Phương Pháp Tính - Nội Suy Và Xấp Xỉ Hàm

Phương Pháp Tính - Nội Suy Và Xấp Xỉ Hàm 1. Đa thức nội suy 2. Đa thức nội suy Lagrange 3. Đa thức nội suy Hermite 4. Đa thức nội suy Newton 5. Spline bậc 3 6.Tài toán xấp xỉ hàm thực nghiệm

NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM BÀI GIẢNG ĐIỆN TỬ TS Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, mơn Tốn ứng dụng Email: ytkadai@hcmut.edu.vn TP HCM — 2016 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM TP HCM — 2016 / 82 NỘI DUNG ĐA THỨC NỘI SUY TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM TP HCM — 2016 / 82 NỘI DUNG ĐA THỨC NỘI SUY ĐA THỨC NỘI SUY L AGRANGE TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM TP HCM — 2016 / 82 NỘI DUNG ĐA THỨC NỘI SUY ĐA THỨC NỘI SUY L AGRANGE ĐA THỨC NỘI SUY HERMITE TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM TP HCM — 2016 / 82 NỘI DUNG ĐA THỨC NỘI SUY ĐA THỨC NỘI SUY L AGRANGE ĐA THỨC NỘI SUY HERMITE ĐA THỨC NỘI SUY NEWTON TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM TP HCM — 2016 / 82 NỘI DUNG ĐA THỨC NỘI SUY ĐA THỨC NỘI SUY L AGRANGE ĐA THỨC NỘI SUY HERMITE ĐA THỨC NỘI SUY NEWTON SPLINE BẬC BA TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM TP HCM — 2016 / 82 NỘI DUNG ĐA THỨC NỘI SUY ĐA THỨC NỘI SUY L AGRANGE ĐA THỨC NỘI SUY HERMITE ĐA THỨC NỘI SUY NEWTON SPLINE BẬC BA BÀI TOÁN XẤP XỈ HÀM THỰC NGHIỆM TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM TP HCM — 2016 / 82 Đa thức nội suy ĐẶT VẤN ĐỀ Trong thực hành, thường gặp hàm số y = f (x) mà biểu thức giải tích cụ thể f chúng Thơng thường, ta biết giá trị y0, y1, , yn hàm số điểm khác x0, x1, , xn đoạn [a, b] Các giá trị nhận thơng qua thí nghiệm, đo đạc, Khi sử dụng hàm trên, nhiều ta cần biết giá trị chúng điểm không trùng với xi (i = 0, 1, , n) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM TP HCM — 2016 / 82 Đa thức nội suy Để làm điều đó, ta phải xây dựng đa thức Pn (x) = an xn + an−1 xn−1 + + a1 x + a0 thỏa mãn Pn (xi ) = yi , i = 0, 1, 2, , n ĐỊNH NGHĨA 1.1 Pn (x) gọi đa thức nội suy hàm f (x), điểm xi , i = 0, 1, 2, , n gọi nút nội suy TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM TP HCM — 2016 / 82 Đa thức nội suy Về mặt hình học, có nghĩa tìm đường cong y = Pn(x) = anxn + an−1xn−1 + + a1x + a0 qua điểm Mi (xi , yi ), i = 0, 1, 2, , n biết trước đường cong y = f (x) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM TP HCM — 2016 / 82 Bài toán xấp xỉ hàm thực nghiệm Trường hợp f (x) = A + Bx VÍ DỤ 6.1 Tìm hàm f (x) = A + Bx xấp xỉ tốt bảng số x 1 2 3 y 2 4 5 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM TP HCM — 2016 71 / 82 Bài toán xấp xỉ hàm thực nghiệm Trường hợp f (x) = A + Bx VÍ DỤ 6.1 