NỘI DUNG ---1- NỘI SUY ĐA THỨC LAGRANGE 2- SAI SỐ NỘI SUY LAGRANGE 5- BÌNH PHƯƠNG CỰC TIỂU 3- NỘI SUY NEWTON MỐC CÁCH ĐỀU 4- NỘI SUY GHÉP TRƠN SPLINE BẬC BA... NỘI SUY ĐA THỨC LAGRANGE4.
Trang 1BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK
-PHƯƠNG PHÁP TÍNH – HK 2 0506
CHƯƠNG 3 NỘI SUY VÀ BÌNH PHƯƠNG CỰC TIỂU
• TS NGUYỄN QUỐC LÂN (04/2006)
Trang 2NỘI DUNG
-1- NỘI SUY ĐA THỨC LAGRANGE
2- SAI SỐ NỘI SUY LAGRANGE
5- BÌNH PHƯƠNG CỰC TIỂU
3- NỘI SUY NEWTON (MỐC CÁCH ĐỀU)
4- NỘI SUY GHÉP TRƠN (SPLINE) BẬC BA
Trang 3BÀI TOÁN TỔNG QUÁT VỀ NỘI SUY
-x k : mốc nội suy, y k : giá trị (hàm) nội suy
Từ bảng này, nội suy giá trị y bảng tại điểm x = ?
Nội suy đa thức: Xác định đa thức y = P(x) thoả điều kiện nội suy P(x k ) = y k , k = 0 … n y bảng P()
Nội suy: Bảng chứa (n+1) cặp dữ liệu { (x k , y k ) }, k = 0 n
Trang 4NỘI SUY ĐA THỨC LAGRANGE
4.05
2
5.02
16
4.05
.225
.6
5.02
4
c b a
c b a
c b a
y bảng L(3) = 0.325
Trang 5x x
x
x n
x
f x
L x
!1
max)
()
, 100
) 3 (
3max)
!3
1
Kết quả: Nhắc lại: Sai số: luôn làm tròn lên!
Ước lượng sai số của việc xấp xỉ giá trị bằng đa thức nội suy Lagrange bậc hai hàm y = xây dựng tại các mốc
x 0 = 100, x 1 = 121, x 2 = 144 Yêu cầu: Làm tròn kết quả (sai số) đến chữ số lẻ thứ 4
115
x
Trang 6NHIỀU MỐC ĐA THỨC NỘI SUY CƠ SỞ
2)
(0
L
Trang 7k
k k
x L x
L x
L x
L x
L
x L
x x
x x
x
x x
L
n k
k k
k k
k
n k
0
1 1
()
()
(x y0L0 x y1L1 x y L x
Đa thứcnộisuy
Ưu điểm: Cơng thức tổng quát cho đa thức nội suy L(x)
Chỉ phụ thuộc bộ mốc {x k } (0 k n), khơng phụ thuộc y k
Trang 82
L
)5.3
45.335.315
35
(x L0 x L1 x L2 x L3 x
Viết biểu thức L k (x) (Không tính!) Thay x Giá trị
Trang 9NỘI SUY NEWTON – MỐC CÁCH ĐỀU
Trang 10ĐA THỨC NỘI SUY NEWTON
)1
(
!2
1
y n
n t
t
t y
t
t y
t y
(
!2
1
y n
n t
t y
t
t y
t y
x
N n n n n
Đa thức theo t & Sai phân nằm trên đường chéo tiến
Sai phân nằm trên đường chéo lùi (từ cuối bảng đi lên)
Trang 11VÍ DỤ NỘI SUY NEWTON
Trang 12VÍ DỤ NỘI SUY NEWTON
-Tất cả sai phân: Nội suy Newton Lagrange!
Đa thức nội suy tiến: x 15
!3
2
10006
02
10026
.00832
.02588
0)
N
t x
2
10003
02
10057
.00532
.08192
0)
N
x = 54 t = –0.2 N 2 (–0.2) = 0.80903 sin54 = 0 8090 Câu hỏi: Tính tại x = 54 với Nội suy tiến Nhận xét?
