Phương pháp tính- ĐH BKHCM- HCMUT
I ĐẶT BÀI TOÁN : Để tính giá trị hàm liên tục bất kỳ, ta xấp xỉ hàm đa thức, tính giá trị đa thức từ tính giá trị gần hàm Chương NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Xét hàm y = f(x) cho dạng bảng số x xo x1 x2 xn y yo y1 y2 yn II ĐA THỨC NỘY SUY LAGRANGE: Cho hàm y = f(x) bảng số Các giá trị xk, k = 0, 1, , n theo thứ tự tăng dần gọi điểm nút nội suy Các giá trị yk = f(xk) giá trị cho trước hàm xk Bài toán : xây dựng đa thức pn(x) bậc ≤n thoả điều kiện pn(xk) = yk, k=0,1, n Đa thức gọi đa thức nội suy hàm f(x) x xo x1 x2 xn y yo y1 y2 yn Ta xây dựng đa thức nội suy hàm f(x) [a,b]=[x0, xn] Đa thức Đặt n n p (x) = (k ) n ∏ ( x − xi ) ∏ ( x k − xi ) i = 0,i ≠ k n i = 0,i ≠ k = L n ( x ) = ∑ pn( k ) ( x ) yk k =0 ( x − x )( x − x1 ) ( x − x k −1 )( x − x k +1 ) ( x − x n ) ( x k − x )( x k − x1 ) ( x k − x k −1 )( x k − x k +1 ) ( x k − x n ) có bậc ≤ n thỏa điều kiện Ln(xk) = yk gọi đa thức nội suy Lagrange hàm f Ví dụ : Cho hàm f bảng số Ta coù 1 pn( k ) ( xi ) = 0 i=k x y -1 Xây dựng đa thức nội suy Lagrange tính gần f(2) i≠k Giải n=2 Cách biểu diễn khác : ( x − 1)( x − 3) = ( x − x + 3) pn(0) ( x ) = (0 − 1)(0 − 3) n đặt ω( x ) = ∏ ( x − xi ) n i =0 n ( x − 0)( x − 3) pn(1) ( x ) = = − ( x − 3x) (1 − 0)(1 − 3) ω '( x ) = ∑∏ ( x − xi ) ( x − 0)( x − 1) p (x) = = (x − x) (3 − 0)(3 − 1) ⇒ k =0 i=0 i≠k (2) n pn( k ) ( x ) = n ⇒ ω '( xk ) = ∏ ( xk − xi ) i =0 i≠k ω(x) ω '( xk )( x − xk ) yk k = ω '( x k )( x − x k ) n ⇒ Ln ( x ) = ω ( x )∑ Đa thức nội suy Lagrange 1 19 Ln ( x )= ( x − x + 3) + ( x − x ) + ( x − x ) = x − x + 3 6 yk k = Dk n ⇒ Ln ( x ) = ω ( x )∑ f(2) ≈ Ln(2) = -2/3 với Dk = ω’(xk) (x-xk) Ví dụ : Cho hàm f bảng số Để tính giá trị Ln(x), ta lập bảng x x0 x0 x- x0 x1 x1- x0 x- x1 … xn x1 x0- x1 xn x0 - x n D0 x1 - x n D1 … x- xn Dn xn- x0 xn- x1 -9 -7 -4 y -1 -4 -9 Tính gần f(-6) Ta lập bảng x = -6 tích dòng tích đường chéo ω(x) x x = -6 -9 -7 -4 -9 -7 -4 -2 -5 -3 -2 30 -6 -30 -6 Vaäy f(-6) ≈ Ln(-6) = -6(-1/30+4/6+9/30) = -5.6 10 • TH đặc biệt : điểm nút cách với bước h = xk+1 – xk Ví dụ : Cho hàm f bảng số x y 1 -1 Đặt 4 -1 -3 -2 -1 -4 -3 -1 -2 ( x − x0 ) h Ta coù xk = xo + kh ⇒ x-xk = x- xo-kh = (q-k)h xi-xj = (xo+ih)-(xo+jh) = (i-j)h Tính gần f(2) Ta lập bảng x = x=2 q= -24 6 -24 Vaäy f(2) ≈ Ln(2) = 4(-1/24 + 1/6 + 1/3 +1/24) = 11 ⇒ ω(x)=(x-x0)(x-x1) (x-xn)=q(q-1)…(q-n)hn+1 ω’(xk) = (xk-x0) (xk-xk-1)(xk-xk+1) … (xk-xn) = k.