Bài giảng Phương pháp tính: Nội suy - Nguyễn Hồng Lộc

Bài giảng Phương pháp tính: Nội suy cung cấp cho người học các kiến thức: Đa thức nội suy, đa thức nội suy Lagrange, đa thức nội suy Newton, Spline bậc 3, bài toán xấp xỉ hàm thực nghiệm. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Bài giảng điện tử Nguyễn Hồng Lộc Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, mơn Tốn ứng dụng TP HCM — 2013 ng.com Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) https://fb.com/tailieudientucntt NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM TP HCM — 2013 / 35 Đa thức nội suy Đặt vấn đề Trong thực hành, thường gặp hàm số y = f (x) mà khơng biết biểu thức giải tích cụ thể f chúng Thông thường, ta biết giá trị y0 , y1 , , yn hàm số điểm khác x0 , x1 , , xn đoạn [a, b] Các giá trị nhận thơng qua thí nghiệm, đo đạc, Khi sử dụng hàm trên, nhiều ta cần biết giá trị chúng điểm không trùng với xi (i = 0, 1, , n) Để làm điều đó, ta phải xây dựng đa thức Pn (x) = an x n + an−1 x n−1 + + a1 x + a0 thỏa mãn Pn (xi ) = yi , i = 0, 1, 2, , n Định nghĩa Pn (x) gọi đa thức nội suy hàm f (x), điểm xi , i = 0, 1, 2, , n gọi nút nội suy ng.com Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) https://fb.com/tailieudientucntt NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM TP HCM — 2013 / 35 Đa thức nội suy Về mặt hình học, có nghĩa tìm đường cong y = Pn (x) = an x n + an−1 x n−1 + + a1 x + a0 qua điểm Mi (xi , yi ), i = 0, 1, 2, , n biết trước đường cong y = f (x) Định lý Tồn đa thức bậc nhỏ n qua n + điểm phân biệt cho trước ng.com Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) https://fb.com/tailieudientucntt NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM TP HCM — 2013 / 35 Đa thức nội suy Chứng minh: Giả sử ta có đa thức bậc n: Pn (x) = a0 + a1 x + a2 x + + an x n , đa thức qua n + điểm (xi , yi ), i = 0, 1, , n Do đó: Pn (xi ) = a0 + a1 xi + a2 xi2 + + an xin = yi , i = 0, 1, , n Xem a0 , a1 , , an biến, ta hệ gồm n + phương trình n + biến, với định thức ma trận hệ số: det(A) = x0 x02 x0n x1 x12 x1n xn xn2 x0n (xi − xj ) = i>j Vì điểm phân biệt nên xi = xj ⇒ det(A) = 0, hệ có nghiệm Kết luận: Mọi phương pháp nội suy đa thức có kết ng.com Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) https://fb.com/tailieudientucntt NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM TP HCM — 2013 / 35 Đa thức nội suy Ví dụ Xây dựng đa thức nội suy hàm số y = f (x) xác định x y -1 Giải Đa thức nội suy có dạng y = P(x) = a2 x + a1 x + a0 Thay điểm (xi , yi )(i = 1, 2, 3) vào đa thức ta hệ    0.a2 + 0.a1 + a0 =  a0 = 1.a2 + 1.a1 + a0 = −1 ⇔ a1 = − 19   9.a2 + 3.a1 + a0 = a2 = 76 19 Vậy đa thức nội suy P(x) = x − x + 6 ng.com Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) https://fb.com/tailieudientucntt NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM TP HCM — 2013 / 35 Đa thức nội suy Lagrange Cho hàm số y = f (x) xác