Bài giảng Phương pháp số - Chương 1: Số xấp xỉ và sai số

Bài giảng Phương pháp số - Chương 1: Số xấp xỉ và sai số trình bày các nội dung chính sau: Vai trò và tầm quan trọng của Phương pháp số, sai số tuyệt đối và sai số tương đối, cách viết số xấp xỉ, qui tắc tính sai số, đánh giá sai số tính toán và sai số phương pháp.

= Δ u/|u| = Δ x/|x| + Δ y/|y| = δx + δy Vậy δu = δx + δy (1.11) Ta có quy tắc sau: Sai số tương đối giới hạn tích tổng sai số tương đối giới hạn số hạng tích Xét trường hợp đặc biệt u = xn ta có δxn = n δx (1.12) 1.4.4 Sai số thương Cho u = x/y Ta có x ∂u ∂u = , = − ∂x y ∂y y Từ (1.9) suy Δu = | x |Δx + | |Δy y y Ta có Δ u / |u| = Δ u | x y y 1 | = | | ( | | Δ x + | | Δ y) = | | Δ x + | | Δ y = x x y x y y Suy ra: δxy = δx + δy (1.13) Ta có quy tắc sau: Sai số tương đối giới hạn thương tổng sai số tương đối giới hạn số hạng thương 1.4.5 Sai số hàm Cho u = f(x1, x2, , xn) Theo công thức vi phân hàm nhiều biến ta có: du = ∂u ∂u ∂u dx1 + dx2 + + dxn ∂x1 ∂x ∂x n CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Chương 1: Số xấp xỉ sai số Từ ta có Δu ≈ ∂u ∂u ∂u Δx1 + Δx2 + + Δxn ∂x1 ∂x ∂x n Suy Δu = | ∂u | Δ ∂x1 x1 +| ∂u | Δ ∂x x2 + + | ∂u | Δ ∂x n xn (1.14) Ví dụ Tính sai số tuyệt đối giới hạn sai số tương đối giới hạn thể tích hình cầu: V = (1/6)πd3 cho đường kính d = 3.7 ± 0.05 cm π = 3.14 ± 0.0016 Giải Xem π d đối số hàm V, áp dụng (1.12) (1.13) ta có δV = δπ + 3δd (Hệ số 1/6 khơng ảnh hương đến sai số tương đối) δπ = 0.0016/3.14 = 0.0005 δd = 0.05/3.7 = 0.0135 Suy δV = 0.0005 + * 0.0135 = 0.04 Mặt khác V = (1/6)πd3 = 26.5 cm3 Ta có Δ V = |V|*δV = 26.5*0.04 = 1.06 ≈ 1.1 cm3 V = 26.5 ± 1.1 cm3 1.5 SAI SỐ TÍNH TỐN VÀ SAI SỐ PHƯƠNG PHÁP Như nhắc đến trên, giải toán phức tạp ta phải thay tốn tốn đơn giản để tính tốn tay máy Phương pháp thay toán phức tạp phương pháp đơn giản tính gọi phương pháp gần Sai số phương pháp gần tạo gọi sai số phương pháp Mặc dầu tốn dạng đơn giản, tính tốn tay máy tính, q trình tính tốn ta thường xun phải làm tròn kết trung gian Sai số tạo tất lần quy tròn gọi sai số tính tốn Trong thực tế việc đánh giá loại sai số, sai số tính tốn nhiều tốn khó thực Để hiểu rõ chất sai số phương pháp sai số tính tốn ta xét ví dụ sau: Ta biết với số x ta có x2 xn x + + + + 1! 2! n! Cơng thức dùng để tính giá trị ex Tuy nhiên tổng vô hạn, nên thực x2 xn x tế ta tính tổng Sn = 1+ + + + , nghĩa dùng phương pháp gần 1! 2! n! Khi tính tổng Sn ta lại thường xun phải làm trịn, ta lại gặp sai số tính tốn Sn Việc đưa đánh giá sai số tổng hợp hai loại sai số toán phức tạp ex = 1+ 10 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Chương 1: Số xấp xỉ sai số 1.6 SỰ ỔN ĐỊNH CỦA MỘT Q TRÌNH TÍNH TỐN Xét q trình tính tốn lý thuyết có vơ hạn bước để tính đại lượng Ta nói q trình tính ổn định sai số tính tốn tức sai số quy trịn tích lũy lại khơng tăng vơ hạn Nếu sai số tăng vơ hạn ta nói q trình tính khơng ổn định Rõ ràng q trình tính khơng ổn định khơng có hy vọng tính đại lượng cần tính với sai số nhỏ sai số cho phép Để kiểm tra tính ổn định q trình tính tốn thường người ta giả sử sai số xảy bước, bước sau coi khơng có sai số khác phát sinh Nếu cuối sai số tính tốn khơng tăng vơ hạn