Phương trình hàm Cauchy và ứng dụng

Luận văn Phương trình hàm Cauchy và ứng dụng . Lý thuyết phương trình hàm có rất nhiều ứng dụng. Trong đó phương trình hàm Cauchy có vai trò quan trọng trong lĩnh vực phương trình hàm. Là công cụ hỗ trợ đắc lực trong đại số, hình học, vật lý, lý thuyết thông tin, khoa học máy tính.ỨNG DỤNG: Đặc trưng phân phối hình học Lãi đơn, lãi kép Phân rã phóng xạ Tổng lũy thừa của số nguyên Tổng lũy thừa k của n số tự nhiên đầu tiên Tổng chuỗi số vô hạnChương 1: Các định nghĩa, mệnh đề, định lý quan trọng về phương trình hàm Cauchy.Chương 2: Một số công thức nổi tiếngChương 3: Ứng dụng phương trình hàm Cauchy

Mục lục Lời mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Nghiệm phương trình hàm Cauchy cộng tính 1.2 Nghiệm phương trình Cauchy mũ 1.3 Nghiệm phương trình Cauchy lôgarit 1.4 Phương trình hàm Cauchy cộng tính nhiều biến Ứng dụng phương trình hàm Cauchy 2.1 Diện tích hình chữ nhật 2.2 Định nghĩa lôgarit 2.3 Lãi đơn lãi kép 12 2.4 Phân rã phóng xạ 13 2.5 Đặc trưng phân phối hình học 2.6 Đặc trưng phân phối chuẩn rời rạc 18 11 15 Một số ứng dụng khác phương trình hàm 3.1 22 Tổng lũy thừa số nguyên 22 3.1.1 Tổng n số tự nhiên 23 3.1.2 Tổng bình phương n số tự nhiên 24 3.1.3 Tổng lũy thừa bậc k n số tự nhiên 25 i MỤC LỤC ii 3.2 Tổng lũy thừa số hạng cấp số cộng 28 3.3 Số cặp có n vật 30 3.4 Lực lượng tập lũy thừa 32 3.5 Tổng số chuỗi hữu hạn 33 Kết luận 38 Tài liệu tham khảo 39 Mở đầu Lý thuyết phương trình hàm lĩnh vực nghiên cứu Giải tích toán học Các dạng toán phương trình hàm phong phú đa dạng nghiên cứu nhiều nhà toán học N.H.Abel, J.Bolyai, A.L.Cauchy, J.d’Alembert, L.Euler, C.F.Gauss, J.L.W.V.Jensen, J.V.Pesider, S.D.Poisson, Mỗi nhà toán học tiếp cận phương trình hàm theo mục tiêu nghiên cứu khác Mặc dù lý thuyết phương trình hàm nghiên cứu cách 260 năm thực phát triển mạnh mẽ 60 năm trở lại Trong phương trình hàm Cauchy có vai trò quan trọng lĩnh vực phương trình hàm Phương trình hàm Cauchy thường gặp có phương trình hàm Cauchy cộng tính, phương trình hàm Cauchy mũ, phương trình hàm Cauchy lôgarit Phương trình Cauchy có nhiều ứng dụng trở thành công cụ hỗ trợ đắc lực đại số, hình học, toán ứng dụng, vật lý, lý thuyết thông tin, khoa học máy tính, Trong khóa luận này, xin trình bày số ứng dụng bật phương trình hàm Cauchy hình học, đại số, xác suất thống kê, vật lý Hầu hết kết trình bày khóa luận tham khảo từ tài liệu [2] Khóa luận gồm chương với nội dung sau: Chương trình bày định nghĩa, định lý, mệnh đề quan trọng phương trình hàm Cauchy Chương trình bày cách tìm số công thức tiếng cách sử MỤC LỤC dụng phương trình hàm Cauchy Chương trình bày số ứng dụng khác phương trình hàm Cauchy để giải số toán Tôi xin bày tỏ kính trọng lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Nguyễn Sum, người