Bài giảng Phương pháp tính - Chương 1: Khái niệm về số gần đúng và sai số

Bài giảng “Phương pháp tính - Chương 1: Khái niệm về số gần đúng và sai số” trình bày về khái niệm sai số, phân loại sai số, cách biểu diễn sai số, cách biểu diễn số thập phân. Bài giảng hữu ích với các bạn chuyên ngành Toán học và những bạn quan tâm tới lĩnh vực này.

Chương KHÁI NIỆM VỀ SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ I KHÁI NIỆM SAI SỐ : Độ sai lệch giá trị gần giá trị xác gọi sai số Ta có loại sai số : ➢ Sai số giả thiết ➢ Sai số số liệu ban đầu ➢ Sai số phương pháp ➢ Sai số tính tốn Sai số phương pháp : Các phương pháp dùng để giải toán kỹ thuật thường phương pháp giải xấp xỉ gần đúng, phương pháp có sai số định đó, sai số gọi sai số phương pháp Sai số tính tốn : Tính tốn máy tính thường sử dụng số hữu hạn chữ số làm trịn số, sai số tích lũy q trình tính tốn gọi sai số tính tốn hay sai số làm trịn II CÁCH BIỂU DIỄN SAI SỐ : Gọi A số xác toán Số a gọi số gần A xấp xỉ A ký hiệu a ≈ A Đại lương Δ = | a – A | gọi sai số thực số gần a Sai số tuyệt đối Trong thực tế khơng tính A, ta tìm số dương Δa bé tốt thoả | a – A | ≤ Δa Δa gọi sai số tuyệt đối số gần a Ký hiệu A = a ±Δa sai số tương đối : (tính theo %) Sai số tương đối số gần a số dương δa tính theo cơng thức δa = Δa / |a| Ví dụ : Giả sử A = π; a = 3.14 số gần π Xác định sai số • • • • • Giải Ta có π = 3.14159265358979323846264338327… ⇒ | 3.14 - π | < 0.01 ⇒ Δa = 0.01 δa = 0.3185% Mặt khác | 3.14 - π | < 0.0016 ⇒ Δa = 0.0016 δa = 0.05096% Do giá trị gần có nhiều sai số tuyệt đối khác nhau, ví dụ này, sai số 0.0016 tốt Ví dụ : Cho a = 1.85 với sai số tương đối 0.12%, tính sai số tuyệt đối Δa = |a| * δa = 1.85 * 0.12 /100 = 0.00222 Sai số hàm : • Cho hàm y = f (x1, x2, , xn) • Mỗi biến xi có sai số Δxi Xác định sai số y Sai số tuyệt đối Sai số tương đối Ví dụ : Cho A = 1.5±0.002 B = 0.123 ± 0.001 C = 13.00 ± 0.05 Tính sai số tuyệt đối x = a + b y = 20a – 10b + c z = a + bc t = a3 + 2a2 +8 • • • • • Giải Δx = Δa + Δb = 0.002 + 0.001 = 0.003 Δy = 20Δa + 10 Δb + Δc = 0.1 Δz = Δa + |c| Δb + |b| Δc = 0.02115 Δt = |3a2 + 4a|Δa = 0.0255 Ví dụ : Cho f = x3+xy+y3 Biết x=2.4347±0.0035, y=2.6278 ±0.0062 Tính sai số tuyệt đối Δf •Giải Ví dụ : Diện tích đường trịn S = πR2 với π = 3.14 ± 0.002 R = 5.25 ± 0.001 m Tính sai số tuyệt đối tương đối S Giải : sai số tuyệt đối ΔS = R2 *Δπ + 2πR*ΔR = (5.25)2x0.002 + 2x3.14x5.25x0.001 = 0.088095 Sai số tương đối S = 3.14 x (5.25)2 = 86.54625 δS = ΔS / S = 0.1018% III BIỂU DIỄN SỐ THẬP PHÂN Số thập phân a biểu