Quỹ tích mở của môđun phân bậc

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM —————————— ĐÀM VĂN HÀNH QUỸ TÍCH MỞ CỦA MƠĐUN PHÂN BẬC LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.05 Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN VĂN HOÀNG THÁI NGUYÊN - NĂM 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn1 Luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN VĂN HOÀNG Phản biện 1: Phản biện 2: Luận văn bảo vệ trước Hội đồng chấm luận văn họp Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên Ngày tháng năm 2012 Có thể tìm hiểu Thư viện Đại học Thái Nguyên Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn2 Mục lục Mở đầu Kiến thức sở 1.1 Một số khái niệm 1.2 Môđun phẳng Môđun Cohen-Macaulay Tôpô Zariski Vành môđun phân bậc 1.3 1.4 1.5 10 12 Quỹ tích phẳng cho trường hợp vành địa phương 2.1 2.2 Tính chất mơđun phẳng Quỹ tích phẳng 15 15 24 Quỹ tích mở mơđun phân bậc 30 3.3 Cơng thức Auslander-Buchsbaum mở rộng Quỹ tích codepth Quỹ tích Cohen-Macaulay 3.4 Quỹ tích (Sk ) 48 3.1 3.2 30 36 41 Kết luận 51 Tài liệu tham khảo 52 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn3 Mở đầu Một kết tiếng Grothendieck nói rằng, M mơđun hữu hạn sinh vành Noether hồn hảo A (xem Định nghĩa 1.5.8), với k ∈ N ta có quỹ đạo (Sk ) M USk (M ) = {p ∈ Spec(A) | Mp thỏa mãn (Sk )} tập mở Spec(A) (xem [6]) Ở đây, (Sk ) kí hiệu cho điều kiện Serre, nhắc lại Mp thỏa mãn điều kiện Serre (Sk ) với q ∈ Spec(A) mà q ⊆ p ta ln có depthAq (Mq ) ≥ min{dimAq (Mq ), k} Từ ta suy ra, với mơđun M vậy, quỹ tích Cohen-Macaulay UCM (M ) = {p ∈ Spec(A) | Mp Cohen-Macaulay} tập mở Spec(A) Bây cho A = n≥0 An vành Noether phân bậc hoàn hảo (xem Định nghĩa 1.5.9) M = i∈Z Mi A−môđun phân bậc hữu hạn sinh Ta xét M A0 −mơđun, M tổng trực tiếp mơđun hữu hạn sinh A0 Hơn nữa, vành sở A0 vành Noether địa phương, khái niệm độ sâu có ý nghĩa cho A0 −mơđun M ta xét quỹ đạo (Sk ) US0k (M ) = {p ∈ Spec(A0 ) | Mp thỏa mãn (Sk )}, Mp kí hiệu cho địa phương hóa M tập đóng nhân A0 \ p Trong luận văn ta chứng minh với giả thiết nêu qũy đạo (Sk ) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn4 A0 −môđun M tập mở Spec(A0 ) với k ∈ N (xem Định lý 3.4.4) Đặc biệt, quỹ đạo Cohen-Macaulay M (khi xét A0 −môđun) (M ) = {p ∈ Spec(A0 ) | Mp Cohen-Macaulay } UCM tập mở Spec(A0 ) (xem Định lý 3.3.5) Một thành phần quan trọng sử dụng để chứng minh kết tiêu chuẩn Nagata tính mở (xem Định lý 2.2.4), số kết tính mở của: quỹ tích phẳng (xem Định lý 2.2.5, 3.2.1), quỹ tích Projdim (xem Định lý 3.2.2), quỹ tích codepth (xem Định lý 3.3.4) Nội dung luận văn viết dựa hai nguồn sau đây: thứ số kết quỹ đạo mở sách “Commutative ring theory” (xem [11]) tác giả H Matsumura; thứ hai phần báo "Open loci of graded modules" hai tác giả C Rotthaus-L M Sega (xem [13]) Ngoài luận văn dựa vào số tài liệu có tính chất hướng dẫn giảng nhập mơn