Số nghiệm của phương trình Tìm giá trị của tham số để phương trình ax2 +bx+c=0* có số nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước... Tìm các biểu thức đối xứng của nghiệm Phương pháp: Sử dụng đị
Trang 1“Phương trình bậc hai và ứng dụng”
Chương 1 NHỮNG VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 1.1 Định nghĩa phương trình bậc hai
1.1.1 Phương trình một ẩn x
Là biểu thức có dạng f(x)=g(x) Trong đó:
- f(x),g(x) là các hàm số
- Điều kiện của phương trình là tập xác định của hai hàm số f(x) và g(x) Kí hiệu là D
- Nếu x0∈D sao cho f(x0)=g(x0) là đẳng thức đúng thì x là nghiệm của0
phương trình
- S được gọi là tập nghiệm của phương trình Nếu S=∅ thì ta nói phương trình vô nghiệm
1.1.2 Phương trình bậc hai
Là phương trình một ẩn x có dạng ax2 +bx+c=0(a≠0)(1) Tập hợp S là tập nghiệm của phương trình (1) Có 3 trường hợp:
- Nếu (1) vô nghiệm thì ax2 +bx+c=a(x−α)2 +k (a.k>0)
- Nếu (1) có một nghiệm x thì 0 ( )2
0
- Nếu (1) có hai nghiệm x1, x2 thì ( 1)( 2)
1.2 Giải và biện luận phương trình bậc hai
1.2.1 Giải và biện luận phương trình bậc hai ax2 +bx +c=0(*)
- Nếu a =0 thì (*)⇔bx+c=0
+ b≠0
−
=
⇒
b
c S
+ b=0, c≠0⇒S=∅
+ b=0, c=0⇒S=R
- Nếu a ≠0, xét biệt thức ∆=b2 −4ac Biện luận nghiệm theo dấu của ∆: + ∆<0⇒S=∅
+ ∆=0
−
=
⇒
a 2 b
Trang 2+ ∆>0
− − ∆ − + ∆
=
⇒
a 2
b
; a 2
b S
1.2.2 Số nghiệm của phương trình
Tìm giá trị của tham số để phương trình ax2 +bx+c=0(*) có số nghiệm
thỏa mãn điều kiện cho trước Phương trình (*):
- Có nghiệm kép
=
∆
≠
⇔
0
0 a
- Có một nghiệm ⇔aa ≠=00,, ∆b≠=00
- Có hai nghiệm phân biệt
>
∆
≠
⇔
0
0 a
- Có nghiệm
≥
∆
≠
≠
=
=
=
=
⇔
0 , 0 a
0 b , 0 a
0 c b a
- Vô nghiệm
<
∆
≠
≠
=
=
=
=
=
⇔
0 , 0 a
0 c , 0 b a
0 c b a
Chú ý: Nếu ac<0 thì (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt (không cần tính ∆)
1.2.3 Quan hệ các nghiệm giữa hai phương trình
Định tham số để hai phương trình sau có nghiệm chung
= + +
= + +
) 2 ( 0 c x b x a
) 1 ( 0 c x b x a
2 2
2 2
1 1
2 1
Phương pháp:
* Cách 1: Khi (1) và (2) đơn giản ta giải theo hai bước:
Bước 1: Giả sử α là nghiệm chung ta có:
= + α + α
= + α + α
) 2 ( 0 c b
a
) 1 ( 0 c b a
2 2
2 2
1 1
2 1
Dùng
phương pháp thế tìm tham số
Bước 2: Thử lại các giá trị của tham số đã tìm được ở bước 1 để kết luận
* Cách 2: Giải theo hai bước
