Rất nhiều bài tập môn Giải tích số kèm theo Lời giải chi tiết. Chương 1: Nội suy và xấp xỉ hàm số Chương 2 Tính gần đúng nghiệm của phương trình phi tuyến Chương 3 Các phương pháp trong đại số tuyến tính Chương 4: Tính gần đúng đạo hàm và tích phân
f(x) = 2 x x k T 4 (x) x k = cos π + k2π 2n , n = 4, k = 0, 1, 2, 3. x 1 = cos Π 8 ≈ 0, 924 → f (x 1 ) = 1, 897 x 2 = cos 3Π 8 ≈ 0, 383 → f (x 2 ) = 1, 304 x 3 = cos 5π 8 ≈ −0, 383 → f (x 3 ) = 0, 767 x 4 = cos 7π 8 ≈ −0, 924 → f (x 4 ) = 0, 527 P 3 (x) = 3 i=0 f(x i )P i (x) = 1, 897 (x −0, 383)(x + 0, 383)(x + 0.924) (0, 924 − 0, 383)(0, 924 + 0, 383)(0, 924 + 0, 924) + 1, 304 (x −0.924)(x + 0, 383)(x + 0, 924) (0, 383 − 0.924)(0, 383 + 0, 383)(0, 383 + 0, 924) + 0.767 (x −0.924)(x −0, 383)(x + 0.924) (−0, 383 − 0.924)(−0, 383 − 0, 383)(−0, 383 + 0, 924) + 0, 527 (x −0.924)(x −0, 383)(x + 0, 383) (−0, 924 − 0, 924)(−0, 924 − 0, 383)(−0, 924 + 0, 383) = 0, 86x 3 + 0, 25x 2 + 0, 58x − 1, 1 f(x) ξ f(x) = cos x [0, π 2 ], ξ = π 12 f(x) = x cos x [0, π 2 ], ξ = π 6 {0, π 4 , π 2 } π 4 π 2 √ (2) 2 P 2 (x) = (x − π 2 )(x − π 4 ) π 4 × π 2 − √ 2 2 × (x − π 2 )x π 4 × π 4 = −0, 3357x 2 − 0, 1092x + 1 ⇒ P 2 ( π 12 ) = 8(1 − √ 2) π 2 12 2 + 2(2 √ 2 −3) π 2 12 + π 2 π 2 = 40 √ 2 + 80 12 2 = 0, 948 f(x) = cos x P 2 (x) = −0, 3357x 2 − 0, 1092x + 1 π 12 | P 2 ( π 12 ) −f( π 12 ) |≤ M 3 3! | ω 3 ( Π 12 ) | M 3 = max [0, Π 2 ] | y (3) (x) |= max [0, Π 2 ] | sin x |= 1 ω 3 ( Π 12 ) =| ( Π 12 − 0)( Π 12 − Π 4 )( Π 12 − Π 2 ) | ⇒| P 2 ( π 12 ) −f( π 12 ) |≤ 0, 0299 cos ( Π 12 ) = 0, 9484 ± 0, 0299 0, π 4 , π 2 π 4 π 2 √ (2) 8 π P 2 (x) = − √ 2 8 × (x − π 2 )x π 4 × π 4 = − 2 √ 2 π x 2 + √ 2x ⇒ P 2 ( π 6 ) = √ 2 9 π = 0, 4936 π 6 | P 2 ( π 6 ) − f ( π 6 ) |≤ M 3 3! | ω 3 ( Π 6 ) |≤ 0, 0718 f(x) = x cos x P 2 (x) = − 2 √ 2 π x 2 + √ 2x S n = 1 + 2 3 + 3 3 + + n 3 S n = S n+1 − S n = (n + 1) 3 2 S n = S n+1 − S n = (n + 2) 3 − (n + 1) 3 = 3n 2 + 9n + 7 3 S n = 2 S n+1 − 2 S n = 6n + 12 4 S n = 3 S n+1 − 3 S n = 6 = const S n S n S n 2 S n 3 S n 4 S n x 0 = 1 ⇒ S n = 1 + 8(n −1) + 19 2 (n − 1)(n −2) + 18 3! (n − 1)(n −2)(n −3) + 6 3! (n − 1)(n −2)(n −3)(n −4) = n 4 + 2n 3 + n 2 4 = n 2 (n + 1) 2 4 S n = n 2 (n+1) 2 4 A = x 2 +6x+1 (x+1)(x−1)(x−4)(x−6) B = 3x 2 +x+1 (x−1)(x−2)(x−3) f(x) = x 2 + 6x + 1 −1, 1, 4, 