Bài giảng phương pháp tính chương 3 nội suy và bình phương cực tiểu TS nguyễn quốc lân

BỘ MƠN TỐN ỨNG DỤNG - ĐHBK - PHƯƠNG PHÁP TÍNH – HK 0506 CHƯƠNG NỘI SUY VÀ BÌNH PHƯƠNG CỰC TIỂU • TS NGUYỄN QUỐC LÂN (04/2006) NỘI DUNG 1- NỘI SUY ĐA THỨC LAGRANGE 2- SAI SỐ NỘI SUY LAGRANGE 3- NỘI SUY NEWTON (MỐC CÁCH ĐỀU) 4- NỘI SUY GHÉP TRƠN (SPLINE) BẬC BA 5- BÌNH PHƯƠNG CỰC TIỂU BÀI TOÁN TỔNG QUÁT VỀ NỘI SUY - Nội suy: Bảng chứa (n+1) cặp liệu { (xk, yk) }, k = → n Mốc nội suy x0 x1 … x = α ∉{ xk } … xn-1 xn Giá trị nội suy y0 y1 … y=? … yn-1 yn xk : mốc nội suy, yk : giá trị (hàm) nội suy Từ bảng này, nội suy giá trị ybảng điểm x = α? Nội suy đa thức: Xác định đa thức y = P(x) thoả điều kiện nội suy P(xk) = yk, k = … n ⇒ ybảng ≈ P(α) NỘI SUY ĐA THỨC LAGRANGE - Bảng chứa (n+1) cặp số liệu {(xk,yk)} , k = → n ∃! đa thức L(x), bậc ≤ n, thoả đ/kiện nội suy L(xk) = yk, k = … n Tìm đa thức nội suy Minh hoạ bảng liệu: {(xk,yk)} , k=0→2 Mốc nội suy xk 2.5 Giá Trị nội suy yk 0.5 0.4 0.25 Tại x = 3, ybảng ≈? Cách 1: mốc ⇒ n = ⇒ L(x) = ax2 + bx + c (3 hệ số cần tìm)  L( ) = 0.5 4a + 2b + c = 0.5    L( 2.5) = 0.4 ⇔ 6.25a + 2.5b + c = 0.4  L( ) = 0.25 16a + 4b + c = 0.25   ybảng ≈ L(3) = 0.325 VÍ DỤ SAI SỐ Sai số: f ( x ) − L( x) ≤ max f ( n +1) ( x ) [ a ,b ] ( n + 1)! ( x − x0 )  ( x − xn ) = ∆ Nội suy x Ước lượng sai số việc xấp xỉ giá trị nội suy Lagrange bậc hai hàm y = 115 đa thức x xây dựng mốc x0 = 100, x1 = 121, x2 = 144 Yêu cầu: Làm tròn kết (sai số) đến chữ số lẻ thứ Giải: f ( x ) = x ⇒ M = max f [ a ,b ] ( 3) −52 ( x) = max x [ 100,144 ] f (115) − L(115) ≤ M ⋅ ⋅ (115 − 100 )(115 − 121)(115 − 144 ) 3! Kết quả: Nhắc lại: Sai số: làm tròn lên! NHIỀU MỐC → ĐA THỨC NỘI SUY CƠ SỞ - Đa thức nội suy sở xk: Lk(xk) = 1, Lk(xi) = ∀ i ≠ k Mốc NS 2.5 Giá Trị NS 0.5 0.4 0.25 ÑTNSCS L0(x) 0 ÑTNSCS L1(x) ÑTNSCS L2(x) 0 mốc ⇒ ĐT NSCS ( x − 2.5)( x − 4) L0 ( x) = ( − 2.5)( − 4) ( x − 2)( x − 4) L ( x ) = ( x − 2)( x − 2.5) L1 ( x ) = ( 2.5 − 2)( 2.5 − 4) ( − 2)( − 2.5) L2 ( x ) L( x ) L1 ( x ) L0 ( x ) Đa thức nội suy: L(x) = 0.5L0(x) + 0.4L1(x) + 0.25L2(x) Thiết lập công thức tổng quát với (n + 1) mốc {(xk, yk)}? CÔNG THỨC TỔNG QUÁT - (n+1) mốc ⇒ (n+1) đa thức nội suy sở Đa thức nội suy sở Lk(x) xk (k = … n): Lk(xk) = 1, Lk(xi) = ∀ i ≠ k:  Lk ( xk ) =   Lk ( x0 ) = Lk ( x1 ) =  = Lk ( xk −1 ) = Lk ( xk +1 ) =  = Lk ( xn ) = ( x − x0 )  ( x − xk −1 )( x − xk +1 )  ( x − xn ) Lk ( x) = ,0≤k ≤n ( xk − x0 )  ( xk − xk −1 )( xk − xk +1 )  ( xk − xn ) ⇒ Đa thức nội suy L( x) = y0 L0 ( x) + y1 L1 ( x) +  + yn Ln ( x) Ưu điểm: Công thức tổng quát cho đa thức nội suy L(x) Chỉ phụ thuộc mốc {xk} (0 ≤ k ≤ n), không phụ thuộc yk VÍ DỤ Bảng mốc 1, 2, 3, ; giá trị 5, 7, 8, Viết biểu thức đa thức nội suy sở Tính giá trị bảng x = 3.5? ( x − 2)( x − 3)( x − 4) L0 ( x ) = ⇒ L0 ( 3.5) = 0.0625 (1 − 2)(1 − 3)(1 − 4) ( 3.5 − 1)( 3.5 − 3)( 3.5 − 4) L1 ( 3.5) = = ( − 1)( − 3)( − 4) L2 (3.5) = L3 (3.5) = L( x) = L0 ( x) + L1 ( x) + L2 ( x ) + L3 ( x) ⇒ L( 3.5) = 8.4375 Viết biểu thức Lk(x) (Không tính!) Thay x → Giá trị NỘI SUY NEWTON – MỐC CÁCH ĐỀU - Bảng {(xk,yk)} , k = → n, mốc nội suy cách đều: x0, x1 = x0 + h, x2 = x1 + h … xn = xn-1 + h Lập bảng sai phân : Mốc NS Gtrị NS x0 y0 x1 y1 x2 y2 x3 y3 ∆y k ∆y0 ∆y1 ∆y2 ∆3 yk ∆2 yk ∆2 y0 ∆3 y0 ∆2 y1 Cấp 1: ∆yk = yk+1 – yk VD: Bảng sai xk yk ∆y ∆2y Ví dụ: ∆y0 = y1 – y0 phân mốc ∆ yk = ∆yk+1 – ∆yk … (cách đều) ĐA THỨC NỘI SUY NEWTON Đa thức nội suy Newton tiến: x ≈x0 (đầu bảng) x − x0 t= ⇔ x = x0 +th ⇒ Đa thức nội suy tiến: h t ( t − 1) t (t − 1)  (t − n + 1) n N ( x ) = y0 + t∆y0 + ∆ y0 +  + ∆ y0 2! n! Đa thức theo t & Sai phân nằm đường chéo tiến Đa thức nội suy Newton lùi: x ≈ xn (cuối bảng) x − xn t= ⇔ x = xn + th ⇒ Đa thức nội suy lùi: h t ( t + 1) t  (t + n − 1) n N ( x ) = yn + t∆yn −1 + ∆ yn − +  + ∆ y0 2! n! Sai phân nằm đường chéo lùi (từ cuối bảng lên) VÍ DỤ NỘI SUY NEWTON - x − 15 ⇔ x = 15 + 5t Đa thức nội suy tiến: x ≈ 15° ⇒ t = t ( t − 1) t ( t − 1)( t − ) N1 (t ) = 0.2588 + 0.0832t − 0.0026 − 0.0006 3! x = 16° ⇒ t = 0.2 ⇒ N1(0.2) = 2756 sin16° = 2756 x − 55 ⇔ x = 55 + 5t Đa thức nội suy lùi: x ≈ 55° ⇒ t = t ( t + 1) t ( t + 1)( t + ) N (t ) = 0.8192 + 0.0532t − 0.0057 − 0.0003 3! x = 54° t = –0.2 ⇒ N2(–0.2) = 0.80903 sin54° = 8090 ⇒ Câu hỏi: Tính x = 54° với Nội suy tiến Nhận xét? Tất sai phân: Nội suy Newton ≡ Lagrange! HIỆN TƯỢNG RUNGE Nội suy hàm f(x) = 1/(1+ 25x2), x ∈ [-1, 1] đa thức nội suy, mốc cách Tính L(0.95), so sánh giá trị tính với giá trị xác f(0.95) Lập bảng nội suy: mốc cách [–1, 1] ⇒ x0 = –1, x1 = –0.5, x2 = 0, x3 = 0.5, x4 = & yk = f(xk) xk –1 –0.5 yk 0.038 0.138 Giá trị L(0.95) = 0.5 0.138 0.038 Giá trị xác