Phương trình hàm Cauchy và ứng dụng

Luận văn Phương trình hàm Cauchy và ứng dụng . Lý thuyết phương trình hàm có rất nhiều ứng dụng. Trong đó phương trình hàm Cauchy có vai trò quan trọng trong lĩnh vực phương trình hàm. Là công cụ hỗ trợ đắc lực trong đại số, hình học, vật lý, lý thuyết thông tin, khoa học máy tính.ỨNG DỤNG: Đặc trưng phân phối hình học Lãi đơn, lãi kép Phân rã phóng xạ Tổng lũy thừa của số nguyên Tổng lũy thừa k của n số tự nhiên đầu tiên Tổng chuỗi số vô hạnChương 1: Các định nghĩa, mệnh đề, định lý quan trọng về phương trình hàm Cauchy.Chương 2: Một số công thức nổi tiếngChương 3: Ứng dụng phương trình hàm Cauchy

Lời mở đầu 1

1.1 Nghiệm của phương trình hàm Cauchy cộng tính 3

1.2 Nghiệm của phương trình Cauchy mũ 4

1.3 Nghiệm của phương trình Cauchy lôgarit 4

1.4 Phương trình hàm Cauchy cộng tính nhiều biến 5

2 Ứng dụng của phương trình hàm Cauchy 7 2.1 Diện tích hình chữ nhật 8

2.2 Định nghĩa lôgarit 11

2.3 Lãi đơn và lãi kép 12

2.4 Phân rã phóng xạ 13

2.5 Đặc trưng của phân phối hình học 15

2.6 Đặc trưng của phân phối chuẩn rời rạc 18

3 Một số ứng dụng khác của phương trình hàm 22 3.1 Tổng lũy thừa của số nguyên 22

3.1.1 Tổng của n số tự nhiên đầu tiên 23

3.1.2 Tổng bình phương của n số tự nhiên đầu tiên 24

3.1.3 Tổng lũy thừa bậc k của n số tự nhiên đầu tiên 25

i

3.2 Tổng lũy thừa của các số hạng trong một cấp số cộng 28

3.3 Số cặp có thể có giữa n vật 30

3.4 Lực lượng của một tập lũy thừa 32

3.5 Tổng của một số chuỗi hữu hạn 33

Lý thuyết các phương trình hàm là một trong những lĩnh vực nghiên cứu

cơ bản của Giải tích toán học Các dạng toán về phương trình hàm rất phongphú và đa dạng và được nghiên cứu bởi rất nhiều nhà toán học như N.H.Abel,J.Bolyai, A.L.Cauchy, J.d’Alembert, L.Euler, C.F.Gauss, J.L.W.V.Jensen,J.V.Pesider, S.D.Poisson, Mỗi nhà toán học tiếp cận phương trình hàmtheo các mục tiêu nghiên cứu khác nhau

Mặc dù lý thuyết phương trình hàm đã được nghiên cứu cách đây hơn 260năm nhưng nó thực sự phát triển mạnh mẽ trong 60 năm trở lại đây Trong

đó phương trình hàm Cauchy là cơ bản và có vai trò quan trọng trong lĩnhvực phương trình hàm Phương trình hàm Cauchy thường gặp có phươngtrình hàm Cauchy cộng tính, phương trình hàm Cauchy mũ, phương trìnhhàm Cauchy lôgarit

Phương trình Cauchy có nhiều ứng dụng và đã trở thành công cụ hỗ trợđắc lực trong đại số, hình học, toán ứng dụng, vật lý, lý thuyết thông tin,khoa học máy tính,

Trong khóa luận này, chúng tôi xin trình bày một số ứng dụng nổi bậtcủa phương trình hàm Cauchy trong hình học, đại số, xác suất thống kê, vật

lý Hầu hết các kết quả trình bày trong khóa luận được tham khảo từ tài liệu[2]

Khóa luận gồm 3 chương với nội dung như sau:

Chương 1 trình bày các định nghĩa, định lý, mệnh đề quan trọng vềphương trình hàm Cauchy

Chương 2 trình bày cách tìm một số công thức nổi tiếng bằng cách sử

1

dụng phương trình hàm Cauchy.

