Tư duy hàm trong dạy học hàm số

Phát triển tư duy hàm trong dạy học hàm số ở trường phổ thông Phát triển tư duy hàm trong dạy học hàm số ở trường phổ thông Phát triển tư duy hàm trong dạy học hàm số ở trường phổ thông Phát triển tư duy hàm trong dạy học hàm số ở trường phổ thông Phát triển tư duy hàm trong dạy học hàm số ở trường phổ thông Phát triển tư duy hàm trong dạy học hàm số ở trường phổ thông

PHÁT TRIỂN TƯ DUY HÀM TRONG DẠY HỌC

HÀM SỐ

Ở CHƯƠNG TRÌNH PHỔ THÔNG

Thực hiện: nhóm 3,4 - Lớp B –K55

Các thành viên:

Phạm Thị Ngân

Mạc Thị Bích Ngọc

Mai Thị Nhung

Ngô Thị Phúc

Lưu Thế Sơn

Nguyễn Thị Thảo

Bùi Thị Thanh Thùy

Vũ Thị Thúy

Trần Thị Bích Thủy

Dư Thị Thu Trang

Mã Đình Trên Nguyễn Thị Uyên Phạm Thị Vân Đào Thị Hồng Xuân Trần Thị Hải Yến

I.Một số điều về tư duy hàm

 Tư duy hàm là cách suy nghĩ để nhận thức và giải quyết vấn đề dựa vào mối liên

hệ giữa một sự vật hiện tượng này với một sự vật hiên tượng khác (đặc biệt là mối liên hệ 1-1)

 Tư duy hàm là một quá trình tư duy toán học có đồng thời cả 4 hoạt động sau:

- HĐ1: Nhận biết những quy tắc tương ứng(bắt gặp) có phải là một hàm hay một hàm số không

- HĐ2: Phát hiện ,thiết lập

Phát hiện ra sự tương ứng đơn trị giữa hai đại lượng biến thiên trong một hoàn cảnh có nhiều đại lượng biến thiên

Từ đó thiết lập được quy tắc tương ứng giữa hai đại lượng biến thiên đó(là một hàm hay một hàm số)

- HĐ3: Nghiên cứu những hàm, hàm số thiết lập được

để giải quyết vấn đề đặt ra

- HĐ4: Lợi dụng những kết quả về hàm ,hàm số nói trên đẻ giải quyết vấn đề đặt ra

Nếu học sinh chỉ có HĐ1 mà chưa có HĐ2,3,4 thi học sinh chưa có tư duy hàm , cho dù HĐ 1 được làm thành thạo Thực chất hoạt HĐ1 chỉ là hoạt động nhận biết một khái niệm hàm , hàm số giông như hoạt động nhận biết các khái niệm mới khác Vì vậy HĐ2,HĐ3, HĐ4 diễn ra theo một mạch liên tục và tường minh trong tư duy hàm ,HĐ1 thường được ngầm ẩn đi

Phát triển tư duy hàm trong dạy học hàm số ở phổ thông thể hiện trong các qua trình dạy học khái niệm hàm số, khảo sát hàm số và ứng dụng hàm số để giải các dạng toán khác Sau đây là một vài ví dụ thể hiện sự phát triển tư duy hàm trong khi dạy học hàm số ở phổ thông

II.Tư duy hàm trong dạy học hàm số.

- Hàm số giữ một vị trí trung tâm trong chương trình toán ở trường phổ thông, viêc dạy và học toán đều xoay quanh khái niệm này Do vậy việc phát triển tư duy hàm cho học sinh ở trường phổ thông là rất cần thiết đặc biệt ngay từ lớp 10

Các hoạt động phát hiện, thiết lập, nghiên cứu, lợi dụng là một thao tác của tư duy hàm

Nội dung hàm số chiếm một vị trí đặc biệt trong việc phát triển tư duy hàm Những hoạt động phát hiện, thiết lập, nghiên cứu, lợi dụng sự tương ứng luôn luôn xuất hiện trong khi làm việc với khái niệm hàm số và với những hàm số cụ thể

Tri thức về các hoạt động tư duy hàm không được quy định trong chương trình

do vậy không được dạy một cách tường minh cho học sinh Do tầm quan trọng của chúng trong học toán và giải toán, có thể và cần thiết cho học sinh những tri thức

phương pháp này Muốn vậy, trong khi ra bài tập, hướng dẫn hoặc bình luận trong quá trình giải bài tập, cần nêu bật những cẩu hỏi và những gợi ý như sau:

- Đại lượng nào phụ thuộc vào đại lượng nào?

