Phương Pháp Tính - Nội Suy Và Xấp Xỉ Hàm

Phương Pháp Tính - Nội Suy Và Xấp Xỉ Hàm 1. Đa thức nội suy 2. Đa thức nội suy Lagrange 3. Đa thức nội suy Hermite 4. Đa thức nội suy Newton 5. Spline bậc 3 6.Tài toán xấp xỉ hàm thực nghiệm

NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM

B ÀI GIẢNG ĐIỆN TỬ

TS Lê Xuân Đại

Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng

Email: ytkadai@hcmut.edu.vn

TP HCM — 2016.

N ỘI DUNG

1 Đ A THỨC NỘI SUY

2 Đ A THỨC NỘI SUY L AGRANGE

3 Đ A THỨC NỘI SUY H ERMITE

4 Đ A THỨC NỘI SUY N EWTON

5 S PLINE BẬC BA

6 B ÀI TOÁN XẤP XỈ HÀM THỰC NGHIỆM

N ỘI DUNG

1 Đ A THỨC NỘI SUY

2 Đ A THỨC NỘI SUY L AGRANGE

3 Đ A THỨC NỘI SUY H ERMITE

4 Đ A THỨC NỘI SUY N EWTON

5 S PLINE BẬC BA

6 B ÀI TOÁN XẤP XỈ HÀM THỰC NGHIỆM

N ỘI DUNG

1 Đ A THỨC NỘI SUY

2 Đ A THỨC NỘI SUY L AGRANGE

3 Đ A THỨC NỘI SUY H ERMITE

4 Đ A THỨC NỘI SUY N EWTON

5 S PLINE BẬC BA

6 B ÀI TOÁN XẤP XỈ HÀM THỰC NGHIỆM

N ỘI DUNG

1 Đ A THỨC NỘI SUY

2 Đ A THỨC NỘI SUY L AGRANGE

3 Đ A THỨC NỘI SUY H ERMITE

4 Đ A THỨC NỘI SUY N EWTON

5 S PLINE BẬC BA

6 B ÀI TOÁN XẤP XỈ HÀM THỰC NGHIỆM

N ỘI DUNG

1 Đ A THỨC NỘI SUY

2 Đ A THỨC NỘI SUY L AGRANGE

3 Đ A THỨC NỘI SUY H ERMITE

4 Đ A THỨC NỘI SUY N EWTON

5 S PLINE BẬC BA

6 B ÀI TOÁN XẤP XỈ HÀM THỰC NGHIỆM

N ỘI DUNG

1 Đ A THỨC NỘI SUY

2 Đ A THỨC NỘI SUY L AGRANGE

3 Đ A THỨC NỘI SUY H ERMITE

4 Đ A THỨC NỘI SUY N EWTON

5 S PLINE BẬC BA

6 B ÀI TOÁN XẤP XỈ HÀM THỰC NGHIỆM

Đ ẶT VẤN ĐỀ

Trong thực hành, thường gặp những hàm số

y = f (x) mà không biết biểu thức giải tích cụ

Các giá trị này có thể nhận được thông qua thí nghiệm, đo đạc, Khi sử dụng những

hàm trên, nhiều khi ta cần biết các giá trị của chúng tại những điểm không trùng với

x i (i = 0,1, ,n).

Để làm được điều đó, ta phải xây dựng một

P n (x) được gọi là đa thức nội suy của hàm

f (x), còn các điểm x i , i = 0,1,2, ,n được gọi

Về mặt hình học, có nghĩa là tìm đường

cong y = P n (x) = a n x n + a n−1 x n−1 + + a1 x + a0

Đa thức nội suy

Cho hàm số y = f (x) được xác định như sau:

(x k − x0)(x k − x1) (x k − x k−1 )(x k − x k+1 ) (x k − x n)

Đa thức nội suy Lagrange

VÍ DỤ 2.1

Xây dựng đa thức nội suy Lagrange của hàm

số y = sin(πx)tại các nút nội suy

VÍ DỤ 2.1

Xây dựng đa thức nội suy Lagrange của hàm

số y = sin(πx)tại các nút nội suy

Đa thức nội suy Lagrange

VÍ DỤ 2.2

Cho hàm số y được xác định bởi

x 0 1 3 4

y 1 1 2 -1 Sử dụng đa thức Lagrange tính gần đúng giá trị của hàm số y tại x = 2.

ĐỊNH NGHĨA 3.1

Cho x0, x1, , x n là n + 1 điểm phân biệt trên đoạn [a, b] và với mỗi chỉ sối = 0,1, ,n xác định một số nguyên không âm m i Giả sử

f ∈ C [a,b] m với m = max

ĐỊNH NGHĨA 3.2

Trong trường hợp m i = 1 với mọii = 0,1, ,n

ta được đa thức Hermite.