Bước 1: Đặt x2 =y Đưa về bài toán giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn:
Trang 3
= + +
= + +
) ' 2 ( 0 c x b y a
) ' 1 ( 0 c x b y a
2 2 2
1 1 1
Bước 2: Chọn tham số ở bước 1 thỏa mãn điều kiện sau:
≥
−
=
∆
≥
−
=
∆
=
0 c a 4 b
0 c a 4 b
x y
2 2
2 2 2
1 1
2 1 1 2
1.2.4 Bài tập tương tự
1.3 Định lý Viét và ứng dụng
1.3.1 Nội dung định lý Viét
1.3.1.1 Định lý thuận
Phương trình bậc hai ax2 +bx+c =0 có 2 nghiệm x1, x2 thì:
=
=
−
= +
=
a
c x x P
a
b x
x S
2 1
2 1
1.3.1.2 Định lý đảo
=
= + P xy
S y x :
y
,
x ⇒x, y là nghiệm của phương trình X2 −SX+P=0 (Với
điều kiện S2 −4P≥0)
1.3.2 Tìm các biểu thức đối xứng của nghiệm
Phương pháp: (Sử dụng định lý Viét thuận)
- Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm: ∆≥0
- Tính S, P
- Biểu diễn biểu thức cần tính qua S, P
1.3.3 Tìm tham số để phương trình có một nghiệm x=α cho trước và tìm
nghiệm kia
1.3.4 Tìm tham số để hai phương trình tương đương
Cho hai phương trình:
= + +
= + +
) 2 ( 0 c x b x a
) 1 ( 0 c x b x a
2 2
2 2
1 1
2 1
* Hai phương trình được gọi là tương đương khi và chỉ khi hai tập nghiệm của chúng trùng nhau (kể cả bằng ∅)
Trang 4* Phương pháp: Xét hai trường hợp
- Hai phương trình vô nghiệm: Giải hệ
<
∆
<
∆ 0
0
2 1
- Hai phương trình đều có nghiệm: Giải hệ
=
=
≥
∆
≥
∆
2 1
2 1 2 1
P P
S S 0 0
(∆i,Si, Pi (i=1,2) tương ưng với phương trình (i)).
1.3.5 Tìm tham số khi biết một hệ thức của nghiệm
Phương pháp: (Dùng định lý Viét)
- Tính S, P theo m
- Biểu diễn biểu thức qua S, P Thay S, P vào ta được biểu thức biến m Tìm
m thỏa mãn bài toán
- Thử lại điều kiện ∆≥0 để kết luận về tham số
1.3.6 Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm độc lập với tham số
Phương pháp:
- Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm: ∆≥0
- Tính S, P
- Khử tham số giữa S và P để được một hệ thức chỉ còn S và P Thay
2 1 2
x
S= + = ta được một hệ thức độc lập với tham số
1.3.7 Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng
Tìm hai số x, y khi biết x+y=Svà xy=P
Phương pháp: (Sử dụng định lý Viét đảo)
- Lập phương trình bậc hai X2 −SX+P=0 và giải tìm nghiệm
- Khi đó x, y là nghiệm của phương trình trên
1.3.8 Bài tập tương tự
1.5 Dấu của tam thức bậc hai và bất phương trình bậc hai
Tam thức bậc hai f(x)=ax2 +bx+c (a ≠0) Nghiệm của tam thức bậc hai
là nghiệm của phương trình bậc hai f(x)=0.
