Bài giảng Xấp xỉ hàm số bằng đa thức nội suy Lagrange

Bài giảng Xấp xỉ hàm số bằng đa thức nội suy Lagrange là tài liệu học tập dành cho các em sinh viên, giúp các em nắm được nội dung về xấp xỉ hàm số bằng đa thức nội suy Lagrange. Đây cũng là tài liệu tham khảo hữu ích dành cho quý thầy cô giáo trong quá trình biên soạn và chuẩn bị bài giảng. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết tại đây.

XẤP XỈ HÀM SỐ BẰNG ĐA THỨC NỘI SUY LAGRANGE ĐA THỨC NỘI SUY - Cho điểm xi , yi = f ( xi )i=0,n , xi  x j i  j, xi [a, b] - Đa thức bậc không n, Pn ( x ) qua điểm gọi đa thức nội suy với mốc nội suy  xi  i =0,n - Khi f ( x )  Pn ( x ) ĐA THỨC NỘI SUY ĐỊNH LÝ: Với điểm  xi , yi i =0,n , xi  x j i  j cho trước, đa thức nội suy tồn ĐA THỨC NỘI SUY LAGRANGE • Đa thức Lagrange x − x0 ) ( x − x1 ) ( x − xi −1 )( x − xi +1 ) ( x − xn ) ( Li ( x ) = ( xi − x0 )( xi − x1 ) ( xi − xi−1 )( xi − xi+1 ) ( xi − xn ) ( ) Li x j 1 i = j = 0 i  j deg Li  n • Đa thức nội suy Lagrange n Pn ( x ) =  yi Li ( x ) i =0 Đánh giá sai số f ( x ) = Pn ( x ) + Rn ( x ) M n+1 Rn ( x )  w n+1 ( x ) ( n + 1)! n w n+1 ( x ) =  ( x − xi ) , M n+1 = sup | f i =0 x[a ,b ] ( n+1) ( x) | VÍ DỤ Xét hàm số y =3 x x -1 y 1/3 Hãy xác định đa thức nội suy Lagrange qua điểm trên? Tính giá trị gần hàm số điểm x = 0.1 Hãy đánh giá sai số x = 0.1 x ( x − 1) L0 ( x ) = = x − x ( −1 − )( −1 − 1) x + 1)( x − 1) ( L1 ( x ) = = − x2 + ( + 1)( − 1) x + 1) x ( L2 ( x ) = = x + x (1 + 1)(1 − ) 2 P ( x ) = L0 ( x ) + L1 ( x ) + 3L2 ( x ) = x + x + 3   10 1 f   =  P   = 1.14  10   10  f (3) ( x) = 3x (ln(3))3 → M = sup | f (3) (x) | 3.9779069 x[ −1,1] M3 | R(x) | | ( x + 1) x( x − 1) | 3! →| R(0.1) | 0.0656355 Ví dụ • Xấp xỉ hàm f ( x ) = 25 x + • Với mốc nội suy Ví dụ • Với 10 17 mốc nội suy Sơ đồ Horner tính giá trị đa thức ... =0,n - Khi f ( x )  Pn ( x ) ĐA THỨC NỘI SUY ĐỊNH LÝ: Với điểm  xi , yi i =0,n , xi  x j i  j cho trước, đa thức nội suy tồn ĐA THỨC NỘI SUY LAGRANGE • Đa thức Lagrange x − x0 ) ( x − x1.. .ĐA THỨC NỘI SUY - Cho điểm xi , yi = f ( xi )i=0,n , xi  x j i  j, xi [a, b] - Đa thức bậc không n, Pn ( x ) qua điểm gọi đa thức nội suy với mốc nội suy  xi  i =0,n... ,b ] ( n+1) ( x) | VÍ DỤ Xét hàm số y =3 x x -1 y 1/3 Hãy xác định đa thức nội suy Lagrange qua điểm trên? Tính giá trị gần hàm số điểm x = 0.1 Hãy đánh giá sai số x = 0.1 x ( x − 1) L0 ( x )