ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC -* - HỒNG VĂN ĐƠNG VÀNH, TRƯỜNG BẬC HAI VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC -* - HỒNG VĂN ĐƠNG VÀNH, TRƯỜNG BẬC HAI VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS LÊ THỊ THANH NHÀN Thái Nguyên - 2015 Môc lôc Môc lôc Lời nói đầu Kiến thức mở rộng vành tr-ờng 1.1 Kiến thức 1.2 Më réng vµnh vµ tr-êng Vµnh vµ tr-êng bËc hai 13 2.1 Tr-êng bËc hai 13 2.2 Vµnh bËc hai vành số nguyên đại số 21 Mét sè ứng dụng giải toán sơ cấp 31 3.1 Sử dụng tr-êng bËc hai 31 3.2 Sư dơng chn vµnh bËc hai 32 3.3 Sư dơng phân tích vành bậc hai 36 KÕt luËn 41 Tµi liƯu tham kh¶o 42 Lời cảm ơn Trong trình học tập nghiên cứu Tr-ờng Đại học Khoa học Đại học Thái Nguyên, đ-ợc nhận đề tài nghiên cứu \Vành, tr-ờng bËc hai vµ øng dơng" d-íi sù h-íng dÉn cđa PGS.TS Lê Thị Thanh Nhàn Đến nay, luận văn đà đ-ợc hoàn thành Có đ-ợc kết dạy bảo h-ớng dẫn tận tình nghiêm khắc Cô Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới Cô gia đình! Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu, Phòng Đào tạo Khoa Toán - Tin Tr-ờng Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đà tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ trình học tập Tr-ờng thời gian nghiên cứu hoàn thành luận văn Sự giúp đỡ nhiệt tình thái độ thân thiện thày cô giáo, cán thuộc Phòng Đào tạo, Khoa Toán - Tin đà để lại lòng ấn t-ợng tốt đẹp Tôi xin cảm ơn Sở Giáo dục Đào tạo Quảng Ninh, đặc biệt Trung tâm HN&GDTX tỉnh - nơi công tác đà tạo điều kiện thuận lợi để hoàn thành khóa học Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp thành viên lớp cao học Toán K7Q (Khóa 2013-2015) đà quan tâm, tạo điều kiện, cổ vũ động viên để hoàn thành nhiệm vụ Lời nói đầu Trong lý thuyết số đại số, tr-ờng bậc hai đ-ợc hiểu tr-ờng tr-ờng số phức C đồng thời mét më réng bËc hai cđa tr-êng sè h÷u tû Q (tức Q-không gian véc tơ chiều 2) Nh- vậy, K tr-ờng bậc hai tồn hệ {1 , } K (gọi sở K) cho phần tử K biểu diễn đ-ợc cách d¹ng aα + bβ víi a, b ∈ Q Víi suy nghĩ t-ơng tự, ng-ời ta giới thiệu khái niệm vành bậc hai, vành C ®ång thêi lµ mét më réng bËc hai cđa vµnh số nguyên Z Cụ thể, D vành bậc hai tồn hệ {, } D (gọi sở D) cho phần tử D biểu diễn đ-ợc cách nhÊt d¹ng aα + bβ víi a, b ∈ Z Các vành tr-ờng bậc hai đà đ-ợc quan tâm nghiên cứu cách sâu sắc với nhiều ứng dụng quan trọng toán sơ cấp Chẳng hạn, chóng ta cã thĨ dïng vµnh vµ tr-êng bËc hai để chứng minh dựng th-ớc kẻ compa số thực 2, \cầu ph-ơng hình tròn" (dựng hình vuông có diện tích diện tích hình tròn cho tr-ớc) Mục tiêu luận văn nghiên cứu tr-ờng bậc hai vành bậc hai Mục tiêu làm rõ cấu trúc vành số nguyên đại số tr-ờng bậc hai, loại vành bậc hai đặc biệt Chẳng hạn, iđêan có hệ sinh gồm hai phần tử, phần tử có phân tích thành nhân tử bất khả quy Chúng chØ mét sè líp vµnh bËc hai cã sù phân tích Mục tiêu thứ ba luận văn áp dụng kết vành tr-ờng bậc hai để giải số dạng toán sơ cấp Luận văn đ-ợc viết chủ yếu dựa theo tài liệu sau Daniel A Marcus, Number Fields, Springer New York, 1977 J Rotman, Galois