6 −1 −4 x 0 = −1 f(x) = −4 + 6(x + 1) + (x − 1)(x + 1) ⇒ A = 4 (x+1)(x−1)(x−4)(x−6) + 6 (x−1)(x−4)(x−6) + 1 (x−4)(x−6) A = 4 (x + 1)(x −1)(x −4)(x −6) + 6 (x − 1)(x −4)(x −6) + 1 (x − 4)(x −6) g(x) = x 2 + 6x + 1 1, 2, 3 f(x) 2 f(x) x 0 = 1 g(x) = 5 + 10(x − 1) + 6 2! (x − 1)(x −2) = 5 + 10(x −1) + 3(x −1)(x −2) ⇒ B = 5 (x−1)(x−2)(x−3) + 10 (x−2)(x−3) + 3 (x−3) B = 5 (x − 1)(x −2)(x −3) + 10 (x − 2)(x −3) + 3 (x − 3) f(x) = 0 f(x) = 0 f(x) = x 4 − 3x − 20 g(x) = x 3 − 2x − 5 (x > 0) k(x) = x + ln x − 2 h(x) = x 2 − sin πx f(2) = −10 f(3) = 3 4 − 3 = 52 f(2)f(3) < 0 f (x) = 4x 3 − 3 > 0 ∀x ∈ (2, 3) x = x + λf (x) = ϕ(x) M = max [2,3] f (x) = 105 m = min [2,3] f (x) = 29 q = 1 − m M = 76 105 λ = −1 M = −1 105 ⇒ ϕ(x) = x − x 4 − 3x − 20 105 = − x 4 105 + 36x 35 + 4 21 ϕ (x) | ϕ (x) | =| −4x 3 105 + 36x 35 |≤ 1 ϕ(x) ∈ [2, 3] ∀x ∈ [2, 3] ⇒ ϕ(x) = − x 4 105 + 36x 35 + 4 21 x ∗ x 0 = 2, 2 x n = − 1 105 x 4 n−1 + 36 35 x n−1 + 4 21 | x n − x ∗ |= q 1−q | x n − x n−1 |= 76 29 | x n − x n−1 | x n | x n − x n−1 | 2, 2 0, 0097 ≤ 0, 01 | x n − x ∗ |≤ q n 1 − q | x 1 − x 0 |≤ 0, 01 ⇒ ( 76 105 ) n 29 105 | 2.23 −2.2 |< 0, 01 ⇒ n > 7, 34 x ∗ = 2, 27 ± 0, 0097 g(2) = −1 g(3) = 16 f(2)f(3) < 0 x = x + λg(x) = ϕ(x) g (x) = 3x 2 − 2 > 0 ∀x ∈ [2, 3] M = max [2,3] g (x) = 25 m = min [2,3] g (x) = 10 λ = − 1 25 q = 1 − m M = 1 − 10 25 = 3 5 ⇒ ϕ(x) = x − 1 25 (x 3 − 2x − 5) = − 1 25 x 3 + 27 25 x + 1 5 ϕ (x) = − 3 25 x 2 + 27 25 | ϕ(x) |< 1 ∀x ∈ [2, 3] ϕ(x) ∈ [2, 3] ∀x ∈ [2, 3] x ∗ | x n − x ∗ |≤ q 1−q | x n − x n−1 |= 1.5 | x n − x n−1 | x 0 = 2 x n = − 1 25 (x n−1 ) 3 + 27 25 x n−1 + 1 5 x n | x n − x ∗ | 2 2, 04 0, 0266 2, 0636 0, 035 2, 077 0, 02 2, 0848 0, 0116 2, 089 0, 0065 < 0, 01 | x n − x ∗ | ≤ q n 1 − q | x 1 − x 0 |< 0, 01 ⇔ (0, 6) n < 0, 1 ⇒ n > 5 x ∗ = 2, 089 ±0, 0065 k(1) = −1 k(2) > 0 f(1)f(2) < 0 (1, 2) k (x) = 1 + 1 x x = x + λk(x) = ϕ(x) M = max [1,2] k (x) = max [1,2] (1 + 1 x ) = 2 m = min [1,2] k (x) = 3 2 q = 1 − m M = 1 − 3 4 = 1 4 λ = −1 M = −1 2 ⇒ ϕ(x) = x − x + ln x − 2 2 = x − ln 2 + 2 2 ⇒ ϕ (x) = 1 2 − 1 2x ϕ (x) | ϕ (x) |≤ 1 ∀x ∈ [1, 2]ϕ(x) ∈ [ 1 2 , 1] ∀x ∈ [1, 2] x ∗ x 0 = 1, 6 x n = x n−1 − ln x n−1 + 2 2 | x n − x ∗ |= q 1 − q | x n − x n−1 |= 1 3 | x n − x n−1 | x n 1 3 | x n − x n−1 | 1, 6 2.10 −3 < 10 −2 x ∗ = 1, 559 ± 