Vành và môđun phân bậc định lý artin rees

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LÊ XUÂN TUẤN VÀNH VÀ MÔĐUN PHÂN BẬC ĐỊNH LÝ ARTIN - REES LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN – 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LÊ XUÂN TUẤN VÀNH VÀ MÔĐUN PHÂN BẬC ĐỊNH LÝ ARTIN - REES Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SÔ Mã số: 60.46.05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH Nguyễn Tự Cường THÁI NGUYÊN – 2014 Mục lục Lời mở đầu 1 Vành môđun Noether, Artin 1.1 Vành môđun Noether 1.2 Định lý sở Hilbert 1.3 Môđun Artin 10 Vành môđun phân bậc - Định lý Artin-Rees 13 2.1 Vành môđun phân bậc 13 2.2 Vành phân bậc liên kết vành Rees 16 2.3 Định lý Artin-Rees hệ 19 Đa thức Hilbert 24 3.1 Độ dài môđun 24 3.2 Đa thức Hilbert 27 3.3 Đa thức Hilbert-Samuel 32 Kết luận 43 Tài li i Tài liệu tham khảo 44 ii Lời mở đầu Cho R giao hoán, M R-mơđun, I iđêan R Mục đích luận văn nghiên cứu vành môđun phân bậc, Định lý ArtinRees Đặc biệt, xem xét trường hợp vành R vành Noether Các nội dung trình bày luận văn dựa giảng GS.TSKH Nguyễn Tự Cường tài liệu tham khảo : Introduction to commutative (M.F Atiyah and I.G Macdonal), Step in commutative algebra (R.Y Sharp), Commutative algebra , Commutative ring theory (H Matsumura) Với mục đích tìm hiểu vành mơđun phân bậc, Định lý ArtinRees hệ Tơi lựa chọn đề tài " Vành môđun phân bậc, định lý Artin-Rees" làm luận văn tốt nghiệp thạc sỹ Luận văn gồm chương Trong chương 1, tơi trình bày kiến thức sở định nghĩa tính chất vành mơđun Noether, Artin; đặc biệt, chương Định lý sở Hilbert hệ Đây cơng cụ quan trọng cho nghiên cứu trình bày luận văn Chương chương luận văn Trong chương này, nghiên cứu vành mơđun phân bậc bao gồm: định nghĩa tính chất vành môđun phân bậc; vành phân bậc liên kết vành Rees; định nghĩa tính chất lọc môđun; Định lý Artin-Rees hệ Chương chương trình bày đa thức Hilbert bao gồm: độ dài môđun, Định lý đa thức Hilbert Đa thức Hilbert-Samuel Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học GS.TSKH Nguyễn Tự Cường Em xin tỏ lòng cảm ơn chân thành tới Thầy giúp đỡ nhiệt tình từ xây dựng đề cương, viết hoàn thành luận văn Tiếp theo em xin chân thành cảm ơn tới thầy cô giáo trường Đại học Thái Nguyên, Viện Tốn học, người tận tình giảng dạy khích lệ, động