theory, Second edition, Springer, 1998 David Anthony Santos, Number Theory for mathematical contests, GNU Free Documentation License, October, 2007 Victor V Prasolov, Polynomials, Springer, 2004 (second edition) Phần mở rộng vành tr-ờng đ-ợc tham khảo từ tài liệu Khái niệm số kết vành tr-ờng bậc hai đ-ợc tham khảo từ tài liệu Phần ứng dụng giải toán sơ cấp Ch-ơng đ-ợc tham khảo tõ tµi liƯu 3, vµ mét tµi liƯu vỊ toán sơ cấp PGS.TS Đàm Văn Nhỉ Luận văn chia làm ch-ơng Ch-ơng trình bày kiến thức vành, tr-ờng, đồng cấu, mở rộng tr-ờng, sở bậc mở rộng vành tr-ờng, số đại số, số nguyên đại số Trong Ch-ơng 2, chóng t«i chØ cÊu tróc cđa tr-êng bËc hai, vành bậc hai, vành số nguyên đại số tr-ờng bậc hai, iđêan vành bậc hai, phân tích vành bậc hai Ch-ơng trình bày ứng dụng vành tr-ờng bậc hai việc giải toán sơ cấp Ch-ơng chia làm tiết nhỏ Tiết 3.1 toán giải đ-ợc cách sử dụng tr-ờng bậc hai Tiết 3.2 toán sử dụng chuẩn vành bậc hai Tiết 3.3 dành để trình bày toán sử dụng phân tích vành bậc hai Ch-ơng Kiến thức mở rộng vành tr-ờng 1.1 Kiến thức Để bắt đầu nhắc lại định nghĩa sau 1.1.1 Định nghĩa Một vành tËp V cïng víi phÐp to¸n + (phÐp céng) (phép nhân) thỏa mÃn điều kiện sau: (i) PhÐp céng kÕt hỵp: ∀x, y, z ∈ V ta cã (x + y) + z = x + (y + z) (ii) Có phần tử không: V cho ∀x ∈ V ta cã + x = x + = x (iii) Cã phÇn tư ®èi: ∀x ∈ V, ∃ − x ∈ V cho x + (−x) = (−x) + x = (iv) PhÐp céng giao ho¸n: ∀x, y ∈ V ta cã x + y = y + x (v) Phép nhân kết hợp: x, y, z V ta có (xy)z = x(yz) (vi) Có phần tử đơn vị: ∃1 ∈ V cho 1.x = x.1 = x, ∀x ∈ V (vii) TÝnh ph©n phèi: ∀x, y, z ∈ V cho x(y + z) = xy + xz Vnh V gọi vành giao hoán phép nhân có tính giao hoán, tức ab = ba víi mäi a, b ∈ V Cho V lµ vành Một tập A V đ-ợc gọi vành V phép toán vành V đóng A (tức a + b, ab ∈ A víi mäi a, b ∈ A) A với hai phép toán cảm sinh vành 1.1.2 Ví dụ (i) Tập hợp số nguyên Z với phép cộng phép nhân thông th-ờng vành giao hoán, gọi vành số nguyên T-ơng tự ta có vành số hữu tỷ Q, vành số thực R, vành sè phøc C (ii) TËp Zn = {¯ x | x Z} số nguyên modulo n vành với phép cộng phép nhân nh- sau: x ¯ + y¯ = x + y vµ x ¯y¯ = xy víi mäi x¯, y¯ ∈ Zn Vµnh Zm đ-ợc gọi vành số nguyên modulo m hay vành lớp thặng d- theo môđun m (iii) Cho V vành giao hoán Kí hiệu V [x] tập đa thức biến x với hệ số V Mỗi phần tử V [x] đ-ợc viết d-ới dạng f (x) = anxn + + a1 x + a0 víi ∈ V, ∀i Ta cịng viÕt f (x) d-íi d¹ng f (x) = xi , ®ã = với i > n Khi V [x] mét vµnh víi phÐp céng f (x) + g(x) = ck = i+j=k (ai + bi )xi phÐp nh©n f (x)g(x) = bj víi f (x) = xi vµ g(x) = c k xk , bi xi Vành V [x] đ-ợc gọi vành ®a thøc mét biÕn x víi hƯ sè V 1.1.3 Định nghĩa Cho V vành Tập I V đ-ợc gọi iđêan V điều kiện sau thỏa mÃn (i) Phép cộng đóng I, tức x + y I, ∀x, y ∈ I (ii) I chøa phÇn tư không: I (iii) Có phần tử đối: x ∈ I víi mäi ∀x ∈ I (iv) ax, xa ∈ I víi mäi a ∈ I, x ∈ V 1.1.4 Ví dụ (i) = {0} iđêan bé V iđêan lớn V (ii) I iđêan vành Z chØ I cã d¹ng nZ víi n ∈ N Cho V vành Phần tử a V đ-ợc gọi phần tử khả nghịch tồn b ∈ V cho ab = Chó ý I iđêan V phát biểu