hình học đại số GS TSKH Nguyễn Tự Cường, đại số đồng điều PGS TS Lê Thị Thanh Nhàn, nhập mơn đaị số giáo hốn TS Nguyễn Văn Hồng Luận văn gồm ba chương Chương 1: Trình bày số kiến thức chiều môđun, chiều xạ ảnh, môđun phẳng, môđun Cohen-Macaulay, Tôpô Zaiski, Vành mơđun phân bậc Chương 2: Trình bày chi tiết tính chất mơđun phẳng, tiêu chuẩn Nagata để kiểm tra tính mở, số kết quỹ tích mở Nội dung chương dựa vào sách "Commutative ring theory" H Matsumura Chương viết dựa báo [13] Rotthaus-Sega Chương trình bày cơng thức Auslander-Buchsbaum mở rộng, quỹ tích codepth, quỹ tích Cohen-Macaulay, quỹ tích (Sk ) Những kết chương mở rộng tổng quát hóa số kết chương trước Grothendieck trình bày [6] Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học TS NGUYỄN VĂN HỒNG giảng viên Khoa Tốn - Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Ngun Nhân dịp tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy, người Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn5 hướng dẫn cách đọc tài liệu, nghiên cứu khoa học đắn, tinh thần làm việc nghiêm túc dành nhiều thời gian, công sức giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo của: Viện toán học, Đại học sư phạm Thái Nguyên, Đại học khoa học tự nhiên Thái Nguyên, người tận tình giảng dạy khích lệ, động viên tơi vượt qua khó khăn học tập Tôi xin cảm ơn ban lãnh đạo trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Khoa sau đại học, Sở GDĐT tỉnh Bắc Ninh, Ban giám hiệu Tổ Toán - Tin trường THPT Nguyễn Văn Cừ - Từ Sơn - Bắc Ninh, tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ suốt thời gian học tập Cuối xin cảm ơn bạn bè, người thân giúp đỡ, động viên, ủng hộ để tơi hồn thành tốt khóa học Trong q trình làm luận văn khơng thể tránh khỏi sai sót, mong độc giả đóng góp ý kiến Tơi hy vọng thân có điều kiện tiếp tục sâu nghiên cứu vấn đề đặt luận văn Thái nguyên, Ngày tháng năm 2012 TÁC GIẢ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn6 Chương Kiến thức sở Mục đích chương nêu định nghĩa số khái niệm cần thiết phục vụ cho luận văn viết giáo trình nhập mơn đại số giao hốn, nhập mơn hình học đại số, đại số đồng điều sách lý thuyết vành giao hoán H Matsumura, iđêan nguyên tố liên kết, môđun xạ ảnh, chiều xạ ảnh, dãy khớp ngắn, chiều vành môđun, môđun phẳng, môđun Cohen-Macaulay, tơpơ Zaiski, vành mơđun phân bậc, vành hồn hảo, định lý Artin-Rees, cơng thức Auslander-Buchsbaum Bên cạnh phát biểu lại khơng chứng minh số tính chất có liên quan Nội dung chương đưa vào làm kiến thức sở luận văn 1.1 Một số khái niệm Trước hết ta trình bày số khái niệm đại số giao hoán iđêan nguyên tố liên kết, giá môđun, dãy khớp ngắn chẻ Ta giả thiết vành A giao hốn có đơn vị, M A−môđun Định nghĩa 1.1.1 (Iđêan nguyên tố liên kết) Cho M A−môđun, iđêan nguyên tố p vành A gọi iđêan nguyên tố liên kết M tồn phần tử = x ∈ M cho ann(x) = p Tập iđêan nguyên tố liên kết