1.5.1 Xét dấu của tam thức bậc hai
Để xét dấu của tam thức bậc hai ta sẽ xét biệt thức deta: ∆=b2 −4ac
Trang 5- ∆<0tam thức bậc hai vô nghiệm
f(x) Cùng dấu với a
- ∆=0Tam thức bậc hai có nghiệm kép
a 2
b
−
= α
f(x) Cùng dấu với a 0 Cùng dấu với a
- ∆>0Tam thức bậc hai có hai nghiệm phân biệt x1, x2 (x1 <x2)
f(x) Cùng dấu với a 0 Trái dấu với a 0 Cùng dấu với a
1.5.2 Điều kiện để tam thức bậc hai không đổi dấu trên R
-
<
∆
>
⇔
∈
∀
>
0
0 a R
x , 0 )
x
(
f
-
≤
∆
>
⇔
∈
∀
≥
0
0 a R
x , 0 )
x
(
f
-
<
∆
<
⇔
∈
∀
<
0
0 a R
x , 0 )
x
(
f
-
≤
∆
<
⇔
∈
∀
≤
0
0 a R
x , 0 )
x
(
f
1.5.3 Bài tập tương tự
1.6 So sánh nghiệm
Cho tam thức bậc hai (x)= ax2+ bx+c (a≠ 0) có 2 nghiệm x1,x2 (x1≤ x2)
1.6.1 So sánh hai nghiệm của tam thức với một số thực α
- af(α)<0:x1<α<x2
- af(α)=0: x=α là một nghiệm của tam thức bậc hai, nghiệm còn lại là
) 0 ,
P x
(
S
α
= α
−
=
2
S
0 ) (
af
0
<
<
α
⇔
α
>
>
α
>
∆
2 S
0 ) ( af
0
≤
<
α
⇔
α
>
>
α
≥
∆
Trang 6- ⇔ < <α
α
<
>
α
>
∆
2
x 2
S
0 ) (
af
0
α
<
>
α
≥
∆
2
x 2
S
0 ) ( af 0
1.6.2 So sánh hai nghiệm của tam thức với hai số thực α,β (α<β)
-
<
β
<
α
⇔
<
β
<
α
<
0 ) ( af
0 ) ( af x
-
β
<
<
α
>
β
>
α
>
∆
⇔ β
<
<
<
α
2 S
0 ) ( af
0 ) ( af 0 x
x1 2
-
<
β
>
α
⇔
<
β
<
<
α
0 ) ( af
0 ) ( af x
-
>
β
<
α
⇔ β
<
<
α
<
0 ) ( af
0 ) ( af x
1.6.3 Tìm điều kiện để tam thức bậc hai f(x)=ax2 +bx+c (a ≠0) có dấu xác định trên một tập hợp
1.6.4 Bài tập tương tự
Chương 2 NHỮNG ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 2.1 Phương trình quy về phương trình bậc hai
2.1.1 Phương trình bậc cao quy về phương trình bậc hai
2.1.1.1 Dạng đoán nghiệm
Ta chỉ xét với phương trình bậc 3: ax3 +bx2 +cx+d=0(a≠0)(1)
Phương pháp: Tìm một nghiệm x của phương trình:0
- Nếu (1) có nghiệm x0 =α(α∈Z) (nghiệm nguyên) thì α∈Ư(d).
- Nếu (1) có nghiệm (p,q Z)
q
p
x0 = ∈ (nghiệm hữu tỉ) thì p∈U(d) và q∈U(a). Khi đó thực hiện phép chia đa thức ax3 +bx2 +cx+d cho x−x0 ta được đa thức bậc hai ax2 +b'x+c' Và ta có:
Trang 7(x x ) (ax b'x c')
d cx bx
0 2
= + +
=
−
⇔
= + + +
0 ' c x ' b ax
0 x x 0
d cx bx
2.1.1.2 Dạng phương trình trùng phương ax4 +bx2 +c=0(a ≠0)
Phương pháp:
Đặt x2 =t (t≥0) Đưa phương trình về dạng at2 +bt +c=0 rồi giải tìm nghiệm t
2.1.1.3 Dạng phương trình đẳng cấp bậc hai au2 +buv+cv2 =0(a2 +c2 >0)
(u, v có thể là các biểu thức biến x) Phương pháp: Có hai cách giải
Cách 1: Giải phương trình với v=0
Với v≠ 0, chia hai vế của phương trình cho v ta được phương trình sau:2
0 c v
u b v
u a
2
= +
+
Đặt t
v
u = Đưa phương trình về phương trình bậc hai at2 +bt+c=0 rồi giải
Cách 2: Giải phương trình với v=0
Với v≠0, đặt u=kv đưa việc giải phương trình trên về giải phương trình bậc hai biến k: ak2 +bk +c=0