viên em vượt qua khó khăn học tập Cuối xin chân thành cảm ơn gia đình, người thân, bạn bè giúp đỡ vật chất lẫn tinh thần để hồn thành luận văn khóa học Thái Nguyên, ngày tháng năm 2014 Tác giả luận văn Lê Xuân Tuấn Xác nhận khoa Xác nhận giáo viên hướng dẫn Chương Vành mơđun Noether, Artin Trong tồn luận văn ta ln xét vành giao hốn có đơn vị 1.1 Vành môđun Noether Trước hết ta chứng minh định lý Định lý 1.1.1 Cho M R−mơđun Khi điều kiện sau tương đương: (i) Mọi tập khác rỗng môđun M có phần tử cực đại (ii) Mọi mơđun M hữu hạn sinh (iii) Mọi dãy tăng môđun M M1 ⊆ M2 ⊆ ⊆ Mn ⊆ dừng, nghĩa tồn m để Mk = Mm , ∀k ≥ m Chứng minh (i) =⇒ (ii) Ta cần chứng minh R−môđun N tùy ý M hữu hạn sinh Thật vậy, giả sử N vô hạn sinh Xét tập hợp tất R−môđun hữu hạn sinh N Vì ∈ = ∅ Theo giả thiết, tồn nên phần tử cực đại N Vì N hữu hạn sinh, nên tồn x ∈ N \N Từ suy R−môđun hữu hạn sinh N + xR ∈ , điều trái với tính cực đại N N ⊂ N + xR Vậy N hữu hạn sinh (ii) =⇒ (iii) Giả sử M1 ⊆ M2 ⊆ ⊆ Mn ⊆ xích tăng tùy ý R−mơđun M (*) Đặt N = ∪∞ i=1 Mi Khi đó, N môđun M suy N hữu hạn sinh, sinh phần tử x1 , , xk , xi ∈ N, ∀i = 1, , k Suy tồn n0 cho x1 , , xk ∈ Mn0 , N ⊆ Mn0 Mt = Mn0 , ∀t ≥ n0 , từ suy (*) dừng (iii) =⇒ (i) Ta chứng minh phản chứng Giả sử ngược lại, tức = ∅ gồm môđun M mà tồn tập hợp khơng có phần tử cực đại Chọn M1 ∈ phần tử tùy ý, có phần tử cực đại nên tồn M2 ∈ trình với ý khơng M1 ⊂ M2 Tiếp tục q khơng có phần tử cực đại ta chọn xích tăng khơng dừng môđun M M1 ⊂ M2 ⊂ ⊂ Mn ⊂ điều trái với giả thiết Vậy tập khác rỗng môđun M có phần tử cực đại Định nghĩa 1.1.2 Một R−môđun M gọi môđun Noether thỏa mãn điều kiện tương đương Định lý 1.1.1 Vành R vành Noether R−mơđun Noether Từ định nghĩa ta có nhận xét sau Nhận xét 1.1.3 Một tập khác rỗng R R−môđun R−môđun R iđêan R, nên R vành Noether R thỏa mãn ba điều kiện tương đương sau (i) Mọi tập hợp khác rỗng iđêan R có phần tử cực đại (ii) Mọi dãy tăng iđêan R I1 ⊆ I2 ⊆ ⊆ In dừng, nghĩa ∃m để Ik = Im , ∀k ≥ m (iii) Mọi iđêan R hữu hạn sinh Ví dụ 1.1.4 (a) Vành số nguyên Z vành Noether iđêan iđêan nên hữu hạn sinh Tổng quát, vành vành Noether (b) Một trường vành Noether (c) Một không gian vectơ môđun Noether hữu hạn chiều (d) Vành đa thức vơ hạn biến vành giao hốn R khác khơng khơng phải vành Noether, R[x1 , x2 , ] có dãy tăng thực vô hạn iđêan R[x1 , x2 , ] (x1 ) ⊂ (x1 , x2 ) ⊂ ⊂ (x1 , x2 , , xn ) ⊂ 1.2 Định lý sở Hilbert Trước hết ta chứng minh định lý Định lý 1.2.1 Cho R vành giao hốn có đơn vị dãy khớp ngắn R−môđun −→ M −→ M −→ M −→ Khi M môđun Noether M M mơđun Noether Chứng minh Khơng tính tổng qt ta giả thiết thêm M R−môđun M M = M/M Giả sử M mơđun Noether Vì xích tăng mơđun M xích tăng M nên M Noether Cho N1 ⊆ N2 ⊆ ⊆ Nn ⊆ dãy tăng môđun M Khi tồn dãy tăng môđun M1 ⊆ M2 ⊆ ⊆ Mn ⊆ M cho Nn = Mn /M , ∀n Suy tồn số tự nhiên k để Mn = Mk , ∀n ≥ k, tức Nn = Nk , ∀n ≥ k M Noether Ngược lại, cho M1 ⊆ M2 ⊆ ⊆ Mn ⊆ xích tăng tùy ý mơđun M , ta nhận xích tăng mơđun sau M1 ∩ M ⊆ M2 ∩ M ⊆ ⊆ Mn ∩ M ⊆ M (M1 + M )/M ⊆ (M2 + M )/M ⊆ ⊆ (Mn + M )/M ⊆ Xét trường hợp sau Trường hợp N không bất khả quy Khi ∃N1 , N2 ⊃ N để N = N1 ∩ N2 Nên ta có P(M/N ) P(M/N ) Vì (N1 + N2 )/N1 ∼ = N2 /N1 ∩ N2 = N2 /N nên FM/N (n) = FM/N2 (n) + F(M/N )/(M/N2 ) (n) = FM/N2 (n) + FN2 /N (n) = FM/N2 (n) + F(N1 +N2 )/N1 (n) = FM/N2 (n) + FM/N1 (n) − FM/(N1 +N2 ) Do FM/N2 (n), FM/N1 (n) FM/(N1 +N2 ) (n) đa thức nên ta suy P(M/N ) N không bất khả quy Trường hợp N bất khả quy Khi N nguyên sơ Giả sử {p} = AnnR (M/N) Đặt I = (x1 , , xm ) ⊆ R M/N = M Giả sử I ⊆ p Ta phải chứng minh (M/N )n = 0, n đủ lớn Thật vậy, giả sử M/N = y1 R + + yk R với yi ∈ (M/N )di , (degyi = di ) Đặt d= max(d1 , , dk ) Ta chứng minh (M/N )n+d = I n (M/N )d , ∀n ≥ Rõ ràng I n (M/N )d ⊆ (M/N )d+n Lấy y ∈ (M/N )n+d , suy tồn g1 , , gk ∈ R cho y = y1 g1 + + yk gk với deggi = n + (d − di ) Do d=max(d1 , , dk ), suy d − di ≥ nên tồn fi ∈ I hi với degfi = n, deghi = d − di cho gi = hi fi Vì hi yi ∈ I n (M/N )d suy y = y1 h1 f1 + + yk hk fk ∈ I n (M/N )d tức (M/N )n+d ⊆ I n (M/N )d Vậy (M/N )n+d = I n (M/N )d , ∀n ≥ 30 AssR (M/N) nên với a ∈ p, tồn r Mặt khác, ta có p = cho ar ∈Ann(M/N ) Do ar (M/N ) = Giả sử p = (a1 , , as ) Khi tồn ri cho ari i (M/N ) = Ta chọn l =max(sr1 , , srs ) al (M/N ) = 0, ∀a ∈ p Suy p(M/N )l = với n ≥ l Mặt khác (M/N )n+d = I n (M/N )d ⊆ p(M/N )n = Suy (M/N )n+d = 0, ∀n ≥ Vậy (M/N )n = với n ≥ l + d Do ta có P(M/N ) Nên ta có dãy khớp x i −→ (M/N )n −−→ (M/N )n+1 −→ (M/(N + xi M ))n+1 −→ suy FM/N (n + 1) − FM/N (n) = FM/(N +xi M ) (n + 1) Vì N ⊂ N + xi M nên F(M/N +xi M ) (n + 1) đa thức với n đủ lớn Do FM/N (n + 1) − FM/N (n) đa thức Đa thức PM (n) gọi đa thức Hilbert M Chú ý 3.2.4 Nếu f (x) ∈ Q[x] giả sử thêm f (n) ∈ Z, ∀n ∈ Z degf (n) = d Khi đó, tồn số nguyên a0 = 0, a1 , , ad cho     n+d n+d−1  − a1   + + (−1)d ad f (n) = a0  d d−1 Theo định lí đa thức Hilbert, tồn số nguyên e0 (M ) > 0, e1 (M ), , ed (M ), d = deg PM (n) cho  PM (n) = e0 (M )  n+d d    − e1 (M )  31 n+d−1 d−1   + + (−1)d ed (M ) Các số e0 (M ), e1 (M ), , ed (M )gọi hệ số Hilbert môđun phân bậc M Đặc biệt, e0 (M ) gọi số bội M , e1 (M )được gọi lớp Chern M 3.3 Đa thức Hilbert-Samuel Định nghĩa 3.3.1 (i) Cho R vành giao hoán Một dãy giảm iđêan nguyên tố p0 ⊃ p1 ⊃ ⊃ pn R gọi xích ngun tố Có độ dài n (ii) Cho p iđêan nguyên tố R Cận tất độ dài xích nguyên tố bắt đầu p gọi độ cao p, kí hiệu ht(p), ht(p) = sup{n|p = p0 ⊃ p1 ⊃ ⊃ pn xích nguyên tố } Với I iđêan R Độ cao I, kí hiệu ht(I), xác định ht(I) = inf{ ht(p)|p ∈ V (I)} (iii) Cận độ dài tất xích nguyên tố R gọi chiều vành R, kí hiệu dim R (còn gọi chiều Krull R) Với M R−mơđun chiều M , kí hiệu dim M , xác định dim M = dim(R/AnnM) Ví dụ 3.3.2 (i) dim Z =1 xích ngun tố Z có dạng ⊂ pZ, với p số nguyên tố 32 (ii) Khi k trường dim k = k có iđêan nguyên tố (iii) Nếu k trường dim k[x] = xích nguyên tố k[x] có dạng ⊂ (f (x)), với f (x) đa thức bất khả quy k[x] (iv) Với k trường dim k[x1 , , xn ] = n (v) Nếu R vành Noether, ta có dim R[x1 , , xn ] = dim R + n (vi) Cho R = R[x, y] I = (x2 , xy) Khi I = (x2 , y) ∩ (x2 , x) = (x2 , y) ∩ (x) phân tích nguyên sơ I Suy ht(I) = inf {ht(x), ht(x2 , y)} = Đặt Q1 = (x), Q2 = (x2 , y) Khi p iđêan nguyên tố chứa Q1 ∩ Q2 p ⊆ Q1 p ⊇ Q2 theo định lý tránh nguyên tố Từ suy xích ngun tố R chứa Q1 ∩ Q2 xích nguyên tố R chứa Q1 Q2 , dim(R/I) = dim(R/Q1 ∩ Q2 ) = √ sup{dim(R/Q1 ), dim(R/Q2 ) } Từ dim(R/I) = dim(R/ I), suy √ √ √ dim(R/ I) = sup{dim(R/ Q1 ), dim(R/ Q2 )} = sup{dim(R/(x)), dim(R/(x, y))} Vì R/(x, y) ∼ = R, R/(x) ∼ = R[y] nên dim(R/I) = Nhận xét 3.3.3 (1) Giả sử R vành Noether, I iđêan R Giả sử I có phân tích ngun sơ thu gọn I = Q1 ∩ ∩ Qn , Qi iđêan pi −nguyên sơ Theo định nghĩa ht(I) = inf{ht(p)i |i = 1, 2, , n} = inf{ht(p)i |pi tối tiểu {p1 , , pn }} 33 (2) Giả sử = Q1 ∩ ∩ Qn phân tích nguyên sơ iđêan R với Qi pi −nguyên sơ Theo định nghĩa dim R = sup{dim(R/pi |i = 1, , n)} = sup{dim(R/p)i |pi tối tiểu {p1 , , pn }} (3) Cho