môđun M kí hiệu AssA (M ) Ass(M ) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn7 Định nghĩa 1.1.2 (Giá môđun) Cho M A-môđun, giá môđun M kí hiệu SuppA (M ) Supp(M ), xác định SuppA (M ) = {p ∈ Spec(A)|Mp = 0} Định nghĩa 1.1.3 (Môđun xạ ảnh) Một A−môđun P gọi xạ ảnh với toàn cấu f : M → N với đồng cấu g : P → N tồn đồng cấu h : P → M cho f h = g Mệnh đề 1.1.4 i Mọi môđun tự môđun xạ ảnh ii Mỗi môđun M có dải xạ ảnh → Fn → Fn−1 → → F0 → M → 0, Fi mơđun xạ ảnh f g Định nghĩa 1.1.5 (Dãy khớp ngắn chẻ ra) Một dãy khớp ngắn → M − →N → − P → gọi chẻ tồn đồng cấu h : P → N cho gh = 1P f g Mệnh đề 1.1.6 Nếu dãy khớp → M − →N → − P → chẻ N ∼ = M ⊕ P Định nghĩa 1.1.7 (Chiều xạ ảnh) Cho M A−mơđun, chiều xạ ảnh M , kí hiệu Projdim(M ), số nguyên không âm n nhỏ cho tồn giải xạ ảnh P• M với Pi = với i > n Nếu không tồn số nguyên n ta đặt Projdim(M ) = ∞ Định nghĩa 1.1.8 (Chiều Krull) Cho A vành giao hoán, dãy giảm thực iđêan nguyên tố p0 ⊃ p1 ⊃ p2 ⊃ ⊃ pn vành A gọi xích ngun tố có độ dài n Cận độ dài tất xích nguyên tố A gọi chiều Krull A, hay chiều vành A Kí hiệu dimA Định nghĩa 1.1.9 (Độ cao iđêan) Cho A vành giao hoán p iđêan nguyên tố A Chiều dài lớn dãy giảm thực iđêan nguyên tố p = p0 ⊃ p1 ⊃ p2 ⊃ ⊃ pr xuất phát từ p, gọi độ cao p, kí hiệu ht p Cho I iđêan A Độ cao iđêan I kí hiệu ht I cho Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn8 công thức ht I = inf{ht p | p ∈ V (I)} V (I) tập iđêan nguyên tố A chứa I Định nghĩa 1.1.10 (Chiều môđun) Cho M A−mơđun chiều M kí hiệu dimM xác định dim M = dim(A/ ann M ), ann M = {a ∈ A | aM = 0} Mệnh đề 1.1.11 i Nếu (A, m) vành địa phương dim A = ht m ii Cho p iđêan nguyên tố vành A, dim Ap = ht pAp = ht p Định nghĩa 1.1.12 a Vành A gọi catenary thỏa mãn điều kiện sau: với hai iđêan nguyên tố p p A với p ⊂ p , ln tồn dãy bão hòa iđêan nguyên tố xuất phát từ p kết thúc p , đồng thời dãy có độ dài (hữu hạn) b Vành A gọi catenary phổ dụng A vành Noether A−đại số hữu hạn sinh catenary Định nghĩa 1.1.13 (Khái niệm thớ) Cho ϕ : A → B đồng cấu vành p ∈ Spec A, đặt k(p) = Ap /pAp Khi Spec(B ⊗A k(p)) gọi thớ ϕ p Định lý 1.1.14 Cho A vành Noether M A−môđun hữu hạn sinh khác khơng Khi có dãy mơđun M : = M0 ⊂ M1 ⊂ M2 ⊂ ⊂ Mn = M có pi ∈ Spec A cho Mi /Mi−1 ∼ = A/pi với i = 1, , n 1.2 Môđun phẳng Định nghĩa 1.2.1 (Môđun phẳng) Một A−môđun N gọi A-môđun phẳng (hoặc môđun phẳng A) thỏa mãn tính chất sau: với dãy khớp ngắn → M → M → M → gồm A−môđun, ta suy dãy → M ⊗A N → M ⊗A N → M ⊗A N → khớp Ví dụ 1.2.2 Cho A vành giao hoán, S tập đóng nhân A, M A−mơđun Khi S −1 M ∼ = S −1 A⊗A M (do hàm tử địa phương khớp) Do S −1 A A−mơđun phẳng Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn9 Mệnh đề 1.2.3 ([10, Mệnh đề 2.19]) Cho N A−mơđun mệnh đề sau tương đương i N A−môđun phẳng ii Nếu → M → M → M → dãy khớp A−môđun → M ⊗A N → M ⊗A N → M ⊗A N → dãy khớp iii Nếu f : M → M đơn cấu