Bài giảng Phương pháp tính - Chương 4: Nội suy và xấp xỉ hàm

Bài giảng “Phương pháp tính – Chương 4: Nội suy và xấp xỉ hàm” cung cấp cho người học các kiến thức: Đa thức nội suy Lagrange, đa thức nội suy Newton, Spline bậc 3, bài toán xấp xỉ thực nghiệm. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chương NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM I ĐẶT BÀI TỐN : Để tính giá trị hàm liên tục bất kỳ, ta xấp xỉ hàm đa thức, tính giá trị đa thức từ tính giá trị gần hàm Xét hàm y = f(x) cho dạng bảng số x xo x1 x2 xn y yo y1 y2 yn ▪ Các giá trị xk, k = 0, 1, , n theo thứ tự tăng dần gọi điểm nút nội suy ▪ Các giá trị yk = f(xk) giá trị cho trước hàm xk Bài toán : xây dựng đa thức pn(x) bậc ≤n thoả điều kiện pn(xk) = yk, k=0,1, n Đa thức gọi đa thức nội suy hàm f(x) II ĐA THỨC NỘI SUY LAGRANGE: y = f(x) bảng số x xo x1 x2 xn y yo y1 y2 yn Ta xây dựng đa thức nội suy hàm f(x) [a,b]=[x0, xn] Cho hàm Đặt Ta có Đa thức có bậc ≤ n thỏa điều kiện Ln(xk) = yk gọi đa thức nội suy Lagrange hàm f Ví dụ : Cho hàm f bảng số x y -1 Xây dựng đa thức nội suy Lagrange tính gần f(2) Giải n=2 Đa thức nội suy Lagrange f(2) ≈ Ln(2) = -2/3 ❖ Cách biểu diễn khác : Để tính giá trị Ln(x), ta lập bảng x x0 x1 xn x0 x- x0 x0- x1 x0- xn D0 x1 x1- x0 x- x1 x1- xn D1 … x- xn Dn … xn xn- x0 xn- x1 ω(x) tích dịng tích đường chéo Ví dụ : Cho hàm f bảng số x -9 -7 -4 y -1 -4 -9 Tính gần f(-6) Ta lập bảng x = -6 x = -6 -9 -7 -4 -9 -7 -4 -2 -5 -3 -2 30 -6 -30 -6 Vậy f(-6) ≈ L2(-6) = -6(-1/30+4/6+9/30) = -5.6 Ví dụ : Cho hàm f bảng số x y 1 -1 Tính gần f(2) Ta lập bảng x = x=2 4 -1 -3 -4 1 -2 -3 -1 -1 -2 -24 6 -24 Vậy f(2) ≈ Ln(2) = 4(-1/24 + 1/6 + 1/3 +1/24) = B3 Tính hệ số bk, dk Kết luận : spline tự nhiên Spline ràng buộc : Điều kiện g’(a) = α, g’(b) = β xác định pt : Giải thuật xác định spline ràng buộc : B1 Tính hk=xk+1- xk, k = 0, n-1 ak= yk, k = 0, n B2 Giải hệ Ac = b tìm c = (co, c1, …, cn)t B3 Tính hệ số bk, dk spline tự nhiên Ví dụ : Xây dựng spline ràng buộc nội suy hàm theo bảng số x y với điều kiện g’(0)=g’(2) = Giải n=2 B1 ho = h1 = ao = 1, a1 = 2, a2 = B2 Giải hệ Ac = b với c = (c0, c1, c2)t B3 Tính hệ số bk, dk Kết luận : spline ràng buộc V BÀI TOÁN XẤP XỈ THỰC NGHIỆM : Trong thực tế, giá trị yk xác định thông qua thực nghiệm hay đo đạc nên thường thiếu xác Khi việc xây dựng đa thức nội suy qua tất điểm Mk(xk, yk) khơng cịn xác Bài tốn xấp xỉ thực nghiệm : tìm hàm f(x) xấp xỉ bảng {(xk,yk)} theo phương pháp bình phương cực tiểu : Hàm f tổng quát đa dạng Để đơn giản, ta tìm hàm f theo dạng : f(x) = A1f1(x) + A2f2(x)+… Các hàm f1(x), f2(x) … hàm lượng giác, lũy thừa, mũ hay loga … Trường hợp f(x) = Af1(x)+ Bf2(x) : Phương trình bình phương cực tiểu có dạng Bài tốn qui tìm cực tiểu hàm biến g(A,B) Điểm dừng Suy Ví dụ : Tìm hàm f(x) = A + Bx xấp xỉ bảng số x 1 2 3 y 2 4 5 Theo pp BPCT Giải hệ pt Nghiệm A = 0.7671, B=1.0803 Vậy f(x) = 0.7671+1.0803x Ví dụ : Tìm hàm f(x)=Acosx+Bsinx xấp xỉ bảng số x 10 20 30 40 50 y 1.45 1.12 0.83 1.26 1.14 Theo pp BPCT Giải hệ pt Nghiệm A = -0.1633, B=0.0151 Vậy f(x) = -0.1633cosx+0.0151sinx Ví dụ : Tìm hàm f(x)=Ax2+Bsinx xấp xỉ bảng số x 1.3 1.5 1.8 2.0 2.4 2.6 2.7 y 2.7 1.8 3.51 3.1 3.78 3.9 4.32 Theo pp BPCT Giải hệ pt Nghiệm A = 0.4867, B=1.4657 Vậy f(x) = 0.4867x2 + 1.4657sinx Trường hợp f(x) = Af1(x)+ Bf2(x)+Cf3(x): Phương trình bình phương cực tiểu có dạng Bài tốn qui tìm cực tiểu hàm biến g(A,B,C) Điểm dừng Suy Ví dụ : Tìm hàm f(x) = A + Bx+Cx2 xấp xỉ bảng số x 1 y 4.12 4.18 6.23 8.34 8.38 12.13 18.32 Theo pp BPCT Ta có số điểm n= Giải hệ pt Nghiệm A = 4.3, B=-0.71, C=0.69 Vậy f(x) = 4.3-0.71x+0.69x2 ... … x- xn Dn … xn xn- x0 xn- x1 ω(x) tích dịng tích đường chéo Ví dụ : Cho hàm f bảng số x -9 -7 -4 y -1 -4 -9 Tính gần f (-6 ) Ta lập bảng x = -6 x = -6 -9 -7 -4 -9 -7 -4 -2 -5 -3 -2 30 -6 -3 0... -6 -3 0 -6 Vậy f (-6 ) ≈ L2 (-6 ) = -6 (-1 /30+4/6+9/30) = -5 .6 Ví dụ : Cho hàm f bảng số x y 1 -1 Tính gần f(2) Ta lập bảng x = x=2 4 -1 -3 -4 1 -2 -3 -1 -1 -2 -2 4 6 -2 4 Vậy f(2) ≈ Ln(2) = 4 (-1 /24 +... việc xây dựng đa thức nội suy qua tất điểm Mk(xk, yk) khơng cịn xác Bài tốn xấp xỉ thực nghiệm : tìm hàm f(x) xấp xỉ bảng {(xk,yk)} theo phương pháp bình phương cực tiểu : Hàm f tổng quát đa dạng