R vành địa phương (R/m) Khi ta có dimR = ht(m) (4) Cho p iđêan nguyên tố vành R Khi Rp vành địa phương với iđêan cực đại pRp Vậy dimRp = ht(pRp ) Mặt khác Spec(Rp ) = {QRp |Q ∈Spec R, Q ⊆ p } suy dim Rp = ht(pRp ) = ht(p) Mệnh đề 3.3.4 Cho R vành Noether, M R−môđun hữu hạn sinh Khi đó, mệnh đề sau tương đương: (i) M có độ dài hữu hạn (ii) R/AnnM vành Artin (iii) dimM = Chứng minh (ii) =⇒ (iii) Giả sử R/AnnM vành Artin Khi đó, iđêan nguyên tố p khác R/AnnM tối đại (tính chất vành Artin) Vậy dimM = dimR/AnnM = (iii) =⇒ (ii) Giả sử dimM = Khi dim(R/AnnM ) = Vì R Noether nên R/AnnM Noether Mặt khác, p = iđêan nguyên tố R/AnnM p thuộc iđêan tối đại q, suy có xích ngun tố q ⊇ p Do dim(R/AnnM ) = nên q = p, suy p tối đại Vậy R/AnnM vành Artin 34 (ii) =⇒ (i) Giả sử R/AnnM vành Artin Do M R−môđun Noether nên M hữu hạn sinh, M = Rm1 + +Rmn với m1 , , mn ∈ M Xét tương ứng ϕ : R × × R −→ M cho ϕ(a1 , , an ) = a1 m1 + + an mn Hiển hiên ϕ ánh xạ đồng cấu R−đồng cấu môđun ϕ cảm sinh ánh xạ ϕ : (R/AnnR M )n −→ M cho ϕ(a1 , , an ) = a1 m1 + + an mn ϕ hiển nhiên R−đồng cấu mơđun (ϕ ánh xạ (a1 , , an ) = (b1 , , bn ) = b1 ∈AnnR M , suy (ai + bi )mi = hay mi = bi mi , ∀i = 1, n) ϕ hiển nhiên toàn ánh Vậy ϕ tồn cấu mơđun Vì R/AnnR M R−môđun Artin nên (R/AnnR M )n = (R/AnnR M ) × × (R/AnnR M ) R−mơđun Artin, suy (R/AnnR M )n /Ker(ϕ) nên M R−môđun Artin Suy M có độ dài hữu hạn (i) =⇒ (ii) Xét tương ứng ψ : R −→ M n = M × × M cho ψ(a) = (am1 , , amn ) Rõ ràng ψ ánh xạ đồng cấu môđun Ta xét a ∈ R, ψ(a) = a = 0, ∀mi ∈ M, i = 1, , n hay a ∈ AnnR M Vậy R/AnnR M ∼ = Imψ Xét tương ứng ψ : R/AnnR M −→ M n cho ψ(a) = (am1 , , amn ) ψ ánh xạ a = b a − b ⊂AnnR M , (a − b)mi = suy 35 ami = bmi , ∀i = 1, , n Hơn ψ đồng cấu môđun ψ đơn cấu ψ đơn cấu Do R/AnnR M ∼ = Im ψ Vì M mơđun Artin M n Artin Do Imψ môđun M n nên Imψ mơđun Artin Từ suy R/AnnR M Artin Cho (R, m) vành địa phương Noether Định nghĩa 3.3.5 Một iđêan I (R, m) gọi iđêan định nghĩa (R, m) ∃n > cho mn ⊆ I ⊆ m (tức I iđêan m−nguyên sơ) Khi theo mệnh đề 3.3.4, I iđêan định nghĩa dim(R/I) = √ dim(R/ I) = dim(R/m) = 0, R/I vành Artin Suy (R/I) < +∞, (R/I m ) < +∞ (vì mmn ⊆ I n ⊆ m nên I n iđêan định nghĩa) Cho I iđêan định nghĩa vành địa phương (R, m) Ta xét vành GI (R) = ⊕n≥0 I n /I n+1 Với M R−môđun hữu hạn sinh, xét môđun GI (M ) = ⊕n≥0 I n M/I n+1 M Giả sử I = a1 R + + ak R Khi GI (R) ∼ = (R/I)[a1 , , ak ], = + I ∈ I/I Đặt FM,I (n) = (GI (M )n ) = (I n M/I n+1 M ) n HM,I (n) = n (I n M/I n +1 M ) FM,I (i) = i=0 n = (M/I) + + (I n M/I n+1 M ) = (M/I n+1 M ) Theo Định lý đa thức Hilbert FM,I (n) = PM,I (n) với n đa thức Hilbert Suy HM,I (n) = PM,I (n) n 0, PM,I (n) Khi PM,I (n) gọi Đa thức Hilbert-Samuel M I Mệnh đề 3.3.6 Cho (R/m) vành địa phương Noether M R− môđun hữu hạn sinh Khi bậc Đa thức Hilbert-Samuel PM,I (n) khơng phụ thuộc vào cách chọn iđêan định nghĩa I 36 Chứng minh Giả sử I, J hai iđêan định nghĩa M , ta chứng minh degPM,I (n) = degPM,J (n) Thật vậy, I iđêan m nên tồn t cho I ⊇ mt suy J t ⊇ mt ⊇ I, (M/I n+1 M ) ≤ (M/J t(n+1) M ) hay PM,I (n) ≤ PM,J (tn), ∀n Vậy degPM,I (n) ≤ degPM,J (n) Vì I J đóng vai trị nên ta chứng minh degPM,J (n) ≤ degPM,I (n) Từ suy degPM,I (n) = degPM,J (n) Mệnh đề 3.3.7 Cho −→ M −→ M −→ M −→ dãy khớp ngắn R−môđun Noether, I iđêan định nghĩa M Khi (i) d(M ) = Max(d(M ), d(M )) (ii) Hệ số bậc cao PM,I (n)−PM (iii) deg(PM,I (n) − PM ,I (n) − PM ,I (n)) ,I(n) PM ,I (n) < degPM ,I (n) Chứng minh Khơng tính tổng qt ta giả sử M = M/M , suy M /I n M = (M/M )/I n (M/M ) Vì I n (M/M ) = (I n M + M )/M nên M /I n M = (M/M )/((I n M + M )/M ) = M/(I n M + M ) Do (M/I n M ) = (M/(I n M + M )) + ((M + I n M )/I n M ) = (M/(I n M + M )) + (M /M ∩ I n M ) Đặt ϕ(n) = (M /M ∩ I n+1 M ) Khi PM,I (n) = PM ,I (n) Theo Định lý Artin-Rees ∃c > cho M ∩ I n+1 M = I n+1−c (I c M ∩ M ), ∀n + > c 37 + ϕ(n) (1) Vì M ⊆ M nên ta có I n+1 M ⊆ I n+1 M ∩ M = I n+1−c (I c M ∩ M ) ⊆ I n+1−c M ∩ I n+1−c M suy M /I n+1 M ⊇ M /I n+1 M ∩ M ⊇ M /I n+1−c M Vậy PM ,I ≥ ϕ(n) ≥ PM ,I (n − c).(2) (i) Từ (1) ta có degPM,I (n) = Max(degPM ,I (n), degϕ(n)), suy d(M ) = Max(degd(M ), degϕ(n)).(3) Từ (2) ta có degϕ(n) = d(M ) Kết hợp với (3) ta d(M ) = Max{d(M ), d(M )} (ii) Từ (1) suy PM,I (n) − PM ϕ(n) PM,I (n) − PM ,I (n) ,I (n) = ϕ(n) Do hệ số cao hệ số cao PM ,I (n) (do (2)) (iii) Từ (1) (2) suy deg(PM,I (n) − PM ,I (n) − PM ,I (n)) = deg(ϕ(n) − PM ,I (n)) ≤ degPM ,I (n) (4).Theo (ii) hệ số cao PM,I (n) − PM PM ,I (n)) ,I (n) PM ,I (n) nên deg(PM,I (n) − PM ,I (n) − < degPM ,I (n) Mệnh đề 3.3.8 Cho (R, m) vành địa phương Noether M R− môđun hữu hạn sinh dim M = r, ∃x1 , , xr ∈ m cho (M/(x1 , , xr )M ) < +∞ Chứng minh Quy nạp theo r Nếu r = M vành Artin nên (M/(x1 , , xr )M ) < +∞ suy mệnh đề Giả sử mệnh đề với r − 1, r > 0, ta cần chứng minh mệnh đề với r 38 Giả sử {p1 , , pt } iđêan nguyên tố tối thiểu tập AssR (M ) suy m ∈ / {p1 , , pt } (vì m = pi ht(pi ) = ht(m) = dim M = r > 0, mà pi ∈ AssR (M ) pi tối thiểu suy ht(pi ) = 0, vơ lí) Theo Định lý tránh ngun tố, tồn x ∈ m\ ∪ti=1 pi Xét môđun M = M/xM , ta chứng minh dimM = r − Thật vậy, hiển nhiên dimM ≥ r − Mặt khác ta có p= Ann(M/xM) = (x) + AnnR M(∗) p∈Ass(M/xM) Từ (*) suy ra, p ∈ AssR (M ) x ∈ p √ AnnM ⊆ p Do tồn i ∈ {1, , t} cho pi ⊂ p, suy dim(R/pi ) > dim(R/p), ta dimM > dim(M/xM ) = dimM Từ suy dimM < r − Vậy dimM = r − Áp dụng giả thiết quy nạp cho M = M/xM , tồn x1 , , xr−1 cho (M /(x1 , , xr−1 )M ) < +∞ Vì M /(x, x1 , , xr−1 )M ∼ = M/(x, x1 , , xr−1 )M nên (M/(x, x1 , , xr−1 )M ) < +∞ Vậy mệnh đề với r Đặt δ(M ) = {r|∃x1 , , xn ∈ m, (M/(x1 , xn )M ) < +∞} Khi ta có đẳng thức chiều đa thức Hilbert với chiều môđun M δ(M ) Điều khẳng định định lý Định lý 3.3.9 Cho (R, m) vành địa phương Noether M R−môđun hữu hạn sinh Khi δ(M ) = d(M ) = dimM Chứng minh Ta chứng minh dimM ≥ δ(M ) ≥ d(M ) ≥dim M (1) dimM ≥ δ(M ) Thật vậy, giả sử dimM = r Khi theo mệnh đề 3.3.8, tồn x1 , , x4 ∈ m cho (M/(x1 , , xr )M ) < +∞ Suy r ≥ δ(M ) hay dimM ≥ δ(M ) 39 (2) δ(M ) ≥ d(M ) Giả sử δ(M ) = r, suy tồn x1 , , xr ∈ m cho (M/(x1 , , xr )M ) < +∞ Đặt M = M/(x1 , , xr )M, J = (x1 , , xr )R Khi AnnR M ⊇ J suy (M /In+1 M ) = (M ) < +∞ PM ,I (n) số n Vậy degPM ,I (n) = d(M ) = Xét I iđêan định nghĩa M mà (x1 , , xr ) = J ⊆ I (chẳng hạn I = m) Trong môđun thương M/x1 M ta có (M/x1 + I n+1 M ) = (M/I n+1 ) − ((x1 + I n+1 M )/I n+1 M ) suy PM ,I (n) = PM,I (n) − ((x1 + I n+1 M )/I n+1 M ), (n 0).(∗) Tức deg PM ,I (n) ≥ deg PM,I (n) − suy d(M/xM ) ≥ d(M ) − Tiếp tục làm cho tất phần tử x2 , , xr ta d(M/(x1 , , xr )M ) ≥ d(M ) − r suy ≥ d(M ) − r Vậy δ(M ) ≥ d(M ) (3) d(M ) ≥ dim M Trước hết ta chứng minh cho vành M = R quy nạp theo d(M ) = d(R) Nếu d(R) = deg PR,m (n) = (M/mn+1 ) = Suy ra, tồn t cho mt = mt+1 = Theo Định lý giao Krull ta có ∩t≥0 mt = suy mt = = mt+k = = Do R vành Artin (vì R có dn iđêan ngun tố) Từ (R) < +∞ suy dim R = 0, d(M ) ≥ dim M 40 Giả sử d(M ) > Nếu dim M = ta có bất đẳng thức d(M ) ≥ dim M Giả sử dim M = k > Khi tồn p0 ⊇ p1 ⊇ ⊇ pk−1 ⊇ pk = p xích nguyên tố R có độ dài k Chọn x ∈ pk−1 /p, ta p0 /xR ⊇ p1 /xR ⊇ ⊇ pk−1 /xR xích ngun tố R/xR có độ dài k − 1, dim R − ≥ dim R/xR suy dim R/(xR + p) ≥ k − Xét dãy khớp x −→ R/p −−→ R/p −→ R/xR + p −→ Theo mệnh đề 3.3.7 ta có d(R/p) > d(R/(xR + p)) suy d(R/(xR + p)) ≥ dim(R/(xR + p)) ≥ k − Do d(R) ≥ d(R/p) ≥ k suy d(R) ≥ dimR Vậy tồn R−môđun M : M = M1 ⊃ ⊃ Mk+1 = (**) cho Mi /Mi+1 ∼ = R/pi , pi ∈ SpecR Từ (**) ta có dãy khớp ngắn −→ Mk+1 −→ Mk −→ Mk /Mk+1 −→ 0 −→ Mk −→ Mk−1 −→ Mk−1 /Mk −→ −→ M2 −→ M1 = M −→ M/M2 −→ Suy d(M ) = Max{d(M2 ), d(M/M2 )} = Max{d(M2 ), d(R/p1 )} = Max{d(M3 ), d(M2 /M3 ), d(R/p1 )} = Max{d(M3 ), d(M/p2 ), d(M/p1 )} = Max{d(R/pi )|i = 1, , k} 41 ≥ Max{dim(R/pi )|i = 1, , k} = dimM Vậy d(M ) ≥ dimM Hệ 3.3.10 Nếu (R, m) vành địa phương Noether dimR < +∞ 42 Kết luận Trong luận văn trình bày số kết nghiên cứu vành môđun phân bậc; vành phân bậc liên kết; vành Rees Bên cạnh định lý quan trọng: Định lý sở Hilbert; Định lý Artin-Rees; Định lý đa thức Hilbert Kết luân văn bao gồm nội dung sau 1) Định nghĩa tính chất vành mơđun Noether, Artin; Định lý sở Hilbert 2) Định nghĩa tính chất vành môđun phân bậc; Vành phân bậc liên kết vành Rees 3) Định nghĩa tính chất lọc mơđun; Định lý Artin-Rees hệ 4) Một số kết độ dài môđun; Định lý đa thức Hilbert 43 Tài liệu tham khảo [a] M F Atiyah and I G Macdonald, Introduction to commutative algebra, Reading Mass: Addison-Wesley, 1969 [b] H Matsumura, Commutative algebra, W A Benjamin, New York, 1970 [c] H Matsumura, Commutative ring theory, Cambridge University Press, 1986 [d] R Y Sharp, Steps in commutative algebra, Cambridge University Press, 1990 ... chương này, nghiên cứu vành môđun phân bậc bao gồm: định nghĩa tính chất vành mơđun phân bậc; vành phân bậc liên kết vành Rees; định nghĩa tính chất lọc mơđun; Định lý Artin- Rees hệ Chương chương... vành Noether suy R0 [a1 , , an ] vành Noether Vậy R vành Noether 2.2 Vành phân bậc liên kết vành Rees Định nghĩa 2.2.1 Cho I iđêan vành R Khi ta định nghĩa vành (i) R(I) = ⊕n≥0 I n T n vành phân. .. k, tức M Artin Hệ 1.3.4 Cho họ hữu hạn R−mơđun Khi đó, tổng trực tiếp họ hữu hạn R? ?môđun Artin R? ?môđun Artin 12 Chương Vành môđun phân bậc - Định lý Artin- Rees 2.1 Vành môđun phân bậc Định nghĩa