Trang 13HIỆN TƯỢNG RUNGE
-Nội suy hàm f(x) = 1/(1+ 25x 2 ), x [-1, 1] bằng đa
thức nội suy, 5 mốc cách đều Tính L(0.95), so sánh
giá trị tính được với giá trị chính xác f(0.95)
Lập bảng nội suy: 5 mốc cách đều trên [–1, 1]
x 0 = –1, x 1 = –0.5, x 2 = 0, x 3 = 0.5, x 4 = 1 & y k = f(x k )
038
0 0.138 1 0.138 0.038
Giá trị L(0.95) = Giá trị chính xác f(0.95) = 0.04
Trang 14KẾT QUẢ
-So sánh đồ thị hàm ban đầu f(x) và đa thức nội suy P 4 (x)
Tăng số nút có thể khiến sai số tăng!
Trang 15NỘI SUY GHÉP TRƠN
Trang 16Ý TƯỞNG NỘI SUY GHÉP TRƠN BẬC 3
0
1 1 1
0
1 1 1
0
''''
'
'
x S
x S
x S
x S
x S x
Trang 17XÂY DỰNG HÀM NỘI SUY GHÉP TRƠN BẬC 3
2,1
,
3 1
2 1 1
1 1
3 0
2 0 0
0 0
x x
d x
c x b a
x S
x x d x
c x b a
x
S x
2
2,1,
1
1 1
1
0 0
0
x x
b a
x S
x x
b a
x
S x
Trang 18NỘI SUY SPLINE (GHÉP TRƠN) BẬC 3
x x d x
x c x
x b a
S
x x x
x x d x
x c x
x b a
S
S
,,
,,
,,
1
2 1 1
1 1
1 1
2 1
3 1 1
2 1 1
1 1
1 1
1 0
3 0 0
2 0 0
0 0
0 0
Trang 19GIẢI THUẬT NỘI SUY SPLINE BẬC 3
-I/ Độ dài h k = x k+1 – x k , k = 0 … n –1 Hệ số a k = y k , k = 0 … n
Bước III: II/ c = [c 0 , … c n ] T là nghiệm (c n = S’’(x n )/2) hệ Ac = e với 1 0
0 ) ( 2 0
0 ) ( 2 0 0 0 ) ( 2 0 0 0 0 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 0 0 n n n n h h h h h h h h h h h h A 0 ) ( 3 ) ( 3
) ( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) ( 3 0 2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 3 0 0 1 1 1 2 n n n n n n h a a h a a h a a h a a h a a h a a e 1
0
, 3
) 2
h c c k n
h
a
a
k
k
k k
1 0
, 3
h
c
c d
k
k k
Trang 20VÍ DỤ NỘI SUY SPLINE (GHÉP TRƠN) BẬC 3
-Lập hàm nội suy spline bậc 3 g(x) thoả điều kiện biên
tự nhiên và nội suy bảng sau
Bước I: Độ dài bước chia
.12
3,
1,
23
0, 0 1 2 3
a k k
Hệ số:
Trang 21
BẢNG TÍNH NỘI SUY SPLINE (GHÉP TRƠN) BẬC 3
2 0 1
0 0
0
1 0
c c
h h
a a
Trang 22BÌNH PHƯƠNG CỰC TIỂU
-Thực nghiệm: Thống kê lượng mưa 12 tháng & vẽ đồ thị
Tháng 1 2 3 4 5 6 7 8Lượng mưa 550 665 540 580 610 605 570 …
Trang 23PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG CỰC TIỂU (BPCT)
h F
Giải quyết: h(x) xấp xỉ bảng {(x k , y k )} theo nghĩa BPCT
Trang 24ax b
a
F
1
2,
x a
y x x
b x
a
1 1
1 1
1 2
Giải hệ 2 phương trình 2 ẩn tìm a, b So với đường cong y
= h 1 (x) Tổng S = (h 1 (x k ) – y k ) 2 : càng bé càng tốt
VD: Tìm hàm bậc 1 xấp xỉ bảng sau theo nghĩa BPCT
Trang 25ĐA THỨC BÌNH PHƯƠNG CỰC TIỂU BẬC CAO
k k
ax c
b a
F
1
2 2
,,
c F b F a F
x a
c b
x a
c b
x a
n k
k
n k
k
n k
k
1 2 1 3 1 4
Tổng quát: Điểm dừng hàm tổng bình phương độ lệch
k k
k bx y ax
b a
F
1
2 2
F
Trang 26ax b
x a
x b
x a
n k
k
n k
k n