diễn dạng a = amam-1 a1a0.a-1a-2 a-n Làm tròn số Làm tròn số bỏ số chữ số lẻ bên phải để số ngắn gọn gần với a Giả sử ta muốn làm tròn đến chữ số lẻ thứ k (1 ≤ k ≤ n) xét số a- = amam-1 a1a0.a-1a-2 a-k a+ = amam-1 a1a0.a-1a-2 (a-k+1) chọn số làm tròn a- a+ theo điều kiện Nếu a-k-1 (chữ số sau chữ số lẻ thứ k) < : ã = a≥ : ã = a+ Ví dụ : Cho a = 456.12345678 ▪ Làm tròn với chữ số lẻ ã = a- = 456.12 ▪ Làm tròn với chữ số lẻ ã = a+ = 456.1235 ▪ Sai số làm trịn Đặt Ta có Vậy sai số làm trịn : * NX : Ta có Δã ≥ Δa Vậy làm tròn sai số tăng lên θ, nên tính tốn ta tránh làm trịn phép tốn trung gian, làm trịn kết cuối Ví dụ : Cho số CX A, a = 187.123456 số gần với sai số 0.0001 Gọi ã số làm tròn a với chữ số lẻ Tính sai số ã so với A giải Sai số θ = | 187.1235 – 187.123456 | = 0.000044 Vậy = 0.000044 + 0.0001 = 0.000144 Bài tập Biết A có giá trị gần a=3.2705 với sai số tương đối δa= 0.64% Ta làm tròn a thành ã với chữ số lẻ Tính sai số tuyệt đối ã giải Sai số θ = | 3.27 – 3.2705 | = 0.0005 Vậy = 0.0005 +0.0209312=0.0214312 Chú ý : Trường hợp làm tròn bất đẳng thức, ta dùng khái niệm làm tròn lên làm tròn xuống °Làm tròn lên : vế lớn ã = a+ , áp dụng cho số °Làm tròn xuống : ã = a- , áp dụng cho số vế nhỏ Ví dụ : ▪ a < 13.9236 làm tròn lên với chữ số lẻ ta a < 13.93 ▪b > 78.6789 làm tròn xuống ta b > 78.67 Bài tập : Làm tròn đến chữ số lẻ số biểu thức sau : a a=12.6724 b a=1.5476 c a≤12.8713 d a≥1.2354 e a=-15.6584 f a≤-23.5776 Chữ số có nghĩa : chữ số tính từ chữ số khác từ trái sang Ví dụ : 10.20003 có chữ số có nghĩa 001234.34 có chữ số có nghĩa 0.010203 có chữ số có nghĩa 10.20300 có chữ số có nghĩa Chữ số đáng tin : Cho a ≈ A với sai số Δa Chữ số ak gọi chữ số đáng tin Δa ≤ 10k / hay k ≥ log (2Δa ) Ví dụ : Tìm số chữ số đáng tin a a = 75.3456 với Δa = 0.0044 a = 75.3456 với Δa = 0.0062 giải Chữ số ak đáng tin k ≥ log(0.0088) = -2.0555 ta có chữ số đáng tin 7, 5, 3, k ≥ log(0.0124) = -1.9065 ta có chữ số đáng tin 7, 5, ...I KHÁI NIỆM SAI SỐ : Độ sai lệch giá trị gần giá trị xác gọi sai số Ta có loại sai số : ➢ Sai số giả thiết ➢ Sai số số liệu ban đầu ➢ Sai số phương pháp ➢ Sai số tính tốn Sai số phương pháp. .. pháp : Các phương pháp dùng để giải toán kỹ thuật thường phương pháp giải xấp xỉ gần đúng, phương pháp có sai số định đó, sai số gọi sai số phương pháp Sai số tính tốn : Tính tốn máy tính thường... thường sử dụng số hữu hạn chữ số làm trịn số, sai số tích lũy q trình tính tốn gọi sai số tính tốn hay sai số làm tròn II CÁCH BIỂU DIỄN SAI SỐ : Gọi A số xác toán Số a gọi số gần A xấp xỉ A