Chương 3 trình bày một số ứng dụng khác của phương trình hàm Cauchy

để giải một số bài toán

Tôi xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đến thầy NguyễnSum, người thầy đã nhiệt tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong suốt thời gianthực hiện luận văn Đồng thời, tôi cũng xin chân thành cảm ơn sâu sắc đếnthầy cô, gia đình và bạn bè đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thànhkhóa luận này

Quy Nhơn, ngày 20 tháng 05 năm 2015

được gọi là nghiệm của phương trình hàm Cauchy cộng tính.

Định nghĩa 1.1 Hàm f : R → R được gọi là hàm cộng tính nếu nó thỏamãn phương trình hàm Cauchy cộng tính

f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R

Định nghĩa 1.2 Hàm f : R → R được gọi là hàm tuyến tính nếu và chỉnếu nó có dạng

f (x) = cx, ∀x ∈ R,trong đó c là hằng số bất kì

Định lý 1.1 Cho hàm f : R → R là một hàm số liên tục thỏa mãn phươngtrình hàm Cauchy cộng tính (1.1) Khi đó f tuyến tính; nghĩa là, f (x) = cxtrong đó c là một hằng số bất kì

3

Định lý 1.2 Nếu một hàm cộng tính thực f bị chặn hoặc đơn điệu thì ftuyến tính.

Định lý 1.3 Nếu một hàm cộng tính thực f bị chặn trên đoạn [a, b] thì ftuyến tính; nghĩa là, tồn tại một hằng số c sao cho f (x) = cx, ∀x ∈ R

1.2 Nghiệm của phương trình Cauchy mũ

Cho phương trình hàm sau

Định lý 1.4 Nếu phương trình hàm (1.2), nghĩa là,

f (x + y) = f (x)f (y),thỏa mãn với mọi số thực x, y thì nghiệm tổng quát của (1.2) được cho bởi

f (x) = eA(x) hoặc f (x) = 0 ∀x ∈ R,trong đó A : R → R là hàm cộng tính

Hệ quả 1.1 Cho f là nghiệm của phương trình hàm (1.2), nghĩa là,

f (x + y) = f (x)f (y) thỏa mãn với mọi số thực x, y Khi đó nghiệm liên tụctổng quát của (1.2) được cho bởi

f (x) = ecx hoặc f (x) = 0 ∀x ∈ R,trong đó c là một hằng số thực bất kì

1.3 Nghiệm của phương trình Cauchy lôgarit

Xét phương trình hàm Cauchy

Định lý 1.5 Nếu f là nghiệm của phương trình hàm (1.3), tức là,

f (xy) = f (x) + f (y),thỏa mãn với mọi x, y ∈ R \ {0} thì nghiệm tổng quát của (1.3) được cho bởi

f (x) = A(ln |x|) ∀x ∈ R \ {0},trong đó A là hàm cộng tính

Hệ quả 1.2 Nghiệm tổng quát của phương trình hàm (1.3) thỏa mãn với

mọi x, y ∈ R+ được cho bởi

f (x) = A(ln x),trong đó A : R+ → R là hàm cộng tính

Hệ quả 1.3 Nghiệm tổng quát của phương trình hàm (1.3) thỏa mãn với

mọi x, y ∈ R được cho bởi

f (x) = 0 ∀x ∈ R

Hệ quả 1.4 Nghiệm liên tục tổng quát của phương trình hàm (1.3) thỏa mãn với mọi

x, y ∈ R \ {0} được cho bởi

f (x) = c ln |x| ∀x ∈ R \ {0},trong đó c là hằng số thực bất kì

1.4 Phương trình hàm Cauchy cộng tính nhiều

biến

Cho f : Rn → R là một hàm thỏa mãn

f (x1+ y1, x2+ y2, , xn+ yn) = f (x1, x2, , xn) + f (y1, y2, , yn)

với mọi (x1, x2, , xn) ∈ Rn, (y1, y2, , yn) ∈ Rn, được gọi là phương trìnhhàm Cauchy cộng tính nhiều biến.