sau t-ơng đ-ơng: (i) I = V ; (ii) I chứa phần tử khả nghịch; (iii) I chứa phần tử đơn vị 1.1.5 Định nghĩa Cho I iđêan vành V Với x V, đặt x + I = {x + a | a ∈ I} Ta gäi x + I lớp ghép trái I ứng với x Chú ý r»ng x + I = y + I x y I Đặt V /I = {x + I | x ∈ V } tập lớp ghép trái I Khi V /I lµ mét vµnh víi phÐp céng (x + I) + (y + I) = (x + y) + I phép nhân (x + I)(y + I) = xy + I Vành V /I đ-ợc gọi vành th-ơng V ứng với I Chẳng hạn, vành th-ơng Z/mZ vành Z theo iđêan mZ vành Zm số nguyên modulo m 1.1.6 Định nghĩa Một ánh xạ f từ vành V vào vành V đ-ợc gọi đồng cấu vành f bảo toàn phép toán, nghĩa f (x + y) = f (x) + f (y) vµ f (xy) = f (x)f (y) víi mäi x, y ∈ V Mét đồng cấu từ vành V vào V đ-ợc gọi mét tù ®ång cÊu cđa V Mét ®ång cÊu đồng thời đơn ánh (toàn ánh, song ánh) đ-ợc gọi đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu) Nếu f tự đồng cấu song ánh ta nói f tự đẳng cấu 1.1.7 Ví dụ (i) Giả sử A vành vành V Khi ánh xạ nhúng iA : A V xác định iA (x) = x đơn cấu, gọi đơn cấu tắc hay đơn cấu nhúng (ii) Giả sử I iđêan vành V Khi ánh xạ p : A V /I xác định bởi: p(x) = x + I lµ mét toµn cÊu, gäi lµ toµn cấu tắc hay phép chiếu tự nhiên 1.1.8 Định nghĩa (i) Cho V vành giao hoán Phần tử a V đ-ợc gọi -ớc không a = tồn b V, b = cho ab = (ii) Một vành giao hoán khác {0} -ớc không đ-ợc gọi miền nguyên (ii) Một tr-ờng vành giao hoán khác phần tử khác khả nghịch Cho K lµ mét tr-êng vµ T lµ mét tËp khác rỗng K ổn định với hai phép toán K Ta nãi T lµ mét tr-êng cđa K T với hai phép toán cảm sinh từ K tr-ờng Z miền nguyên, Q, R, C tr-ờng Chú ý tr-ờng miền nguyên, miền nguyên hữu hạn tr-ờng Tuy nhiên miền nguyên vô hạn không thiết tr-ờng, chẳng hạn nh- miền nguyên Z Chú ý tr-ờng có hai iđêan {0} Tổng quát hơn, V = {0} vành giao hoán phát biểu sau t-ơng đ-ơng: (i) V tr-ờng; (ii) V có hai iđêan {0} V (iii) Mọi đồng cấu từ V đến vành giao hoán khác {0} đơn cấu 1.2 Mở rộng vành tr-ờng 1.2.1 Định nghĩa (i) Cho F mét tr-êng vµ K lµ mét tr-êng chøa F Khi F K đ-ợc gọi mở réng tr-êng vµ ta nãi K lµ mét më réng cña tr-êng F Më réng tr-êng F ⊂ K đ-ợc kí hiệu K/F (ii) Cho A mét vµnh vµ V lµ mét vµnh chøa A Khi A V đ-ợc gọi mở rộng vµnh vµ ta nãi V lµ mét më réng cđa vành A Mở rộng vành A V đ-ợc kí hiƯu lµ V /A Chó ý r»ng nÕu A lµ vành vành V A = V A không iđêan V Vì không sợ nhầm lẫn kí hiệu cđa më réng vµnh V /A víi kÝ hiƯu cho vành th-ơng V 1.2.2 Ví dô (i) Q ⊂ C, Q ⊂ R, R ⊂ C mở rộng tr-ờng (ii) Z Q, Z R, R C mở rộng vµnh 28 Chøng minh Cho α ∈ S lµ phần tử khác không khả nghịch Ta chứng minh định lí quy nạp theo |N ()| Nếu |N ()| = có chuẩn số nguyên tố, theo Bổ đề 2.2.10 ta suy bất khả quy Vì = phân tích bất khả quy Giả sử |N ()| = n phần tử cã chn tõ tíi n − ®Ịu cã có phân tích bất khả quy Nếu bất khả quy = phân tích bất khả quy Nếu không bất khả quy = với không khả nghịch Do N () = N () = Suy |N ()| |N ()| nhỏ |N ()| Theo giả thiết quy nạp, = u1 ur vµ γ = v1 vs phân tích bất khả quy Vì = u1 ur v1 vs lµ phân tích bất khả quy Chú ý phân tích bất khả quy vành bậc hai không Chẳng