thầy nhiệt tình hướng dẫn giúp đỡ suốt thời gian thực luận văn Đồng thời, xin chân thành cảm ơn sâu sắc đến thầy cô, gia đình bạn bè tạo điều kiện thuận lợi để hoàn thành khóa luận Quy Nhơn, ngày 20 tháng 05 năm 2015 Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Nghiệm phương trình hàm Cauchy cộng tính Cho hàm f : R → R, R tập số thực Hàm f thỏa mãn phương trình hàm f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R (1.1) gọi nghiệm phương trình hàm Cauchy cộng tính Định nghĩa 1.1 Hàm f : R → R gọi hàm cộng tính thỏa mãn phương trình hàm Cauchy cộng tính f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R Định nghĩa 1.2 Hàm f : R → R gọi hàm tuyến tính có dạng ∀x ∈ R, f (x) = cx, c số Định lý 1.1 Cho hàm f : R → R hàm số liên tục thỏa mãn phương trình hàm Cauchy cộng tính (1.1) Khi f tuyến tính; nghĩa là, f (x) = cx c số CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Định lý 1.2 Nếu hàm cộng tính thực f bị chặn đơn điệu f tuyến tính Định lý 1.3 Nếu hàm cộng tính thực f bị chặn đoạn [a, b] f tuyến tính; nghĩa là, tồn số c cho f (x) = cx, ∀x ∈ R 1.2 Nghiệm phương trình Cauchy mũ Cho phương trình hàm sau f (x + y) = f (x)f (y) (1.2) Định lý 1.4 Nếu phương trình hàm (1.2), nghĩa là, f (x + y) = f (x)f (y), thỏa mãn với số thực x, y nghiệm tổng quát (1.2) cho f (x) = eA(x) f (x) = ∀x ∈ R, A : R → R hàm cộng tính Hệ 1.1 Cho f nghiệm phương trình hàm (1.2), nghĩa là, f (x + y) = f (x)f (y) thỏa mãn với số thực x, y Khi nghiệm liên tục tổng quát (1.2) cho f (x) = ecx f (x) = ∀x ∈ R, c số thực 1.3 Nghiệm phương trình Cauchy lôgarit Xét phương trình hàm Cauchy f (xy) = f (x) + f (y) (1.3) CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Định lý 1.5 Nếu f nghiệm phương trình hàm (1.3), tức là, f (xy) = f (x) + f (y), thỏa mãn với x, y ∈ R \ {0} nghiệm tổng quát (1.3) cho f (x) = A(ln |x|) ∀x ∈ R \ {0}, A hàm cộng tính Hệ 1.2 Nghiệm tổng quát phương trình hàm (1.3) thỏa mãn với x, y ∈ R+ cho f (x) = A(ln x), A : R+ → R hàm cộng tính Hệ 1.3 Nghiệm tổng quát phương trình hàm (1.3) thỏa mãn với x, y ∈ R cho f (x) = ∀x ∈ R Hệ 1.4 Nghiệm liên tục tổng quát phương trình hàm (1.3) thỏa mãn với x, y ∈ R \ {0} cho f (x) = c ln |x| ∀x ∈ R \ {0}, c số thực 1.4 Phương trình hàm Cauchy cộng tính nhiều biến Cho f : Rn → R hàm thỏa mãn f (x1 + y1 , x2 + y2 , , xn + yn ) = f (x1 , x2 , , xn ) + f (y1 , y2 , , yn ) CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ với (x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn , (y1 , y2 , , yn ) ∈ Rn , gọi phương trình hàm Cauchy cộng tính nhiều biến Trường hợp n = ta có: f (x1 + y1 , x2 + y2 ) = f (x1 , x2 ) + f (y1 , y2 ), ∀x1 , x2 , y1 , y2 ∈ R (1.4) Định lý 1.6 Nghiệm tổng quát f : R2 → R phương trình hàm (1.4) cho f (x1 , x2 ) = A1 (x1 ) + A2 (x2 ), A1 , A2 : R → R cộng