- Một cách biến thiên của những phần tử của tập hợp này gây nên sự thay đổi

ở những phần tử của tập hợp kia

- Hãy xét một trường hợp đặc biệt, trường hợp suy biến

- Cái gì không thay đổi (bất biến ) trong một cách biến thiên của những

phần tử của tập hợp nào đó

Ví dụ 1: Xét xem các quy tắc tương ứng cho dưới đây có phải là hàm số hay

không:

a) R→ R

x

n→ước của n d)

Loại kì hạn ( tháng) VND ( %/ năm) lĩnh lãi cuối kì, áp

dụng từ 08 – 11-2008

e) Hàm số cho bằng đồ thị

Lời giải:

-Phát hiện, thiết lập: Để xét xem các quy tắc tương ứng có là một hàm số hay không chỉ cần xét xem chúng có thỏa mãn định nghĩa của hàm số, đặc biệt là tính đơn trị của hàm số

-Nghiên cứu, lợi dụng:

a) Quy tắc này không là một hàm số vì những số thực không âm không có căn bậc hai

b) c) Quy tắc này cũng không là một hàm số vì nó không thỏa mãn tính đơn trị của hàm số

d) Quy tắc trên là một hàm số

Ví dụ 2: Giải phương trình sau:

Lời giải:

- Phát hiện, thiết lập: + Điều kiện xác định của phương trình là x > 0

+ Xét hàm số f(x) = và hàm số g(x) = 2 -

Ta thấy hàm số y = đồng biến trên (0, + ), và hàm y = 2 - nghịch biến trên (0, + )

- Nghiên cứu : ta có bảng biến thiên của hàm y = trên (0, + ) là

Bảng biến thiên của hàm y = 2 -

Lợi dụng: Do f(1) = g(1) và hàm f(x) là hàm đồng biến trên (0, + ), còn g(x) là hàm nghịch biến nên phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

x= 1

Ví dụ 3: Giải phương trình sau:

= 3 - x -Phát hiện, thiết lập: TXĐ : D = R

Ta thấy VT là một hàm số đồng biến trên R, còn VP là một hàm nghịch biến trên R nên xét hai hàm số f(x) = và g(x) = 3 – x

- Nghiên cứu: lập bảng biến thiên của hàm f(x) và g(x) trên R

- Lợi dụng: Từ bảng biến thiên của hàm số và f(1) = g(1) nên phương trình có nghiệm duy nhất x = 1

Ví dụ 4: Tìm điều kiện của m để (2 m - 3)x + 5m > 11 đúng với mọi x

- Phát hiện, thiết lập:

Bpt (2m - 3)x + 5m – 11 > 0 mọi x

Bài toán có hai đại lượng biến thiên có quan hệ tương ứng đơn trị là:

x và y = (2m - 3)x + 5m – 11

Đặt f(x) = (2m - 3)x + 5m – 11 với x Cần tìm điều kiện của m để f(x) >

0 với mọi x

- Nghiên cứu : Hàm f(x) có dạng ax + b nên phải xét 3TH:

+) a = 0

+) a < 0 ta có bảng biến thiên +) a > 0 ta có bảng biến thiên

- Lợi dụng:

+) a = 0 f(x) = -7/2 <0 với mọi x +) a < 0 từ bảng biến thiên ta có không thể có f(x) > 0 với x +) a > 0 để f(x) > 0 với mọi x thì min f(x) > 0 với x

III Các ví dụ minh họa

Bài 1 Gải phương trình sau:(bài này có thể đưa ra sau khi học xong về sự đồng biến

và nghịch biến của hàm số)

2 +1 x + 3 x + = − 4 8 x − 3 (1)

Hướng dẫn:

HĐ2 :Phát hiện , thiết lập:

(1)  2 +1 x + 3 x + + 4 x − = 3 8

Đặt f x ( ) = 2 +1 x + 3 x + + 4 x − 3

HĐ3; Nghiên cứu:

Hàm số f(x) có TXĐ là : [3;+ )∞ và là hàm số đồng biến

Có : f (4) = 9 + 16 + 1 8 =

HĐ4: Lợi dụng:

Vì f(x) là HSĐB nên PT(1) có nghiệm <=> f(x)=f(4) <=> x=4

Lời bàn :bài này có thể giải bằng phương pháp đặt điều kiện rồi bình phương 2 vế Sau khi rút gọn ,chuyển vế thích hợp lại bình phương lần 2 => Pt bậc hai => Nghiệm

x Rõ ràng cách giải này dài dòng, số lớn Bài này thích hợp cho HS sau khi học xong bài Hàm số hoặc học xong bài Phương trình bậc 2 hoặc Pt vô tỷ