f(0.95) = 0.04 KẾT QUẢ - So sánh đồ thị hàm ban đầu f(x) đa thức nội suy P4(x) Tăng số nút khiến sai số tăng! NỘI SUY GHÉP TRƠN Nội suy Lagrange: Bậc lớn ⇒ Đồ thị phức tạp Thay đa thức nội suy bậc n đa thức nội suy bậc thấp (bậc 1, 2, …) đoạn [xk, xk+1], k=0…n–1 Ý TƯỞNG NỘI SUY GHÉP TRƠN BẬC S ( x1 ) = y1 S1 ( x ) S0 ( x ) S ( x0 ) = y0 S ' '0 ( x0 ) = [ x0 , x1 ] S2 ( x) S ( x1 ) = S1 ( x1 )  S '0 ( x1 ) = S '1 ( x1 ) S ' ' ( x ) = S ' ' ( x )  1 [ x1 , x2 ] [ x2 , x3 ] XÂY DỰNG HÀM NỘI SUY GHÉP TRƠN BẬC Tìm hàm bậc đoạn, liên tục có đạo hàm đến cấp nội suy bảng số liệu sau: x y –4 Hàm nội suy: S ( x ) = a0 + b0 x + c0 x + d x , x ∈ [1,2] S ( x) =  S1 ( x ) = a1 + b1 x + c1 x + d1 x , x ∈ [ 2,3]  Dạng thuận tiện hơn: S ( x ) = a0 + b0 ( x − 1) +  , x ∈ [1,2] S ( x) =  S1 ( x ) = a1 + b1 ( x − ) +  , x ∈ [ 2,3] NỘI SUY SPLINE (GHÉP TRƠN) BẬC - 1/ Hàm dạng bậc đoạn [xk,xk+1], k = → n –1 S = a0 + b0 ( x − x0 ) + c0 ( x − x0 ) + d ( x − x0 ) , x ∈ [ x0 , x1 ]  S = a1 + b1 ( x − x1 ) + c1 ( x − x1 ) + d1 ( x − x1 ) , x ∈ [ x1 , x2 ] S =  S = a + b ( x − x ) + c ( x − x ) +  , x ∈ [ x , x ]  n −1 n −1 n −1 n −1 n −1 n −1 n −1 n 2/ Điều kiện nội suy: S(xk) = yk, k = 0, … n  S k ( xk +1 ) = S k +1 ( xk +1 )  3/ Ghép trơn:  S k ' ( xk +1 ) = S k +1 ' ( xk +1 ) k = → ( n − )   S k " ( xk +1 ) = S k +1" ( xk +1 ) 4/ Điều kiện biên tự nhiên: S’’(x0) = S’’(xn) = GIẢI THUẬT NỘI SUY SPLINE BẬC - I/ Độ dài hk = xk+1 – xk, k = … n –1 Hệ số ak = yk, k = … n II/ c = [c0, … cn]T nghiệm (cn = S’’(xn)/2) hệ Ac = e với 0    1  h 2( h + h ) h    0 1  0 h1 2(h1 + h2 ) h2   A=    0  hn − 2(hn − + hn −1) hn −1     0    3(a − a ) 3(a − a )  −   h1 h0    3(a − a ) 3( a − a )  −   h2 h1 e=       3(an − an −1 ) 3(an −1 − an − )  −   hn −1 hn −       ak +1 − ak hk (2ck + ck +1 ) − , k = n − Bước III: bk = hk ck +1 − ck dk = , k =  n −1 3hk VÍ DỤ NỘI SUY SPLINE (GHÉP TRƠN) BẬC Lập hàm nội suy spline bậc g(x) thoả điều kiện biên tự nhiên nội suy bảng sau Moác NS x0 = x1 = x2 = x3 = Giá trị NS y0 = y1 = y2 = y3 = a0 + b0 ( x − 1) + c0 ( x − 1) + d ( x − 1) , x ∈ [1,2]   Hàm spline S =  a1 + b1 ( x − ) + c1 ( x − ) + d1 ( x − ) , x ∈ [ 2,3]   a2 + b2 ( x − 3) + c2 ( x − 3) + d ( x − 3) , x ∈ [ 3,4] Bước I: Độ dài bước chia h0 = h1 = h2 = Hệ số: ak = yk , ≤ k ≤ ⇒ a0 = 2, a1 = 1, a2 = 3, a3 = BẢNG TÍNH