Một số vấn đề về không gian độ đo Đề tài Nghiên cứu khoa học

Đề tài Nghiên cứu khoa học môn Toán: Một số vấn đề về không gian độ đo Được thực hiện tại trường Đại học Trình bày rõ ràng, dễ hiểu Đề tài Nghiên cứu khoa học môn Toán Một số vấn đề về không gian độ đo

A σ P A A ∈ A A µ A A → R + ∪ {+∞} µ(∅) = 0 µ(  B n ) =  µB n , {B n : n = 1, } ⊆ A A µ A µ σ A ⊆ P(X) ∀B ∈ A, δ x B =    0, x /∈ B 1, x ∈ B. A δ x δ x A µ → R A µ ∀α ∈ R, {x : f(x) > α} ∈ A, ∀α ∈ R, {x : f(x) ≥ α} ∈ A, ∀α ∈ R, {x : f(x) < α} ∈ A, ∀α ∈ R, {x : f(x) ≤ α} ∈ A, ∀U ⊆ R, f −1 (U) ∈ A f −1 (±∞) ∈ A. A µ µ µ ∞ µ σ {B n : n = 1, } ⊆ A µB n < ∞  B n {B n : n = 1, } A µ → R n  1 a j χ B j B j ∈ A, a j ∈ R, χ B j B j  fdµ =  a j µB j B j = {x : f(x) = a j } µB j < ∞  B fdµ =  χ B fdµ ∈ A f : X → R, µX < ∞ µ µ  fdµ = inf{  hdµ : f ≤ h }. µ L 1 µ (X) A µ : A → R ∗ C) µ(∅) = 0 µ( ∞  1 B n ) = ∞  1 µB n {B n : n = 1, } µ µ A A µ µ +∞ −∞ B 1 , B 2 ∈ A µ(B 1 ) = +∞, µ(B 2 ) = −∞ µ(B 1 ∪ B 2 ) = µ(B 1 ) + µ(B 2 ) = +∞ − (+∞) A µ ∈ A ∀E ⊆ B ∈ A , µE ≥ 0 µE ≤ 0 . ∈ A µ + B = sup{µE : E ⊆ B, E ∈ A} µ − B = sup{−µE : E ⊆ B, E ∈ A}. | µ |= µ + B + µ − B. µ ν µ ν µ  ν ∀B ∈ A, | ν | (B) = 0 ⇒ µB = 0. A µ A | µ | ∈ A µ µ + B µB = −µ − B µ µ + B < ∞ −µB = µ − B < ∞ A µ + A µ − µ ± (∅) = 0 µ(∅) = 0 ∈ A ∅ ⊆ A µ ± B ≥ 0 {B n : n = 1, } ⊆ A µ + (  B n ) =  µ + B n µ − ⊆ ∈ A µ + B ≤ µ + D. ⊆ ∈ A µE ≤ µ + D µ + D ⊆ µ + B ≤ µ + D µ + B n = ∞ µ + B n ≤ µ + (  B j ) µ + (  B j ) = ∞ µ + ≥ 0 µ + B n = ∞ µ + µ + B + < ∞ ε > 0 E n ⊆ B n E n ∈ A µE n ≥ µ + B n − ( ε 2 n ) {E n : n = 1, } {B n : n = 1, } µ + µ(  E n ) =  µE n ≥  µ + B n − ε; µ + µ + (  B n ) ≥  µ + B n . λ < µ + (  B n ) λ <  µ + B n ⊆  B n µE > λ µ µE =  µ(E ∩ B n ).  µ(E ∩ B n ) ≤ µ + B n λ < µE ≤  µ + B n . µ + (  B n ) =  µ + B n µD ≥ 0 ∈ A ⊆ B\ ⊆ µD ≤ µB µ + , µ + B ≤ µB µ + B = µB. ⊆ ∈ A µD < 0 µ \ ∪ µB = µD + µ(B\D) µB < ∞ µB < µ(B\D) µD < 0 B\D ⊆ B µ + B ≥ µ(B\D) µ + B > µB A µ ∈ A \ µ + X < ∞ λ {µ + B : B ∈ A} µ − B = 0 µ + µ + X < ∞ 0 ≤ λ < ∞ {B n : n = 1, } ⊆ A µ − B n = 0 µ + B n → λ.  