Quỹ tích mở của môđun phân bậc

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM —————————— ĐÀM VĂN HÀNH QUỸ TÍCH MỞ CỦA MÔĐUN PHÂN BẬC LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.05 Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN VĂN HOÀNG THÁI NGUYÊN - NĂM 2012 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn1 Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN VĂN HOÀNG Phản biện 1: Phản biện 2: Luận văn sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận văn họp tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên Ngày tháng năm 2012 Có thể tìm hiểu tại Thư viện Đại học Thái Nguyên Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn2 Mục lục Mở đầu 2 1 Kiến thức cơ sở 5 1.1 Một số khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Môđun phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Môđun Cohen-Macaulay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4 Tôpô Zariski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.5 Vành và môđun phân bậc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2 Quỹ tích phẳng cho trường hợp vành địa phương 15 2.1 Tính chất môđun phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2 Quỹ tích phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3 Quỹ tích mở của môđun phân bậc 30 3.1 Công thức Auslander-Buchsbaum mở rộng . . . . . . . 30 3.2 Quỹ tích codepth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.3 Quỹ tích Cohen-Macaulay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.4 Quỹ tích (S k ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Kết luận 51 Tài liệu tham khảo 52 1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn3 Mở đầu Một kết quả của nổi tiếng của Grothendieck nói rằng, nếu M là môđun hữu hạn sinh trên vành Noether hoàn hảo A (xem Định nghĩa 1.5.8), thì với mọi k ∈ N ta có quỹ đạo (S k ) của M U S k (M) = {p ∈ Spec(A) | M p thỏa mãn (S k )} là một tập con mở của Spec(A) (xem [6]). Ở đây, (S k ) là kí hiệu cho điều kiện Serre, nhắc lại rằng M p thỏa mãn điều kiện Serre (S k ) nếu với mọi q ∈ Spec(A) mà q ⊆ p ta luôn có depth A q (M q ) ≥ min{dim A q (M q ), k}. Từ đó ta suy ra, với vẫn môđun M như vậy, quỹ tích Cohen-Macaulay U CM (M) = {p ∈ Spec(A) | M p là Cohen-Macaulay} là một tập con mở của Spec(A). Bây giờ cho A =  n≥0 A n là vành Noether phân bậc thuần nhất hoàn hảo (xem Định nghĩa 1.5.9) và M =  i∈Z M i là một A−môđun phân bậc hữu hạn sinh. Ta có thể xét M như là A 0 −môđun, khi đó M là tổng trực tiếp của các môđun hữu hạn sinh trên A 0 . Hơn nữa, nếu vành cơ sở A 0 là vành Noether địa phương, thì khái niệm về độ sâu là có ý nghĩa cho A 0 −môđun M và ta có thể xét quỹ đạo (S k ) của nó U 0 S k (M) = {p ∈ Spec(A 0 ) | M p thỏa mãn (S k )}, trong đó M p kí hiệu cho địa phương hóa của M tại tập đóng nhân A 0 \ p. Trong luận văn này ta sẽ chứng minh rằng với giả thiết nêu trên thì qũy đạo (S k ) của 2 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn4 A 0 −môđun M là các tập con mở của Spec(A 0 ) với mọi k ∈ N (xem Định lý 3.4.4). Đặc biệt, quỹ đạo Cohen-Macaulay của M (khi xét như A 0 −môđun) U 0 CM (M) = {p ∈ Spec(A 0 ) | M p là Cohen-Macaulay } là một tập con mở của Spec(A 0 ) (xem Định lý 3.3.5). Một thành phần quan trọng sử dụng để chứng minh các kết quả trên đó là tiêu chuẩn Nagata về tính mở (xem Định lý 2.2.4), và một số kết quả về tính mở của: quỹ tích phẳng (xem Định lý 2.2.5, 3.2.1), quỹ tích Projdim (xem Định lý 3.2.2), quỹ tích codepth (xem Định lý 3.3.4). Nội dung chính của luận văn này được viết dựa trên hai nguồn sau đây: thứ nhất là một số kết quả về quỹ đạo mở trong cuốn sách “Commutative ring theory” (xem [11]) của tác giả H. Matsumura; thứ hai là một phần của bài báo "Open loci of graded modules" của hai tác giả C. Rotthaus-L. M. Sega (xem [13]). Ngoài ra luận văn cũng dựa vào một số tài liệu có tính chất hướng dẫn đó là các bài giảng về nhập môn hình học đại số của GS. TSKH. Nguyễn Tự Cường, đại số đồng điều của PGS. TS. Lê Thị Thanh Nhàn, nhập môn đaị số giáo hoán của TS. Nguyễn Văn Hoàng. Luận văn gồm ba chương. Chương 1: Trình bày một số kiến thức cơ bản về chiều môđun, chiều xạ ảnh, môđun phẳng, môđun Cohen-Macaulay, Tôpô Zaiski, Vành và môđun phân bậc. Chương 2: Trình bày chi tiết về tính chất môđun phẳng, về tiêu chuẩn Nagata để kiểm tra tính mở, và một số kết quả về quỹ tích mở. Nội dung chương 2 được dựa vào cuốn sách "Commutative ring theory" của H. Matsumura. Chương 3 được viết dựa trên bài báo [13] của Rotthaus-Sega. Chương này trình bày về công thức Auslander-Buchsbaum mở rộng, quỹ tích codepth, quỹ tích Cohen-Macaulay, và quỹ tích (S k ). Những kết quả của chương 3 hoặc là mở rộng hoặc là tổng quát hóa một số kết quả ở các chương trước và của Grothendieck được trình bày trong [6]. Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của TS. NGUYỄN VĂN HOÀNG giảng viên Khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, người đã 3 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn5 hướng dẫn tôi cách đọc tài liệu, nghiên cứu khoa học đúng đắn, tinh thần làm việc nghiêm túc và đã dành nhiều thời gian, công sức giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo của: Viện toán học, Đại học sư phạm Thái Nguyên, Đại học khoa học tự nhiên Thái Nguyên, những người đã tận tình giảng dạy và khích lệ, động viên tôi vượt qua những khó khăn trong học tập. Tôi xin cảm ơn ban lãnh đạo trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Khoa sau đại học, Sở GDĐT tỉnh Bắc Ninh, Ban giám hiệu và Tổ Toán - Tin trường THPT Nguyễn Văn Cừ - Từ Sơn - Bắc Ninh, đã tạo mọi điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian tôi học tập. Cuối cùng tôi xin cảm ơn bạn bè, người thân đã giúp đỡ, động viên, ủng hộ tôi để tôi có thể hoàn thành tốt khóa học của mình. Trong quá trình làm luận văn chắc không thể tránh khỏi những sai sót, rất mong độc giả đóng góp ý kiến. Tôi hy vọng rằng bản thân có điều kiện tiếp tục đi sâu nghiên cứu những vấn đề đã được đặt ra trong luận văn. Thái nguyên, Ngày tháng năm 2012 TÁC GIẢ 4 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn6 Chương 1 Kiến thức cơ sở Mục đích của chương này nêu định nghĩa một số khái niệm cần thiết phục vụ cho luận văn được viết trong giáo trình nhập môn đại số giao hoán, nhập môn hình học đại số, đại số đồng điều và cuốn sách lý thuyết vành giao hoán của H. Matsumura, iđêan nguyên tố liên kết, môđun xạ ảnh, chiều xạ ảnh, dãy khớp ngắn, chiều của vành và môđun, môđun phẳng, môđun Cohen-Macaulay, tôpô Zaiski, vành và môđun phân bậc, vành hoàn hảo, định lý Artin-Rees, công thức Auslander-Buchsbaum. Bên cạnh đó cũng phát biểu lại nhưng không chứng minh một số tính chất có liên quan. Nội dung của chương này được đưa vào làm kiến thức cơ sở của luận văn. 1.1 Một số khái niệm cơ bản Trước hết ta trình bày một số khái niệm cơ bản trong đại số giao hoán như iđêan nguyên tố liên kết, giá của môđun, dãy khớp ngắn chẻ ra. Ta luôn giả thiết vành A là giao hoán và có đơn vị, M là một A−môđun. Định nghĩa 1.1.1. (Iđêan nguyên tố liên kết) Cho M là một A−môđun, một iđêan nguyên tố p của vành A được gọi là iđêan nguyên tố liên kết của M nếu tồn tại một phần tử 0 = x ∈ M sao cho ann(x) = p. Tập các iđêan nguyên tố liên kết của môđun M được kí hiệu bởi Ass A (M) hoặc Ass(M). 