Tìm hàm f (x) = A + Bx xấp xỉ tốt bảng số x 1 2 3 y 2 4 5 Giải Ta có n = 10 n k=1 n k=1 n xk = 29, k=1 n yk = 39, k=1 xk2 = 109, xk yk = 140 Hệ phương trình để xác định A, B có dạng 10A + 29B = 39 ⇔ 29A + 109B = 140 A = 0.7671 B = 1.0803 Do đường thẳng cần tìm f (x) = 0.7671 + 1.0803x TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM TP HCM — 2016 71 / 82 Bài toán xấp xỉ hàm thực nghiệm Trường hợp f (x) = A + Bx Bấm máy Bấm Mode - STAT Chọn 3A + Bx Nhập liệu cột x, y AC - Thoát Chọn Shift - chọn - Reg - chọn 1- A = Chọn Shift - chọn - Reg - chọn 2- B = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM TP HCM — 2016 72 / 82 Bài toán xấp xỉ hàm thực nghiệm Trường hợp f (x) = A + Bx + Cx2 Trường hợp f (x) = A + Bx + Cx2 Khi n g(A, B, C) = (A + Bxk + Cxk2 − yk )2 k=1 Bài tốn quy việc tìm cực tiểu hàm biến g(A, B, C) Tọa độ điểm dừng hàm xác định hệ phương trình                n n ∂ 2 (A + Bx + Cx − y ) = (A + Bxk + Cxk2 − yk ) = k k k ∂A k=1 k=1 n n ∂ 2 (A + Bxk + Cxk − yk ) = (A + Bxk + Cxk2 − yk )xk = ∂B k=1 k=1 n n ∂ 2 (A + Bx + Cx − y ) = (A + Bxk + Cxk2 − yk )xk2 = k k k ∂C k=1 k=1 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM TP HCM — 2016 73 / 82 Bài toán xấp xỉ hàm thực nghiệm ⇔                Trường hợp f (x) = A + Bx + Cx2 n nA + n k=1 n k=1 n xk A + xk2 A + TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) k=1 k=1 n k=1 xk2 n xk B + n B+ xk3 B + NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM k=1 k=1 n k=1 xk3 xk2 n C= n C= xk4 C = yk k=1 xk y k k=1 n k=1 xk2 yk TP HCM — 2016 74 / 82 Bài toán xấp xỉ hàm thực nghiệm Trường hợp f (x) = A + Bx + Cx2 VÍ DỤ 6.2 Tìm hàm f (x) = A + Bx + Cx2 xấp xỉ tốt bảng số x 1 3 y 4.12 4.18 6.23 8.34 8.38 12.13 18.32 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM TP HCM — 2016 75 / 82 Bài toán xấp xỉ hàm thực nghiệm Trường hợp f (x) = A + Bx + Cx2 VÍ DỤ 6.2 Tìm hàm f (x) = A + Bx + Cx2 xấp xỉ tốt bảng số x 1 3 y 4.12 4.18 6.23 8.34 8.38 12.13 18.32 Giải Hệ phương trình để xác định A, B, C có dạng      7A + 19B + 65C = 61.70  A = 4.30 19A + 65B + 253C = 211.04 ⇔ B = −0.71    65A + 253B + 1061C = 835.78  C = 0.69 Do parabol cần tìm f (x) = 4.30 − 0.71x + 0.69x2 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM TP HCM — 2016 75 / 82 Bài toán xấp xỉ hàm thực nghiệm Trường hợp f (x) = A + Bx + Cx2 Bấm máy Bấm Mode - STAT Chọn 3- +cx2 Nhập liệu cột x, y AC - Thoát Chọn Shift - chọn - Reg - chọn 1- A = Chọn Shift - chọn - Reg - chọn 2- B = Chọn Shift - chọn - Reg - chọn 3- C = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM TP HCM — 2016 76 / 82 Bài toán xấp xỉ hàm thực nghiệm Trường hợp f (x) = Ap(x) + Bq(x) Trường hợp f (x) = Ap(x) + Bq(x) Khi n