tính Định lý 1.7 Nếu f : R2 → R cộng tính R2 tồn hàm cộng tính A1 , A2 : R → R cho f (x1 , x2 ) = A1 (x1 ) + A2 (x2 ), ∀x1 , x2 ∈ R Định lý 1.8 Nếu f : R2 → R hàm cộng tính liên tục R2 , tồn số c1 , c2 cho f (x1 , x2 ) = c1 x1 + c2 x2 , ∀x1 , x2 ∈ R Mệnh đề 1.1 Nếu hàm cộng tính f : R2 → R liên tục theo biến hàm liên tục Chương Ứng dụng phương trình hàm Cauchy Nhiều phương trình hàm có nguồn gốc từ ứng dụng thực tiễn Hiện vấn đề khoa học kĩ thuật thường mô hình hóa phương trình vi phân (ODE) phương trình vi phân phần (PDE) Trước phát triển ODE hay PDE, trình vật lý giải tích hóa cách sử dụng hàm Trong chương này, trình bày vài ứng dụng phương trình hàm Cauchy Trong mục 1, trình bày công thức tính diện tích hình chữ nhật theo Legendre (1971) Trong trình suy công thức này, ta ứng dụng phương trình hàm Cauchy biến Ở mục 2, cách sử dụng tính chất cộng tích phân xác định, ta thấy x 1 dt = ln(x) t với x ∈ (0, ∞) Trong trình suy kết này, sử dụng phương trình hàm Cauchy lôgarit Trong nhiều sách tính toán tích phân bên trái sử dụng để xác định lôgarit tự nhiên Trong mục cho ta công thức tính lãi đơn lãi kép cách sử dụng phương trình hàm Vì chất phóng xạ phân rã theo thời gian nên cần thiết có công thức tính lượng chất phóng CHƯƠNG ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM CAUCHY xạ lại thời điểm t Sử dụng phương trình hàm mũ Cauchy, ta tìm công thức phân rã phóng xạ Mục đến mục trình bày ba ứng dụng phương trình hàm Cauchy lý thuyết xác suất Ở mục 5, phân phối xác suất hình học đặc trưng tính chất không nhớ Mục xử lí đặc trưng phân phối chuẩn rời rạc Trong mục trình bày đặc trưng lâu đời phân phối chuẩn 2.1 Diện tích hình chữ nhật Năm 1791, Legendre cho công thức tính diện tích hình chữ nhật cách sử dụng phương trình hàm Cauchy cộng tính Để đưa công thức ta cần sử dụng định lý sau Định lý 2.1 Cho hàm f : [0, ∞) → [0, ∞) thỏa mãn phương trình hàm Cauchy cộng tính f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ [0, ∞) f (x) = cx, c số thực không âm Chứng minh Chú ý f bị chặn f (x), ∀x Vì nghiệm bị chặn phương trình hàm Cauchy cộng tính tuyến tính nên f tuyến tính ta có f (x) = cx với số không âm c ∈ R Xét hình chữ nhật có chiều dài b chiều rộng a hình Hình 2.1 Hình chữ nhật có chiều dài b chiều rộng a CHƯƠNG MỘT SỐ ỨNG DỤNG KHÁC CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM 24 hay c= Do f1 (n) = n n2 n(n + 1) + = 2 Vì f1 (n) = + + + + n = 3.1.2 n(n + 1) Tổng bình phương n số tự nhiên Ta có f2 (m + n) = 12 + 22 + + m2 + (m + 1)2 + + (m + n)2 = f2 (m) + [12 + 22 + + n2 ] + 2m[1 + + + n] + m2 n = f2 (m) + f2 (n) + 2mf1 (n) + m2 n = f2 (m) + f2 (n) + mn2 + m2 n + mn, ∀m, n ∈ N (3.7) Ta định nghĩa hàm g2 : N → R sau g2 (n) = f2 (n) − n2 n3 − , ∀n ∈ N Ta có g2 (m + n) = f2 (m + n) − (m + n)2 (m + n)3 − (m + n)2 (m + n)3 = f2 (m) + f2 (n) + mn + m n + mn − − 2 (m + 2mn + n ) = f2 (m) + f2 (n) + mn2 + m2 n + mn − (m3 + 3m2 n + 3mn2 + n3 ) − m m3 n2 n3 = f2 (m) − − + f2 (n) − − 3 2 = g2 (m) + g2 (n), ∀m, n ∈ N CHƯƠNG MỘT SỐ ỨNG DỤNG KHÁC CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM 25 Vì g2 (n) = cn, n2 n3 f2 (n) = cn + + (3.8) Vì f2 (1) = nên 1=c+ 1 + Suy c= Vậy n n2 n3 + + (n + 3n2 + 2n3 ) = n(n + 1)(2n + 1) = f2 (n) = 3.1.3 Tổng lũy thừa bậc k n số tự nhiên Với k tùy ý, sử dụng Định lý Nhị thức cho phương trình hàm sau đây: fk (n + m) = 1k + 2k + + nk + (n + 1)k + + (n + m)k k k Cki ni 1k−i = fk (n) + Cki ni mk−i + + i=0 k i=0 Cki ni [1k−i + + mk−i ] = fk (n) + i=0 k Cki ni fk−i (m) = fk (n) + i=0 k Cki ni fk−i (m), = fk (n) + fk (m) + i=1 m, n, k ∈ N CHƯƠNG MỘT SỐ ỨNG DỤNG KHÁC CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM 26 Do ta có k Cki ni fk−i (m), fk (n + m) − fk (m) − fk (n) = m, n ∈ N (3.9) i=1 Lưu ý rằng: fk (1) = 1, ∀k ∈ N, f0 (m) = m Trong (3.9) cho n = 1, ta có k Cki 1i fk−i (m), fk (m + 1) − fk (m) − fk (1) = i=1 k k k k k k k k Cki fk−i (m) ⇔ [1 + + + m + (m + 1) ] − [1 + + + m ] − = i=1 k ⇔ (m + 1)k − = Cki fk−i (m), m ∈ N i=1 * Cho k = ta thu m2 + 2m = 2f1 (m) + f0 (m) = 2f1 (m) + m ⇒ f1 (m) = m(m + 1) * Cho k = ta có m3 + 3m2 + 3m = 3f2 (m) + 3f1 (m) + f0 (m) 3m(m + 1) +m m(m + 1)(2m + 1) ⇒ f2 (m) = = 3f2 (m) + Trường hợp tổng quát Ta thấy vế trái (3.9) biểu thức đối xứng m n, ta có k k Cki ni fk−i (m) i=1 Cki mi fk−i (n), = m, n ∈ N i=1 Thay m = sử dụng fk (1) = 1, ta có k k Cki ni fk−i (1) = i=1 Cki fk−i (n) i=1 k Cki fk−i (n) = (1 + n)k − ⇒ i=1 CHƯƠNG MỘT SỐ ỨNG DỤNG KHÁC CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM 27 Từ có k k Cki fk−i (n), kfk−1 (n) = (1 + n) − − n∈N i=2 ⇒ fk−1 (n) = k i=2 (1 + n)k − − Cki fk−i (n) k k, n ∈ N , (3.10) * Trong (3.10) cho k = 2, ta n(n + 1) n2 + 2n − f0 (n) = f1 (n) = 2 * Trong (3.10) cho k = 3, n3 + 3n2 + 3n − 3f1 (n) − f0 (n) 3 3 = [n + 3n2 + 3n − n2 − n − n] 2 3 n = [n + n + ] 2 n(n + 1)(2n + 1) = f2 (n) = n1 n2 n3 n4 n5 n6 f0 (n) f1 (n) 2 f2 (n) 4 5 12 2 f3 (n) f4 (n) − 30 f5 (n) − 12 f6 (n) 42 − 16 n7 Bảng hệ số tổng lũy thừa số nguyên Bảng tạo thành cách: ta nhập số góc bên trái (vì f0 (n) = n) ô lại dòng trống (tức hệ số số hạng bậc cao 0) Để có hệ số lại bảng, ô đường CHƯƠNG MỘT SỐ ỨNG DỤNG KHÁC CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM 28 chéo xuống (hàng cột kế tiếp) C(i − 1, j − 1) tính công thức C(i, j) = C(i − 1, j − 1)(i/j) Tất cột ngoại trừ cột tạo công thức Các phần tử cột tính sau: cộng tất ô bên phải cột lấy trừ cho tổng 3.2 Tổng lũy thừa số hạng cấp số cộng Với n, k ∈ N, h ∈ R ta định nghĩa sk (n; h) = 1k + (1 + h)k + + (1 + (n − 1)h)k , (3.11) tổng lũy thừa bậc k số hạng cấp số cộng Ta có sk (m + n; h) = 1k + (1 + h)k + + (1 + (n − 