(k-1) … 1.(-1)(-2) … (k-n)hn = (-1)n-k k! (n-k)! hn Dk = ω’(xk)(x-xk) = (-1)n-k k! (n-k)! (q-k)hn+1 12 giaûi n yk k = Dk L n ( x ) = ω ( x )∑ Ta coù (−1)n − k yk ⇒ Ln ( x ) = q(q − 1) (q − n)∑ k = k !( n − k )!(q − k ) n n=3 h = 0.1 x = 1.25 q = (1.25-1.1)/0.1 = 1.5 Ln (1.25) = (1.5)(0.5)(−0.5)(−1.5)[− Ví dụ : Cho hàm f bảng số x 1.1 1.2 1.3 1.4 y 15 18 19 24 15 18 19 24 + − + ] 3!(1.5) 2!(0.5) 2!(−0.5) 3!(−1.5) = 18.375 Vaäy f(1.25) ≈ 18.375 Tính gần f(1.25) 13 Ví dụ : Cho hàm f(x)=2x đoạn [0,1] Đánh giá sai số tính gần giá trị hàm điểm x=0.45 sử dụng đa thức nội suy Lagrange chọn điểm nút xo=0, x1=0.25, x2=0.5, x3=0.75, x4=1 Công thức đánh giá sai số : Giả sử hàm f(x) có đạo hàm đến cấp n+1 liên tục [a,b] Đặt Giải Ta coù n = 4, f(5)(x) = (ln2)52x Mn +1 = max | f ( n +1) ( x ) | x∈[ a , b ] ⇒ M5 = max |f(5)(x)| = 2(ln2)5 công thức sai số Ta có công thức sai số | f ( x ) − Ln ( x ) |≤ 14 Mn +1 | ω( x) | (n + 1)! | f ( x ) − Ln ( x ) |≤ 15 M n+1 | ω( x) | (n + 1)! 2(ln 2)5 = | (0.45)(0.20)(−0.05)(−0.30)(−0.55) |= 0.198*10 −5 5! 16 III ĐA THỨC NỘI SUY NEWTON: Tỉ sai phân cấp Tỉ sai phân : f [ xk , xk +1 , xk + ] = Cho hàm y = f(x) xác định [a,b]=[xo, xn] bảng số x xo x1 x2 xn y yo y1 y2 yn Baèng qui nạp ta định nghóa tỉ sai phân cấp p f [ xk , xk +1 , , xk + p ] = f ( xk +1 ) − f ( xk ) f [ xk , xk +1 ] = xk +1 − xk Đại lượng f [ xk +1 , xk + ] − f [ xk , xk +1 ] xk + − xk f [ xk +1 , xk + , , xk + p ] − f [ xk , xk +1 , , xk + p −1 ] xk + p − xk gọi tỉ sai phân cấp hàm f [xk,xk+1] 17 18 Đa thức nội suy Newton : Ví dụ : Cho hàm f bảng số x 1.0 1.3 1.6 2.0 y 0.76 0.62 0.46 0.28 Tỉ sai phân cấp f [ x , x0 ] = Tính tỉ sai phaân f ( x0 ) − f ( x ) x0 − x ⇒ f ( x ) = y0 + f [ x , x0 ]( x − x0 ) Giải : ta lập bảng tỉ sai phân k xk f(xk) f[xk,xk+1] f[xk,xk+1,xk+2] f[xk,xk+1,xk+2,xk+3] 1.0 1.3 1.6 2.0 0.76 0.62 0.46 0.28 -0.4667 -0.5333 -0.45 -0.111 0.119 0.23 Tỉ sai phân cấp f [ x, x0 , x1 ] = f [ x0 , x1 ] − f [ x , x0 ] x1 − x ⇒ f [ x , x0 ] = f [ x0 , x1 ] + f [ x , x0 , x1 ]( x − x1 ) ⇒ 19 f ( x ) = y0 + f [ x0 , x1 ]( x − x0 ) + f [ x , x0 , x1 ]( x − x0 )( x − x1 ) 20 Tiếp tục qui nạp ta Tương tự ta có