Trường hợp n = 2 ta có:

f (x1+ y1, x2+ y2) = f (x1, x2) + f (y1, y2), ∀x1, x2, y1, y2 ∈ R (1.4)Định lý 1.6 Nghiệm tổng quát f : R2 → R của phương trình hàm (1.4)được cho bởi

f (x1, x2) = A1(x1) + A2(x2),trong đó A1, A2 : R → R cộng tính

Định lý 1.7 Nếu f : R2 → R là cộng tính trên R2 thì tồn tại các hàm cộngtính A1, A2 : R → R sao cho

f (x1, x2) = A1(x1) + A2(x2), ∀x1, x2 ∈ R

Định lý 1.8 Nếu f : R2 → R là một hàm cộng tính liên tục trên R2, khi

đó tồn tại các hằng số c1, c2 sao cho

f (x1, x2) = c1x1+ c2x2, ∀x1, x2 ∈ R

Mệnh đề 1.1 Nếu một hàm cộng tính f : R2 → R liên tục theo từng biếnthì hàm đó liên tục

Ứng dụng của phương trình

hàm Cauchy

Nhiều phương trình hàm có nguồn gốc từ các ứng dụng thực tiễn Hiệnnay các vấn đề trong khoa học và kĩ thuật thường được mô hình hóa bởicác phương trình vi phân (ODE) hoặc các phương trình vi phân từng phần(PDE) Trước sự phát triển của ODE hay PDE, các quá trình vật lý đượcgiải tích hóa bằng cách sử dụng các hàm

Trong chương này, chúng tôi trình bày một vài ứng dụng của phươngtrình hàm Cauchy Trong mục 1, chúng tôi trình bày công thức tính diện tíchhình chữ nhật theo Legendre (1971) Trong quá trình suy ra công thức này,

ta ứng dụng phương trình hàm Cauchy 2 biến Ở mục 2, bằng cách sử dụngtính chất cộng của tích phân xác định, ta thấy rằng

Z x 1

7

xạ còn lại tại một thời điểm t nào đó bất kì Sử dụng phương trình hàm mũCauchy, ta tìm được công thức phân rã phóng xạ Mục 5 đến mục 7 sẽ trìnhbày ba ứng dụng của phương trình hàm Cauchy trong lý thuyết xác suất.

Ở mục 5, phân phối xác suất hình học được đặc trưng bởi tính chất khôngnhớ Mục 6 xử lí các đặc trưng của phân phối chuẩn rời rạc Trong mục 7 sẽtrình bày một trong các đặc trưng lâu đời nhất của phân phối chuẩn

2.1 Diện tích hình chữ nhật

Năm 1791, Legendre đã cho ra công thức tính diện tích hình chữ nhậtbằng cách sử dụng phương trình hàm Cauchy cộng tính Để đưa ra công thứcnày ta cần sử dụng định lý sau đây

Định lý 2.1 Cho hàm f : [0, ∞) → [0, ∞) thỏa mãn phương trình hàmCauchy cộng tính f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ [0, ∞) nếu và chỉ nếu

f (x) = cx, trong đó c là một hằng số thực không âm

Chứng minh Chú ý rằng f bị chặn dưới vì 06 f (x), ∀x > 0 Vì mọi nghiệm

bị chặn dưới của phương trình hàm Cauchy cộng tính là tuyến tính nên f làtuyến tính và do đó ta có f (x) = cx với hằng số không âm bất kì c ∈ R.Xét hình chữ nhật có chiều dài b và chiều rộng a như hình dưới đây

Hình 2.1 Hình chữ nhật có chiều dài b và chiều rộng a

Rõ ràng diện tích của hình chữ nhật sẽ phụ thuộc vào độ dài của a và b.

