Phòng đào tạo Sau Đại Học Trường ĐHSP - Đại Học Huế quý thầy cô giảng dạy khóa K21 giúp đỡ tạo điều kiện để tơi hồn thành luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn đến tập thể lớp cao học Tốn K21, đặc biệt nhóm Hình học - Đại số học hỏi, chia sẻ, trao đổi kiến thức q trình học tập Cuối tơi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình người thân Demo Version - Select.Pdf SDK iii Nguyễn Huy Hồng Mục lục Trang phụ bìa i Lời cam đoan ii Lời cảm ơn iii Mục lục MỞ ĐẦU Chỉ số quy Castelnouvo-Mumford vành phân bậc 1.1 Iđêan nguyên tố chiều Krull 1.2 Vành thương địa phương hóa 1.3 Iđêan m-nguyên sơ iđêan tham số 1.4 Độ sâu môđun Cohen-Macaulay 12 1.5 Vành môđun phân- Select.Pdf bậc SDK Demo Version 14 1.6 Vành môđun phân bậc liên kết 15 1.7 Đối đồng điều địa phương 17 1.8 Chỉ số quy Castelnuovo-Mumford 18 Chỉ số quy vành phân bậc liên kết số Hilbert 20 2.1 Hàm Hilbert Samuel số Hilbert 20 2.2 Chỉ số quy môđun phân bậc liên kết 22 2.3 Mối liên hệ số quy số Hilbert iđêan tham số 25 Kết luận 29 Tài liệu tham khảo 30 MỞ ĐẦU Cho E môđun phân bậc hữu hạn sinh đại số phân bậc chuẩn R, tức R = n≥0 Rn = R0 [R1 ] Lúc đó, số quy Castelnouvo-Mumford i (E) = với reg(E) E định nghĩa số m nhỏ cho HR n + i (E) đối đồng điều địa phương E n ≥ m − i + i ≥ 0, HR + với giá R+ = ⊕i>0 Ri Để gọn ta thường nói số quy thay cho số quy Castelnouvo-Mumford Nếu R0 vành Artin (En ) < +∞ Khi đó, ta định nghĩa hàm h : Z → N với, h(n) = (En ) gọi hàm Hilbert Hilbert chứng tồn đa thức pM ∈ Q[x] cho hM (n) = pM (n) n đủ lớn, đa thức gọi đa thức Hilbert Lúc này, số Hilbert định nghĩa số n nhỏ cho từ vị trí trở hàm Hilbert đa thức Hilbert nhau, ký hiệu p(E) Cho (A, m) vành địa phương, I iđêan m-nguyên sơ M A-mơđun hữu hạn sinh Kí hiệu n+1 Demo Version - )Select.Pdf SDK GI (M = ⊕n≥0 I n M/I M Người ta gọi GI (M ) môđun phân bậc liên kết M ứng với I Đặc biệt, GI (A) vành phân bậc chuẩn gọi vành phân bậc liên kết A ứng với I GI (M ) GI (A)-mơđun phân bậc hữu hạn sinh Mục đích luận văn nghiên cứu mối quan hệ số quy GI (M ) số Hilbert p(GI (M )) Việc nghiên cứu mối quan hệ giúp biết nhiều thông tin quan trọng cấu trúc M Việc nghiên cứu số quy thu hút nhiều nhà tốn học nước quan tâm Năm 2003, Rossi-Trung-Valla [9] thiết lập chặn cho số quy vành phân bậc liên kết ứng với iđêan cực đại bậc mở rộng Sau đó, Linh [4] (2005) mở rộng thành công kết cho lớp iđêan m-nguyên sơ Năm 2006, Linh-Trung [5] thiết lập chặn phổ dụng cho số quy vành Cohen-Macaulay suy rộng ứng với iđêan tham số Năm 2007, Linh [6] đưa chặn cho số quy vành phân bậc liên kết ứng với iđêan m-nguyên sơ theo bậc lũy linh Gần đây, Brodmann-Linh [2] thiết lập mối quan hệ cho số quy, số Hilbert vành phân bậc liên kết ứng với iđêan tham số Định lý 2.3.1 Cho (A, m) vành Noether địa phương với số chiều d ≥ 2, I iđêan tham số A Nếu depth(A) = d − d − ≤ depth(GI (A)) ≤ d − thì: reg(GI (A)) = p(GI (A)) + d − Vấn đề đặt mở rộng vành A thành mơđun M cơng thức hay khơng? Xuất phát từ lý trên, chúng tơi chọn đề tài: "Chỉ số quy môđun phân bậc liên kết ứng với iđêan tham số số Hilbert" để làm luận văn cao học Kết mà chúng tơi thu tương tự công thức BrodmannLinh [2] Định lý 2.3.4 Cho (A, m) vành Noether địa phương, M A-môđun hữu hạn sinh với số chiều d ≥ 2, I iđêan tham số M Nếu depth(M ) = d − d − ≤ depth(GI (M )) ≤ d − Demo Version - Select.Pdf SDK reg(GI (M )) = p(GI (M )) + d − Phương pháp mà chúng tơi sử dụng hồn tồn tương tự BrodmannLinh Luận văn chia làm hai chương Trong Chương 1, chúng tơi trình bày số kiến thức để hỗ trợ cho chương sau Chương thứ hai bao gồm kết luận văn, chương gồm có ba mục Trong Mục 2.1, giới thiệu hàm Hilbert-Samuel, số Hilbert số mũ rút gọn Trong Mục 2.2, chúng tơi trình bày tính chất quan trọng phần tử GI (M )-lọc quy (Bổ đề 2.2.3, 2.2.4, 2.2.5) Mục cuối 2.3, tập trung chứng minh kết mối quan hệ số quy môđun phân bậc liên kết số Hilbert (Bổ đề 2.3.2, Mệnh đề 2.3.3 Định lý 2.3.4) ... 17 1.8 Chỉ số quy Castelnuovo-Mumford 18 Chỉ số quy vành phân bậc liên kết số Hilbert 20 2.1 Hàm Hilbert Samuel số Hilbert 20 2.2 Chỉ số quy môđun phân bậc liên kết ... M/I M Người ta gọi GI (M ) môđun phân bậc liên kết M ứng với I Đặc biệt, GI (A) vành phân bậc chuẩn gọi vành phân bậc liên kết A ứng với I GI (M ) GI (A)-mơđun phân bậc hữu hạn sinh Mục đích... 22 2.3 Mối liên hệ số quy số Hilbert iđêan tham số 25 Kết luận 29 Tài liệu tham khảo 30 MỞ ĐẦU Cho E môđun phân bậc hữu hạn sinh đại số phân bậc chuẩn R, tức