1)h)k + (1 + nh)k + + (1 + (m + n − 1)h)k = sk (n; h) + (1 + nh)k + (1 + h + nh)k + + (1 + (m − 1)h + nh)k k Cki sk−i (m; h)(nh)i ; = sk (n; h) + sk (m; h) + i=1 nghĩa là, sk (n; h) thỏa mãn phương trình hàm k Cki sk−i (m; h)(nh)i sk (m + n; h) = sk (n; h) + sk (m; h) + (3.12) i=1 với k ∈ N, h ∈ R, m, n = 1, 2, 3, Bây ta cần tìm s1 (n; h), s2 (n; h) Chú ý s0 (n; h) = n, sk (1; h) = Trong (3.12) cho n = 1, ta k Cki sk−i (m; h)(h)i sk (m + 1; h) − sk (m; h) = sk (1; h) + i=1 CHƯƠNG MỘT SỐ ỨNG DỤNG KHÁC CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM 29 k k Cki sk−i (m; h)(h)i ⇔ (1 + mh) = + i=1 với m = 1, 2, , h ∈ R, k ∈ N Trong (3.13) cho k = 2, ta m2 h2 + 2mh = 2s1 (m; h)h + s0 (m; h)h2 m2 h2 + 2mh − mh2 2h h h = (1 − )m + m2 2 ⇔ s1 (m; h) = Tương tự cho k = cho ta m3 h3 + 3m2 h2 + 3mh = 3s2 (m; h)h + 3s1 (m; h)h2 + s0 (m; h)h3 ; suy m3 h3 + 3m2 h2 + 3mh − 3[(1 − h2 )m + h2 m2 ]h2 − mh3 s2 (m; h) = 3h h h2 h2 = (1 − h + )m + h(1 − )m + m 3.3 Số cặp có n vật Xét hai tập A, B tương ứng có n, m phần tử (3.13) CHƯƠNG MỘT SỐ ỨNG DỤNG KHÁC CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM 30 Đặt f2 (n) số cặp phần tử có n phần tử, f2 (m + n) = f2 (m) + f2 (n) + mn Ta định nghĩa hàm g2 : N → R sau: g2 (n) = f2 (n) − n2 Khi g2 (m + n) = f2 (m + n) − (m + n)2 m2 + 2mn + n2 m2 n2 − − mn = f2 (m) + f2 (n) + mn − 2 m2 n2 = f2 (m) − + f2 (n) − 2 = f2 (m) + f2 (n) + mn − = g2 (m) + g2 (n) Do g2 (n) = cn Vì f2 (n) = g2 (n) + n2 n2 = cn + 2 Vì f2 (2) = 1, nên ta có f2 (2) = 2c + = hay c=− Vậy n2 n(n + 1) f2 (n) = − n + = = Cn2 2 Nếu f3 (n) biểu thị cho số ba phần tử có n phần tử f3 (n) = Cn3 Thật vậy: CHƯƠNG MỘT SỐ ỨNG DỤNG KHÁC CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM 31 Xét hai tập A B tương ứng có n, m phần tử Khi f3 (m + n) = f3 (m) + f3 (n) + nf2 (m) + mf2 (n) = f3 (m) + f3 (n) + mCn2 + nCm = f3 (m) + f3 (n) + (mn2 + nm2 ) − mn Ta định nghĩa hàm g3 : N → R sau g3 (n) = f3 (n) − n3 n2 + , n ∈ N, ta có (m + n)3 (m + n)2 + = f3 (m) + f3 (n) + (mn2 + nm2 ) m3 + 3m2 n + 3mn2 + n3 m2 + 2mn + n2 − mn − + 2 3 m n n m + + f3 (n) − + = f3 (m) − 6 g3 (m + n) = f3 (m + n) − = g3 (m) + g3 (n) Vì f3 (n) = cn − n2 n3 + Vì f3 (3) = 1, nên ta thu c= n2 n3 n(n − 1)(n − 2) f3 (n) = (n) − + = = Cn3 6 CHƯƠNG MỘT SỐ ỨNG DỤNG KHÁC CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM 32 3.4 Lực lượng tập lũy thừa Giả sử f (n) hàm số biểu thị số tập từ tập có n phần tử (kể tập rỗng) Xét n ≥ 0, m ≥ Khi áp dụng quy tắc nhân f (m + n) = f (m)f (n) Cho m = n ta có f (2m) = f (m)2 Bằng quy nạp, ta dễ dàng f (mn) = f (m)n , ∀n ∈ N Do f (n) = f (1)n = 2n 3.5 Tổng số chuỗi hữu hạn i) Giả sử S(n) = 1.2 + 2.3 + + n(n + 1), n ∈ N (3.14) CHƯƠNG MỘT SỐ ỨNG DỤNG KHÁC CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM 33 S : N → N S(m + n) = 1.2 + 