định sau: x x0 x1 x2 xn y y0 y1 y2 yn Ta xây dựng đa thức nội suy hàm f (x) đoạn [x0 , xn ], n n Đa thức nội suy Lagrange có dạng sau Ln (x) = pnk (x).yk , k=0 pnk (x) = (x − x0 )(x − x1 ) (x − xk−1 )(x − xk+1 ) (x − xn ) (xk − x0 )(xk − x1 ) (xk − xk−1 )(xk − xk+1 ) (xk − xn ) Lagrange xây dựng đa thức bậc n với sở n đa thức bậc n: pnk (x) yk tọa độ tương ứng Chú ý: pnk (xk ) = 1; pnk (xi ) = 0, i = k ⇒ Ln (xk ) = yk Đa thức qua điểm (xk , yk ) ng.com Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) https://fb.com/tailieudientucntt NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM TP HCM — 2013 / 35 Đa thức nội suy Lagrange Ví dụ Xây dựng đa thức nội suy Lagrange hàm số y = sin(πx) nút nội suy x0 = 0, x1 = 16 , x2 = 21 Giải x 16 12 y = sin(πx) 12 Công thức nội suy Lagrange hàm số y L2 (x) = x(x − 61 ) (x − 61 )(x − 21 ) x(x − 12 ) + + = x − 3x 1 1 1 (0 − )(0 − ) 6(6 − 2) ( − ) ng.com Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) https://fb.com/tailieudientucntt NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM TP HCM — 2013 / 35 Đa thức nội suy Lagrange Đặt ω(x) = (x − x0 )(x − x1 ) (x − xk−1 )(x − xk )(x − xk+1 ) (x − xn ) ω(x) Khi pnk (x) = ω (xk )(x − xk ) Đa thức nội suy Lagrange trở thành n y n yk k = ω(x) , với Ln (x) = ω(x) ω (x )(x − x ) D k k k=0 k k=0 Dk = ω (xk )(x − xk ) x x0 x1 xn x0 x − x0 x0 − x1 x0 − xn D0 x1 x1 − x0 x − x1 x1 − xn D1 xn xn − x0 xn − x1 x − xn Dn ω(x) ng.com Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) https://fb.com/tailieudientucntt NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM TP HCM — 2013 / 35 Đa thức nội suy Lagrange Ví dụ x Sử dụng đa thức y 1 -1 Lagrange tính gần giá trị hàm số y x = Cho hàm số y xác định Giải x =2 2−0 1−0 3−0 4−0 0−1 2−1 3−1 4−1 Do y (2) ≈ L3 (2) = ng.com Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) 0−3 1−3 2−3 4−3 0−4 1−4 3−4 2−4 D0 = (2 − 0)(0 − 1)(0 − 3)(0 − 4) = −24 D1 = (1 − 0)(2 − 1)(1 − 3)(1 − 4) = D2 = (3 − 0)(3 − 1)(2 − 3)(3 − 4) = D3 = (4 − 0)(4 − 1)(4 − 3)(2 − 4) = −24 ω(x) = (2 − 0)(2 − 1)(2 − 3)(2 − 4) = 1 −1 + + + = −24 6 −24 https://fb.com/tailieudientucntt NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM TP HCM — 2013 / 35 Đa thức nội suy Newton Tỉ sai phân Cho hàm số f (x) xác định sau x x0 x1 x2 xn đoạn [a, b] = [x0 , xn ] y y0 y1 y2 yn Định nghĩa Trên đoạn [xk , xk+1 ] ta định nghĩa đại lượng f [xk , xk+1 ] = yk+1 − yk yk − yk+1 = = f [xk+1 , xk ] xk+1 − xk xk − xk+1 gọi tỉ sai phân cấp hàm đoạn [xk , xk+1 ] Tương tự ta có tỉ sai phân cấp hàm đoạn [xk , xk+2 ] f [xk , xk+1 , xk+2 ] = f [xk+1 , xk+2 ] − f [xk , xk+1 ] xk+2 − xk Quy nạp ta có tỉ sai phân cấp p hàm đoạn [xk , xk+p ] f [xk+1 , xk+2 , , xk+p ] − f [xk , xk+1 , , xk+p−1 ] https://fb.com/tailieudientucntt xk+p − xk f [xk , xk+1 , , xk+p ] = ng.com Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM TP HCM — 2013 10 / 35 Spline bậc Spline tự nhiên: c0 = cn =   