Vì vậy diện tích A của hình chữ nhật là một hàm theo a và b Do đó

A = f (a, b)

Ta chia hình chữ nhật này thành hai hình chữ nhật nhỏ hơn bằng cách kẻmột đường thẳng song song với chiều dài sao cho a = a1 + a2 (xem hìnhdưới)

Hình 2.2 Các hình chữ nhật thu được bằng cách chia dọc theo chiều rộng.Khi đó diện tích ban đầu A bằng tổng hai diện tích A1 và A2; suy ra,

f (a, b1+ b2) = f (a, b1) + f (a, b2) (2.2)với mọi a, b1, b2 ∈ [0, ∞) Vì diện tích luôn dương nên ta có f (a, b) ≥ 0

Hình 2.3 Các hình chữ nhật thu được bằng cách chia dọc theo đáy.

Áp dụng Định lý 2.1 cho (2.1), suy ra

f (a1+ a2, b) = f (a1, b) + f (a2, b)với b cố định thì ta có

với x ∈ (0, ∞) Ta sẽ chứng minh rằng

Z x 1

1

tdtđúng bằng ln x và ta không xem nó như một định nghĩa mà đúng hơn đó làkết quả của tính chất tích phân Ta chứng minh điều này bằng việc chỉ rarằng tích phân trên là một hàm số theo biến x thỏa mãn phương trình hàmCauchy lôgarit

Ta định nghĩa Φ : R+→ R như sau

Φ(x) =

Z x 1

1

tdt +

Z y 1

1

tdt

=

Z x 1

1

tdt +

Z xy x

1

zdz, với z = tx,

=

Z xy 1

trong đó c là một hằng số.

Sử dụng tổng Riemann, biểu thức trên được viết như sau

φ(e) =

Z e 1

1

tdt = 1.

Vậy ta được c = 1 và φ(x) = ln x

Vậy ta đã chứng minh xong R1x1tdt = ln x

2.3 Lãi đơn và lãi kép

Tiếp theo ta suy ra công thức tính lãi đơn và lãi kép bằng cách sử dụngphương trình hàm Cauchy cộng tính Cho f (x, t) là giá trị tương lai của vốn

x được đầu tư trong khoảng thời gian t Khi đó, lãi suất đơn là hàm f (x, t)thỏa mãn

f (x + y, t) = f (x, t) + f (y, t)và

f (x, t + s) = f (x, t) + f (x, s)với mọi x, y, t, s ∈ R+ Do đó

f (x, t) = kxt,trong đó k là hằng số dương bất kì phụ thuộc vào đơn vị

Bây giờ ta suy ra công thức tính lãi suất kép Đặt f (x, t) là giá trị tươnglai của vốn x được đầu tư trong khoảng thời gian t Khi đó lãi suất kép làhàm f (x, t) thỏa mãn các phương trình

với mọi x, y, t, s ∈ R+ Phương trình đầu tiên nói rằng giá trị tương lai củavốn x + y sau khi được đầu tư trong thời gian t bằng tổng giá trị tương lai

của vốn x sau khi đầu tư trong thời gian t và vốn y sau khi được đầu tưtrong thời gian t Phương trình thứ hai nói rằng giá trị tương lai của vốn x

đã được đầu tư trong thời gian t + s bằng giá trị tương lai của vốn f (x, t)được đầu tư trong thời gian s Theo giả thiết, f (x, t) là liên tục theo từngbiến Do đó nghiệm của (2.9) là

Cho m0 (gam) là lượng lúc đầu của một nguyên tố phóng xạ Đặt m(t)

là lượng phóng xạ tại thời điểm t Giả sử rằng tốc độ thay đổi của m(t) tỉ lệthuận với m(t) Khi đó,

m0(t) = −λm(t)

Vì vậy

m(t) = αe−λthay

Do đó (2.14) cho ta công thức tìm lượng phóng xạ hiện tại vào thời điểm tvới điều kiện là lượng phóng xạ ban đầu là m0 và thời gian là t Ở đây λ làhằng số phân hủy.