B n µ − P = 0 µ − P ≤  µ − B n B n ⊆ P µ + P ≥ µ + B n µ + ≥ λ ∈ A µ − P = 0 λ ≥ µ + P λ = µ + P. \ ⊆ µD > 0 ⊆ µ + E = µE ≥ µD > 0 µ + X < ∞ ∩P = ∅ µ + (P ∪ E) = µ + P + µ + E = λ + µ + E > λ. µ − P = 0 µ − (P ∪ E) = µ − P + µ − E = µ − E = 0 ⊆ µF ≥ 0 0 ≤ µ − E = sup(−µF : F ⊆ E) ≤ 0 ⇒ µ − E = 0. λ ∪ A µ µ ν A µ  ν f ∈ L 1 µ (X) ∀B ∈ A, µB =  B fdν. ∈ µ − rν P r N r µ − rν µB ≤ rνB ≤ sνB B ⊆ N r sνB ≤ µB B ⊆ P s νB = µB = 0 B ⊆ N r \N s N r \N s ⊆ X\N s = P s µ  ν N r (µ − rν)B ≤ 0 µB ≤ rνB ν rνB ≤ sνB P s (µ − sν)B ≥ 0 sνB ≤ µB  s∈Q  r<s,r∈Q (N r \N s ), R r = N r \E, G = X\(∪R r \ ∩ R s ). νE = 0 ⇒ R r ⊆ R s , ν(  r∈Q R r ) = 0, ν(X\  r∈Q R r ) = ν(  R c r ) = 0 R c r R r νG = 0 νE = 0 R r ∀s ∈ Q,  r∈Q R r ⊆  N r ⊆ N s , (µ − sν)(  r∈Q R r ) ≤ 0 ν(  r∈Q R r ) > 0, s n → ∞ µ(  R r ) = −∞ µ X\ ∪ R r =  (X\(N r \E)) =  ((X\N r )  E) = E  (  N c r ). P r ⊆ P s ν(  P r ) > 0 ν(  P r ) = 0 G = (  R r \  R s ) c = [(  R r ) ∩ ((  R s ) c )] c = [(  R r ) ∩ (  R c s )] c = (  R c r  (  R s ). νG = 0 f =    0, x ∈ G sup{s ∈ Q : x /∈ R s }, x /∈ G. ν α ≤ 0 {x : f(x) < α} =  r<α,r∈Q R r , α > 0 {x : f(x) < α} = G  (  r<α,r∈Q R r ). ⊆ R s \R r |  B fdν − µB |≤ (s − r)νB. (1) R r \R s ⊆ ((∪R t )\  u R u ) B ∩ G = ∅ ∈ R t f(x) ≥ t r ≤ f(B) ≤ s, rνB ≤  B f(x)dν(x) ≤ sνB R r \R s = (N s \E)\(N r \E) µB ≤ sνB B ⊆ N s B ⊆ P r R r \R s ⊆ (N s \E)\N r ⊆ X\N r µB ≥ sνB −sνB ≤ −µB ≤ −rνB B ⊆ R n+1 \R n µB =  B f(x)dν(x). (3) B j = B ∩ (R n+(j\p) \R n+[(j−1)\p] ), {B j : j = 1, } B =  B j |µB −  B fdν| ≤ p  j=1 |µB j −  B j fdν| ≤ p  j=1 νB j = 1 p νB, ∈ A B = (B ∩ G)  (  j B j ), {B j : j = 1, } B ⊆ R n+1 \R n µB = µ(B ∪ G) + µ(  j B j ), µB = µ(B ∪ G) +  B fdν µ νG = 0 µ  ν µB =  B fdν. ν  B fdν ∈ A f ∈ L 1 µ (X) A µ ν µ ∈ M(X) ν σ µ  ν f ∈ L 1 µ (X) ∀B ∈ A, µB =  B fdν