Bài 2 :

Tìm điều kiện của m để : (2 m + 3) x m ≥ + ∀ ∈ 4; x [ ] 1;2

Hướng dẫn:

HĐ2: Phát hiện , thiết lập :

YCBT (2 m + 3) x m − − ≥ ∀ ∈ 4 0; x [ ] 1;2

Bài toán có hai đại lượng biến thiên là ∀ ∈ x [ ] 1;2 và VT của BPt mới

Đặt f x ( ) (2 = m + 3) x m − − 4

Cần tìm đk để f x ( ) 0; ≥ ∀ ∈ x [ ] 1;2

HĐ3: Nghiên cứu :

Hàm số f(x) có dạng y=ax+b nên phải xét 3 TH :

Nếu a=0  m= -3/2 thì có f(x)= -5/2 ,∀ ∈ x [ ] 1;2

Nếu a>0  m> -3/2 thì có bảng biến thiên:

x −∞ 1 2 +∞

3m+2

f(x)

m-1

Nếu a<0  m < -3/2 thì có bảng biến thiên:

x

f(x)

+∞

m-1

3m+2

HĐ 4: Lợi dụng

Nếu m= -3/2 : f(x)= -5/2 < 0 ,∀ ∈ x [ ] 1;2 => Không thoả mãn

Nếu m> -3/2: f x ( ) 0; ≥ ∀ ∈ x [ ] 1;2

 (thoả mãn)

Nếu m< -3/2 : f x ( ) 0; ≥ ∀ ∈ x [ ] 1;2

 min y = ⇔ − 2 2 m = ⇔ = − 2 m 1

KL: Vậy m ≥ 1 là giá trị cần tìm

(Lời bàn: Bài này thích hợp cho HS khi học xong bài Hàm số bậc nhất).

Bài 3 Cho hàm số : y=4x2 +-4mx +m2 -2m

a) T ìm m để: min y = 2

b) T ìm m để min[-2;0] 2

4a

y = − ∆ = − m

Hướng dẫn :

H Đ 2: Phát hiện, thiết lập: hiển nhiên từ đề bài

H Đ3 : Nghiên cứu :

a) Hàm số y 4m = x2 − 4m m x + 2 − 2m , ∀ ∈ x [-2;0]

2

m

x =

M à cần có min y = ⇔ − 2 2 m = ⇔ = − 2 m 1

¡

b) Xét hàm số y 4m = x2 − 4m m x + 2 − 2m , ∀ ∈ x [-2;0]

c ó -b/2 = 4m/8 =m/2 So sánh vị trí điểm m/2 trong [-2;0] => Có 3 trường hợp xảy ra:

TH1: m/2 > 0  m > 0 có bảng biến thiên :

x −∞ -2 0 m/2 +∞

f `(x)

f(-2)

f(x)

f(0)

TH2 : m/2 < -2  m < -4 có bảng biến thiên :

x −∞ -2 0 m/2 +∞

f `(x)

f(0)

f(x)

f(-2)

TH3: − ≤ 2 m / 2 0 ≤ ⇔ : Không cần lập bảng biến thiên, có ngay :

[-2;0]

4a

y = − ∆ = − m

HĐ4:

a)Theo kết quả vừa tìm được ở trên ta có

YCBT  min y = ⇔ − 2 2 m = ⇔ = − 2 m 1

¡

b)Nếu m>0 thì :

2 [-2;0]

min y = f (0) = m − 2 m = ⇔ = + 2 m 1 3 Nếu m < -4 thì :

2 [-2;0]

2

=> vô nghiệm m

Nếu − ≤ ≤ 4 m 0 thì: min[-2;0] y = − 2 m = ⇔ = 2 m 1( / ) t m

Vậy các giá trị cần tìm của m là m = + 1 3 và m=1

Lời bàn: Bài toán có 2 câu a) và b) để học sinh thấy được các mức độ khó khăn từ

thấp đến cao HĐ 3 nghiên cứu câu b) đòi hỏi phải biện luận 3 khẳ năng là một hoạt động phức tạp nhưng không khó khăn

Học sinh cần phải biết biện luận một số trường hợp xảy ra trong một số bài toán cung như trong cuộc sống sau này Trong khi hoạt đọng học sinh luôn được ôn lại các kiến thức về tính chất đòng biến nghịch biến của hàm số bậc 2 HĐ 4 :Lợi dụng làm cho học sinh thấy được ý nghĩa của HĐ3 – Nghiên cứu nếu không có HĐ3 – Nghiên cứu thì không thể có HĐ4 - Lợi dụng và không thể có đáp số bâì toán