2.10 −3 h( 1 2 ) = − 3 4 h( 3 2 ) = 1 f( 1 2 )f( 3 2 ) < 0 ( 1 2 , 3 2 ) h (x) = 2x − π cos πx x = x + λh(x) = ϕ(x) M = max [ 1 2 , 3 2 ] h (x) = 2 + π ≈ 5, 14 m = min [ 1 2 , 3 2 ] h (x) = 1 q = 1 − m M = 1 + π 2 + π λ = −1 M = −1 5, 14 ⇒ ϕ(x) = x − x 2 − sin πx 5, 14 = −x 2 + sin πx + 5, 14x 5, 14 ⇒ ϕ (x) = −2x + π cos πx + 5, 14 5, 14 ϕ (x) | ϕ (x) | =|≤ 1 ∀x ∈ [ 1 2 , 3 2 ] ϕ(x) ∈ [ 1 2 , 3 2 ] ∀x ∈ [ 1 2 , 3 2 ] x ∗ x 0 = 0, 8 x n = −x 2 n−1 +sin πx n−1 +5,14x n−1 5,14 | x n − x ∗ |= q 1−q | x n − x n−1 |= 4, 14 | x n − x n−1 | x n 4, 14 | x n − x n−1 | 0, 8 8, 69.10 −3 < 10 −2 [...]... xỉ của hệ phương trình là :(-1,00138, 0 , 1,001687) với sai số là 8, 3.103 và số lần lặp thực tế là 9 lần Tính số lần lặp ước lượng, ta sử dụng công thức đánh giá sai số tiền nghiệm : x(n) x qn 1q n 15 Vậy số lần lặp ước lượng 15 lần 19 x1 x 0 102 Bài 4: Tìm nghiệm gần đúng bằng phương pháp khử Gauss - Seidel với sai số là 0,001 Bài giải a) 5 0 1 1 3 -3 -3 2 11 10 A= b = 4 6 1 2... (1) f (1, 05) f (1, 1) f (1, 15) f (x0 ) f (1) f (1, 05) f (1, 1) Bài 2: Dùng các hình cn trung tâm, hình thang, Simson để tính gần đúng tích phân với số đoạn n = 5, n = 10 và đánh giá sai số so sánh đánh giá sai số với sai số thực sự 1 a)A = 0 dx 1+x 1 x b)B = x.e dx cos3 xdx c)C = 0 0 Bài giải a) Đầu tiên ta sẽ tính tích phân bằng cách tính thông thường : 1 1+x A= 1 dx 0 1+x = ln(x + 1) |1... 103 2 2 1,167 0,583 Vậy nghiệm xấp xỉ của hệ phương trình là :(-1 , 0 , 1 ) với sai số là lần lặp thực tế là 7 lần Bài 5: Cho hệ phương trình Ax=b với 2 0 -1 A = -1 3 1 1 -1 4 b = -3 2 3 a) Tìm nghiệm của phương trình bằng phương pháp khử Gauss; b) Giải hệ bằng phương pháp Choleski Bài giải 21 5.104 và số a) Xét ma trận mở rộng sau : 2 -1 0 -1 -1 2 -1 5 0 -1 2 3 -1 2 -1 5... = (1 1, 1, 0) Bài 2+3: Kiểm tra điều kiện để có thể áp dụng phương pháp lặp Jacobi cho mỗi hệ trên trong trường hợp có thể áp dụng hãy xác định số lần lặp n để đạt đươc nghiệm gần đúng x( n) với sai số đúng của hệ, nếu chọn xấp xỉ ban đầu x(n) x < 102 , trong đó x là nghiệm x = (0, 0, 0)T Dùng đánh giá hậu nghiệm đối với phương pháp Jacobi , tìm nghiệm gần đúng với sai số 0,01 Bài giải a) 0 1 1... sai số ước lượng hcn là: | E | M2 (b a)h2 = 3, 34.103 24 Sai số thực sự hcn là | ln 2 0, 6919 |= 1, 247.103 Phương