Bài giảng Phương pháp số - Chương 3: Phép nội suy và hồi quy

Bài giảng Phương pháp số - Chương 3: Phép nội suy và hồi quy trình bày các nội dung chính sau: Bài toán nội suy và hồi quy, phương pháp nội suy đa thức, biết cách tìm các đa thức nội suy, khớp đường cong - Nội suy Spline, giải bài toán bằng phương pháp bình phương tối thiểu.

Chương 3: Phép nội suy hồi quy CHƯƠNG PHÉP NỘI SUY VÀ HỒI QUY MỤC ĐÍCH, YÊU CẦU Sau học xong chương 3, yêu cầu sinh viên: Hiểu toán nội suy hồi quy Nắm phương pháp nội suy đa thức, biết cách tìm đa thức nội suy theo phương pháp Biết khớp đường cong - Nội suy Spline gì? Nắm giải tốn phương pháp bình phương tối thiểu Biết cách đánh giá sai số phương pháp 3.1 MỞ ĐẦU Thông thường số lĩnh vực kinh tế chẳng hạn, đại lượng khảo sát thường không cho dạng hàm liên tục, mà bảng giá trị rời rạc Các phương pháp giải tích tốn học thường tính tốn với hàm cho cơng thức, khơng thể áp dụng trực tiếp để nghiên cứu hàm cho dạng rời rạc Cũng có ta biết đại lượng y hàm đại lượng x, tức y = f(x), ta biểu thức hàm f(x) mà biết số giá trị yi tương ứng với giá trị x điểm xi bảng sau: x x y x y x y y x n-1 x n y n-1 y n Thông thường x0 < x1 < x2 < < xn điểm phân bố cách không Mặc dầu ta biết giá trị y điểm mốc xi, nhiều trường hợp ta cần tính tốn với giá trị y vị trí khác x Một câu hỏi đặt là: cho điểm x không thuộc điểm xi cho trên, làm tính giá trị y tương ứng với nó, cho tận dụng tối đa thơng tin có? Bài tốn nội suy tốn tìm giá trị gần y điểm nằm giá trị x khơng có bảng Nếu cần tìm giá trị gần y điểm x nằm ngồi khoảng [x0,xn] tốn gọi toán ngoại suy Một n+1 cặp giá trị biết x y: (x0,y0), (x1,y1), ,(xn,yn) gọi mẫu quan sát, x0, x1, , xn gọi điểm quan sát y0, y1, , yn kết quan sát 42 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Chương 3: Phép nội suy hồi quy Vì tốn không giải với giá trị x cụ thể, mà miềm giá trị x Do câu hỏi tương đương với vấn đề sau: tìm hàm g(x) cho miền giá trị chứa điểm (x0, x1, , xn) hàm xấp xỉ tốt tập số liệu có cặp (x0,y0), (x1,y1), , (xn,yn) theo nghĩa Chúng ta thấy tập số liệu hữu hạn, tập giá trị cần ước lượng vơ hạn, nên có vơ số hàm g(x) không đưa số ràng buộc g(x) Điều quan tâm nên chọn dạng hàm g(x) Một cách tự nhiên, ta đặt điều kiện hàm g(x) sau: • g(xi) i =0,1,2, ,n gần điểm yi theo nghĩa • g(x) theo số điều kiện • Hàm g(x) liên tục, khơng có điểm gấp khúc thay đổi đoạn [xi,xi+1] Các định lý xấp xỉ sau Weierstrass cho gợi ý dạng hàm g(x) Định lý Weierstrass xấp xỉ hàm Cho f (x) hàm thực liên tục xác định khoảng [a,b] Khi với ε>0 tồn đa thức p(x) bậc m với hệ số thực cho với giá trị x∈[a,b] ta có |f(x) - p(x)|0 tồn đa thức lượng giác qm(x) = a0 + m ∑ [aj cos(jx) + bj sin(jx)] j=1 với hệ số thực cho với giá trị x∈[-π,π] ta có |f(x) - q(x)|