2.3 + + n(n + 1) + (n + 1)(n + 2) + (n + 2)(n + 3) + + (n + m)(n + m + 1) = S(n) + (n2 + n + 2n + 1.2) + (n2 + 2n + 3n + 2.3) + + [n2 + n(m + 1) + mn + m(m + 1)] = S(n) + S(m) + mn2 + 2(n + 2n + 3n + + mn) + mn = S(n) + S(m) + mn2 + 2n(1 + + + + m) + mn = S(n) + S(m) + mn2 + mn(m + 1) + mn = S(n) + S(m) + mn2 + nm2 + 2mn Ta định nghĩa hàm f : N → R f (n) = S(n) − n2 − n3 , n ∈ N Khi (m + n)3 3 m n3 = S(m) − m2 − + S(n) − n2 − 3 f (m + n) = S(m + n) − (m + n)2 − = f (m) + f (n) Do f cộng tính f (n) = cn Ta có S(1) = c + + = 2, suy c= Do S(n) = n(n + 1)(n + 2) (3.15) ii) Cho t(n) = 1.3 + 2.4 + + n(n + 2), n ∈ N (3.16) CHƯƠNG MỘT SỐ ỨNG DỤNG KHÁC CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM 34 t : N → N Chú ý t(1) = ta có t(m + n) = 1.3 + 2.4 + + n(n + 2) + (n + 1)(n + 3) + + (n + m)(n + m + 2) = t(n) + t(m) + mn2 + 2(n + 2n + + mn) + 2mn = t(n) + t(m) + mn2 + mn(m + 1) + 2mn = t(n) + t(m) + mn2 + mn(m + 3) = t(n) + t(m) + mn2 + nm2 + 3mn Ta định nghĩa hàm f : N → R sau f (n) = t(n) − n3 − n2 , n ∈ N Khi f (m + n) = t(m + n) − (m + n)3 − (m + n)2 3 3 = t(m) − m − m + t(n) − n3 − n2 3 m, n ∈ N = f (m) + f (n), Nghĩa f cộng tính f (n) = cn, n ∈ N Vậy t(n) = cn + n3 + n2 Vì t(1) = 3, suy c= t(n) = n(n + 1)(2n + 7) , n ∈ N (3.17) iii) Cho s(n) = 1.2.3 + 2.3.4 + + n(n + 1)(n + 2), n ∈ N (3.18) CHƯƠNG MỘT SỐ ỨNG DỤNG KHÁC CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM 35 với s : N → N Chú ý s(1) = Bây với m, n ≥ 2, s(n + m − 1) = s(n − 1) + n(n + 1)(n + 2) + [(n + 1)(n + 2)(n + 3) + + (n + m − 1)(n + m)(n + m + 1)] = s(n − 1) + (n3 + 3n2 + 2n) + (m − 1)n3 + n2 (6 + + 3m) + n[[1.2 + + (m − 1)m] + [1.3 + + (m − 1)(m + 1)] + [2.3 + + m(m + 1)]] + s(m − 1) = s(n − 1) + s(m − 1) + mn3 + 3n2 (1 + + + m) + n[[1.2 + + (m − 1)m] + [1.3 + + (m − 1)(m + 1)] + [1.2 + + m(m + 1)]] m(m + 1) (m − 1)m(m + 1) m(m − 1)(2m + 5) +n +n m(m + 1)(m + 2) +n ( sử dụng (3.15), (3.16)) 3 = s(n − 1) + s(m − 1) + mn3 + m2 n2 + m3 n 3 + n m + nm2 − mn 2 = s(n − 1) + s(m − 1) + mn3 + 3n2 Ta định nghĩa hàm f : N → R sau n4 n3 n2 f (n) = s(n − 1) − − + , 4 n ∈ N Khi (m + n)4 (m + n)3 (m + n)2 − + 4 = s(n − 1) + s(m − 1) + mn3 + m2 n2 + m3 n 3 n + 4mn3 + 6m2 n2 + 4m3 n + m4 + n2 m + nm2 − mn − 2 m3 + 3m2 n + 3mn2 + n3 m2 + 2mn + n2 − + 4 m m m n4 n3 n2 = s(m − 1) − − + + s(n − 1) − − + 4 4 f (m + n) = s(m + n − 1) − = f (m) + f (n) CHƯƠNG MỘT SỐ ỨNG DỤNG KHÁC CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM 36 Do f cộng tính Suy f (n) = cn Ta có s(1) = suy c=− Vậy s(n − 1) = 41 [n4 + 2n3 − n2 − 2n] = 41 n(n − 1)(n + 1)(n + 2); nghĩa là, s(n) = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) Kết luận Trong khóa luận trình bày cách khái quát phương trình hàm Cauchy, ứng dụng phương trình hàm Cauchy để tìm số công thức giải số toán sơ cấp Đóng góp