C2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH CRAME - PHƯƠNG PHÁP GAUSS HỆ PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT VÀ ỨNG DỤNG pdf

1 C2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1 Các khái niệm 2 HPTTT Crame 3 Phương pháp Gauss 4 HPTTT Thuần nhất 4 Một số ứng dụng 2 I. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN I.1. Dạng tổng quát hệ phương trình tuyến tính: 1. Định nghĩa: là một hệ phương trình đại số bậc nhất gồm m phương trình n ẩn có dạng:           mnmn2 2 m 1 1 m 2n n2 2 22 1 21 1n n1 2 12 1 11 bxa xaxa bxa xaxa bxa xaxa x j là biến a ij được gọi là hệ số (của ẩn) b i : được gọi là hệ số tự do 3 I. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 2. Ma trận các hệ số:              mn a 2 m a 1 m a n2 a 22 a 21 a n1 a 12 a 11 a A 3. Ma trận cột của ẩn và ma trận cột của hệ số tự do:   T n x 2 x 1 x n x 2 x 1 x X                T m b 2 b 1 b m b 2 b 1 b B              Hệ phương trình (1) có thể viết: AX = B 4 I. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 4. Ma trận bổ sung:              m 2 1 mn2m1m n22221 n11211 b b b a aa a aa a aa A 5 I. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.2. Điều kiện tồn tại nghiệm: • Định lý (Định lý Kronecker – Capelli): Hệ phương trình tuyến tính (1) có nghiệm khi và chỉ khi hạng của ma trận A bằng hạng của ma trận bổ sung . Ví dụ: Xác định tham số a để phương trình có nghiệm:           1 axxx 1 xaxx 1 xxax 3 2 1 321 321 6 II.HỆ PHƯƠNG TRÌNH CRAME 2.1. Định nghĩa: Hệ phương trình Crame là một hệ phương trình tuyến tính n phương trình, n ẩn và định thức của ma trận hệ số khác không. 2.2. Định lý Crame: Hệ phương trình Crame có nghiệm duy nhất tính bằng công thức X = A -1 B, tức là: )Adet( ) A det( x j j  Trong đó A j là ma trận thu được từ A bằng cách thay cột thứ j bằng cột các phần tử tự do. 7 II.HỆ PHƯƠNG TRÌNH CRAME Ví dụ: Giải hệ phương trình:          8x3x2x 30x6x4x3 6x2x 3 2 1 321 31 8 III.PHƯƠNG PHÁP GAUSS 3.1. Định nghĩa: Hệ phương trình tuyến tính có số phương trình và số ẩn khác nhau hoặc định thức ma trận các hệ số bằng không. 3.2. Phương pháp: Sử dụng các phép toán sơ biến ma trận bổ sung về dạng ma trận bậc thang.              m 2 1 mn2m1m n22221 n11211 b b b a aa a aa a aa A 9 III.PHƯƠNG PHÁP GAUSS • m = n:              m 2 1 nn n222 n11211 'b 'b 'b 'a 00 'a 'a0 'a 'a'a A           n n ' nn 2n ' n22 ' 22 1n ' n12 ' 121 ' 11 'bxa 'bxa xa 'bxa xaxa 10 III.PHƯƠNG PHÁP GAUSS Ví dụ: Giải hệ phương trình:           7x7x11x4 2x2xx3 4x3x4x2 3 2 1 321 321 [...]... c1k cn-k,1 cn-k,2 … cn-k,k xk+1 1 0 0 xk+2 0 1 0 … xn 0 0 1 Hệ này được gọi là hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất 15 IV.HỆ PTTT THUẦN NHẤT Áp dụng: Sử dụng ví dụ trên ta tìm được hệ nghiệm cơ bản như sau: x1 = 8x3 – 7x4 x2 = -6 x3 + 5x4 8 -6 -7 5 x3 1 0 x4 0 1 16 V.MỘT VÀI ỨNG DỤNG 5.1 Mô hình cân bằng thị trường: 1 Thị trường 1 loại hàng hóa: Hàm cung : Qs = -a0 + a1P Hàm...IV.HỆ PTTT THUẦN NHẤT 4.1 Định nghĩa:  a x1  a x 2 12  11  a21x1  a22 x 2   a x  a x  m1 1 m2 2  a1n xn  0  a2n xn  0  amn xn Hệ luôn có nghiệm tầm thường 0  0     0 0 0T X   0     0 11 IV.HỆ PTTT THUẦN NHẤT 4.2 Phương pháp giải: Trường hợp 1: Nếu rankA = n, hệ phương trình chỉ có nghiệm tầm thường Trường hợp 2: Nếu rankA = k < n thì hệ phương trình tuyến tính. .. IV.HỆ PTTT THUẦN NHẤT RankA = 2, số ẩn là 4 nên hệ phương trình có vô số nghiệm phụ thuộc vào 2 tham số X1, X2  x1  8 x 3  7 x 4  0  x 2  6 x 3   5 x 4  0 8x3  7x 4  x1   x 2   6 x3  5 x 4 14 IV.HỆ PTTT THUẦN NHẤT 4.3 Hệ nghiệm cơ bản: Giả sử rankA = k < n Ta có hệ có vô số nghiệm phụ thuộc n-k tham số Giả sử n-k tham số đó là xk+1, … xn x1 c11 c11 x2 c12 c12 … … xk c1k c1k cn-k,1... 