công thức Newton luøi f ( x ) = y0 + f [ x0 , x1 ]( x − x0 ) + f [ x0 , x1 , x2 ]( x − x0 )( x − x1 ) + + f [ x0 , x1 , , xn ]( x − x0 )( x − x1 ) ( x − xn−1 ) ℵ(2) ( x) = yn + f [ xn−1, xn ]( x − xn ) + f [ xn−2 , xn−1, xn ]( x − xn )( x − xn−1 ) + n + f [ x, x0 , , xn ]( x − x0 )( x − x1 ) ( x − xn ) Đặt ℵ ( x ) = y0 + f [ x0 , x1 ]( x − x0 ) + f [ x0 , x1 , x2 ]( x − x0 )( x − x1 ) + (1) n + f [ x0 , x1 , , xn ]( x − x0 )( x − x1 ) ( x − xn −1 ) ℵ(1) ( x ) : đa thức nội suy Newton tiến n ℜn ( x ) : xác định sai số f ( x ) = ℵ(1) ( x ) + ℜn ( x ) n Ta coù ℵ(1) ( x ) = ℵ(2) ( x ) = Ln ( x ) n n Công thức gọi công thức Newton tiến xuất phát từ điểm nút xo Để đánh giá sai số đa thức nội suy Newton, ta dùng công thức sai số đa thức nội suy Lagrange 21 Ví dụ : Cho hàm f xác định [0,1] bảng số x y 0.3 0.7 2.2599 2.5238 f (0.12) ≈ℵ(1) (0.12) n 2.7183 = + 0.8663(0.12) − 0.2950(0.12)(−0.18) + 0.2786(0.12)(−0.18)(−0.58) = 2.1138 Giải : ta lập bảng tỉ sai phaân xk f(xk) f[xk,xk+1] f[xk,xk+1,xk+2] 2.2599 0.7 2.5238 -0.2950 0.6598 = 2.6505 Newton tieán 0.2786 -0.0164 0.6483 2.7183 f (0.9) ≈ℵ(2) (0.9) n f[xk,xk+1,xk+2,xk+3] = 2.7183+ 0.6483(−0.1) −0.0164(−0.1)(0.2) + 0.2786(−0.1)(0.2)(0.6) 0.8663 0.3 22 Ta có Tính gần f(0.12) Newton tiến f(0.9) Newton luøi + f [ x0 , x1, , xn ]( x − xn )( x − xn−1 ) ( x − x1 ) ℵ(2) ( x ) : đa thức nội suy Newton lùi n ℜn ( x ) = f [ x , x0 , , xn ]( x − x0 )( x − x1 ) ( x − xn ) Ta f ( x ) = ℵ(2) ( x ) + ℜn ( x ) n Newton lùi 23 24 TH điểm nút cách : Công thức Newton tiến Sai phân hữu hạn cấp hàm điểm xk ∆yk = yk+1 - yk Đặt q = ( x − x0 ) h (1) ℵn ( x ) = y0 + f [ x0 , x1 ]( x − x0 ) + f [ x0 , x1 , x2 ]( x − x0 )( x − x1 ) + Bằng qui nạp, Sai phân hữu hạn cấp p hàm điểm xk ∆pyk = ∆(∆p-1yk) = ∆p-1yk+1 - ∆p-1yk Ta có công thức f [ xk , xk +1 , , xk + p ] = + f [ x0 , x1 , , xn ]( x − x0 )( x − x1 ) ( x − xn −1 ) = y0 + Công thức Newton lùi ( x − xn ) h ∆yn −1 ∆ yn − ∆ n y0 (2) p+ p( p + 1) + + p( p + 1) ( p + n − 1) ℵn ( x ) = yn + n! 1! 2! Đặt p = ∆ p yk p! h p 25 Ví dụ : Cho hàm f xác định bảng số x 30 y 0.5 35 0.5736 40 0.6428 45 0.7071 f (32) ≈ℵ(1) (32) n 0.0736 0.0044 0.0005 (0.4) − (0.4)(−0.6) − (0.4)(−0.6)(−1.6) 1! 2! 