NỘI SUY SPLINE (GHÉP TRƠN) BẬC k hk ak 1 3 bk ek ck 0 dk Bước II: c3 = g”(x3)/2 ⇒ c = [c0, c1, c2, c3]T nghiệm III/ bk, dk, ≤ k ≤ 2: d = c1 − c0 a − a h ( 2c + c )  b0 = − 0  3h0 h0 BÌNH PHƯƠNG CỰC TIỂU Thực nghiệm: Thống kê lượng mưa 12 tháng & vẽ đồ thị Thaùng Lượng mưa 550 665 540 580 610 605 570 … PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG CỰC TIỂU (BPCT) Nhiều liệu & yk có sai số: p đặt L(xk) = yk: vơ nghĩa! Giải quyết: h(x) xấp xỉ bảng {(xk, yk)} theo nghĩa BPCT n F = ∑ [ h( xk ) − yk ] → k =1 y = h(x) h ( xk ) − y k TRƯỜNG HỢP TUYẾN TÍNH - n ⇒ F ( a, b ) = ∑ [ axk + b − yk ] h tuyến tính: h(x) = ax + b k =1 n n  n ∂F = a ∑ x k + b ∑ x k = ∑ x k y k  ∂a  k =1 k =1 k =1 ⇒ Điểm dừng:  n n ∂F ∂b = a ∑ x + nb = ∑ y  k  k =1 k  k =1 Giải hệ phương trình ẩn tìm a, b So với đường cong y = h1(x) ⇔ Tổng S = Σ (h1(xk) – yk)2: bé tốt VD: Tìm hàm bậc xấp xỉ bảng sau theo nghĩa BPCT xk yk 1.3 3.5 4.2 5.0 7.0 8.8 10.1 10 12.5 13 15.6 ĐA THỨC BÌNH PHƯƠNG CỰC TIỂU BẬC CAO - h(x) = ax + bx + c ⇒ F ( a, b, c ) = ∑ [ ax + bxk + c − yk ] n k =1 k  n  a ∑ xk + b  + c  =  ∂F =  k =1 ∂a   n ∂F Điểm dừng:  ∂b = ⇒ a ∑ xk + b  + c  =   k =1   n ∂F ∂c =  a ∑ xk + b  + nc =   k =1 Tổng quát: Điểm dừng hàm tổng bình phương độ lệch ⇒ F ( a, b ) = ∑ [ ax n h = ax + bx k =1 k + bxk −y ] k ∂F ∂F ⇒ = =0 ∂a ∂b HÀM MŨ - y = h(x) = beax ⇒ lny = ax + lnb ⇒ Tương quan bậc lnyk & xk Lập bảng {(xk, lnyk)} xác định a & lnb n  n a ∑ xk + ln b∑ xk = n  = k =1 F ( a, b ) = ∑ [ axk + ln b − ln yk ] ⇒  kn k =1 a x + n ln b =  ∑ k  k =1 VD: Xấp xỉ bảng số với p/pháp bình phương cực tiểu k xk yk lnyk xk2 xklnyk 1.00 5.10 1.629 1.0000 1.629 1.25 5.79 1.756 1.5625 2.195 1.50 6.53 1.876 2.2500 2.814 1.75 7.45 2.008 3.0625 3.514 2.00 8.46 2.135 4.0000 4.270 Σ 7.50 9.404 11.875 14.422 ... trị nội suy y0 y1 … y=? … yn-1 yn xk : mốc nội suy, yk : giá trị (hàm) nội suy Từ bảng này, nội suy giá trị ybảng điểm x = α? Nội suy đa thức: Xác định đa thức y = P(x) thoả điều kiện nội suy. .. 2, 3, ; giá trị 5, 7, 8, Viết biểu thức đa thức nội suy sở Tính giá trị bảng x = 3. 5? ( x − 2)( x − 3) ( x − 4) L0 ( x ) = ⇒ L0 ( 3. 5) = 0.0625 (1 − 2)(1 − 3) (1 − 4) ( 3. 5 − 1)( 3. 5 − 3) ( 3. 5... BA 5- BÌNH PHƯƠNG CỰC TIỂU BÀI TOÁN TỔNG QUÁT VỀ NỘI SUY - Nội suy: Bảng chứa (n+1) cặp liệu { (xk, yk) }, k = → n Mốc nội suy x0