Bài giảng Phương pháp tính: Nội suy và xấp xỉ hàm trình bày các nội dung: Đa thức nội suy, đa thức nội suy Lagrange, đa thức nội suy Newton, Spline bậc ba, bài toán xấp xỉ hàm thực nghiệm,... Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
ng.com NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 14 tháng 10 năm 2016 https://fb.com/tailieudientucntt NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 14 tháng 10 năm 2016 1/1 Đa thức nội suy Đặt vấn đề Trong thực hành, thường gặp hàm số y = f (x) mà biểu thức giải tích cụ thể f chúng Thơng thường, ta biết giá trị y0 , y1 , , yn hàm số điểm khác x0 , x1 , , xn đoạn [a, b] Các giá trị nhận thơng qua thí nghiệm, đo đạc, Khi sử dụng hàm trên, nhiều ta cần biết giá trị chúng điểm không trùng với xi (i = 0, 1, , n) ng.com https://fb.com/tailieudientucntt NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 14 tháng 10 năm 2016 2/1 Đa thức nội suy Để làm điều đó, ta phải xây dựng đa thức Pn (x) = an x n + an−1 x n−1 + + a1 x + a0 thỏa mãn Pn (xi ) = yi , i = 0, 1, 2, , n Định nghĩa Pn (x) gọi đa thức nội suy hàm f (x), điểm xi , i = 0, 1, 2, , n gọi nút nội suy ng.com https://fb.com/tailieudientucntt NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 14 tháng 10 năm 2016 3/1 Đa thức nội suy Về mặt hình học, có nghĩa tìm đường cong y = Pn (x) = an x n + an−1 x n−1 + + a1 x + a0 qua điểm Mi (xi , yi ), i = 0, 1, 2, , n biết trước đường cong y = f (x) ng.com https://fb.com/tailieudientucntt NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 14 tháng 10 năm 2016 4/1 Đa thức nội suy Định lý Đa thức nội suy Pn (x) hàm số f (x), có, có Ví dụ Xây dựng đa thức nội suy hàm số y = f (x) xác định ng.com x y 1 -1 https://fb.com/tailieudientucntt NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 14 tháng 10 năm 2016 5/1 Đa thức nội suy Giải Đa thức nội suy có dạng y = P(x) = a2 x + a1 x + a0 Thay điểm (xi , yi )(i = 1, 2, 3) vào đa thức ta hệ a0 = 0.a2 + 0.a1 + a0 = a1 = − 19 1.a2 + 1.a1 + a0 = −1 ⇔ 9.a2 + 3.a1 + a0 = a2 = 76 19 Vậy đa thức nội suy P(x) = x − x + 6 ng.com https://fb.com/tailieudientucntt NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 14 tháng 10 năm 2016 6/1 Đa thức nội suy Lagrange Cho hàm số y = f (x) xác định sau: x y x0 y0 x1 y1 x2 y2 xn yn Ta xây dựng đa thức nội suy hàm f (x) đoạn [x0 , xn ], n Đa thức nội suy Lagrange có dạng sau n pnk (x).yk , Ln (x) = k=0 ng.com pnk (x) = (x − x0 )(x − x1 ) (x − xk−1 )(x − xk+1 ) (x − xn ) (xk − x0 )(xk − x1 ) (xk − xk−1 )(xk − xk+1 ) (xk − xn ) https://fb.com/tailieudientucntt NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 14 tháng 10 năm 2016 7/1 Đa thức nội suy Lagrange Ví dụ Xây dựng đa thức nội suy Lagrange hàm số y = sin(πx) nút nội suy x0 = 0, x1 = 16 , x2 = 21 Giải x y = sin(πx) 0 2 Công thức nội suy Lagrange hàm số y L2 (x) = ng.com (x − 16 )(x − 21 ) x(x − 12 ) x(x − 61 ) + + = x − 3x 1 1 1 (0 − )(0 − ) 6(6 − 2) ( − ) https://fb.com/tailieudientucntt NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 14 tháng 10 năm 2016 8/1 Đa thức nội suy Lagrange Đặt ω(x) = (x − x0 )(x − x1 ) (x − xk−1 )(x − xk )(x − xk+1 ) (x − xn ) Khi ω(x) pnk (x) = ω (xk )(x − xk ) Đa thức nội suy Lagrange trở thành n Ln (x) = ω(x) k=0 yk = ω(x) ω (xk )(x − xk ) n k=0 yk , Dk với Dk = ω (xk )(x − xk ) ng.com https://fb.com/tailieudientucntt NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 14 tháng 10 năm 2016 9/1 Đa thức nội suy Lagrange x x0 x1 xn ng.com x0 x − x0 x1 − x0 xn − x0 x1 x0 − x1 x − x1 xn − x1 xn x0 − xn x1 − xn x − xn D0 D1 Dn