2.1.1.4 Dạng phương trình dạng hồi quy ax4 +bx3 +cx2 +dx+e=0 trong đó
2
b
d a
e
=
Phương pháp: x không là nghiệm của phương trình trên, chia cả hai vế cho
2
x ta được: a(x axe2) b(x bxd ) c 0
bx
d
x+ =
b
d 2 t ax
e x
t b
d 2 bx
d
2 2
2
2
+
⇒
Đưa phương trình trên về phương trình sau: ) 0
b
ad 2 c ( bt
at2 + + − =
2.1.1.5 Dạng: (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) =e trong đó a+b=c+d
Phương pháp: (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) =e
Trang 8[x2 +(a +b)x+ab][.x2 +(c+d)x+cd]=e
⇔ Đặt x2 +(a+b)x+ab=t, ta được:t(t+cd−ab)=e ⇔ t2 +(cd−ab)t −e=0
2.1.1.6 Dạng: (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) =ex2 trong đó ab=cd
Phương pháp: (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) =ex2
[x2 +(a +b)x+ab][.x2 +(c+d)x+cd]=ex2
⇔ Đặt x2 +(a +b)x+ab=t, ta được:t[t+(c+d−b−a)x]=ex2
t2 + + − − − 2 =
⇔ Đây là phương trình đẳng cấp bậc hai đã có phương pháp giải
2.1.1.7 Dạng: (x+a) (4 + x+b)4 =c
Phương pháp: Đặt t
2
b a
2
a b x 2
a b x
4 4
=
+ − +
− −
0 c 2
a b 2 x 2
a b 12 x 2
4 2
2
− +
− +
⇔ Đây là phương trình trùng phương bậc 4 đã có phương pháp giải
2.1.2 Phương trình căn quy về phương trình bậc hai
2.1.2.1 Dạng: f(x) = g(x)
Phương pháp: Điều kiện:
≥
≥ 0 ) x ( g
0 ) x ( f
Bình phương hai vế của phương trình: f(x)=g2(x)
2.1.2.2 Dạng: f(x) =g(x)
Phương pháp:
Phương trình trên tương đương với phương trình:
=
≥
) x ( g ) x ( f
0 ) x ( g
2
(Chú ý rằng điều kiện f(x)≥0 không cần đặt ra, vì nếu f(x)=g2(x) thì sẽ kéo theo f(x)≥0)
2.1.2.3 Dạng: af(x)+b f(x) +c=0
Phương pháp: Điều kiện f(x)≥0
Đặt f(x) =t (t≥0), ta được: at2 +bt +c=0
Trang 92.1.2.4 Dạng: a( (x) + g(x))+b (x).g(x)+ c=0 Trong đó (x)+g(x)=k.
Phương pháp: Điều kiện:
≥
≥ 0 ) x ( g
0 ) x ( f
Đặt t= f(x) + g(x) (tìm điều kiện của t) Khi đó
2
k t ) x ( g )
x ( f
2 −
Đưa phương trình về dạng: bt2 +2at +2c−k=0
2.1.2.5 Dạng: a f(x) +b f− 1(x) +c=0
Phương pháp:
2.1.3 Phương trình chứa dấu trị tuyệt đối quy về phương trình bậc hai
2.1.3.1 Dạng: f(x) =g(x)
Phương pháp: Bình phương hai vế của phương trình:
−
=
=
≥
⇔
=
≥
) x ( g ) x ( f
) x ( g ) x ( f
0 ) x ( g )
x ( g ) x ( f
0 ) x ( g
2 2
Trường hợp: g(x)=k với k≥0 ta có:ff((xx))==−kk
2.1.3.2 Dạng: af2(x)+bf(x) +c=0
Phương pháp: Đặt f(x) =t (t≥0)⇒f2(x)=t2, ta được: at2 +bt +c=0
2.1.4 Phương trình mũ quy về phương trình bậc hai
2.1.4.1 Dạng: aα2 ( x ) +bα ( x ) +c=0
Phương pháp:
Đặt: t =α ( x ) (t>0) Đưa phương trình về dạng at2 +bt +c=0 rồi giải
2.1.4.2 Dạng: aα ( x ) +bα− ( x ) +c=0
Phương pháp:
Đặt:
t
1 )
0 t(
t=α ( x ) > ⇒ α− ( x )= Đưa phương trình về dạng at2 +ct +b=0 rồi giải