tác giả tập hợp, chọn lọc trình bày lại kết tài liệu [2] ứng dụng phương trình hàm Cauchy cách rõ ràng, khúc chiết Tuy nhiên, lực thời gian hạn chế nên luận văn tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận ý kiến đóng góp quý thầy cô bạn 37 Tài liệu tham khảo [1] N.V.Mậu, Phương trình hàm, NXB Giáo dục, 1999 [2] P.K.Sahoo and P.Kannappan, Introduction to Functional Equations, CRC Press, Taylor and Francis Group, Boca Raton, London, New York, 2011 [3] J.Aczél, Lectures on functional equations and their applications, Academic Press, New York – London, 1966 [4] N Zoabi, E Mamane, V Kharash, S Ardazi, Cauchy’s and Pexider’s functional equations in restricted domains, http://eqworld.ipmnet.ru/en/education/zoabi.pdf 38 [...]... tục Vì vậy phương trình (2.8) cho ta φ(x) = c ln x, CHƯƠNG 2 ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM CAUCHY 12 trong đó c là một hằng số Sử dụng tổng Riemann, biểu thức trên được viết như sau e φ(e) = 1 1 dt = 1 t Vậy ta được c = 1 và φ(x) = ln x Vậy ta đã chứng minh xong 2.3 x 1 dt 1 t = ln x Lãi đơn và lãi kép Tiếp theo ta suy ra công thức tính lãi đơn và lãi kép bằng cách sử dụng phương trình hàm Cauchy cộng... = kx với mọi x ∈ Z 21 Chương 3 Một số ứng dụng khác của phương trình hàm Trong chương này, chúng tôi trình bày một số ứng dụng khác của phương trình hàm Cauchy để giải một số bài toán Bằng cách sử dụng phương trình hàm Cauchy cộng tính ta có thể tính được tổng lũy thừa bậc k của n số tự nhiên đầu tiên (với k = 1, 2, 3), biết được số cặp có thể có ở giữa n vật và đặc biệt là có thể tìm được tổng của... m0 e−λt (2.14) CHƯƠNG 2 ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM CAUCHY 14 Do đó (2.14) cho ta công thức tìm lượng phóng xạ hiện tại vào thời điểm t với điều kiện là lượng phóng xạ ban đầu là m0 và thời gian là t Ở đây λ là hằng số phân hủy Bây giờ ta suy ra công thức (2.14) bằng việc sử dụng phương trình hàm Cho f (t) là hàm biểu thị mối quan hệ giữa lượng phóng xạ tại thời điểm t và lượng phóng xạ lúc đầu... điểm t + h có thể được trình bày theo hai cách như sau (hình vẽ bên dưới): m(t + h) = m0 f (t + h) và m(t + h) = m0 f (t)f (h) Do đó m0 f (t + h) = m0 f (t)f (h) với mọi t, h ∈ R+ Vì vậy f (t + h) = f (t)f (h) Theo quan điểm ứng dụng, f có thể được giả thiết là liên tục Khi đó nghiệm của phương trình hàm trên được cho bởi f (t) = eαt , CHƯƠNG 2 ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM CAUCHY 15 trong đó α là... n), ∀m, n ∈ N Ta cần chứng minh X là biến ngẫu nhiên hình học Ta định nghĩa hàm g : N → R như sau g(n) = P (X > n) Khi đó ta được g(m + n) = g(m)g(n), ∀m, n ∈ N CHƯƠNG 2 ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM CAUCHY 17 Do đó nghiệm tổng quát (thậm chí không liên tục) của phương trình hàm trên là g(n) = an , ở đây a là một hằng