2P3   Qd3  1  P1  P2  4P3  21 V.MỘT VÀI ỨNG DỤNG 5.2.Mô hình cân đối liên ngành (I/O): Giả sử một quốc gia có nhiều ngành sản xuất Tổng cầu ngành: - Cầu trung gian: sản phẩm dịch vụ hàng hoá ngành này là yếu tố đầu vào phục vụ ngành khách - Cầu tiêu dùng và xuất khẩu (cầu cuối cùng): phục vụ cho hộ gia đình, chính phù và xuất khẩu 22 V.MỘT VÀI ỨNG DỤNG xi : tổng cầu của ngành I xịj : là giá... )xn  bn  24 V.MỘT VÀI ỨNG DỤNG a11 a12 a21 a22 A   an1 am2  a1n  a2n    ann    (I  A )X  B • A: ma trận hệ số kỹ thuật hay ma trận chi phí trực tiếp • aij: hệ số chi phí cho nhập lượng hay hệ số kỹ thuật • Dòng i: giá trị sản phẩm ngành i bán cho mỗi ngành • Cột j: giá trị sản phẩm ngành j mua mỗi ngành để sử dụng • [I-A] là ma trận Leontief 25 V.MỘT VÀI ỨNG DỤNG a11 a12 a21... bằng:  Qs2  Qd2  18 V.MỘT VÀI ỨNG DỤNG • Hệ phương trình cân bằng: (a11  b11)P1  (a12  b12 )P2  (a10  b10 )  (a21  b21)P1  (a22  b22 )P2  (a20  b20 ) c11P1  c12P2  c10  c 21P1  c 22P2  c 20 Ví dụ: Thị trường có 2 sản phẩm như sau: • Sản phẩm 1: Qs   2  3P1 1 Qd1  10  2P1  P2 • Sản phẩm 2: Qs2   1  2P1 Qd2  15  P1  P2 19 V.MỘT VÀI ỨNG DỤNG 3 Thị trường n loại hàng... hàng hóa: • Sản phẩm i: Qsi  ai0  ai1P1  ai2P2   ainPn   Qdi  bi0  bi1P1  bi2P2   binPn  • Hệ phương trình cân bằng: cij = (aij – bij) c11P1  c12P2   c1nPn  c10 c P  c P   c P  c  21 1 22 2 2n n 20   c n1P1  cn2P2   c nnPn  c n0  20 V.MỘT VÀI ỨNG DỤNG Ví dụ: Giả sử thị trường có 3 sản phẩm: Qs1  8  2P1  P2  P3   Qd1  5  4P1  P2  P3  Qs2... Mô hình cân bằng thị trường: 1 Thị trường 1 loại hàng hóa: Hàm cung : Qs = -a0 + a1P Hàm cầu : Qd = b0 - b1P ai,bi ≥ 0, P giá sản phẩm • Mô hình cân bằng: Qs = Qd => (a1+b1)P = (a0+b0) Ví dụ: Một sản phẩm trên thị trường có các thông tin: Hàm cung : Qs = -1 + P Hàm cầu : Qd = 3 - P 17 V.MỘT VÀI ỨNG DỤNG 2 Thị trường 2 loại hàng hóa: • Sản phẩm 1: Qs1  a10  a11P1  a12P2 Qd1  b10  b11P1  b12P2 •... trình chỉ có nghiệm tầm thường Trường hợp 2: Nếu rankA = k < n thì hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có vô số nghiệm, phụ thuộc n-k tham số Ví dụ:  3x 4  0  x1  2x 2  4 x 3 3 x  5 x  6 x3  4x 4  0  1 2   3 x3  0 4 x1  5 x 2  2x3 3 x1  8 x 2  24 x 3  19 x 4  0  12 IV.HỆ PTTT THUẦN NHẤT 1 3  4 3  2 4  3  3 3H1H2  1   4H1H3 0  1  6 5  4 3H1H4    ... tổng cầu của ngành I xịj : là giá trị sản phẩm hàng hóa, dịch vụ của ngành I mà ngành j làm yếu tố đầu vào bi : giá trị sản phẩm hàng hóa dịch vụ ngành i cho tiêu dùng và xuất khẩu Tổng cầu của ngành i: xi  xi1  xi2   xin  bi xi1 xi2 xin xi  x1  x 2   xn  bi x1 x2 xn 23 V.MỘT VÀI ỨNG DỤNG Đặt: aij  xij xi x1  a11x1  a12 x 2   a1n xn  b1 x  a x  a x   a x  b  2 21 1 22 2 . nghiệm:           1 axxx 1 xaxx 1 xxax 3 2 1 321 321 6 II.HỆ PHƯƠNG TRÌNH CRAME 2.1. Định nghĩa: Hệ phương trình Crame là một hệ phương trình tuyến tính n phương trình, n ẩn và định thức của ma trận hệ số khác không. 2.2. Định lý Crame: Hệ phương. 1 C2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1 Các khái niệm 2 HPTTT Crame 3 Phương pháp Gauss 4 HPTTT Thuần nhất 4 Một số ứng dụng 2 I. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN I.1. Dạng tổng quát hệ phương trình tuyến tính: 1 1 0 c n-k,1 c n-k,2 … c n-k,k 0 0 1 Hệ này được gọi là hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất. 16 IV.HỆ PTTT THUẦN NHẤT Áp dụng: Sử dụng ví dụ trên ta tìm được hệ nghiệm cơ