2.1.4.3 Dạng: aα ( x ) +bβ ( x ) +c=0 Trong đó α.β=1
Phương pháp:
Ta có: 1 1 ⇔β=α−1⇒β (x) =α− (x)
α
= β
⇔
= β α
Trang 10Đặt:
t
1 )
0 t (
t=α ( x ) > ⇒β ( x ) = Đưa phương trình về dạng at2 +ct +b=0 rồi giải
2.1.4.4 Dạng: aα2 (x) +b( )αβ ( x ) +cβ2 ( x ) =0
Phương pháp:
Chia hai vế cho β2 ( x ) >0 (hoặc α2 ( x ) >0) ta được:
0 c b
a
) x ( )
x ( 2
= +
β
α +
β α
Đặt: t (t 0)
) x (
>
β
α
= Đưa phương trình về dạng at2 +ct +b=0 rồi giải
Chú ý: Trong một số trường hợp khó nhận dạng bình phương của một lũy
thừa phù hợp có thể đưa phương trình a 2 (x) b( ) ( x ) c 2 ( x ) 0
= β + αβ +
ẩn) về dạng cùng có lũy thừa là f(x): a( )α2 (x) +b( )αβ ( x ) +c( )β2 (x) =0
Khi đó ta sẽ chia cho lũy thừa có cơ số lớn nhất (hoặc bé nhất) Ta cũng đưa
được phương trình trên về dạng a b c 0
) x ( )
x ( 2
= +
β
α +
β α
2.1.4.5 Dạng: a ( x ) =b(a >0, b>0) Trong đó f(x) là đa thức bậc hai.
Phương pháp:
Lôgarit cơ số a hai vế ta được: (x)=logab⇔ (x)−logab=0 (Đây là phương trình bậc hai)
2.1.4.6 Dạng: a ( x ) =bg ( x ) (a >0,b>0) Trong đó (g(x) 0)
) x ( g
) x ( f ) x (
h = ≠ là đa thức bậc hai.
Phương pháp: Lôgarit cơ số a hai vế ta được: f(x)=g(x)loga b
- Giải với g(x)=0
- Với g(x)≠0: f(x)=g(x)loga b log b h(x) log b 0
) x ( g
) x ( f
a
=
⇔
2.1.4.7 Dạng: a ( x ) ag ( x ) (a R )
+
∈
= Trong đó f(x)−g(x) là đa thức bậc hai.
Phương pháp: Chia hai vế cho ag ( x ) >0 ta được :
Trang 111 a
1 a
a (x) g(x)
) x ( g
) x (
=
⇔
=
−
=
⇔
0 ) x ( g ) x ( f
1 a
2.1.4.8 Dạng:[ ] ( x ) [ ]g ( x )
) x ( h )
x (
h = Trong đó f(x)-g(x) và h(x) là đa thức bậc 2.
Phương pháp:
- Giải với h(x)=0.
- Với h(x)>0, chia hai vế cho [h(x)]g(x) >0 ta được :
) x (
) x ( g
) x (
=
⇔
=
−
=
⇔
0 ) x ( g ) x ( f
1 ) x ( h
2.1.5 Phương trình lôgarít quy về phương trình bậc hai
2.2 Điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm thuộc tập hợp cho trước và thỏa mãn điều kiện đã định
2.2.1 Định tham số để phương trình có một nghiệm thuộc tập hợp đã cho
2.2.2 Định tham số để mọi nghiệm phương trình có thuộc tập hợp đã cho
2.2.3 Điều kiện để phương trình có nghiệm thuộc một tập hợp cho trước
2.2.4 Điều kiện để phương trình vô nghiệm trên một tập đã cho
2.3 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2.3.1 Tìm GTLN, GTNN trên tập hợp cho trước
2.3.2 Tìm GTLN, GTNN của biểu thức từ điều kiện có nghiệm của phương trình
2.4 Chứng minh bất đẳng thức
Sử dụng điều kiện có nghiệm và điều kiện vô nghiệm của phương trình để chứng minh bất đẳng thức
2.5 Giải hệ phương trình
2.5.1 Hệ có một phương trình bậc hai
2.5.2 Hệ phương trình đối xứng loại một
2.5.2 Hệ phương trình đối xứng loại hai
2.5.4 Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai