TÍCH PHÂN BỘI kèm lời giải chi tiết dễ hiểu

TÍCH PHÂN BỘI kèm lời giải chi tiết dễ hiểu. Có hình ảnh minh họa các mặt và đường phức tạp. Được biên soạn cẩn thận, có hình minh họa. Bài tập và lời giải dễ hiểu Giải theo nhiều cách. Phù hợp với sinh viên chuyên ngành toán năm 1 và năm 2

Tích phân bội

1.1

Z Z Z

V

p

x2+ y2+ z2dxdydz, x2+ y2+ z2 ≤ R

Đổi sang tọa độ cầu

x = r sin θ cos φ,

y = r sin θ sin φ,

z = r cos θ, với 0 < r ≤ R, 0 ≤ θ ≤ π va 0 ≤ φ ≤ 2π Ta có định thức Jacobi J = r2sin θ 6= 0 Khi đó

Z Z Z

V

p

x2+ y2+ z2dxdydz =

Z Z Z

V

r3sin θ drdθdφ

=

Z 2π 0

dφ

Z π 0

sin θ dθ

Z R 0

r3dr

= R

4

4

Z 2π 0

dφ

Z π 0

sin θ dθ

= R

4

4

"

φ

2π 0

#"

−cos θ

π 0

#

= R4π

I =

Z Z Z

V



x2 +y

2

4 +

z2

9

 dxdydz,

miền V giới hạn bởi ellipsoid x2+y42 +z92 = 1

Đặt x = ¯x, y = 2¯y, z = 3¯z, khi đó

I = 6

Z Z Z

¯ V



¯

x2+ ¯y2+ ¯z2d¯xd¯yd¯z,

trong đó miền ¯V giới hạn bởi ellipsoid ¯x2+ ¯y2+ ¯z2 = 1

Đổi sang tọa độ cầu ta được

I = 6

Z Z Z

V

r4sin θ drdθdφ

= 6

Z 2π 0

dφ

Z π 0

sin θ dθ

Z R 0

r4dr

= 6R

5

5

Z 2π 0

dφ

Z π 0

sin θ dθ

= 6R

5

5

"

φ

2π 0

#"

−cos θ

π 0

#

= 24

5R

5π

I =

Z Z

D

(x + y)dxdy, D giới hạn bởi y = 2 − x2, y = 2x − 1

Ta có D = − 3 ≤ x ≤ 1, 2x − 1 ≤ y ≤ 2 − x2 Do đó

I =

Z 1

−3

dx

Z 2−x 2

2x−1

(x − y) dy

=

Z 1

−3

"

(xy − y2)

2−x 2

2x−1

# dx

=

Z 1

−3

"

(2x − 1)2− x(x2− 2) − x(2x − 1) − (x2 − 2)2

# dx

=

Z 1

−3

"

− x4− x3+ 6x2− x − 3

# dx

=− x5/5 − x4/4 + 2x3− x2/2 − 3x

1

−3

= 96 5

I =

Z Z

D

p

x2ư y2dxdy

Miền tính tích phân Dxy giới hạn bởi y = x, y = ưx và x = 1

Đổi biến

u = x + y

v = x ư y ⇒ x =

u+v 2

y = uưv2 Miền tính tích phân trở thành miền Duv giới hạn bởi u = 0, v = 0 và u + v = 2