0     h1 2(h1 + h2 ) 0     A=      2(hn−3 + hn−2 )   0 hn−2 0 hn−2 2(hn−2 + hn−1 )   y2 − y1 y1 − y0   −3 c1   h h    .Từ AC = B → C =  B=      yn − yn−1 yn−1 − yn−2  cn−1 −3 h h n−1 n−2   ak = yk    b = yk+1 −yk − hk (c k k+1 + 2ck ) hk ck+1 −ck  dk = 3h    g (x) = ak + b (x − x ) + c (x − x )2 + d (x − x )3 , x ≤ x ≤ x k k k k k k k k k k+1 2(h0 + h1 ) ng.com Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) h1 https://fb.com/tailieudientucntt NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM TP HCM — 2013 21 / 35 Spline bậc Ví dụ Xây dựng Spline bậc tự nhiên nội suy bảng số x y Xấp xỉ giá 1 trị hàm x = Spline tự nhiên : c0 = c2 = ; A = [2(h0 + h1 )] ; y1 − y0 y2 − y1 −3 ];AC = B → C = [c1 ] = 10 B = [3 h1 h0 1 a0 = 1, b0 = − 51 , d0 = 20 ; a1 = 1, b1 = 25 , d1 = − 30 Vậy spline cần tìm: g (x) = − 15 (x − 0) + + 52 (x − 2) + 20 (x 10 (x Vậy y (3) ≈ g (3) = + 25 (3 − 2) + ng.com Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) − 0)3 − 2)2 − 10 (3 30 (x − 2)2 − x ∈ [0, 2] − 2)3 , x ∈ [2, 5] 30 (3 − 2)3 = 1.6667 https://fb.com/tailieudientucntt NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM TP HCM — 2013 22 / 35 Spline bậc Spline ràng buộc: g (x0 ) = α, g (xn ) = β   2h0 h0 0  h0 2(h0 + h1 ) h1 0       h1 2(h1 + h2 ) 0    A=         0 2(hn−2 + hn−1 ) hn−1  0 hn−1 2hn−1   y1 − y0 − 3α     h0   c0 y − y y − y 1   −3    c1  h1 h0         B= Từ AC = B → C =     y −y    y − y  n n−1 n−1 n−2   cn−1  −3     hn−1 hn−2 cn   yn − yn−1 3β − hn−1 ng.com https://fb.com/tailieudientucntt Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM TP HCM — 2013 23 / 35 Spline bậc Spline ràng buộc(n=2): x x0 x1 x2 y y0 y1 y2     2h0 h0  A =  h0 2(h0 + h1 ) h1 ; B =    h1 2h1 y1 − y0 − 3α h0 y2 − y1 y1 − y0 −3 h1 h0 y2 − y1 3β − h1       T AC  = B ⇒ C = (c0 ; c1 ; c2 )   ak = yk bk = yk+1hk−yk − h3k (ck+1 + 2ck )   d = ck+1 −ck k 3hk a0 + b0 (x − x0 ) + c0 (x − x0 )2 + d0 (x − x0 )3 , x0 ≤ x ≤ x1 g (x) = a1 + b1 (x − x1 ) + c1 (x − x1 )2 + d1 (x − x1 )3 , x1 ≤ x ≤ x2 ng.com Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) https://fb.com/tailieudientucntt NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM TP HCM — 2013 24 / 35 Spline bậc Ví dụ x thỏa y điều kiện y (1) = 2, y (4) = Xấp xỉ giá trị hàm x = 1.5và x =      77  −9 − 12  ⇒ C =  23  h0 = 1, h1 = ; A =  ; B =  21 − 92 − 73 24 55 a0 = 2, b0 = 2, d0 = 41 12 ; a1 = 1, b1 = − 12 , d1 = − 48 Vậy spline cần tìm: Xây dựng Spline bậc ràng buộc nội suy bảng số g (x) = 77 + 2(x − 1) − 12 (x − 1)2 + 41 x ∈ [1, 2] 12 (x − 1) 23 55 − 12 (x − 2) + (x − 2) − 48 (x − 2)3 , x ∈ [2, 4] Vậy: y (1.5) ≈ g (1.5) = + ∗ 0.5 − 77 12 ∗ 0.5 + 23 55 y (3) ≈ g (3) = − 12 + − 48 = 3.1042 ng.com Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) 41 12 ∗ 0.53 = 1.8230 https://fb.com/tailieudientucntt NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM TP HCM — 2013 25 / 35 Spline bậc Bài tập x 1.3 1.6 2.3 Sử dụng