hạn, với S = Z[ −5], ta cã √ = (1 + √ 5)(1 5) = ì hai phân tÝch bÊt kh¶ quy cđa Ci cïng, chóng ta chứng minh vành bậc hai Z[i] thỏa mÃn phân tích Tr-ớc hết ta cần bổ đề sau 2.2.14 Bỉ ®Ị Cho α = a + bi = c + di hai phần tử Z[i] Khi tồn , Z[i] cho α = βγ + δ, ®ã N (δ) < N (β) Chøng minh Trong tr-êng bËc hai Q[i] ta cã α (a + bi)(c − di) = =a +bi β c2 + d2 víi a , b ∈ Q Chän A, B ∈ Z cho |a − A| 1/2 |b B| 1/2 Đặt = A + Bi Khi phần tử vành bậc hai Z[i] Đặt = / − γ = α − γβ V× α, γ, β Z[i] nên ta suy Z[i] Hơn 29 n÷a, α = γβ + δ Ta cã N (δ) = N (β)N (α/β − γ) = N (β) (a − A)2 + (b − B)2 N (β) (1/2)2 + (1/2)2 = N (β)/2 < N (β) TiÕp theo ta iđêan Z[i] sinh phần tử 2.2.15 Hệ Nếu I i đêan Z[i] tồn u Z[i] cho I = (u) = {uv | v ∈ Z[i]} Chøng minh NÕu I = {0} th× I = (0) Gi¶ sư I = {0} Chän u ∈ I phần tử khác có chuẩn bé Khi ®ã (u) ⊆ I Cho α ∈ I Theo Bæ ®Ị 2.2.14, tån t¹i γ, δ ∈ Z[i] cho α = uγ +δ, ®ã N (δ) < N (u) Ta cã δ = α − uγ ∈ I Theo c¸ch chän u ta suy δ = Suy α = uγ ∈ (u) VËy I = (u) 2.2.16 Mệnh đề Trong vành Z[i], phần tử khác không khả nghịch phân tích đ-ợc thành tích nhân tử bất khả quy phân tích theo nghĩa nÕu α = p1 pn = q1 qm hai phân tích bất khả quy n = m sau phép hoán vị tập {1, , n} ta cã pi = qσ(i) ui víi ui khả nghịch Chứng minh Theo Định lí 2.2.13, ta cÇn chøng minh tÝnh nhÊt Cho α ∈ Z[i] víi α = p1 pn = q1 qm hai phân tích bất khả quy cđa α Khi ®ã p1 |q1 qm Giả sử p1 không -ớc qj với j Đặt Ij = {p1 + qj | , Z[i]} Khi Ij iđêan Z[i] Theo Hệ 2.2.15, tồn j ∈ Z[i] cho Ij = (ρj ) V× p1 = p1 + qj nªn p1 ∈ Ij Do p1 bội j T-ơng 30 tự, qj bội j Vì p1 bất khả quy nên j phần tử khả nghịch Z[i] bội p1 Nếu j bội p1 qj bội p1 , vô lí Do j khả nghịch, tức tồn j / Z[i] cho j ρj = Suy ∈ (ρj ) = Ij Do ®ã = p1 βj + qj γj víi βj , γj ∈ Z[i] Nh©n vÕ víi vế đẳng thức ta đ-ợc = p1 β ∗ + q1 qm γ ∗ víi β ∗ , γ ∗ ∈ Z[i] Do p1 |q1 qm nên p1 -ớc vế phải, p1 -ớc Điều vô lí Do p1 -ớc qj1 Do qj1 bất khả quy nên p1 bội qj1 Vì p1 = u1 qj1 với u1 khả nghịch Không tính tổng quát ta giả thiết j1 = Giản -ớc hai vế đẳng thức p1 pn = q1 qm cho p1 ta ®-ỵc p2 pn = q1∗ q3 qm , ®ã q2∗ = q2u−1 TiÕp tơc lËp ln trªn ta suy pk = uk qjk với k, uk khả nghịch 2.2.17 Chú ý Vành số nguyên đại sè Z[ω] cđa tr-êng bËc hai Q( m) víi m = 0, -ớc ph-ơng, có phân tích tồn thuật toán nh- bổ đề 2.2.14 (thuật toán Euclid) Ngoài vành Z[i], √ ta √ −1 + −3 cã thÓ chøng minh đ-ợc vành bậc hai Z[ 2] Z[] với = tồn thuật toán nh- nên vành bậc hai có phân tích Ch-ơng Một số ứng dụng giải toán sơ cấp 3.1 Sử dụng tr-ờng bậc hai 3.1.1 Bài toán Cho m số nguyên khác 0, khác -ớc ph-ơng Cho k ∈ Z vµ α = a + b m với a, b Q Giả sử nghiệm đa thức có hệ số nguyên với hệ sè cao nhÊt b»ng Chøng minh r»ng (i) Tån hai số nguyên c, d Z cho α = c + dω, ®ã √ 1+ m ω = m hc ω = (ii) NÕu α = k(m + nω) víi m, n Z k -ớc chung c vµ d √ Chøng minh (i) Trong tr-êng bËc hai K = Q[ m], tõ gi¶ thiÕt ta thÊy số nguyên đại số Vì theo Bổ đề 2.2.5, tồn c, d Z √ 1+ m cho α = c + d, = m = Gọi S vành số nguyên bậc hai K Theo Hệ 2.2.5, S = Z[] mét më réng bËc hai