f ⊗ : M ⊗A N → M ⊗A N đơn cấu iv Nếu f : M → M đơn cấu với M , M A−mơđun hữu hạn sinh, M ⊗A N → M ⊗A N đơn cấu Định lý 1.2.4 ([11, Định lý 7.7]) Cho A vành giao hốn M A−mơđun Khi M phẳng A với iđêan hữu hạn sinh I A ánh xạ tắc I ⊗A M → A ⊗A M đơn ánh, I ⊗A M ∼ = IM Mệnh đề 1.2.5 ([10, Bài tập 2.20]) Nếu f : A → A đồng cấu vành M A−mơđun phẳng MA = A ⊗A M A −môđun phẳng Định lý 1.2.6 ([11, Định lý 7.1]) Cho A → B đồng cấu vành, M B−môđun, M môđun phẳng A với P ∈ Spec B ta có MP phẳng Ap , p = P ∩ A 1.3 Môđun Cohen-Macaulay Định nghĩa 1.3.1 ([11, Trang 127]) Cho dãy x = x1 , , xn phần tử vành A, ta định nghĩa phức K• , sau: đặt K0 = A, Kp A−mơđun tự có hạng n p với sở {ei1 , ,ip | ≤ i1 < < ip ≤ n} Vi phân d : Kp → Kp−1 xác định d(ei1 , ,ip ) = p r−1 x e ir i1 iˆr ip ; r=1 (−1) (với p = 1, đặt d(ei ) = xi ) Khi dd = Ta gọi K• phức Koszul, viết K• (x) Đối với A−mơđun M ta viết K• (x, M ) = K• (x) ⊗A M Mơđun đồng điều K• (x, M ) kí hiệu Hi (x, M ) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn10 (Ti )q môđun hữu hạn sinh (A0 )q , nên suy (Ti )q môđun tự (A0 )q , Tq tự (A0 )q Điều có nghĩa tập U (T ) trùng với tập {q ∈ Spec(A0 ) | Tq tự (A0 )q }, nói cách khác ta có U (T ) = {q ∈ Spec(A0 ) | Tq tự (A0 )q } Điều kết hợp với kết luận (*), p ∈ U (T ) U (T ) ⊆ {q ∈ Spec(A0 ) | Projdim(A0 )q (Mq ) Và tập {q ∈ Spec A0 | Projdim(A0 )q (Mq ) n} n} tập mở Spec(A0 ) Mệnh đề 3.2.3 ([13, Mệnh đề 2.3]) Cho A M giả thiết Giả thiết thêm A0 vành cactenary, lấy p ∈ Spec(A0 ) với p ∈ SuppA0 (M ) Khi có tập mở U Spec(A0 ) cho p ∈ U , với q ∈ U ∩ V (p) ta có dim(Mq ) = dim(Mp ) + dim((A0 /p)q ) Chứng minh Đặt S = A0 / annA0 (M ) chọn phần tử a ∈ S \ p cho Min(Sp ) = Min(Sa ) Giả sử dim Mp = ht(pS) = t chọn phần tử y1 , , yt ∈ S cho y1 không nằm iđêan nguyên tố cực tiểu Sp , y2 không nằm iđêan nguyên tố cực tiểu y1 Sp , yt không nằm iđêan nguyên tố cực tiểu (y1 , , yt−1 )Sp Khi có phần tử b ∈ S \ p cho y1 không nằm iđêan nguyên tố cực tiểu Sb , y2 không nằm iđêan nguyên tố cực tiểu y1 Sb , yt không nằm iđêan nguyên tố cực tiểu (y1 , , yt−1 )Sb Ta lấy a, b để kí hiệu cho nghịch ảnh a, b A0 đặt U = Dab = {q ∈ Spec(A0 ) | ab ∈ / q} Khi với q ∈ U ∩V (p), ta thấy phần tử y1 , , yt 39 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn41 mở rộng thành hệ tham số Sq Vì Sp Sq có tập phần tử cực tiểu S cactenary, nên ta dim(Sq ) = dim(Sp ) + dim((S/p)q ) Đẳng thức đẳng thức dim(Mq ) = dim(Mp ) + dim((A0 /p)q ) Cho (R, m) vành địa phương Noether M R−môđun Ta định nghĩa codepthR (M ) = dimR (M ) − depthR (M ) Như thường lệ quy ước depth môđun ∞ chiều môđun không −∞ Do codepth mơđun khơng −∞ Mệnh đề mở rộng kết Auslander ([7, 6.11.2]) tới trường hợp môđun phân bậc Định lý 3.2.4 ([13, Mệnh đề 2.4] Định lý quỹ tích codepth) Lấy A M giả thiết thêm A0 ảnh đồng cấu vành quy Khi hàm ϕ : Spec(A0 ) → N, xác định ϕ(p) = codepth(A0 )p (Mp ) với p ∈ Spec(A0 ) hàm nửa liên tục Tức là, với n ∈ N, tập UC0 n (M ) = {p ∈ Spec(A0 ) | codepth(A0 )p (Mp ) ≤ n} mở Spec(A0 ) Chứng minh Nếu A0 ảnh đồng cấu vành quy R0 , chiều độ sâu A0 −môđun M đồng với chiều độ sâu môđun M xem môđun R0 Nếu ta tập UC0 n (M ) = {q ∈ Spec(R0 )| codepth(R0 )q (Mq ) ≤ n} tập mở Spec(R0 ) (với M xem R0 −mơđun), tập UC0 n (M ) = UC0 n (M ) ∩ V (J) mở, A0 = R0 /J Vì ta giả thiết A0 vành quy Lúc ta giả sử A vành đa thức A0 trang bị phân bậc chuẩn Lấy p ∈ Spec(A0 ), theo Định lý 3.1.8, cơng thức Auslander-Buchsbaum cho ta depth(A0 )p (Mp ) = depth((A0 )p ) − Projdim(A0 )p (Mp ) 40 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn42 Lấy I = annA0 (M ) Theo Bổ đề 3.1.4 ta có Ip = ann(A0 )p (Mp ) dim(A0 )p (Mp ) = dim((A0 )p ) − ht(I(A0 )p ) Giả sử p ∈ Spec(A0 ) cho depth(A0 )p (Mp ) ≤ n Nếu Mp = I ⊆ p (vì giả sử M = (ω1 , , ωs ) A ta có ωi = Mp suy tồn ti ∈ / p để ti ωi = lấy t = t1 ts tωi = với i nên t ∈ I mà t ∈ / p suy I ⊆ p ) Lấy a ∈ I ∩ (A0 \ p) Khi với q ∈ Da = {ν ∈ Spec A0 | a ∈ / ν}, ta có Mq = codepth(A0 )q (Mq ) = −∞ n Vì a ∈ / q ⇒ a ∈ A0 \ q ta có ωi 1a = ωi a a = (do a ∈ I ) suy Mq = Nếu Mp = 0, ta lấy phần tử a ∈ A0 \ p cho (A0 )p (A0 )a có tập iđêan nguyên tố cực tiểu, đặt U1 = Da = {ν ∈ Spec(A0 )|a ∈ / ν} Khi với q ∈ U1 ∩ V (I) ta có ht(I(A0 )q ) ht(I(A0 )p ) Đặt t = Projdim(A0 )p (Mp ) Khi theo Định lý 3.2.2 có tập mở U2 Spec A0 cho t với q ∈ U2 Projdim(A0 )q (Mq ) Sử dụng cơng thức Aulander-Buchsbaum giả thiết A0 quy, ta suy với q ∈ U1 ∩ U2 ∩ V (I) ta có codepth(A0 )q Mq = dim(A0 )q Mq − depth(A0 )q Mq = dim((A0 )q ) − ht(I(A0 )q ) − depth(A0 )q + Projdim(A0 )q (Mq ) = Projdim(A0 )q (Mq ) − ht(I(A0 )q ) Điều kéo theo với q ∈ U = U1 ∩ U2 , ta có codepth(A0 )q Mq ≤ codepth(A0 )p Mp , từ suy UC0 n mở Spec A0 3.3 Quỹ tích Cohen-Macaulay Định lý 3.3.1 ([13, Bổ đề 2.5] Công thức địa phương) Cho A vành phân bậc Noether M A−mơđun phân bậc hữu hạn sinh Khi 41 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn43 iđêan nguyên tố p, q ∈ Spec A0 mà p ⊆ q ta có bất đẳng thức, codepth(A0 )q Mq codepth(A0 )p Mp Chứng minh Bằng cách thay A0 vành (A0 )q (và vành A Aq ), ta giả thiết (A0 , m0 ) vành địa phương Khi ta phải chứng minh codepthA0 (M ) ≥ codepth(A0 )p (Mp ) Lấy p ∈ Spec A0 iđêan nguyên tố cực tiểu pA0 (nghĩa cực tiểu chứa pA0 ) Khi p ∩ A0 = p (A0 )p mơđun phẳng (A0 )p có thớ tầm thường Hơn Mp ⊗(A0 )p (A0 )p = (Mi )p ⊗(A0 )p (A0 )p i∈N (Mi )p ⊗(A0 )p (A0 )p = i∈N = (Mi )p , i∈N với Mi ∼ = Mi ⊗A0 A0 với i ∈ N Ta có depthA0 M = inf{depthA0 Mi | Mi = 0, i ∈ N }, dimA0 M = sup{dimA0 Mi , i ∈ N } Theo Định lý 2.1.5, với i ∈ Z ta có depth(A0 ) (Mi )p = depth(A0 )p (Mi )p + depth((A0 )p /p(A0 )p ) p = depth(A0 )p ((Mi )p ), theo Bổ đề 2.1.1 ta có dim(A0 ) (Mi )p = dim(A0 )p (Mi )p + dim(A0 )p /p(A0 )p p = dim(A0 )p (Mi )p Đặt ∼ Mi ∼ = M ⊗A0 A0 M= i∈Z 42 