spline bậc g (x) thỏa điều y 2.2 4.3 6.6 kiện g (1.3) = 0.3, g (2.3) = 0.5 nội suy bảng số để xấp xỉ giá trị hàm x = 1.4 x = 2.1 Cho bảng số Giải g (1.4) = 2.5656, g (2.1) = 6.4460 ng.com Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) https://fb.com/tailieudientucntt NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM TP HCM — 2013 26 / 35 Bài toán xấp xỉ hàm thực nghiệm Trong mặt phẳng xOy cho tập hợp điểm Mk (xk , yk ), k = 1, 2, , n, có điểm nút xi , xj khác với i = j n lớn Khi việc xây dựng đường cong qua tất điểm khơng có ý nghĩa thực tế Chúng ta tìm hàm f (x) đơn giản cho thể tốt dáng điệu tập hợp điểm Mk (xk , yk ), k = 1, 2, , n, không thiết qua tất điểm Phương pháp bình phương bé giúp ta giải vấn đề Nội dung phương pháp tìm cực tiểu phiếm hàm n (f (xk ) − yk )2 → g (f ) = k=1 Dạng đơn giản thường gặp thực tế f (x) f (x) = A + Bx, f (x) = A + Bx + Cx , ng.com Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) https://fb.com/tailieudientucntt NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM TP HCM — 2013 27 / 35 Bài toán xấp xỉ hàm thực nghiệm Trường hợp f (x) = A + Bx Khi n (A + Bxk − yk )2 g (A, B) = k=1 Bài tốn quy việc tìm cực tiểu hàm biến g (A, B) Tọa độ điểm dừng hàm xác định hệ phương trình  n n  ∂  (A + Bxk − yk )2 = (A + Bxk − yk ) =  ∂A    ∂ ∂B n k=1 (A + Bxk − yk )2 n k=1 n     nA + n    ng.com Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) (A + Bxk − yk )xk = =2 k=1 ⇔ k=1 n xk k=1 n xk B= k=1 A+ k=1 xk2 B = n yk k=1 xk yk k=1 https://fb.com/tailieudientucntt NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM TP HCM — 2013 28 / 35 Bài toán xấp xỉ hàm thực nghiệm Ví dụ Tìm hàm f (x) = A + Bx xấp xỉ tốt bảng số x 1 2 3 y 2 4 5 n yk = 39, xk = 29, k=1 n n n Giải Ta có n = 10 k=1 k=1 xk2 = 109, xk yk = 140 Hệ phương trình để xác định A, B có dạng k=1 10A + 29B = 39 ⇔ 29A + 109B = 140 A = 0.7671 B = 1.0803 Do đường thẳng cần tìm f (x) = 0.7671 + 1.0803x ng.com Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) https://fb.com/tailieudientucntt NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM TP HCM — 2013 29 / 35 Bài toán xấp xỉ hàm thực nghiệm Trường hợp f (x) = A + Bx + Cx Khi n (A + Bxk + Cxk2 − yk )2 g (A, B, C ) = k=1 Bài toán quy việc tìm cực tiểu hàm biến g (A, B, C ) Tọa độ điểm dừng hàm xác định hệ phương trình                ∂ ∂A ∂ ∂B ∂ ∂C n n (A + Bxk + Cxk2 − yk )2 = k=1 (A + Bxk + k=1 n Cxk2 − yk )2 n ng.com Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) (A + Bxk + Cxk2 − yk ) = k=1 (A + Bxk + Cxk2 − yk )xk = =2 (A + Bxk + Cxk2 − yk )2 = k=1 n k=1 n (A + Bxk + Cxk2 − yk )xk2 = k=1 https://fb.com/tailieudientucntt NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM TP HCM — 2013 30 / 35 Bài toán xấp xỉ hàm thực nghiệm ⇔                n n xk nA + n n xk k=1 n k=1 ng.com Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) k=1 A+ xk2 A + B+ k=1 n k=1 xk2 B + xk3 B + n k=1 k=1 n