3! = 0.529936 = 0.5+ Giải : ta lập bảng sai phân hữu hạn f(xk) 30 0.5 ∆yk ∆2yk 0.0736 35 0.5736 40 0.6428 0.7071 Tính gần f(44) : dùng công thức Newton lùi n = 3, xn = 45, p=(44-45)/5 = -0.2 -0.0044 f (44) ≈ℵ(2) (44) n -0.0005 -0.0049 0.0643 45 ∆3yk Newton tieán 0.0692 26 Tính gần f(32) : dùng công thức Newton tieán n = 3, xo = 30, q=(32-30)/5 = 0.4 Tính gần f(32) Newton tiến f(44) Newton luøi xk ∆y0 ∆ y0 ∆ n y0 q+ q(q − 1) + + q(q − 1) (q − n + 1) 1! 2! n! 0.0643 0.0049 0.0005 (−0.2) − (−0.2)(0.8) − (−0.2)(0.8)(1.8) 1! 2! 3! = 0.694656 28 = 0.7071+ Newton lùi 27 IV SPLINE bậc : Định nghóa : Với n lớn, đa thức nội suy bậc lớn, khó xây dựng khó ứng dụng Cho hàm y=f(x) xác định đoạn [a,b] bảng số Một cách khắc phục thay đa thức nội suy bậc n đa thức bậc thấp (≤ 3) đoạn [xk,xk+1], k=0,1,…,n-1 x a=xo x1 x2 xn=b y yo y1 y2 yn Một Spline bậc nội suy hàm f(x) hàm g(x) thỏa điều kiện sau : (i) g(x) có đạo hàm đến cấp liên tục [a,b] (ii) g(xk) = yk, k=0,1, …, n (iii) Trên đoạn [xk,xk+1], g(x)=gk(x) đa thức bậc 3, k=0,1, ,n-1 30 29 Cách xây dựng Spline bậc : Đặt hk = xk+1 – xk gk(x) đa thức bậc nên có dạng : gk(x) = ak+bk(x-xk)+ck(x-xk)2+dk(x-xk)3 Ta coù g’k(x) = bk+2ck(x-xk)+3dk(x-xk)2 g”k(x) = 2ck+6dk(x-xk) g’k+1(x) = bk+1+2ck+1(x-xk+1)+3dk+1(x-xk+1)2 g”k+1(x) = 2ck+1+6dk+1(x-xk+1) Ta coù g(xk) = yk ⇒ ak = yk, k = 0,1,…, n g(x) khaù vi liên tục đến cấp nên ( A) gk ( xk +1 ) = gk +1 ( xk +1 ) (B) gk' ( xk +1 ) = gk' +1 ( xk +1 ), ∀k = 0,1, , n − (C ) gk" ( xk +1 ) = gk'' +1 ( xk +1 ) Điều kiện (A) suy ak + bk hk + ck hk2 + dk hk3 = yk +1 ⇒ bk = ( yk +1 − yk ) − ck hk − dk hk2 hk (2) (1) 31 32 Điều kiện (C) suy Thay (3) (4) vào (5) ta 2ck + 6dk hk = 2ck +1 ⇒ dk = (ck +1 − ck ) 3hk hk −1ck −1 + 2(hk −1 + hk )ck + hk ck +1 = (3) ∀k = 1,2, , n − Thay (3) vào (2) ta đước ( y − y ) (c + 2ck )hk bk = k +1 k − k +1 hk 3( yk +1 − yk ) 3( yk − yk −1 ) (6) − hk hk −1 Phương trình (5) hệ phương trình tuyến tính gồm n-1 pt, dùng để xác định hệ số ck Từ ck (1) (3) (4) ta xác định tất hệ số đa thức gk(x) (4) Điều kiện (B) suy bk + 2ck hk + 3dk hk2 = bk +1 hay bk −1 + 2ck −1hk −1 + 3dk −1hk2−1 = bk (5) 34 33 Phương trình (6) có số ẩn = n+1 > số pt nên có vô số nghiệm, để có nghiệm ta cần bổ sung thêm số điều kiện Định nghóa : Spline tự nhiên spline với điều kiện g”(a) = g”(b) = Spline ràng buộc spline với điều kiện g’(a) = α, g’(b) = β Spline tự nhiên : Giải thuật