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn44 ∼ ý M mộđun phân bậc hữu hạn sinh vành phân bậc Noether ∼ A = A ⊗A0 A0 Theo tính tốn chứng tỏ ∼ codepth(A0 ) (M p ) = codepth(A0 )p Mp = n p ∼ Vì A0 ảnh đồng cấu vành quy địa phương, nên UC0 n−1 (M ) tập mở Spec A0 (theo Định lý 3.2.4) Điều suy ∼ ∼ codepthA0 (M ) ≥ codepth(A0 ) (M p ) p ∼ Bằng lập luận ta codepthA0 (M ) = codepthA0 (M ) Điều chứng minh codepthA0 M codepth(A0 )p (Mp ) Bổ đề 3.3.2 ([13, Mệnh đề 2.6.1]) Cho vành A, môđun M trên, giả sử thêm A vành hoàn hảo Khi với p ∈ Spec A0 ta có tập mở U ⊆ Spec A0 với p ∈ U cho với q ∈ U ∩ V (p) depth(A0 )q Mq = depth(A0 )p Mp + depth((A0 )q /p(A0 )q ) Chứng minh Cho p ∈ Spec(A0 ) Khi theo Bổ đề 3.3.1, với q ∈ V (p), ta có codepth(A0 )q (Mq ) ≥ codepth(A0 )p (Mp ), hay tương đương với dim(A0 )q (Mq ) − depth(A0 )q (Mq ) ≥ dim(A0 )p (Mp ) − depth(A0 )p (Mp ) (CT6) Theo Mệnh đề 3.2.3, tồn tập mở U1 ⊆ Spec(A0 ) với p ∈ U1 cho với q ∈ U1 ∩ V (p), ta có dim(A0 )q (Mq ) = dim(A0 )p (Mp ) + depth((A0 /p)q ) Vì A hoàn hảo nên tồn tập mở U2 ⊆ Spec(A0 ) với p ∈ U2 cho với q ∈ U2 ∩ V (p), ta có vành địa phương (A0 /p)q Cohen-Macaulay 43 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn45 Do có tập mở U3 ⊆ Spec(A0 ) cho p ∈ U3 , với q ∈ U3 ∩ V (p), ta có đẳng thức tập iđêan nguyên tố tối tiểu: Min(A0 )q (I(A0 )q ) = Min(A0 )p (I(A0 )p ), với I = annA0 (M ) Đặc biệt, với q ∈ U3 ∩ V (p), ta có ht(I(A0 )q ) = ht(I(A0 )p ) ∼ ∼ Đặt U1 = U1 ∩ U2 ∩ U3 , với q ∈ U1 ∩ V (p), ta có dim(A0 )q (Mq ) = dim((A0 /I)q ) dim(A0 )p (Mp ) = dim((A0 /I)p ) ∼ Vì A hồn hảo, nên vành A0 catenary phổ dụng, với q ∈ U1 ∩ V (p), ta có dim((A0 /I)q ) − dim((A0 /I)p ) = dim((A0 /p)q ) = depth((A0 /p)q ) Từ (CT6) ta depth(A0 )q (Mq ) − depth(A0 )p (Mp ) ≤ depth((A0 /p)q ) ∼ với q ∈ U1 ∩ V (p) Để chứng minh bất đẳng thức ngược lại depth(A0 )q (Mq ) − depth(A0 )p (Mp ) ≥ depth((A0 /p)q ), ta giả sử depth(A0 )p (Mp ) = t lấy f1 , , ft ∈ p cho f1 , , ft dãy quy Mp Theo định lý tránh nguyên tố, tồn a ∈ A0 \ p cho f1 , , ft dãy quy Ma Đặt M = M/(f1 , , ft )M, xét vành phân bậc liên kết pi M /pi+1 M Gp (M ) = i∈N Môđun M hữu hạn sinh A, Gp (M ) Gp (A)−môđun hữu hạn sinh Ta lưu ý Gp (A) đại số hữu hạn sinh A/pA A/pA đại số hữu 44 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn46 hạn sinh A0 /p Vì Gp (A) A0 /p−đại số hữu hạn sinh Từ theo Bổ đề 2.2.3, tồn b ∈ A0 \ p cho (A0 /p)b −môđun (pi M /pi+1 M )b Gp (M )b = i∈N ∼ tự Đặt U2 = Db = {q ∈ Spec(A0 ) | b ∈ / q} cố định phần tử ∼ q ∈ U2 ∩ V (p) Giả sử depth((A0 /p)q ) = s, lấy g1 , , gs ∈ q dãy quy (A0 /p)q Yêu cầu 1: g1 phần tử quy M q Yêu cầu 2: Đặt N1 = M q /g1 M q ; Gp (N1 ) ∼ = Gp (M q )/g1 Gp (M q ) Giả sử hai yêu cầu chứng minh Từ Yêu cầu suy Gp (N1 ) môđun tự (A0 /(g1 , p)A0 )q Vì g2 quy (A0 /(g1 , p)A0 )q , nên ta lại áp dụng Yêu cầu cho N1 Chú ý N1 Aq −mơđun hữu hạn sinh Điều suy g2 