ω(x) https://fb.com/tailieudientucntt NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 14 tháng 10 năm 2016 10 / Bài toán xấp xỉ hàm thực nghiệm Phương pháp bình phương bé giúp ta giải vấn đề Nội dung phương pháp tìm cực tiểu phiếm hàm n (f (xk ) − yk )2 → g (f ) = k=1 Dạng đơn giản thường gặp thực tế f (x) ng.com f (x) = A + Bx f (x) = A + Bx + Cx , f (x) = Ap(x) + Bq(x), https://fb.com/tailieudientucntt NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 14 tháng 10 năm 2016 57 / Bài toán xấp xỉ hàm thực nghiệm Trường hợp f (x) = A + Bx Trường hợp f (x) = A + Bx Khi n (A + Bxk − yk )2 g (A, B) = k=1 Bài toán quy việc tìm cực tiểu hàm biến g (A, B) Tọa độ điểm dừng hàm xác định hệ phương trình ng.com n ∂ n (A + Bxk − yk )2 = (A + Bxk − yk ) = ∂A k=1 k=1 ∂ ∂B n (A + Bxk − yk )2 = k=1 n (A + Bxk − yk )xk = k=1 https://fb.com/tailieudientucntt NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 14 tháng 10 năm 2016 58 / ng.com Bài toán xấp xỉ hàm thực nghiệm ⇔ n n xk nA + k=1 n n Trường hợp f (x) = A + Bx xk k=1 A + k=1 yk B = xk2 B = k=1 n xk yk k=1 https://fb.com/tailieudientucntt NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 14 tháng 10 năm 2016 59 / Bài toán xấp xỉ hàm thực nghiệm Trường hợp f (x) = A + Bx Ví dụ Tìm hàm f (x) = A + Bx xấp xỉ tốt bảng số x 1 2 3 y 2 4 5 n yk = 39, xk = 29, k=1 n n n Giải Ta có n = 10 k=1 k=1 xk2 = 109, xk yk = 140 k=1 Hệ phương trình để xác định A, B có dạng 10A + 29B = 39 ⇔ 29A + 109B = 140 A = 0.7671 B = 1.0803 Do đường thẳng cần tìm f (x) = 0.7671 + 1.0803x ng.com https://fb.com/tailieudientucntt NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 14 tháng 10 năm 2016 60 / Bài toán xấp xỉ hàm thực nghiệm Trường hợp f (x) = A + Bx Bấm máy Bấm Mode - STAT Chọn 3- A + Bx Nhập liệu cột x, y AC - Thoát Chọn Shift - chọn - Reg - chọn 1- A = Chọn Shift - chọn - Reg - chọn 2- B = ng.com https://fb.com/tailieudientucntt NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 14 tháng 10 năm 2016 61 / Bài toán xấp xỉ hàm thực nghiệm Trường hợp f (x) = A + Bx + Cx Trường hợp f (x) = A + Bx + Cx Khi n (A + Bxk + Cxk2 − yk )2 g (A, B, C ) = k=1 Bài tốn quy việc tìm cực tiểu hàm biến g (A, B, C ) Tọa độ điểm dừng hàm xác định hệ phương trình n ∂ n (A + Bxk + Cxk2 − yk )2 = (A + Bxk + Cxk2 − yk ) =0 ∂A k=1 k=1 ∂ n n (A + Bxk + Cxk2 − yk )2 = (A + Bxk + Cxk2 − yk )xk = ∂B k=1 k=1 n ∂ n 2 (A + Bxk + Cxk − yk ) = (A + Bxk + Cxk2 − yk )xk2 = ∂C k=1 k=1 ng.com https://fb.com/tailieudientucntt NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 14 tháng 10 năm 2016 62 / Bài toán xấp xỉ hàm thực nghiệm ⇔ ng.com Trường hợp f (x) = A + Bx + Cx n nA + k=1 n n xk A + k=1 n k=1 xk2 A + n xk B + k=1 n xk2 B + xk3 B + k=1 k=1 n k=1 n k=1 xk2 C = xk3 C = xk4 C = n yk k=1 n xk yk k=1 n xk2 yk k=1 https://fb.com/tailieudientucntt NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 14 tháng 10 năm 2016 63 / Bài toán xấp xỉ hàm thực nghiệm Trường hợp f (x) = A + Bx + Cx Ví dụ Tìm hàm f (x) = A + Bx + Cx xấp xỉ tốt bảng số 1 3 x y 4.12 4.18 6.23 8.34 8.38 12.13 18.32 Giải Hệ phương trình để xác định A, B, C có dạng 65C = 61.70 4.30 A = 7A + 19B + 19A + 65B + 253C = 211.04 ⇔ B = −0.71 65A + 253B + 1061C = 835.78 C = 0.69 Do parabol cần tìm f (x) = 4.30 − 0.71x + 0.69x ng.com https://fb.com/tailieudientucntt NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 14 tháng 10 năm 2016 64 / Bài toán xấp xỉ hàm thực nghiệm Trường hợp f (x) = A + Bx + Cx Bấm máy Bấm Mode - STAT Chọn 3- + cx Nhập liệu cột x, y AC - Thoát Chọn Shift - chọn - Reg - chọn 