coi q trình tính ổn định 1.7 MỘT VÀI ĐIỀU VỀ MỐI QUAN HỆ GIỮA THỰC TẾ VÀ MƠ HÌNH Theo điều vừa nói ln hiểu thực tế tuyệt đối đúng, sai số xảy ta muốn mơ hình hóa thực tế tiến hành tính tốn mơ hình Thực vậy, có cảm giác giới tự nhiên hoạt động cách xác: hệ mặt trời có khoảng tỷ năm tuổi, vận hành hoàn hảo: hàng ngày mặt trời mọc, mặt trời lặn theo quy luật Cứ sau 365 ngày + 1/4 ngày đất quay đủ vịng quanh mặt trời hầu hết vùng trái đất trải qua bốn mùa Chúng ta hình dung cần năm vận hành hành tinh sai lệch chút hàng tỷ năm sai số tích lũy gây nên biến cố khôn lường! Tuy nhiên theo nhà thiên văn vận hành hành tinh khơng tuyệt đối hồn hảo ta tưởng Xét vị trí mặt trời trái đất chẳng hạn, theo lý thuyết ngày hơm mặt trời đứng vị trí bầu trời tính từ đơng sang tây sau 24 vị trí bầu trời (tất nhiên chếch phía nam ta Việt nam) Nhưng thực tế Các nhà thiên văn xây dựng múi cách xác quán dựa vào vị trí mặt trời Nói cụ thể hơn, dựa vào vị trí mặt trời năm làm múi cho vùng trái đất năm sau thời gian khơng cịn thích hợp cho quỹ đạo mặt trời nữa, mà có khác chút Chính "đỏng đảnh" mặt trời nên nhà thiên văn đưa khái niệm mặt trời trung bình thời gian trung bình So với mặt trời trung bình thời gian trung bình hàng năm mặt trời thật lệch khoảng thời gian từ -14,3 đến +16,3 phút Tuy nhiên sai số khơng tích lũy từ năm sang năm khác sai số giao động quanh vị trí trung bình triệt tiêu lẫn theo thời gian Nghĩa là, không mô hình chúng ta, mà giới tự nhiên có sai số Tuy nhiên sai số giới tự nhiên có quy luật thường triệt tiêu lẫn nhau, khơng làm ảnh hưởng đến vận hành vật thể BÀI TẬP Bài Khi đo số góc ta giá trị sau: a= 21o37’3”; b=1o10’ Hãy xác định sai số tương đối số xấp xỉ biết sai số tuyệt đối phép đo 1” 11 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Chương 1: Số xấp xỉ sai số Bài Hãy xác định sai số tuyệt đối số xấp xỉ sau cho biết sai số tương đối chúng: a) a= 13267 ; δa=0,1% b) b=2,32; δb=0,7% Bài Hãy xác định số chữ số đáng tin số a,b với sai số sau: a) a= 0,3941; Δ a=0,25.10-2 b) b=38,2543; Δ a= 0,27.10-2 Bài Hãy xác định số chữ số đáng tin số a với sai số tương đối sau: a) a=1,8921; δa=0,1.10-2 b) a=22,351; δa=0,1 Bài Hãy qui tròn số đây( xem đúng) với chữ số có nghĩa đáng tin xác định sai số tuyệt đối Δ sai số tương đối δ chúng: a) a= 2,514; b) 0,16152 c) 0,01204; d) –0,0015281 Bài Hãy xác định giá trị hàm số với sai số tuyệt đối sai số tương đối ứng với giá trị đối số cho với chữ số có nghĩa đáng tin a) u=ln(x+y2); x=0,97; y=1,132 b) u=(x+y)2z; x=3,28; y=0,932; z=1,132 12 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt ... định sai số tương đối số xấp xỉ biết sai số tuyệt đối phép đo 1” 11 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Chương 1: Số xấp xỉ sai số Bài Hãy xác định sai số tuyệt đối số xấp xỉ. .. trịn gọi sai số tính toán Trong thực tế việc đánh giá loại sai số, sai số tính tốn nhiều tốn khó thực Để hiểu rõ chất sai số phương pháp sai số tính tốn ta xét ví dụ sau: Ta biết với số x ta có... 1.5 SAI SỐ TÍNH TỐN VÀ SAI SỐ PHƯƠNG PHÁP Như nhắc đến trên, giải tốn phức tạp ta phải thay tốn tốn đơn giản để tính toán tay máy Phương pháp thay tốn phức tạp phương pháp đơn giản tính gọi phương