5 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn7 Định nghĩa 1.1.2. (Giá của môđun) Cho M là một A-môđun, giá của môđun M kí hiệu là Supp A (M) hoặc Supp(M), nó được xác định bởi Supp A (M) = {p ∈ Spec(A)|M p = 0}. Định nghĩa 1.1.3. (Môđun xạ ảnh) Một A−môđun P được gọi là xạ ảnh nếu với mọi toàn cấu f : M → N với mọi đồng cấu g : P → N luôn tồn tại đồng cấu h : P → M sao cho fh = g. Mệnh đề 1.1.4. i. Mọi môđun tự do đều là môđun xạ ảnh. ii. Mỗi môđun M đều có một dải xạ ảnh → F n → F n−1 → → F 0 → M → 0, trong đó F i là các môđun xạ ảnh. Định nghĩa 1.1.5. (Dãy khớp ngắn chẻ ra) Một dãy khớp ngắn 0 → M f −→ N g −→ P → 0 được gọi là chẻ ra nếu tồn tại một đồng cấu h : P → N sao cho gh = 1 P . Mệnh đề 1.1.6. Nếu dãy khớp 0 → M f −→ N g −→ P → 0 là chẻ ra thì N ∼ = M ⊕ P . Định nghĩa 1.1.7. (Chiều xạ ảnh) Cho M là A−môđun, chiều xạ ảnh của M, kí hiệu là Projdim(M), là số nguyên không âm n nhỏ nhất sao cho tồn tại một giải xạ ảnh P • của M với P i = 0 với mọi i > n. Nếu không tồn tại số nguyên n nào như vậy thì ta đặt Projdim(M) = ∞. Định nghĩa 1.1.8. (Chiều Krull) Cho A là một vành giao hoán, một dãy giảm thực sự các iđêan nguyên tố p 0 ⊃ p 1 ⊃ p 2 ⊃ ⊃ p n của vành A được gọi là một xích nguyên tố có độ dài là n. Cận trên của độ dài tất cả các xích nguyên tố trong A được gọi là chiều Krull của A, hay chiều của vành A. Kí hiệu là dimA. Định nghĩa 1.1.9. (Độ cao của iđêan) Cho A là vành giao hoán và p là iđêan nguyên tố của A. Chiều dài lớn nhất của mọi dãy giảm thực sự các iđêan nguyên tố p = p 0 ⊃ p 1 ⊃ p 2 ⊃ ⊃ p r xuất phát từ p, được gọi là độ cao của p, kí hiệu là ht p. Cho I là một iđêan của A. Độ cao của iđêan I kí hiệu ht I được cho bởi 6 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn8 công thức ht I = inf{ht p | p ∈ V (I)} trong đó V (I) là tập các iđêan nguyên tố của A chứa I. Định nghĩa 1.1.10. (Chiều của môđun) Cho M là một A−môđun khi đó chiều của M kí hiệu là dimM được xác định bởi dim M = dim(A/ ann M), trong đó ann M = {a ∈ A | aM = 0}. Mệnh đề 1.1.11. i. Nếu (A, m) là một vành địa phương thì dim A = ht m. ii. Cho p là một iđêan nguyên tố của vành A, khi đó dim A p = ht pA p = ht p. Định nghĩa 1.1.12. a. Vành A được gọi là catenary nếu thỏa mãn điều kiện sau: với bất kì hai iđêan nguyên tố p và p  của A với p ⊂ p  , thì luôn tồn tại một dãy bão hòa các iđêan nguyên tố xuất phát từ p và kết thúc ở p  , đồng thời mọi dãy như vậy có cùng độ dài (hữu hạn). b. Vành A được gọi là catenary phổ dụng nếu A là vành Noether và mọi A−đại số hữu hạn sinh là catenary. Định nghĩa 1.1.13. (Khái niệm thớ) Cho ϕ : A → B là đồng cấu vành và p ∈ Spec A, đặt k(p) = A p /pA p . Khi đó Spec(B ⊗ A k(p)) gọi là thớ của ϕ trên p. Định lý 1.1.14. Cho A là một vành Noether và M là một A−môđun hữu hạn sinh khác không. Khi đó có dãy các môđun con của M: 0 = M 0 ⊂ M 1 ⊂ M 2 ⊂ ⊂ M n = M và có các p i ∈ Spec A sao cho M i /M i−1 ∼ = A/p i với mọi i = 1, . . . , n. 1.2 Môđun phẳng Định nghĩa 1.2.1. (Môđun phẳng) Một A−môđun N được gọi là A-môđun phẳng (hoặc môđun phẳng trên A) nếu nó thỏa mãn tính chất sau: với mọi dãy khớp ngắn 0 → M  → M → M  → 0 gồm các A−môđun, ta luôn suy ra được dãy 0 → M  ⊗ A N → M ⊗ A N → M  ⊗ A N → 0 cũng khớp. Ví dụ 1.2.2. Cho A là một vành giao hoán, S là một tập đóng nhân của A, và M là A−môđun. Khi đó S −1 M ∼ = S −1 A⊗ A M (do hàm tử địa phương là khớp). Do vậy S −1 A là A−môđun phẳng. 