k=1 xk2 C = xk3 C = xk4 C = n n yk k=1 xk yk k=1 n k=1 xk2 yk https://fb.com/tailieudientucntt NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM TP HCM — 2013 31 / 35 Bài tốn xấp xỉ hàm thực nghiệm Ví dụ Tìm hàm f (x) = A + Bx + Cx xấp xỉ tốt bảng số x 1 3 y 4.12 4.18 6.23 8.34 8.38 12.13 18.32 Giải Hệ phương trình để xác định A, B, C có dạng   7A + 19B + 65C = 61.70  A = 4.30  19A + 65B + 253C = 211.04 ⇔ B = −0.71   65A + 253B + 1061C = 835.78 C = 0.69 Do hàm số cần tìm f (x) = 4.30 − 0.71x + 0.69x ng.com Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) https://fb.com/tailieudientucntt NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM TP HCM — 2013 32 / 35 Bài toán xấp xỉ hàm thực nghiệm Trường hợp f (x) = Ag (x) + Bh(x) Khi n (Ag (xk ) + Bh(xk ) − yk )2 g (A, B) = k=1 Bài tốn quy việc tìm cực tiểu hàm biến g (A, B) Tọa độ điểm dừng hàm xác định hệ phương trình  n n  = 2g (x )  ∂ (Ag (x ) + Bh(x ) − y ) (Ag (xk ) + Bh(xk ) − yk ) =  k k k k ∂A    ∂ ∂B k=1 n (Ag (xk ) + Bh(xk ) − yk )2 k=1 n ⇔        (Ag (xk ) + Bh(xk ) − yk ) = = 2h(xk ) k=1 k=1 n g (xk ) A + k=1 n n n g (xk )h(xk ) B = k=1 n g (xk )h(xk ) A + k=1 ng.com Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) h2 (xk ) B = k=1 g (xk )yk k=1 n h(xk )yk k=1 https://fb.com/tailieudientucntt NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM TP HCM — 2013 33 / 35 Bài tốn xấp xỉ hàm thực nghiệm Ví dụ Tìm hàm f (x) = A cos x + B sin x xấp xỉ tốt bảng số x 10 20 30 40 50 y 1.45 1.12 0.83 1.26 1.14 Giải A = −0.1633; B = 0.0151 Hàm cần tìm f (x) = −0.1633 cos x + 0.0151 sin x ng.com Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) https://fb.com/tailieudientucntt NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM TP HCM — 2013 34 / 35 Bài toán xấp xỉ hàm thực nghiệm Bài tập x 0.7 1.2 1.3 1.6 Sử dụng phương pháp bình y 3.3 4.5 2.2 6.1 √ phương bé nhất, tìm hàm f (x) = A x + B cos x xấp xỉ tốt bảng số Cho bảng số Giải A = 3.8784, B = −1.3983 ng.com Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) https://fb.com/tailieudientucntt NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM TP HCM — 2013 35 / 35 ... Mọi phương pháp nội suy đa thức có kết ng.com Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) https://fb.com/tailieudientucntt NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM TP HCM — 2013 / 35 Đa thức nội suy Ví dụ Xây dựng đa thức nội suy. .. 5/6 3/2 5 -1 1/120 -1 /4 -1 /6 ng.com Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) https://fb.com/tailieudientucntt NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM TP HCM — 2013 15 / 35 Đa thức nội suy Newton Công thức đa thức nội suy Newton... thức nội suy hàm f (x), điểm xi , i = 0, 1, 2, , n gọi nút nội suy ng.com Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) https://fb.com/tailieudientucntt NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM TP HCM — 2013 / 35 Đa thức nội suy