phần tử quy N1 , ta đặt N2 = N1 /g2 N1 , Gp (N2 ) ∼ = Gp (N1 )/g2 Gp (N1 ) Bằng cách quy nạp ta suy g1 , , gs dãy quy M q ), ta có depth(A0 )q (Mq ) ≥ depth(A0 )p (Mp ) + depth((A0 /p)q ) ∼ Bất đẳng thức với q ∈ U2 ∩ V (p) Như yêu cầu mà ∼ ∼ mệnh đề chứng minh với U = U1 ∩ U2 Để chứng minh yêu cầu, ta đặt g = g1 N = N1 Chứng minh Yêu cầu Lấy z ∈ M q với gz = Xét ảnh z z M q /pM q Vì M q /pM q mơđun tự (A0 /p)q , g quy (A0 /p)q , nên ta thấy z = 0, suy z ∈ pM q Bây xét ảnh z pM q /p2 M q lặp lại lập luận tương tự Ta thu z ∈ ∞ j j=0 p M q Chú ý (M i )q với (M i )q = (Mi )q /(f1 , , ft )(Mi )q Mq = i∈Z 45 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn47 Đặc biệt, suy pj M q = pj (M i )q , i∈Z (M i )q (A0 )q −môđun hữu hạn sinh Chứng tỏ z = Chứng minh Yêu cầu Theo giả thiết, ta có Gp (M q ) (A0 /p)q −môđun tự do, pj M q /pj+1 M q ) hạng tử trực tiếp Gp (M q ) Vì pj M q /pj+1 M q (A0 /p)q −môđun tự g quy (A0 /p)q Do pj M q ∩ gM q = g pj M q pj M q /g pj M q ∼ = pj M q /(pj M q ∩ gM q ) ∼ = (pj M q + gM q )/gM q ∼ = pj (M q /gM q ) Từ biểu đồ giao hoán −→ pj+1 N −→ pj N −→ pj N/pj+1 N   ||   ||   || →0 → pj+1 (M q /gM q ) → pj (M q /gM q )→ pj (M q /gM q )/pj+1 (M q /gM q )→    ∼ =   ∼ =  ∼ = 0→ pj+1 M q /g pj+1 M q → pj M q /g pj M q → pj M q /(g pj M q + pj+1 M q ) → ta thu pj N/pj+1 N Gp (N ) = j∈N ∼ = pj M q /(g pj M q + pj+1 M q ) j∈N ∼ = (pj M q /pj+1 M q )/g(pj M q /pj+1 M q ) j∈N ∼ = Gp (M q )/g(Gp (M q )) Điều kết thúc Yêu cầu 2, mệnh đề chứng minh 46 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn48 Hệ 3.3.3 ([13, Hệ 2.6.2]) Cho A, M giả thiết A vành hồn hảo Khi với p ∈ Spec A0 có tập mở U ⊆ Spec A0 mà p ∈ U cho với q ∈ U ∩ V (p) ta có codepth(A0 )q (Mq ) = codepth(A0 )p (Mp ) + codepth((A0 )q /p(A0 )q ) Chứng minh Lấy p ∈ Spec A0 U1 Bổ đề 3.3.2 p ∈ U1 q ∈ U1 ∩ V (p) ta có depth(A0 )q Mq = depth(A0 )p Mp + depth (A0 )q /p(A0 )q Theo Mệnh đề 3.2.3 có tập mở U2 ⊆ Spec A0 cho p ∈ U2 với q ∈ U2 ∩ V (p) ta có dim Mq = dim Mp + dim (A0 /p)q Vì với U = U1 ∩ U2 ta thấy p ∈ U với q ∈ U ∩ V (p) ta có codepth(A0 )q Mq = codepth(A0 )p Mp + codepth (A0 )q /p(A0 )q Định lý 3.3.4 ([13, Định lý 2.6.3] Định lý quỹ tích codepth) Cho A = phân bậc hoàn hảo với M = i∈Z Mi i∈N Ai A−môđun phân bậc hữu hạn sinh Khi với n ∈ N, tập hợp UC0 n (M ) = {p ∈ Spec(A0 )| codepth(A0 )p (Mp ) ≤ n} tập mở Spec(A0 ) Chứng minh Theo tiêu chuẩn Nagata tính mở (xem Định lý 2.2.4), ta cần phải ra: (1) Nếu p, q ∈ Spec(A0 ) cho q ⊆ p p ∈ UC0 n (M ) q ∈ UC0 n (M ) (2) Nếu p ∈ UC0 n (M ) UC0 n (M ) chứa tập mở khác rỗng V (p) Xét (1) Cho p, q ∈ Spec A0 cho q ⊆ p Theo Định lý 3.3.1 ta có codepth(A0 )q Mq codepth(A0 )p Mp p ∈ UC0 n (M ) kéo theo q ∈ UC0 n (M ) 47 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn49 Xét (2) Cho p ∈ UC0 n (M ) Theo Hệ 3.3.3 có tập mở U ∈ Spec A0 cho p ∈ U , với q ∈ U ∩ V (p) ta có codepth(A0 )q Mq = codepth(A0 )p Mp + codepth (A0 )q /p(A0 )q Vì A A0 vành hồn hảo, có tập mở V Spec A0 cho p ∈ V với q ∈ V ∩ V (p), vành (A0 /p)q Cohen-Macaulay Vì chọn U = U ∩ V ta có p ∈ U với q ∈ U ∩ V (p) ta có codepth(A0 )q Mq = codepth(A0 )p Mp Kéo theo U ∩ V (p) ⊆ UC0 n (M ), định lý chứng minh Định lý 3.3.5 ([13, Hệ 2.6.4] Quỹ tích Cohen-Macaulay) Cho A M Định lý 3.3.4 Khi quỹ tích Cohen-Macaulay A0 −môđun M , UCM (M ) = UC0 (M ) = {p ∈ Spec(A0 )|Mp môđun Cohen-Macaulay (A0 )p } tập mở Spec(A0 ) 3.4 Quỹ tích (Sk) Trong mục ta giả sử R = A0 vành sở vành phân bậc Noether A = i≥0 Ai M A−môđun phân bậc hữu hạn sinh Kí hiệu bao hàm trường hợp M hữu hạn sinh vành Noether R Khi ta chứng tỏ từ tính mở quỹ tích Cn M kéo theo tính mở quỹ tích (Sk ) M Cho M R−môđun Giả sử với n ∈ N tập UCn (M ) = {p ∈ Spec(R) | codepthRp (Mp ) ≤ n} mở Spec(R) Ta đặt Zn = V (bn ) = Spec(R) \ UCn (M ), với bn iđêan Như biết với n ∈ N, ta có UCn (M ) ⊆ UCn+1 (M ), Zn+1 ⊆ Zn bn ⊆ bn+1 Vì R vành Noether, nên tồn m ∈ N cho với t ∈ N, ta có bm = bm+1 Zm = Zm+t 48 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn50 Bổ đề 3.4.1 Lấy m ∈ N Khi Zm = ∅ Chứng minh Nếu p ∈ Zm , p ∈ Zm+t với t ∈ N Theo định nghĩa Zn+t , ta có codepthRp (Mp ) ≥ m+t với t ∈ N Nhưng codepthRp (Mp ) ≤ dim(Rp ) < ∞, có mâu thuẫn Vậy Zm = ∅ Ta nhắc lại R−môđun M thỏa mãn điều kiện Serre (Sk ) với p ∈ Spec(R) ta có depthRp (Mp ) ≥ min{dimRp (Mp ), k} (*) Từ ta lấy m số tự nhiên nhỏ cho Zm = ∅ Bổ đề 3.4.2 Với giả thiết trên, đặt R = R/ annR (M ) lấy k ∈ N Khi R−mơđun M thỏa mãn (Sk ) ht(bn R) > n + k với ≤ n < m Chứng minh Giả sử M thỏa mãn (Sk ), cố định n với ≤ n < m Lấy p ∈ Spec(R) cho bn ⊆ p Khi p ∈ Zn , codepthRp (Mp ) > n, hay dimRp (Mp ) − depthRp (Mp ) > n Vì M thỏa mãn (Sk ), nên ta thấy dimRp (Mp ) − depthRp (Mp ) = 0, depthRp (Mp ) ≥ k Vì vậy, p ∈ Zn , dimRp (Mp ) ≥ n + k, suy ht(bn R) ≥ n + k Ngược lại, cố định k giả sử với ≤ n < m, ta có ht(bn R) > n + k Lấy p ∈ Spec(R) Nếu Mp depthRp (Mp ) = ∞, điều kiện (*) thỏa mãn Bây giả sử Mp = Nếu Mp môđun Cohen-Macaulay, điều kiện (*) thỏa mãn Giả sử codepthRp (Mp ) > 0, lấy n ∈ N cho codepthRp (Mp ) = n + Vì p ∈ Zn bn ⊆ p Theo giả thiết, ta có ht(bn R) > n + k ⇒ ht(bn Rp ) > n + k ⇒ dim(Rp ) > n + k Điều suy codepthRp (Mp ) = n + = dim(Rp ) − depthRp (Mp ) ≥ n + + k − depthRp (Mp ), depthRp (Mp ) ≥ k Vậy Mp thỏa mãn điều kiện (*), R−môđun M thỏa mãn điều kiện (Sk ) 49 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn51 Bổ đề 3.4.3 ([13, Định lý 3.3]) Cho M R−môđun Giả sử, với n ∈ N, quỹ tích Cn M , tức tập UCn (M ), mở Spec(R) Khi đó, với k ∈ N, quỹ tích (Sk ) M , USk (M ) = {p ∈ Spec(R) | Mp thỏa mãn (Sk )} mở Spec(R) Chứng minh Với ≤ n < m, ta xét tập đóng Spec(R), Yn,k = {q ∈ V (bn ) | ht(bn Rq ) ≤ n + k}, xét phần bù Vn,k = Spec(R) \ Yn,k tập mở Spec(R) Khi theo Bổ đề 3.4.2 ta thấy USk (M ) = Vn,k 0≤n