g(A, B) = (Ap(xk ) + Bq(xk ) − yk )2 k=1 Bài tốn quy việc tìm cực tiểu hàm biến g(A, B) Tọa độ điểm dừng hàm xác định hệ phương trình     ∂ g(A, B) = ∂A    ∂ g(A, B) = ∂B TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) n k=1 n (Ap(xk ) + Bq(xk ) − yk )p(xk ) = k=1 (Ap(xk ) + Bq(xk ) − yk )q(xk ) = NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM TP HCM — 2016 77 / 82 Bài toán xấp xỉ hàm thực nghiệm ⇔        n k=1 n k=1 n p (xk ) A + k=1 p(xk )q(xk ) A + TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) Trường hợp f (x) = Ap(x) + Bq(x) n p(xk )q(xk ) B = n k=1 q2 (xk ) B = NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM p(xk )yk k=1 n q(xk )yk k=1 TP HCM — 2016 78 / 82 Bài toán xấp xỉ hàm thực nghiệm Trường hợp f (x) = Ap(x) + Bq(x) VÍ DỤ 6.3 Tìm hàm f (x) = A x + B cos(x) xấp xỉ tốt bảng số x 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 y 2.27 2.37 2.45 2.52 2.60 2.62 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM TP HCM — 2016 79 / 82 Bài toán xấp xỉ hàm thực nghiệm Trường hợp f (x) = Ap(x) + Bq(x) VÍ DỤ 6.3 Tìm hàm f (x) = A x + B cos(x) xấp xỉ tốt bảng số x 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 y 2.27 2.37 2.45 2.52 2.60 2.62 Giải Ta có n = 6, p(x) = x, q(x) = cos(x) n k=1 n k=1 p (xk ) = n k=1 xk = 9, Shift-STO-A p(xk )q(xk ) = n k=1 xk cos(xk ) = 0.2080742774, Shift-STO-B TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM TP HCM — 2016 79 / 82 Bài toán xấp xỉ hàm thực nghiệm n k=1 n p(xk )yk = k=1 Shift-STO-C n n k=1 q2 (xk ) = k=1 Trường hợp f (x) = Ap(x) + Bq(x) xk yk = 18.14616548, cos2 (xk ) = 0.6777701471, Shift-STO-D n n k=1 q(xk )yk = k=1 cos(xk ).yk = 0.7470806584, Shift-STO-M Giải hệ phương trình tìm A, B : A.A + B.B = C ⇔ B.A + D.B = M A = 2.00498761 B = 0.48673479 Vậy f (x) = 2.0050 x + 0.4867 cos(x) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM TP HCM — 2016 80 / 82 Bài toán xấp xỉ hàm thực nghiệm Trường hợp f (x) = Ap(x) + Bq(x) Bấm máy Shift-Mode-STAT-Frequency-ON Tìm ma trận hệ số Mode 3-STAT - 2: A+BX Nhập vào cột X X , nhập vào cột Y cos(X ) AC-thoát Shift - - 4: Sum - 1: x2 = Shift-STO-A Shift - - 4: Sum - 5: xy = Shift-STO-B Shift - - 4: Sum - 3: y = Shift-STO-D Tìm cột hệ số tự Shift - - 2: Data Nhập giá trị cột FREQ giá trị y AC-thoát Shift - - 5: Var - 2:x × Shift - - 5: Var -1:n = Shift-STO-C Shift - - 5: Var - 5:y × Shift - - 5: Var -1:n = Shift-STO-M Giải hệ phương trình: Mode-5:EQN-1:anX+bnY=cn TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM TP HCM — 2016 81 / 82 Bài toán xấp xỉ hàm thực nghiệm Trường hợp f (x) = Ap(x) + Bq(x) CÁM ƠN CÁC EM ĐÃ CHÚ Ý LẮNG NGHE TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM TP HCM — 2016 82 / 82