7 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn9 Mệnh đề 1.2.3. ([10, Mệnh đề 2.19]) Cho N là A−môđun khi đó mệnh đề sau tương đương. i. N là A−môđun phẳng. ii. Nếu 0 → M  → M → M  → 0 là một dãy khớp các A−môđun thì 0 → M  ⊗ A N → M ⊗ A N → M  ⊗ A N → 0 cũng là dãy khớp. iii. Nếu f : M  → M là đơn cấu thì f ⊗ 1 : M  ⊗ A N → M ⊗ A N là đơn cấu. iv. Nếu f : M  → M là đơn cấu với M, M  là các A−môđun hữu hạn sinh, thì M  ⊗ A N → M ⊗ A N cũng là đơn cấu. Định lý 1.2.4. ([11, Định lý 7.7]) Cho A là một vành giao hoán và M là một A−môđun. Khi đó M là phẳng trên A nếu và chỉ nếu với mọi iđêan hữu hạn sinh I của A ánh xạ chính tắc I ⊗ A M → A ⊗ A M là đơn ánh, và do đó I ⊗ A M ∼ = IM. Mệnh đề 1.2.5. ([10, Bài tập 2.20]) Nếu f : A → A  là một đồng cấu vành và M là một A−môđun phẳng thì M A  = A  ⊗ A M là một A  −môđun phẳng. Định lý 1.2.6. ([11, Định lý 7.1]) Cho A → B là đồng cấu vành, M là một B−môđun, M là môđun phẳng trên A khi và chỉ khi với mọi P ∈ Spec B ta có M P là phẳng trên A p , trong đó p = P ∩ A. 1.3 Môđun Cohen-Macaulay Định nghĩa 1.3.1. ([11, Trang 127]) Cho dãy x = x 1 , , x n các phần tử của vành A, ta định nghĩa phức K • , như sau: đặt K 0 = A, và K p là A−môđun tự do có hạng là  n p  với cơ sở là {e i 1 , ,i p | 1 ≤ i 1 < < i p ≤ n}. Vi phân d : K p → K p−1 xác định bởi d(e i 1 , ,i p ) =  p r=1 (−1) r−1 x i r e i 1 ˆ i r i p ; (với p = 1, đặt d(e i ) = x i ). Khi đó dd = 0. Ta gọi K • là phức Koszul, và viết là K • (x). Đối với A−môđun M ta viết K • (x, M) = K • (x) ⊗ A M. Môđun đồng điều của K • (x, M) kí hiệu là H i (x, M). 8 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn10 [...]... Cho A là vành phân bậc Nếu An = 0 với mọi n < 0, ta thường gọi A là vành phân bậc dương, và kí hiệu là A = n≥0 An Trong cả luận văn này ta xét vành phân bậc dương, để tiện lợi ta chỉ gọi là vành phân bậc Ta thấy A0 là một vành con của A, và An là A0 môđun Hơn nữa, nếu M = i∈Z Mi là A môđun phân bậc, thì Mi là A0 môđun Định nghĩa 1.5.3 (Vành và môđun phân bậc liên kết) a Cho I là iđêan của vành A,... là một vành phân bậc, nó được gọi nó là vành phân bậc liên kết đối với iđêan I b Cho M là một A môđun và I là iđêan của A, đặt GI (M ) = n 0I n M/I n+1 M Khi đó GI (M ) là GI (A) môđun phân bậc, ta gọi là môđun phân bậc liên kết của M đối với iđêan I Định nghĩa 1.5.4 (Vành Rees) Cho I là một iđêan của vành A, đặt RA (I) = n 0I n Ta có I n I m = I n+m Khi đó RA (I) là một vành phân bậc, ta gọi nó... phân bậc hoàn hảo thuần nhất thì quỹ tích codepth, và quỹ tích Cohen-Macaulay, và quỹ tích (Sk ) của M khi xét như môđun trên A0 , là các tập mở của Spec(A0 ) 3.1 Công thức Auslander-Buchsbaum mở rộng Mục đích của mục này là chứng minh định lý Auslander-Buchsbaum cho A môđun phân bậc hữu hạn sinh M khi xem M như A0 môđun Đây là một kết quả mở rộng của định lý Auslander-Buchsbaum đã nêu ở Định lý 1.3.9... một vành phân bậc Noether thuần nhất (tức là A = A0 [a1 , , ar ] với A0 là vành Noether và ai ∈ A1 với mọi i), M = i∈Z Mi là một A môđun phân bậc hữu hạn sinh Trước hết, để nghiên cứu M như A0 môđun, ta cần đến sự mở rộng của các khái niệm: độ sâu, codepth, và công thức Auslander- Buchsbaum Tiếp đến, mục đích của chương này là chỉ ra rằng nếu A là vành phân bậc hoàn hảo thuần nhất thì quỹ tích codepth,... Vành và môđun phân bậc Định nghĩa 1.5.1 ([3, Định nghĩa 1.5.1]) i Cho A là vành giao hoán và có đơn vị và thỏa mãn các điều kiện sau +) A = n∈Z An , trong đó An là các nhóm con cộng của A +) An Am ⊆ An+m với mọi n, m ∈ Z Khi đó A được gọi là vành phân bậc ii Cho A là vành phân bậc và M là một A môđun Khi đó M được gọi là A môđun phân bậc nếu +) M = n∈Z Mn , trong đó Mn là các nhóm con cộng của M +)... về tính mở của một số tập con của Spec(A) khi (A, m) là vành Noether địa phương Trong đó một tiêu chuẩn quan trọng để kiểm tra tính chất mở của các tập con trong không gian tôpô Zariski cũng được trình bày, đó là là tiêu chuẩn Nagata Tiếp theo chương này trình bày kết quả về tính mở của quỹ tích phẳng của A môđun M Phần lớn nội dung chương này dựa theo cuốn sách "Commutative Ring Theory” của tác giả... cho (M/pM )a là môđun tự do trên (A)a , do đó nếu Q ∈ V (aB) thì MQ /pMQ là phẳng trên A Do vậy, tập con mở / (W ∩ V (P )) − V (aB) của V (P ) được chứa trong U Suy ra (2) được thỏa mãn 29 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn31 Chương 3 Quỹ tích mở của môđun phân bậc Nội dung chương này được trình bày dựa trên bài báo OPEN LOCI OF GRADED MODULES của Rotthaus-Sega... thành một không gian tôpô Tôpô của X xác định bởi họ các tập đóng {V (I) | I là iđêan của A} được gọi là tôpô Zariski Với mỗi a ∈ A, tập D(a) = {p ∈ Spec(A) | a ∈ p} là phần bù của V (aR) do vậy sẽ là một tập mở / Như vậy mọi tập mở của X = Spec(A) đều viết dưới dạng hợp của các tập mở có dạng D(a) Nếu U = Spec(A) \ V (I) thì U = a∈I D(a); do đó các tập mở dạng D(a) là cơ sở của tôpô Zariski Định nghĩa... F , chứng tỏ F ⊆ F ), nên F là đóng, suy ra U mở Dưới đây là một áp dụng hiệu quả của tiêu chuẩn Nagata trong chứng minh tính mở của quỹ đạo phẳng Định lý 2.2.5 ([11, Định lý 24.3 - trang 187] Quỹ tích phẳng) Cho A là một vành Noether, B là một A−đại số hữu hạn sinh và M là một B môđun hữu hạn Đặt U = {P ∈ Spec(B) | MP là phẳng trên A} Khi đó U là tập mở trong Spec(B) Chứng minh Ta cần chứng tỏ hai... I−adic) Cho M là một A môđun và I là một iđêan của A Môđun M được gọi là tách iđêan I−adic nếu ta có a ⊗A M là tách 11 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn13 đối với tôpô I−adic, với mọi iđêan a hữu hạn sinh của A Định nghĩa 1.4.6 (Môđun Tor) Hàm tử dẫn xuất trái của hàm tử tích texơ được gọi là hàm tử Tor Cho M và N là các A môđun Để tính môđun TorA (M, N ) i . . 24 3 Quỹ tích mở của môđun phân bậc 30 3.1 Công thức Auslander-Buchsbaum mở rộng . . . . . . . 30 3.2 Quỹ tích codepth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.3 Quỹ tích Cohen-Macaulay. là vành phân bậc. Ta thấy A 0 là một vành con của A, và A n là A 0 môđun. Hơn nữa, nếu M =  i∈Z M i là A môđun phân bậc, thì M i là A 0 môđun. Định nghĩa 1.5.3. (Vành và môđun phân bậc liên. Auslander-Buchsbaum mở rộng, quỹ tích codepth, quỹ tích Cohen-Macaulay, và quỹ tích (S k ). Những kết quả của chương 3 hoặc là mở rộng hoặc là tổng quát hóa một số kết quả ở các chương trước và của Grothendieck