số Do đó P (X > n) = an hay 1 − F (n) = an , với F (n) là hàm phân phối Vì vậy F... p, Do đó X ∼ Geo(p) x = 1, 2, 3, , ∞ CHƯƠNG 2 ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM CAUCHY 2.6 18 Đặc trưng của phân phối chuẩn rời rạc Cho phương trình hàm sau: f (x21 + x22 + + x2n ) = f (x21 ) + f (x22 ) + + f (x2n ) với mọi x1 , x2 , , xn ∈ Z Nếu n = 2 thì f (x21 + x22 ) = f (x21 ) + f (x22 ) (2.15) với mọi x1 , x2 ∈ Z Một nghiệm của phương trình trên là f (x) = kx, x ∈ Z (2.16) Tuy nhiên,... t + s) = f (f (x, t), s) (2.9) (2.10) với mọi x, y, t, s ∈ R+ Phương trình đầu tiên nói rằng giá trị tương lai của vốn x + y sau khi được đầu tư trong thời gian t bằng tổng giá trị tương lai CHƯƠNG 2 ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM CAUCHY 13 của vốn x sau khi đầu tư trong thời gian t và vốn y sau khi được đầu tư trong thời gian t Phương trình thứ hai nói rằng giá trị tương lai của vốn x đã được đầu... (n), m, n ∈ N (3.4) Nghiệm của phương trình hàm Cauchy cộng tính (3.4) trên N là g1 (n) = cn, (3.5) trong đó c là hằng số Từ (3.3) và (3.5), ta có 1 f1 (n) = cn + n2 2 Vì f1 (1) = 1 nên 1 1=c+ , 2 (3.6) CHƯƠNG 3 MỘT SỐ ỨNG DỤNG KHÁC CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM 24 hay 1 c= 2 Do đó f1 (n) = n n2 n(n + 1) + = 2 2 2 Vì vậy f1 (n) = 1 + 2 + 3 + + n = 3.1.2 n(n + 1) 2 Tổng bình phương của n số tự nhiên đầu... (2.3) và (2.5) cho ta f (a, b) = αab (2.6) Vì f (a, b) ≥ 0 buộc α là hằng số dương và nó liên kết với đơn vị diện tích CHƯƠNG 2 ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM CAUCHY 2.2 11 Định nghĩa lôgarit Trong các phép tính toán sơ cấp, lôgarit được định nghĩa thông qua tích phân Anton định nghĩa lôgarit tự nhiên như sau x ln x = 1 1 dt t (2.7) với x ∈ (0, ∞) Ta sẽ chứng minh rằng x 1 1 dt t đúng bằng ln x và ta... chứng minh mãi đến khi Josephe Louis Lagrange chứng minh năm 1770 Định lý 2.2 trên được gọi là định lý bốn bình phương Theo Dasgupta (1993), chúng ta sẽ giới thiệu nghiệm của phương trình hàm (2.18) trong định lý kế tiếp Định lý 2.3 Cho n ≥ 4 là một số nguyên Hàm f : Z → R thỏa mãn phương trình f (x21 + x22 + + x2n ) = f (x21 ) + f (x22 ) + + f (x2n ) (2.20) với mọi x1 , x2 , , xn ∈ Z nếu và ... trình hàm Cauchy có vai trò quan trọng lĩnh vực phương trình hàm Phương trình hàm Cauchy thường gặp có phương trình hàm Cauchy cộng tính, phương trình hàm Cauchy mũ, phương trình hàm Cauchy lôgarit... dụng bật phương trình hàm Cauchy hình học, đại số, xác suất thống kê, vật lý Hầu hết kết trình bày khóa luận tham khảo từ tài liệu [2] Khóa luận gồm chương với nội dung sau: Chương trình bày... trọng phương trình hàm Cauchy Chương trình bày cách tìm số công thức tiếng cách sử MỤC LỤC dụng phương trình hàm Cauchy Chương trình bày số ứng dụng khác phương trình hàm Cauchy để giải số toán