Bây giờ ta suy ra công thức (2.14) bằng việc sử dụng phương trình hàm.Cho f (t) là hàm biểu thị mối quan hệ giữa lượng phóng xạ tại thời điểm t

và lượng phóng xạ lúc đầu m0, để cho

m(t) = m0f (t)

Lượng chất phóng xạ tại thời điểm t + h có thể được trình bày theo hai cáchnhư sau (hình vẽ bên dưới):

m(t + h) = m0f (t + h)và

m(t + h) = m0f (t)f (h)

Do đó

m0f (t + h) = m0f (t)f (h)với mọi t, h ∈ R+ Vì vậy

f (t + h) = f (t)f (h)

Theo quan điểm ứng dụng, f có thể được giả thiết là liên tục Khi đó nghiệmcủa phương trình hàm trên được cho bởi

f (t) = eαt,

trong đó α là hằng số thực Do đó ta có

m(t) = m0f (t)

= m0eαt.Bởi vì m(t) giảm theo thời gian t nên hằng số α phải âm, cho

α = −λ (λ > 0), ta thu được

f (t) = m0e−λt.Hằng số λ được gọi là hằng số phân hủy

2.5 Đặc trưng của phân phối hình học

Trong phần này, bằng cách sử dụng phương trình hàm mũ Cauchy chúngtôi trình bày về đặc trưng của phân phối hình học theo thuộc tính khôngnhớ

Một biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối hình học nếu hàm mật

độ xác suất được cho bởi

f (x) = (1 − p)x−1p, x = 1, 2, 3, ,trong đó p ∈ [0, 1] là một tham số Ở đây p thường dùng để chỉ xác suấtthành công Nếu X là một biến ngẫu nhiên hình học, thì nó chỉ số phép thử

để lần đầu tiên biến cố xuất hiện

Một biến ngẫu nhiên X được gọi là không nhớ nếu nó thỏa mãn

Do đó phân phối hình học thỏa mãn thuộc tính không nhớ.

Tiếp theo, cho X là một biến ngẫu nhiên bất kì thỏa mãn thuộc tínhkhông nhớ,

P (X > m + n) = P (X > m)P (X > n), ∀m, n ∈ N

Ta cần chứng minh X là biến ngẫu nhiên hình học

Ta định nghĩa hàm g : N → R như sau

g(n) = P (X > n)

Khi đó ta được

g(m + n) = g(m)g(n), ∀m, n ∈ N

Do đó nghiệm tổng quát (thậm chí không liên tục) của phương trình hàmtrên là

g(n) = an,

ở đây a là một hằng số Do đó

P (X > n) = anhay

1 − F (n) = an,với F (n) là hàm phân phối Vì vậy

2.6 Đặc trưng của phân phối chuẩn rời rạc.

Cho phương trình hàm sau:

f (x21+ x22 + + x2n) = f (x21) + f (x22) + + f (x2n)

với mọi x1, x2, , xn ∈ Z

Nếu n = 2 thì

f (x21+ x22) = f (x21) + f (x22) (2.15)với mọi x1, x2 ∈ Z Một nghiệm của phương trình trên là

f (x21+ x22+ x23) = f (x21) + f (x22) + f (x23) (2.17)cũng có nghiệm không tuyến tính

Nếu n ≥ 4, ta sẽ chứng minh rằng mọi nghiệm của phương trình hàm

f (x21+ x22 + + x2n) = f (x21) + f (x22) + + f (x2n) (2.18)với mọi x1, x2, , xn ∈ Z là tuyến tính

Ta cần sử dụng định lý sau đây để tìm nghiệm tổng quát

Định lý 2.2 Mọi số nguyên dương n là tổng bình phương của nhiều nhấtbốn số nguyên dương, đó là n = a2+ b2 + c2+ d2, a, b, c, d ∈ N.