Định thức Jacobi của phép đổi biến

J =

∂ux ∂vx

∂uy ∂vy

=

1/2 1/2

ư1/2 1/2

= 1 2 Khi đó

I =

Z 2 0

du

Z 2ưu 0

√

uv dv

=

Cách khác Đổi biến

x = r cos φ

y = r sin φ,

Dễ thấy 0 ≤ r ≤ 1 và −π4 ≤ φ ≤ π

4 Do đó ta có

I =

Z Z

D

p

x2− y2dxdy

=

Z Z

D rφ

q

r2cos2φ − r2sin2φ r drdφ

=

Z π4

− π 4

q cos2φ − sin2φ dφ

Z 1 0

r2dr

= 1 3

Z π4

− π 4

q cos2φ − sin2φ dφ

= 1 3

Z π4

− π 4

q

1 − 2 sin2φ dφ

Đổi biến

u =√

2 sin φ → −1 ≤ u ≤ 1

⇒ du =√2 cos φdφ

⇒ dφ = √ du

2

q

1 − u22

= √ du

2 − u2

Khi đó

I = 1 3

Z 1

−1

√

1 − u2

√

2 − u2du

=

I =

Z Z

D

p

xy − y2dxdy

Đổi biến

u = x − y

v = y ⇒ x = u + v

y = v ⇒ J = 1 Miền D biến thành miền Duv

Do đó ta có

I =

Z Z

D

p

xy − y2dxdy

=

Z Z

D uv

√

uv dudv

=

Z 1 0

√

u du

Z 1 u/9

√

v dv

=

Z 1 0

√

u du

"

2

3v

3 2

#1 u/9

= 2 3

Z 1 0

√

u1 − u

9

3/2 du

= 2 3

"

Z 1 0

√

u du − 1

93/2

Z 1 0

u2du

#

= 2 3

"

2

3u

3/2

1 0

− 1

93/2

1

3u

3

1 0

#

= 2 9



2 −√1 729



I =

Z Z Z

V

p

x2 + y2+ z2dxdydz

V giới hạn bởi hình cầu x2+ y2+ z2 ≤ x

Đổi sang tọa độ cầu

x = r cos φ sin θ,

y = r sin φ sin θ,

z = r cos θ, Định thức Jacobi J = r2sin θ 6= 0 Phương trình hình cầu trở thành

r2 ≤ r cos φ sin θ ⇒ r ≤ cos φ sin θ suy ra 0 < r ≤ cos φ sin θ, 0 ≤ θ ≤ π và −π ≤ φ ≤ π Do đó

I =

Z Z Z

V

p

x2+ y2+ z2dxdydz

=

Z Z Z

V

r3sin θ drdφdθ

=

Z π

−π

dφ

Z π 0

sin θ dθ

Z cos φ sin θ 0

r3dr

= 1 4

Z π

−π

dφ

Z π 0

sin θ

"

r4

cos φ sin θ 0

# dθ

= 1 4

Z π

−π

cos4φ dφ

Z π 0

sin5θ dθ

= 1 4

Z π

−π

cos4φ dφ

"

2 cos3θ

3 − cos θ − cos

5θ 5

#π

0

= 8 60

Z π

−π

cos4φ dφ

= 8 60

"

3φ

8 +

sin 2φ

sin 4φ 32

#π

−π

= π 10

Thể tích V giới hạn bởi

x2

4 +

y2

9 =

z2

16 (S1)

z = 3 (S2) Đặt x = 2X, y = 3Y, z = 4Z, phương trình S1 và S2 trở thành

X2+ Y2 = Z2 (S1)

Z = 3

4 (S2) Đổi sang tọa đồ cầu

X = r cos φ sin θ,

Y = r sin φ sin θ,

Z = r cos θ,

Định thức Jacobi J = r2sin θ 6= 0 Phương trình mặt S2 trở thành r = 4 cos θ3 Miền V trở thành miền

V∗ =n(r, φ, θ) : 0 ≤ r ≤ 3

4 cos θ, 0 ≤ φ ≤ 2π, 0 ≤ θ ≤ π

4

o

Do đó

V =

Z 2π 0

dφ

Z π4

0

sin θ dθ

Z 4 cos θ3

0

r2dr

= 1 3

Z 2π 0

dφ

Z π4

0

sin θ dθ

"

r3

3

4 cos θ

0

#

= 9 64

Z 2π 0

dφ

Z π4

0

sin θ cos3θdθ

= 9 64

Z 2π 0

dφ

"

tan2θ 2

#π4

0

= 9 128

Z 2π 0

dφ

= 9π 64

Tính thể tích V giới hạn bởi 1 − 2z ≤ x2+ y2+ z2 ≤ 1

Giao tuyến là đường tròn x2+ y2 = 1 Thể tích V cần tính là phần giao nhau của 2 hình cầu Chia V thành 2 phần: phần V1 phía trên Oxy và phần V2 phía dưới Oxy Dễ thấy V2 = 23π Còn V1 tính đơn giản bằng cách đổi sang tọa độ cầu

x = r cos φ sin θ,

y = r sin φ sin θ,

z = −1 + r cos θ, với lưu ý

0 ≤ φ ≤ 2π

0 ≤ θ ≤ arccos(√1

2) 1

cos θ ≤ r ≤√2

I =

Z Z

D

xdxdy

x2+ y2

Đổi sang tọa độ cực

x = r cos φ

y = r sin φ Định thức Jacobi J = r Dễ thấy miền D biến đổi thành miền

D∗ =n(r, φ) : 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ φ ≤ π

4 o

Do đó

I =

Z Z

D

xdxdy

x2+ y2

=

Z Z

D ∗

r cos φ

r2 r drdφ

=

Z π4

0

cos φ dφ

Z 1 0

dr

=

√ 2 2

1.10 •

I =

Z Z

D

exydxdy

Đổi biến

u = x/y

v = y ⇒ x = uv

y = v Định thức Jacobi của phép đổi biến

J =

∂ux ∂vx

∂uy ∂vy

=

v u

0 1

= v

Phương trình y = x2 trở thành u = v Do đó

x : y2 → 1

y : −1 → 1 ⇒ u : v

v

v : −1 → 1

Ta có

I =

Z 1

−1

v dv

Z 1v

v 2

eudu

Z 1

1 v 2

dv

Diện tích mặt cầu x2+ y2+ z2 = 4 nằm phía trên mặt phẳng Oxy và chắn bởi x42 +y92 = 1

Mặt cầu x2+ y2+ z2 = 4 hoàn toàn nằm trong mặt trụ x42 + y92 = 1 nên diện tích cần tìm

S = 1

2Smặt cầu=

1

24πR

2

= 8π

1.12 •

Diện tích mặt z = x2 + y2 nằm trong mặt trụ x2+ y2 = 1

Dễ thấy giao tuyến của 2 mặt phẳng là đường cong

C =n(x, y, z) : x2+ y2 = 1, z = 1o

Do đó hình chiếu của phần mặt paraboloid cần tính diện tích xuống mặt phẳng Oxy là hình tròn

Dxy =

n (x, y) : x2+ y2 = 1

o

Ta có

zx = 2x

zy = 2y

⇒q1 + z2

x+ z2

y =p1 + 4(x2+ y2) Diện tích cần tìm là

S =

Z Z

D xy

p

1 + 4(x2+ y2) dxdy Đổi sang tọa độ cực

x = r cos φ

y = r sin φ Định thức Jacobi J = r Miền D biến đổi thành miền

S =

Z Z

D xy

p

1 + 4(x2+ y2) dxdy

=

Z Z

D rφ

√

1 + 4r2r drdφ

=

Z 2π 0

dφ

Z 1 0

√

1 + 4r2r dr

= 1 2

Z 2π 0

dφ

Z 1 0

√

1 + 4u du (đặt u = r2)

= 1 2

Z 2π 0

dφ

"

(4u + 1)32

6

1 0

#

= 5

√

5 − 1 12

Z 2π 0

dφ

= 5

√

5 − 1

...

D

p

x2ư y2dxdy

Miền tính tích phân Dxy giới hạn y = x, y = ưx x =

Đổi biến

u = x + y

v = x... ⇒ x =

u+v 2

y = uưv2 Miền tính tích phân trở thành miền Duv giới hạn u = 0, v = u + v =

Định thức Jacobi phép đổi... class="page_container" data-page="5">

Cách khác Đổi biến

x = r cos φ

y = r sin φ,

Dễ thấy ≤ r ≤ −π4 ≤ φ ≤ π

4 Do ta có