cđa Z víi {1, ω} sở mở rộng Vì số nguyên c, d tồn (ii) Ta cã α = c + dω = k(m + nω) víi m, n ∈ Z Suy c − km + (d − kn)ω = Do ®ã c = km d = kn Vì k mét -íc chung cđa c vµ d 31 32 3.1.2 Bài toán Cho m < số nguyên -ớc ph-ơng Kí hiệu S tập số phức có dạng = a + b m víi a, b ∈ Q cho α lµ nghiệm đa thức có hệ số nguyên với hƯ sè cao nhÊt b»ng KÝ hiƯu T lµ tËp c¸c sè phøc α ∈ S cho tån t¹i β ∈ S tháa m·n αβ = Chøng minh (i) T tập hữu hạn; (ii) Nếu m = −1 th× T = {±1, ±i}; (iii) NÕu m = −3 th× T = {±1, ±ω, ±ω } víi ω = (1 + √ −3)/2; (iv) NÕu m = m = T = {1, −1} Chøng minh Cho α ∈ T Khi ®ã tån t¹i β ∈ S cho αβ = Suy N (αβ) = N (α)N (β) = Vì m < nên N () N () số nguyên d-ơng Suy N () = Ta xÐt hai tr-êng hỵp √ NÕu m ≡ 1(mod 4) theo Bổ đề 2.2.5 ta có = a+b m víi a, b ∈ Z Do ®ã N (α) = a2 − mb2 = NÕu m < rõ ràng a = b = Suy α = ±1 NÕu m = a = b = a = vµ b = ±1 Suy α ∈ {±1, ±i} √ a+b m NÕu m ≡ 1(mod 4) theo Bổ đề 2.2.5 ta có = víi a, b ∈ Z √ a2 − b2 m a b(mod 2) Trong tr-ờng hợp ta cã N (α) = = √ Suy a2 − b2 m = NÕu m ≤ từ ph-ơng trình suy a = b = Do = Giả sử m > Vì m 1(mod 4) nªn m = −3 Suy a2 + 3b2 = Từ ta có = 1, , víi √ ω = (1 + −3)/2 3.2 Sư dụng chuẩn vành bậc hai 3.2.1 Bài toán Chứng minh ph-ơng trình x2 7y = có vô hạn nghiệm nguyên x, y 33 Chứng minh Với số tự nhiên n > 0, ®Ỉt + √ = an + bn n Tr-ớc hết ta khẳng định n = m th× (an , bn ) = (am , bm ) Thật vậy, giả sử tồn n < m cho an = am vµ bn = bm Khi ®ã ta cã √ 8+3 n √ = an + bn √ √ = am + bm = + √ √ Suy am−n + bm−n = + m−n m √ = 8+3 n √ 8+3 m−n = Suy bmn = 0, điều vô lí Do khẳng định đ-ợc chứng minh √ Trong vµnh bËc hai Z[ 7], chn cđa tích hữu hạn phần tử tích chuẩn nªn ta cã √ √ a2n − 7b2n = N (an + bn 7) = N + √ n √ n = + − = n √ √ √ §Ỉt an + bn + = xn + yn Khi ta dễ kiểm tra đ-ợc nÕu √ n = m th× (xn , yn ) = (xm , ym ) Hơn ta có xn + yn = (3an + 7bn ) + √ (an + 3bn ) Suy x2n − 7yn2 = (a2n − 7b2n )(32 − 7.12 ) = víi mäi n Do vËy (xn , yn ) lµ nghiệm nguyên ph-ơng trình x2 7y = với n Khi cho n chạy tập số nguyên d-ơng ta thu đ-ợc vô hạn nghiệm nguyên (xn , yn) ph-ơng trình 3.2.2 Bài toán Cho n số tự nhiên Chứng minh tồn hai số nguyên lẻ x y cho 4n+1 = 15x2 + y √ √ Chøng minh XÐt vµnh bËc hai Z[ −15] = {r + is 15 | r, s ∈ Z} ChuÈn √ √ √ cña z = r + is 15 lµ N (z) = r + 15s2 = (r + is 15)(r − is 15) Ta chøng minh b»ng quy nạp theo n tồn hai số nguyên lẻ x y cho 4n+1 = 15x2 +y Cho n = Ta cã 42 = 16 = 1+15 = 12 +15.12 Nh- vËy, kÕt với n = Giả thiết kết đà cho n, tức 34 có hai số nguyên lẻ x, y cho 4n+1 = y + 15x2 Ta cần chứng minh kết với n + Đặt z1 z2 √ = (y + ix 15)(1 + i 15) = (y + x − 16x) + i(x + y) 15 √ √ √ = (y + ix 15)(1 − i 15) = (y − x + 16x) + i(x − y) 15 Vì x, y số lẻ nên x = 2k + 1, y = 2h + víi k, h ∈ Z Suy x + y = 2(k + h + 1), y − x = 2(h − k) vµ (x + y) − (y − x) = 4k + Do ®ã hai sè x+y y x có số chia hết cho NÕu x+y chia y−x x − y√ y−x hết cho số nguyên lẻ Đặt z3 = + 8x + i 15 2 √ √ N (y + ix 15)N (1 − i 15) Khi ®ã N (z3 ) = = 4n+1 = 4n+2 Chó ý r»ng x−y y−x + 8x số nguyên lẻ số nguyên lẻ Do cặp số 2 yx xy nguyên + 8x thỏa mÃn yêu cầu T-ơng tự, y − x chia 2 y+x x + y√ x+y hết cho số lẻ Đặt z4 = − 8x + i 15 Khi 2 √ √ N (y + ix 15)N (1 + i 15) ®ã N (z4 ) = = 4n+1 = 4n+2 Do cặp số x+y x+y 8x thỏa mÃn yêu cầu nguyên lẻ 2 3.2.3 Bài toán Cho n số tự nhiên Chứng minh tồn hai số nguyên lẻ x vµ y cho 4.5n = 19x2 + y Chứng minh Xét vành giao hoán Z[ 19] = {r + is 19|r, s ∈ Z} ChuÈn √ √ √ cđa z = r + is 19 lµ N (z) = r + 19s2 = (r + is 19)(r − is 19) HiĨn nhiªn N (z1 z2 ) = N (z1 )N (z2 ) Ta cã mét vµi sè thĨ: 4.5 = 20 = 19.12 + 12, 4.52 = 100 = 19.12 + 92, 4.53 = 108 = 11.32 + 32 Bằng ph-ơng pháp quy nạp theo n để ra, với số nguyên n nguyên lẻ x y để 4.5n = 19x2 + y Víi n = cã 4.5 = 19.12 + 12 ®Ịu cã hai sè 35 Giả sử đà có hai số nguyên lẻ x, y ®Ĩ 19x2 + y = 4.5n víi sè nguyªn n Víi sè nguyªn n + ta xÐt √ √ √ z1 = (y + ix 19)(1 + i 19) = (y + x − 20x) + i(x + y) 19 √ √ √ z2 = (y + ix 19)(1 − i 19) = (y − x + 20x) + i(x y) 19 Vì x, y số lẻ nên x = 2k + 1, y = 2h + Khi ®ã x + y = 2(k + h + 1), y − x = 2(h − k) vµ (x + y) − (y − x) = 4k + Do ®ã hai sè x + y y x có số chia hÕt cho y−x y−x NÕu x + y chia hết cho số lẻ Khi z3 = ( + 10x) + √ √ x − y√ N (y + ix 19)N (1 − i 19) i = 4.5n = 4.5n+1 11 víi N (z3 ) = y+x x+y lµ số lẻ Khi z4 = ( 10x) + NÕu y − x chia hÕt cho th× √ √ x + y√ N (y + ix 19)N (1 + i 19) i = 4.5n = 4.5n+1 19 víi N (z4 ) = Tóm lại, đà chứng minh xong toán 3.2.4 Bài toán Chứng minh tồn hai số nguyên x y thỏa x lẻ y lẻ n lỴ m·n 15n = x2 − 10y , x lẻ y chẵn n chẵn Chứng minh Xét vành giao hoán Z[ 10] = {r + s 10|r, s ∈ Z} §ång √ √ √ √ cÊu f : Z[ 10] → Z[ 10], r + s 10 → r − s 10, đẳng cấu Do nh- mµ (a + b 10)(c + d 10) = u + v 10 tác động f lên hai vế đ-ợc (a b 10)(c d 10) = u − v 10 Sư dơng kÕt này, với z = a + b 10 đặt N (z) = a2 10b2 có N (z1 z2 ) = N (z1 )N (z2) Víi n = cã 15 = 52 − 10.12 vµ 152 = 352 10.102 Giả sử số nguyên n hai số nguyên a, b để 15n = a2 10.b2 , a b lẻ n lẻ; a lẻ b ch½n n ch½n Víi n + ta xÐt: (i) Nếu n lẻ có số a lẻ số b lẻ để a2 10b2 = 15n Khi n + số chẵn 15n+1 = (5a + 10b)2 − 10(a + 5b)2 víi 5a + 10b lẻ 36 a + 5b chẵn (ii) Nếu n chẵn có số a lẻ số b chẵn để a2 10b2 = 15n Khi n + số lẻ 15n+1 = (5a + 10b)2 − 10(a + 5b)2 víi 5a + 10b lẻ a + 5b lẻ Tóm lại ta đà có điều cần chứng minh 3.3 Sử dụng phân tích vành bậc hai Trong tiết này, sử dụng phân tích vành bậc hai Z[i] Z[ 2] để giải số toán sơ cấp 3.3.1 Bài toán Cho p số nguyên tố Giả sử p = a2 + b2 = c2 + d2 víi a, b, c, d ∈ N Chøng minh r»ng (a, b) = (c, d) (a, b) = (d, c) Nói cách khác, số nguyên tố có nhiều phân tích thành tổng bình ph-ơng hai số tự nhiên (nếu không kể đến thứ tự hạng tử) Chøng minh Cho p = a2 + b2 = c2 + d2 víi a, b, c, d ∈ N Khi ®ã, vµnh bËc hai Z[i] ta cã p = (a + bi)(a bi) Vì a + bi a bi có chuẩn p p số nguyên tố nên theo Bổ đề 2.2.10 ta suy a + bi vµ a − bi lµ phần tử bất khả quy Z[i] T-ơng tự, vµnh Z[i] ta cã p = (c + di)(c di) Hơn nữa, c + di c di phần tử bất khả quy Z[i] Theo Mệnh đề 2.2.16, phần tử khác không khả nghịch Z[i] phân tích đ-ợc cách (nếu không kể đến