ĐỊNH LÝ 3.1

Nếu f ∈ C [a,b]1 vàx0, , x n ∈ [a, b]là các điểm phân biệt, thì đa thức duy nhất với bậc thấp nhất thỏa mãn điều kiện của f và f0 tại

x0, x1, , x n là đa thức Hermite với bậc cao nhất có thể là 2n + 1 được xác định như sau

Đa thức nội suy Hermite Đa thức Hermite

VÍ DỤ 3.1

Sử dụng đa thức Hermite, tìm xấp xỉ của

f (1.5) với f thỏa mãn số liệu sau

VÍ DỤ 3.1

Sử dụng đa thức Hermite, tìm xấp xỉ của

f (1.5) với f thỏa mãn số liệu sau

Đa thức nội suy Hermite Đa thức Hermite

p12(x) = (x − x0)(x − x2)

(x1− x0 )(x1− x2) = −100

9 x

2+320

p12(x) = (x − x0)(x − x2)

(x1− x0 )(x1− x2) = −100

9 x

2+320

Đa thức nội suy Hermite Đa thức Hermite

9 x −247

9

´2

Đa thức nội suy Hermite Đa thức Hermite

9 x −247

9

´2

9 x −247

9

´2

9 x −247

9

´2

Đa thức nội suy Hermite Đa thức Hermite

Vậy

H5(x) =

2X

j=0

f (x j )H 2,j(x) +

2X

H5(x) =

2X

j=0

f (x j )H 2,j(x) +

2X

Cho hàm số f (x) xác định như sau

Tương tự ta có tỉ sai phân cấp 2 của hàm

Đa thức nội suy Newton Tỉ sai phân

-0.47=0.62−0.761.3−1.01.3 0.62 -0.17=−0.57−(−0.47)1.6−1.0

-0.57=0.45−0.621.6−1.31.6 0.45 -0.00=−0.57−(−0.57)1.9−1.3

-0.57= 0.28−0.45

1.9−1.6

1.9 0.28

-0.57=0.45−0.621.6−1.31.6 0.45 -0.00=−0.57−(−0.57)1.9−1.3

-0.57=0.28−0.451.9−1.61.9 0.28

Theo định nghĩa tỉ sai phân cấp 1 của f (x)

Quá trình trên tiếp diễn đến bước thứ nta được

ĐỊNH NGHĨA 4.2

Công thức N (1)

n (x) được gọi là công thức

hàm số f (x) vàR n (x) được gọi là sai số của đa thức nội suy Newton.

Newton lùi xuất phát từ điểm nút x n của

Như vậy công thức nội suy Newton tiến là

N (1)

4 (x) = 1+1.x+

µ

−23

60 x + 1.

f (1.25)≈N (1)

4 (1.25)≈3.9312

Việc xây dựng một đa thức đi qua các điểm

rất khó khăn Biện pháp khắc phục là trên từng đoạn liên tiếp của các cặp điểm nút nội suy ta nối chúng bởi các đường cong đơn giản như đoạn thẳng Tuy nhiên, khi đó

Đường cong như vậy được gọi là đường

spline (đường ghép trơn) Các hàm trên các

cao nhất của các đa thức đó gọi là bậc của spline

3 g(x0) = f (x0) = y0, g(x1) = f (x1) = y1, g(x2) = f (x2) = y2

Spline bậc ba Các khái niệm cơ bản

Spline bậc ba Các khái niệm cơ bản

Spline bậc ba Các khái niệm cơ bản

Xét đoạn [x0, x1] Đặth0= x1 − x0 Vì g0(x) là đa thức bậc ba nên

Spline bậc ba Các khái niệm cơ bản

Spline bậc ba Các khái niệm cơ bản

Spline bậc ba Các khái niệm cơ bản

Xét đoạn [x1, x2] Đặth1= x2 − x1 Vì g1(x) là đa thức bậc ba nên

Spline bậc ba Các khái niệm cơ bản

Spline bậc ba Các khái niệm cơ bản

Từ điều kiện g00(x1) = g10(x1) ta được

Đ ỊNH NGHĨA 5.2

Cho f (x) xác định trên đoạn [a, b] và một phép phân hoạch của nó: a = x0< x1< x2< < x n = b Đặt

y k = f (x k ), k = 0 n. Một spline bậc ba nội suy hàm f (x)

trên [a, b] là hàm g(x) thỏa các điều kiện sau:

2 Trên mỗi đoạn [x k , x k+1 ], k = 0 n − 1, g(x) = g k (x) là 1

đa thức bậc ba

3 g(x k ) = f (x k ) = y k , ∀k = 0 n

Spline bậc ba Các khái niệm cơ bản

Spline bậc ba Các khái niệm cơ bản

Spline bậc ba Các khái niệm cơ bản

Spline bậc ba Các khái niệm cơ bản

Spline bậc ba Các khái niệm cơ bản

biên

Từ điều kiện g k−10 (x k ) = g k0(x k) ta được

biên

Spline bậc ba Spline bậc ba tự nhiên

Sau khi tìm được c0, c1, , c n−1 , c n thì các hệ

Vậy spline bậc ba tự nhiên cần tìm là

c2= 75

Khi đó ta có thêm 2 phương trình

và thuật toán xác định spline bậc ba ràng

C = (c0, c1, , c n−1 , c n)T

Sau khi tìm được c0, c1, , c n−1 , c n thì các hệ

Vậy spline bậc ba ràng buộc cần tìm là

g(x) =

(

1 + 3x2− 2x3, x ∈ [0,1]

2 − 3(x − 1)2+ 2(x − 1)3, x ∈ [1,2]

B ÀI TOÁN XẤP XỈ HÀM THỰC NGHIỆM

M k (x k , y k ), k = 1,2, ,n,trong đó có ít nhất 2

lớn Khi đó việc xây dựng một đường cong

đi qua tất cả những điểm này không có ý nghĩa thực tế.

sao cho nó thể hiện tốt nhất dáng điệu của

không nhất thiết đi qua tất cả các điểm đó.

Phương pháp bình phương bé nhất giúp ta giải quyết vấn đề này Nội dung của phương pháp là tìm cực tiểu của phiếm hàm

g(f ) =

n

X

k=1 (f (x k ) − y k)2→ min

Dạng đơn giản thường gặp trong thực tế

của f (x) là f (x) = A + Bx,f (x) = A + Bx + Cx2,

f (x) = Ap(x) + Bq(x),

Bài toán quy về việc tìm cực tiểu của hàm 2 biến g(A, B). Tọa độ điểm dừng của hàm

được xác định bởi hệ phương trình

Bài toán xấp xỉ hàm thực nghiệm Trường hợp f (x) = A + Bx

½

10A + 29B = 39 29A + 109B = 140 ⇔

½ A = 0.7671

B = 1.0803

Do đó đường thẳng cần tìm làf (x) = 0.7671 + 1.0803x.

10A + 29B = 39 29A + 109B = 140 ⇔

½ A = 0.7671

B = 1.0803

Do đó đường thẳng cần tìm làf (x) = 0.7671 + 1.0803x.

Bấm máy Bấm Mode 3 - STAT Chọn

3-A + Bx. Nhập dữ liệu của 2 cột x, y.AC - Thoát

ra Chọn Shift 1 - chọn 7 - Reg - chọn 1- A = Chọn Shift 1 - chọn 7 - Reg - chọn 2- B =.

Bài toán quy về việc tìm cực tiểu của hàm 3 biến g(A, B, C). Tọa độ điểm dừng của hàm được xác định bởi hệ phương trình

Bài toán xấp xỉ hàm thực nghiệm Trường hợp f (x) = A + Bx + Cx2

VÍ DỤ 6.2

Tìm hàm f (x) = A + Bx + Cx2 xấp xỉ tốt nhất bảng số

Bấm máy Bấm Mode 3 - STAT Chọn 3- +cx2.

Chọn Shift 1 - chọn 7 - Reg - chọn 1- A = Chọn Shift 1 - chọn 7 - Reg - chọn 2- B = Chọn Shift 1 - chọn 7 - Reg - chọn 3- C =.

Trường hợp f (x) = Ap(x) + Bq(x) Khi đó

g(A, B) =

n

X

k=1 (Ap(x k ) + Bq(x k ) − y k)2

Bài toán quy về việc tìm cực tiểu của hàm 2 biến g(A, B). Tọa độ điểm dừng của hàm

được xác định bởi hệ phương trình

Bài toán xấp xỉ hàm thực nghiệm Trường hợp f (x) = Ap(x) + Bq(x)

VÍ DỤ 6.3

Tìm hàm f (x) = Apx + B cos(x)xấp xỉ tốt nhất bảng số

Bấm máy Shift-Mode-STAT-Frequency-ON

Mode 3-STAT - 2: A+BX Nhập vào cộtXlàpX ,nhập vào cộtYlà

cos(X ).AC-thoát ra.

Shift - 1 - 4: Sum - 1:P x2 = Shift-STO-A

Shift - 1 - 4: Sum - 5:P xy =Shift-STO-B

Shift - 1 - 4: Sum - 3:P y2 = Shift-STO-D

Shift - 1 - 2: Data

Nhập giá trị của cột FREQ là giá trịy.AC-thoát ra

Shift - 1 - 5: Var - 2:x ×Shift - 1 - 5: Var -1:n =Shift-STO-C

Shift - 1 - 5: Var - 5:y ×Shift - 1 - 5: Var -1:n =Shift-STO-M

Mode-5:EQN-1:anX+bnY=cn

CÁM ƠN CÁC EM ĐÃ CHÚ Ý LẮNG NGHE