xác định spline tự nhiên : Điều kieän g”(a)=g”(b) = suy co = cn = B1 Tính hk=xk+1- xk, k = 0, n-1 ak= yk, k = 0, n B2 Giải hệ Ac = b tìm c = (co, c1, …, cn)t 1 0 + 2( ) h h h h 1 0 2(h1 + h2 ) h2 h1 A= hn−2 2(hn−2 + hn−1 ) hn−1 0 0 35 3( ) y − y 3( ) y − y − h1 h0 b= 3(y − y ) 3(y − y ) n n−1 − n−1 n−2 hn−1 hn−2 36 Giải n=2 B3 Tính hệ số bk, dk bk = ( yk +1 − yk ) (ck +1 + 2ck )hk − , k = 0,1, , n − hk B1 ho = 2, h1 = ao = 1, a1 = 1, a2 = B2 Giải hệ Ac = b với c = (c0, c1, c2)t (c − c ) dk = k +1 k 3hk 1 A = h0 0 Ví dụ : Xây dựng spline tự nhiên nội suy hàm theo bảng số x y 1 0 1 0 0 3( y2 − y1 ) 3( y1 − y0 ) 2(h0 + h1 ) h1 = 10 , b = − = h h 0 0 0 c0 10 c1 = 0 c ⇒ co = c2 = 0, c1 = 3/10 37 Ví dụ : Xây dựng spline tự nhiên nội suy hàm theo bảng số B3 Tính hệ số bk, dk b0 = ( y − y ) ( c1 + c ) h − =− h0 b1 = ( y − y ) ( c + c1 ) h1 − = h1 d0 = ( c1 − c ) ( c − c1 ) 1 = , d1 = =− h0 20 h1 30 x y n=3 B1 ho = h1= h2 = ao = 1, a1 = 2, a2 = 4, a3 = B2 Giải hệ Ac = b với c = (c0, c1, c2,c3)t Kết luận : spline tự nhiên 1 g0 ( x ) = − x + 20 x g( x ) = g ( x ) = + ( x − 2) + ( x − 2)2 − ( x − 2)3 10 30 38 1 h A= 0 0 0≤ x≤2 2≤ x≤5 39 0 1 2(h0 + h1 ) h1 1 = 2(h1 + h2 ) h2 h1 0 0 0 0 1 0 40 B3 Tính hệ số bk, dk 3( y2 − y1 ) − 3( y1 − y0 ) 3 h1 h0 b= = 3( y3 − y2 ) 3( y2 − y1 ) − h2 h1 1 1 0 0 0 1 0 c0 c1 = c2 c3 c0 = c3 = ⇒ 4c1 + c2 = c + 4c = 1 b0 = ( y − y ) ( c1 + c ) h ( y − y1 ) ( c + c1 ) h1 − = − = , b1 = h0 h1 15 15 b2 = ( y − y ) ( c + c ) h2 46 − = h2 15 d0 = ( c1 − c ) (c − c2 ) ( c − c1 ) = = , d2 = =− , d1 = h0 15 h1 3 h2 15 Kết luận : spline tự nhiên Giải ta co = c3 = 0, c1 = 2/5, c2 = 7/5 41 Spline ràng buộc : 13 g0 ( x ) = + 15 x + 15 x 19 g( x ) = g1 ( x ) = + ( x − 1) + ( x − 1)2 + ( x − 1)3 15 46 7 g2 ( x ) = + 15 ( x − 2) + ( x − 2) − 15 ( x − 2) ≤ x ≤1 1≤ x ≤ 2≤ x≤3 42 B2 Giải hệ Ac = b tìm c = (co, c1, …, cn)t Điều kiện g’(a) = α, g’(b) = β xác định pt : 2h0 0 h0 2( ) + h h h h 1 2(h1 + h2 ) h2 h1 A= hn−2 2(hn−2 + hn−1 ) hn−1 0 0 2hn−1 hn−1 y1 − y − 3α h0 c + h0 c1 = h0 h c + h c = β − y n − y n −1 n −1 n n −1 n −1 hn − Giải thuật xác định spline ràng buộc : B1 Tính hk=xk+1- xk, k = 0, n-1 ak= yk, k = 0, n B3 Tính hệ số bk, dk 43 y −y − 3α h0 3(y − y ) 3(y − y ) − h1 h0 b= 3(yn − yn−1 ) 3(yn−1 − yn−2 ) − hn−2 hn−1 yn − yn−1 3 β − hn−1 bk = ( yk +1 − yk ) (ck +1 + 2ck )hk − , k = 0,1, , n − hk dk = (ck +1 − ck ) 3hk 44 B2 Giải hệ Ac = b với c = (c0, c1, c2)t Ví dụ : Xây dựng spline ràng buộc nội suy hàm theo bảng số x y h0 2 h0 2( h + h1 ) h1 = A = h0 h1 h1 y − y0 − 3α h0 3( y − y ) 3( y − y ) = −6 − b= h1 h0 y y − 3β − h1 với điều kiện g’(0)=g’(2) = Giải n=2 0 1 c0 c1 = −6 ⇒ c0 = 3, c1 = −3, c2 = 0 2c B1 ho = h1 = ao = 1, a1 = 2, a2 = 45 B3 Tính hệ số bk, dk b0 = ( y − y ) ( c1 + c ) h − =0 h0 b1 = ( y − y1 ) ( c + c1 ) h1 − =0 h1 V BÀI TOÁN XẤP XỈ THỰC NGHIỆM : Xét toán thống kê lượng mưa 12 tháng Thực nghiệm (k=1 12) xk (c − c0 ) ( c − c1 ) d0 = = − 2, d = =2 h0 h1 yk 550 650 540 580 610 605 Các giá trị yk xác định đo đạc hay thực nghiệm nên thiếu xác Khi việc xây dựng đường cong qua tất điểm Mk(xk, yk) không xác Kết luận : spline ràng buộc g0 (x) = 1+ 3x − 2x g(x) = g1(x) = − 3(x −1) + 2(x −1) 46 ≤ x ≤1 1≤ x ≤ 47 48 Bài toán xấp xỉ thực nghiệm : tìm hàm f(x) xấp xỉ bảng {(xk,yk)} theo phương pháp bình phương cực tiểu : g( f ) = ∑ ( f ( xk ) − yk )2 đạt - f(x) = AeBx - f(x) = AxB - f(x) = AlnBx … g( A, B) = ∑ ( A + Bxk − yk )2 ∑ ∂A k k ∂g = ( A + Bx − y ) x = ∑ k k k ∂B Suy 49 1 2 3 2 4 5 nA + (∑ xk )B = ∑ yk (∑ xk ) A + (∑ xk )B = ∑ xk y k 50 Trường hợp f(x) = Acosx + Bsinx : Ví dụ : Tìm hàm f(x) = A + Bx xấp xỉ bảng số x y Phương trình bình phương cực tiểu có dạng Bài toán qui tìm cực tiểu hàm biến g(A,B) ∂g Điểm dừng = ( A + Bx − y ) = Haøm f tổng quát đa dạng Để đơn giản, thực tế thường ta tìm hàm f theo dạng sau : - f(x) = A + Bx - f(x) = A+Bx+Cx2 - f(x) = Asinx+Bcosx Trường hợp f(x) = A+ Bx : Phương trình bình phương cực tiểu có daïng g( A, B) = ∑ ( A cos xk + B sin xk − yk )2 Theo pp BPCT giải Giải hệ pt Bài toán qui tìm cực tiểu hàm biến g(A,B) Điểm dừng ∂g = 2∑( A cos x + B sin x − y )cos x = ∂A k k k k ∂g = ( A cos x + B sin x − y )sin x = k k k k ∂B ∑ nA + (∑ xk )B = ∑ yk 10 A + 29 B = 39 ⇒ (∑ xk ) A + (∑ xk )B = ∑ xk yk 29 A + 109 B = 140 Nghieäm A = 0.7671, B=1.0803 Vaäy f(x) = 0.7671+1.0803x Suy 51 (∑ cos2 xk )A + (∑ sin xk cos xk )B = ∑ yk cos xk (∑ sin xk cos xk ) A + (∑ sin xk )B = ∑ yk sin xk 52 Ví dụ : Tìm hàm f(x)=Acosx+Bsinx xấp xỉ bảng số x y 10 20 30 40 50 1.45 1.12 0.83 1.26 1.14 Phương trình bình phương cực tiểu có dạng rad g( A, B) = ∑ ( Axk2 + B sin xk − yk )2 Theo pp BPCT Bài toán qui tìm cực tiểu hàm biến g(A,B) Điểm dừng ∂g 2 (∑cos xk )A + (∑sin xk cos xk )B = ∑ yk cos xk (∑sin xk cos xk )A + (∑sin xk )B = ∑ yk sin xk Giaûi hệ pt Trường hợp f(x) = Ax2 + Bsinx : ∂A = 2∑( Axk + B sin xk − yk )xk = ∂g = ( Ax2 + B sin x − y )sin x = ∑ k k k k ∂B 2.2703 A − 0.0735B = −0.3719 ⇒ −0.0735 A + 2.7297B = 0.0533 Nghieäm A = -0.1633, B=0.0151 Suy Vaäy f(x) = -0.1633cosx+0.0151sinx (∑ xk4 )A + (∑ xk2 sin xk )B = ∑ xk2 yk 2 (∑ xk sin xk ) A + (∑ sin xk )B = ∑ yk sin xk 53 Ví dụ : Tìm hàm f(x)=Ax2+Bsinx xấp xỉ bảng số x y 1.3 1.5 1.8 2.0 2.4 2.6 2.7 2.7 1.8 3.51 3.1 3.78 3.9 4.32 Trường hợp f(x) = A+ Bx+Cx2: Phương trình bình phương cực tiểu có dạng g( A, B, C ) = ∑ ( A + Bxk + Cxk2 − yk )2 Theo pp BPCT Giải hệ pt 54 Bài toán qui tìm cực tiểu hàm bieán g(A,B,C) ∂g ∂A = ∑ ( A + B x + C x − y ) = Điểm dừng ∂g = ∑ ( A + Bx + C x − y ) x = ∂B (∑ xk4 )A + (∑ xk2 sin xk )B = ∑ xk2 yk 2 (∑ xk sin xk ) A + (∑ sin xk )B = ∑ yk sin xk 166.4355 A + 21.1563B = 112.015 ⇒ 21.1563 A + 4.6033B = 17.0441 Suy Nghieäm A = 0.4867, B=1.4657 Vaäy f(x) = 0.4857x2 + 1.4657sinx 55 k k k k k k k ∂g 2 ∂ C = ∑ ( A + Bx k + C x k − y k ) x k = nA + (∑ x k )B + (∑ x k2 )C = ∑ yk (∑ x k ) A + (∑ x k ) B + (∑ x k )C = ∑ x k yk (∑ x k ) A + (∑ xk )B + (∑ xk )C = ∑ x k yk 56 Ví dụ : Tìm hàm f(x) = A + Bx+Cx2 xấp xỉ bảng số x y 1 3 4.12 4.18 6.23 8.34 8.38 12.13 18.32 Theo pp BPCT Giải hệ pt nA + (∑ xk )B + (∑ xk2 )C = ∑ yk (∑ xk ) A + (∑ xk )B + (∑ xk )C = ∑ xk y k (∑ xk ) A + (∑ xk )B + (∑ xk )C = ∑ xk y k A + 19B + 65C = 61.70 ⇒ 19 A + 65B + 253C = 211.04 65A + 253B + 1061C = 835.78 Nghieäm A = 4.3, B=-0.71, C=0.69 Vaäy f(x) = 4.3-0.71x+0.69x2 57 ... g1(x) = − 3(x −1) + 2(x −1) 46 ≤ x ≤1 1≤ x ≤ 47 48 Bài toán xấp xỉ thực nghiệm : tìm hàm f(x) xấp xỉ bảng {(xk,yk)} theo phương pháp bình phương cực tiểu : g( f ) = ∑ ( f ( xk ) − yk )2 đạt... thức Newton tiến xuất phát từ điểm nút xo Để đánh giá sai số đa thức nội suy Newton, ta dùng công thức sai số đa thức nội suy Lagrange 21 Ví dụ : Cho hàm f xác định [0,1] bảng số x y 0.3 0.7... : Định nghóa : Với n lớn, đa thức nội suy bậc lớn, khó xây dựng khó ứng dụng Cho hàm y=f(x) xác định đoạn [a,b] bảng số Một cách khắc phục thay đa thức nội suy bậc n đa thức bậc thấp (≤ 3) đoạn