thứ tự nhân tử -ớc đơn vị) thành tích nhân tử bất khả quy Do ta có a + bi = u(c + di) hc a + bi = u(c − di) víi u ∈ Z[i] lµ phần tử khả nghịch Xét tr-ờng hợp a + bi = u(c + di) Theo 3.1.2 phần tử khả nghịch vành Z[i] 1, i Nếu u = 1, a = c b = d Nếu u = a = c b = d (loại a, b, c, d > 0) NÕu 37 u = i, th× a = −d b = c (loại a, b, c, d ≥ 0) NÕu u = −i, th× a = d b = c (loại a, b, c, d 0) Vì (a, b) = (c, d) T-ơng tù, nÕu a + bi = u(c − di) th× ta suy (a, b) = (d, c) 3.3.2 Bµi toán Chứng minh ph-ơng trình y = x3 có nghiệm nguyên (x, y) = (1, 0) Chøng minh DƠ dµng kiĨm tra cặp (x, y) = (1, 0) thỏa mÃn ph-ơng trình trªn y = x3 − Ta sÏ chØ nghiệm Viết ph-ơng trình d-ới dạng x3 = y + Trong vành Z[i] ta cã x3 = (y − i)(y + i) Trong vành Z[i], ta khẳng định y +i y i nguyên tố Thật Z[i] lµ -íc chung cđa y +i vµ y −i -ớc 2i = (y +i)(y i) Vì 2i = (1 + i)2 nên từ phân tích vành Z[i] (xem Mệnh đề 2.2.16) ta cã α ∈ {u, u(1 + i), u(1 + i)2 }, u phần tử khả nghịch Nếu phần tử khả nghịch chia hÕt cho + i, ®ã + i -ớc x3 Lấy chuẩn hai vế ta đ-ợc 2|x6 Suy x số chẵn Vì y + = x3 0(mod 4) Do y 1(mod 4) Điều vô lý Vậy y + i y i nguyên tố nhau, khẳng định đ-ợc chứng minh V× x3 = y + = (y + i)(y i) nên nhân tử y + i y i phải lũy thừa bËc Do ®ã y + i = (m + ni)3 với m, n Z Khai triển đồng phần thực, phần ảo ta đ-ợc y = m3 − 3mn2 = m(m2 − 3n2 ); = 3m2 n n3 = n(3m2 n2 ) Ph-ơng trình bên phải cho ta n = Nếu n = th× 3m2 − = 1, suy 3m2 = 2, ph-ơng trình nghiệm nguyên Nếu n = −1, th× 3m2 − = −1, suy m = Do y = Vì thÕ x3 = y + = Suy x = 38 3.3.3 Bài toán Tìm nghiệm nguyên ph-ơng trình y = x2 + Lêi gi¶i Ta cã y = x2 + Nếu x số chẵn, y chẵn, ®ã √ = x3 − y ≡ mod (Vô lý) Vì x số lỴ Trong Z[ −2], ta cã √ √ y = (x + i 2)(x − i 2) √ √ TiÕp theo ta sÏ chøng minh (x + i 2) (x i 2) nguyên tố vành Z[ 2] Giả sử c + d −2 lµ -íc chung cđa (x + i 2) (x i 2) Khi √ √ c + d −2|(x + i + x − i 2) = 2x vµ √ √ √ √ c + d −2|(x + i − x + i 2) = 2i LÊy chuÈn c¶ vế ta đ-ợc, (c2 + 2d2 )|4x2 (c2 + 2d2 )|8 Z NÕu (c2 + 2d2 ) kh«ng chia hÕt 4, th× (c2 + 2d2 )|y (tõ gcd(x, y) = 1), suy (c2 + 2d2 ) số lẻ (từ y lẻ) nh-ng điều suy (c2 + 2d2 ) không chia hết Vì vËy, (c2 + 2d2 )|4 nªn (c2 + 2d2 ) = 1, hc √ NÕu (c2 + 2d2 ) = c + d khả nghịch Nếu (c2 + 2d2 ) = √ c = vµ d = ±1 nh-ng ± không -ớc (x + i 2) x số lẻ Nếu (c2 + 2d2 ) = d = c = nh-ng không -ớc (x + i 2) x số lẻ Vì (x + i 2) (x i 2) nguyên tố vành Z[ 2] Mặt khác Z[ 2] vành có phân tích √ √ √ √ V× tÝch cđa (x + i 2) (x i 2) y nên (x + i 2) (x i 2) lũy thừa bậc phần tử Z[ −2] Do ®ã √ √ √ x + i = (a + bi 2)3 = a3 − 6ab2 + (3a2 b − 2b3 )i 39 V× vËy ta cã x = a3 − 6ab2 , = 3a2b − 2b3 = b(3a2 − 2b2 ) Từ ph-ơng trình bên phải ta có b = vµ 3a2 − 2b2 = 3a2 − = Suy a = ±1 VËyx = ±5 Thay vµo ph-ơng trình ban đầu ta đ-ợc y = 27 Suy y = Vì ph-ơng trình có nghiệm nguyên (x, y) = (5, 3) (x, y) = (5, 3) 3.3.4 Bài toán Trong vành Z[i], phân tích số sau thành tích thừa sè bÊt kh¶ quy (i) + i (ii) 244 + 158i Lêi gi¶i (i) Ta cã N (3 + i) = (3 + i)(3 − i) = 10 = 2.5 Trong Z[i], ta cã = (1 + i)(1 − i) vµ = (2 − i)(2 + i) Tất số bất khả quy v× N (1 ± i) = 2; N (2 ± i) = 2, nguyên tố Z Ta kiểm tra số đâu -íc cđa + i Tr-íc hÕt ta kiĨm tra sè + i, cã: + i (3 + i)(1 − i) = = − i ∈ Z[i] + i (1 + i)(1 − i) VËy + i = (2 − i)(1 + i) lµ sù phân tích thành nhân tử bất khả quy + i Z[i] (ii) Ta cã 244 + 158i = 2(122 + 79i) vµ = (1 − i)(1 + i) với ivà + i bất khả quy Z[i] N (1 i) = nguyªn tè Z TiÕp theo ta phân tích 122 + 79i thành thừa số bÊt kh¶ quy Ta cã N (122 + 79i) = 1222 + 792 = 53 132 = (2 + i)3(2 − i)3 (3 + 2i)2 (3 − 2i)2 Tõ ta kiểm tra nhân tử bên vế phải, nhân tử -ớc 122 + 79i Ta bắt đầu kiểm tra + i có chia hÕt 122 + 79i: 122 + 79i (122 + 79i)(2 − i) 323 + 36i = = ∈ / Z[i] 2+i (2 + i)(2 − i) 40 VËy + i không chia hết 122 + 79i T-ơng tự nh- ta kiểm tra đ-ợc i 2i chia hết 122 + 79i, (2 i)3 (3 2i)2 chia hết 122 + 79i Kiểm tra lại ta đ-ợc 122 + 79i = (−1)(2 − i)3 (3 − 2i)2 = i2 (2 − i)3 (3 − 2i)2 = (2 − i)3 (2 + 3i)2 VËy ta cã sù ph©n tích 244 + 158i thành tích thừa số bất khả quy 244 + 158i = (1 i)(1 + i)(2 − i)3(2 + 3i)2 41 KÕt luËn Trong luận văn này, đà hoàn thành sè néi dung sau - Giíi thiƯu kh¸i niƯm më rộng tr-ờng, bậc mở rộng tr-ờng, số đại số, số nguyên đại số, mở rộng vành, bậc mở rộng vành - Làm rõ đ-ợc cấu trúc tr-ờng bậc hai số vành bậc hai; Mô tả cấu trúc vành số nguyên đại số tr-ờng bậc hai - Chứng minh điều kiện bất khả quy phần tử vành bậc hai, chứng minh iđêan vành bậc hai có hệ sinh gồm phần tử - Chứng minh phân tích bất khả quy vành bậc hai; Chøng minh tÝnh nhÊt cđa ph©n tÝch bÊt khả quy số vành bậc hai nh vành vành Z[i], Z[ 2] - Giải số dạng toán sơ cấp thông qua kiến thức tr-ờng, chuẩn vành bậc hai, phân tích số vành bậc hai Luận văn đ-ợc viết sở tham khảo tài liệu sau: Daniel A Marcus, Number Fields, Springer New York, 1977 Victor V Prasolov, Polynomials, Springer, 2004 (second edition) J Rotman, Galois theory, Second edition, Springer, 1998 David Anthony Santos, Number Theory for mathematical contests, GNU Free Documentation License, October, 2007 Đồng thời, số toán sơ cấp đ-ợc tham khảo từ tài liệu (ch-a xuất bản) viết PGS.TS Đàm Văn Nhỉ Tài liệu tham kh¶o [1] Daniel A Marcus, Number Fields, Springer New York, 1977 [2] Victor V Prasolov, Polynomials, Springer, 2004 (second edition) [3] J Rotman, Galois theory, Second edition, Springer, 1998 [4] David Anthony Santos, Number Theory for mathematical contests, GNU Free Documentation License, October, 2007 42 ... Ch-ơng Vành tr-ờng bậc hai Mục tiêu ch-ơng nghiên cứu tr-ờng bậc hai vành bậc hai Ta hiểu tr-ờng bậc hai (các vành bậc hai) t-ơng ứng tr-ờng C chứa Q (vành C chøa Z) cho nã lµ më réng tr-êng bËc hai. .. I Vành V /I đ-ợc gọi vành th-ơng V ứng với I Chẳng hạn, vành th-ơng Z/mZ vành Z theo iđêan mZ vành Zm số nguyên modulo m 1.1.6 Định nghĩa Một ánh xạ f từ vành V vào vành V đ-ợc gọi đồng cấu vành. .. vành bậc hai, vành C đồng thời mở rộng bậc hai vành số nguyên Z Cụ thể, D vành bậc hai tồn hệ {, } D (gọi sở D) cho phần tử D biểu diễn đ-ợc cách dạng a + b với a, b Z Các vành tr-ờng bậc hai