Ví dụ 2.1 Các số nguyên 1, 2, 3, 4, 5 có thể được biểu diễn như sau

Theo Dasgupta (1993), chúng ta sẽ giới thiệu nghiệm của phương trìnhhàm (2.18) trong định lý kế tiếp

Định lý 2.3 Cho n ≥ 4 là một số nguyên Hàm f : Z → R thỏa mãnphương trình

f (x21+ x22 + + x2n) = f (x21) + f (x22) + + f (x2n) (2.20)với mọi x1, x2, , xn ∈ Z nếu và chỉ nếu

f (x) = kx,trong đó k là một hằng số bất kì

Chứng minh Chú ý rằng f (0) = 0 Trong (2.20) cho x5 = = xn = 0, tađược

f (x21+ x22+ x23+ x24) = f (x21) + f (x22) + f (x23) + f (x24) (2.21)

với mọi x1, x2, x3, x4 ∈ Z Sử dụng (2.19) và (2.21), ta thấy rằng

f (q) = kq

Vì q là một số nguyên dương nên theo Định lý 2.2

q = x21+ x22+ x23+ x24, (2.23)trong đó có ít nhất hai số xi khác không (vì q > 5) Khi đó

Vì vậy

f (q) = kq

Do đó

f (x) = kxvới mọi x ∈ Z

Một số ứng dụng khác của

phương trình hàm

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số ứng dụng khác của phươngtrình hàm Cauchy để giải một số bài toán Bằng cách sử dụng phương trìnhhàm Cauchy cộng tính ta có thể tính được tổng lũy thừa bậc k của n số tựnhiên đầu tiên (với k = 1, 2, 3), biết được số cặp có thể có ở giữa n vật vàđặc biệt là có thể tìm được tổng của chuỗi số hữu hạn

3.1 Tổng lũy thừa của số nguyên.

Cho

fk(n) = 1k+ 2k+ + nk, (3.1)trong đó n là một số nguyên dương và k là một số nguyên không âm fk(n)biểu thị tổng lũy thừa bậc k của n số tự nhiên đầu tiên

Chú ý fk: N → N trong đó k = 0, 1, 2,

22

3.1.1 Tổng của n số tự nhiên đầu tiên

1 = c + 1

2,

1 = c + 1

2+

1

3.Suy ra

c = 1

6.Vậy

= (n + 3n

2+ 2n3)6

= n(n + 1)(2n + 1)

3.1.3 Tổng lũy thừa bậc k của n số tự nhiên đầu tiên

Với k tùy ý, sử dụng Định lý Nhị thức cho phương trình hàm sau đây:

1 2

1 5

f5(n) −1

12

5 12

1 2

1 6

6

1 2

1 2

1 7

Bảng hệ số của tổng các lũy thừa của số nguyênBảng trên được tạo thành bằng cách: ta nhập số 1 ở góc trên bên trái (vì

f0(n) = n) và các ô còn lại của dòng đó trống (tức là hệ số của các số hạngbậc cao hơn bằng 0) Để có được các hệ số còn lại trong bảng, mỗi ô đường

chéo xuống (hàng và cột kế tiếp) bất kì C(i − 1, j − 1) được tính bằng côngthức C(i, j) = C(i − 1, j − 1)(i/j) Tất cả các cột ngoại trừ cột đầu tiên đềuđược tạo ra bằng công thức trên Các phần tử của cột đầu tiên được tínhnhư sau: cộng tất cả các ô bên phải cột 1 và lấy 1 trừ cho tổng đó.

3.2 Tổng lũy thừa của các số hạng trong một