1- A = Chọn Shift - chọn - Reg - chọn 2- B = Chọn Shift - chọn - Reg - chọn 3- C = ng.com https://fb.com/tailieudientucntt NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 14 tháng 10 năm 2016 65 / Bài toán xấp xỉ hàm thực nghiệm Trường hợp f (x) = Ap(x) + Bq(x) Trường hợp f (x) = Ap(x) + Bq(x) Khi n (Ap(xk ) + Bq(xk ) − yk )2 g (A, B) = k=1 Bài tốn quy việc tìm cực tiểu hàm biến g (A, B) Tọa độ điểm dừng hàm xác định hệ phương trình n ∂ g (A, B) = (Ap(xk ) + Bq(xk ) − yk )p(xk ) = ∂A k=1 n ∂ g (A, B) = (Ap(xk ) + Bq(xk ) − yk )q(xk ) = ∂B k=1 ng.com https://fb.com/tailieudientucntt NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 14 tháng 10 năm 2016 66 / Bài toán xấp xỉ hàm thực nghiệm ⇔ ng.com n p (xk ) A + k=1 n n p(xk )q(xk ) B = k=1 n n Trường hợp f (x) = Ap(x) + Bq(x) p(xk )q(xk ) A + k=1 q (xk ) B = k=1 p(xk )yk k=1 n q(xk )yk k=1 https://fb.com/tailieudientucntt NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 14 tháng 10 năm 2016 67 / Bài toán xấp xỉ hàm thực nghiệm Trường hợp f (x) = Ap(x) + Bq(x) Ví dụ √ Tìm hàm f (x) = A x + B cos(x) xấp xỉ tốt bảng số x 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 y 2.27 2.37 2.45 2.52 2.60 2.62 Giải Ta có n = 6, p(x) = n k=1 n p (xk ) = ng.com x, q(x) = cos(x) n xk = 9, Shift-STO-A k=1 n p(xk )q(xk ) = k=1 √ √ xk cos(xk ) = 0.2080742774, Shift-STO-B k=1 https://fb.com/tailieudientucntt NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 14 tháng 10 năm 2016 68 / Bài toán xấp xỉ hàm thực nghiệm n n √ p(xk )yk = k=1 n k=1 n xk yk = 18.14616548, Shift-STO-C k=1 n q (xk ) = cos2 (xk ) = 0.6777701471, Shift-STO-D k=1 n cos(xk ).yk = 0.7470806584, Shift-STO-M q(xk )yk = k=1 Trường hợp f (x) = Ap(x) + Bq(x) k=1 Hệ phương trình để xác định A, B : A.A + B.B = C ⇔ B.A + D.B = M A = 2.00498761 B = 0.48673479 √ Vậy f (x) = 2.0050 x + 0.4867 cos(x) ng.com https://fb.com/tailieudientucntt NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 14 tháng 10 năm 2016 69 / Bài toán xấp xỉ hàm thực nghiệm Trường hợp f (x) = Ap(x) + Bq(x) Bấm máy Shift-Mode-STAT-Frequency-ON Tìm ma trận hệ số Mode 3-STAT - 2: A+BX Nhập vào cột X cos(X ) AC-thoát Shift - - 4: Sum - 1: x = Shift-STO-A Shift - - 4: Sum - 5: xy = Shift-STO-B Shift - - 4: Sum - 3: y = Shift-STO-D √ X , nhập vào cột Y Tìm cột hệ số tự Shift - - 2: Data Nhập giá trị cột FREQ giá trị y AC-thoát Shift - - 5: Var - 2:x × Shift - - 5: Var -1:n = Shift-STO-C Shift - - 5: Var - 5:y × Shift - - 5: Var -1:n = Shift-STO-M ng.com Giải hệ phương trình: Mode-5:EQN-1:anX+bnY=cn https://fb.com/tailieudientucntt NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 14 tháng 10 năm 2016 70 / ng.com Bài toán xấp xỉ hàm thực nghiệm Trường hợp f (x) = Ap(x) + Bq(x) THANK YOU FOR ATTENTION https://fb.com/tailieudientucntt NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 14 tháng 10 năm 2016 71 / ... NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 14 tháng 10 năm 2016 4/1 Đa thức nội suy Định lý Đa thức nội suy Pn (x) hàm số f (x), có, có Ví dụ Xây dựng đa thức nội suy hàm số y = f (x) xác định ng.com x y 1 -1 ... gọi đa thức nội suy hàm f (x), điểm xi , i = 0, 1, 2, , n gọi nút nội suy ng.com https://fb.com/tailieudientucntt NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 14 tháng 10 năm 2016 3/1 Đa thức nội suy Về mặt... https://fb.com/tailieudientucntt NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Ngày 14 tháng 10 năm 2016 7/1 Đa thức nội suy Lagrange Ví dụ Xây dựng đa thức nội suy Lagrange hàm số y = sin(πx) nút nội suy x0 = 0, x1 = 16 , x2