pháp hình thang n1 IHT = h( hi + i=0 y0 + yn ) = 0, 6956 2 Sai số ước lượng hình thang là : | E | Sai số thực sự hình thang là M2 (b a)h2 = 6, 67.103 12 | ln 2 0, 6956 |= 2, 4528.103 Phương pháp Simpson 2 1 IS = ICN + IHT = 0, 6931333 3 3 27 Sai số ước lượng Simpson là : | E | Sai số. .. phương trình có nghiệm xấp xỉ duy nhất là x với đánh giá sai số: = | xn x | Chọn q 20 | xn xn1 |= | xn xn1 | 1q 7 x0 = 1, lập bảng tính toán: 20 7 | xn xn1 | n 0 1 1 17 18 0,1587 2 0,9404 0,0115 3 0,9398 4, 28.103 4 Kết luận: xn 0,9397 2, 589.104 cos 200 0, 9397 2, 589.104 15 Chương 3 Các phương pháp số trong đại số tuyến tính Bài 1: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp khử Gauss: a) 0... x3 = 0 Vậy nghiệm của hệ phương trình là x = (1, 3, 0) 22 -1 2 -1 5 0 -1 2 -3 0 0 4 0 Chương 4 Tính gần đúng đạo hàm và tích phân Bài 1: Tính gần đúng đạo hàm cấp 1 và cấp 2 của các hàm số tại các điểm với giá trị cho trong bảng sau: a) y = ex Ta sẽ giải bài toán bằng cách nội suy đa thức Newton tiến trên lưới đều với khoảng cách h = 0, 05 x y 1 2 y y 3 y 4 2,7183 0,1394 1,05 7, 1.103... i=0 Suy ra sai số ước lượng hcn là: | E | M2 (b a)h2 = 1, 226.103 24 28 Sai số thực sự hcn là | 0, 735759 0, 6919 |= 1, 66.103 Phương pháp hình thang n1 IHT = h( hi + i=0 y0 + yn ) = 0, 260914 2 Sai số ước lượng hình thang là | E | Sai số thực sự hình thang là M2 (b a)h2 = 2, 4525.103 12 | 0, 735759 0, 260914 |= 3, 32.103 Phương pháp Simpson 1 2 IS = ICN + IHT = 0, 264238 3 3 Sai số ước lượng Simpson... thức đánh giá sai số x(n) x q 1q (n) x(n) x(n1) (n) (n) = 2 x(n) x(n1) 2 x(n) x(n1) n x1 x2 x3 0 0 0 0 1 2,2 1,33333 0,6 4,4 2 2,08 0,8 0,993 1,067 3 2,0014 0,971 1,064 0,342 4 1,9872 1,02087 1,0062 0,1156 5 1,99876 1,0063 0,99199 0,029 6 2,0016 0,9977 0,99837 0,017 7 2 0,9989 1 5, 14.103 < 102 Vậy nghiệm xấp xỉ của hệ phương trình là :(2, 0,9989 , 1) với sai số là 5, 14.103 và số lần lặp thực... 5, 14.103 < 102 Vậy nghiệm xấp xỉ của hệ phương trình là :(2, 0,9989 , 1) với sai số là 5, 14.103 và số lần lặp thực tế là 7 lần Tính số lần lặp ước lượng, sử dụng công thức đánh giá sai số tiền nghiệm : x(n) x qn 1q x1 x 0 2 ( )n ì 3 ì 2, 2 102 3 n 16 Suy ra số lần lặp ước lượng 16 lần b) 2 0 -1 A = -1 3 1 1 -1 4 18 b = -3 2 3 102 1 2 1 2 q = max( , , ) = < 1 2 3 2 3 Suy ra