Chương 3: Nội suy và xấp xỉ hàm số doc

1 Chương 3 Chương 3 Nội suy và xấp xỉ Nội suy và xấp xỉ hàm số hàm số 2 3.1. Số gia hữu hạn 3.1. Số gia hữu hạn Cho giá trị của hàm số ƒ(x) tại các điểm mốc Là …, 1. Số gia hữu hạn tiến - Số gia hữu hạn tiến bậc 1 của hàm ƒ(x) tại điểm x là mmmiihxx i , ,1,0, ,,, 0 −−=+= ),( m xf − ),( 1+−m xf ),( m xf )()()( xfhxfxf −+=∆ 3 - Số gia hữu hạn tiến bậc 2 và bậc cao hơn: ………………………………………………………. k=1,2,… )()(2)2( )()()()2( )()()( 2 xfhxfhxf xfhxfhxfhxf xfhxfxf ++−+= ++−+−+= ∆−+∆=∆ )()1( ))2(( !2 )1( ))1(()( )()()( )1()1( xfhkxf kk hkxkfkhxf xfhxfxf k kkk −++−+ − +−+−+= ∆−+∆=∆ −− 4 Hoặc là một số (hệ số binôm) ))(()1( )1.3()()1()( 0 0 hikxf i k ihxf i k xf k i i k i ikk −+         −= +         −=∆ ∑ ∑ = = −         i k ,1 0 =         k , 1 k k =         , , !2 )1( 2 − =         kk k ki i ikkkk i k ≤ +−−− =         , ! )1) (2)(1( 5 2. Số gia hữu hạn lùi Số gia hữu hạn lùi bậc 1, 2 và bậc cao hơn của hàm ƒ(x) tại điểm x ……………………………………………………………… )2()(2)( )()()( )()()( 2 hxfhxfxf hxfxfxf hxfxfxf −+−−= −∇−∇=∇ −−=∇ )()1( )2.3(),)(()1()( 0 0 ihxf i k hikxf i k xf k i i k i ikk −         −= −−         −=∇ ∑ ∑ = = − 6 3. Số gia hữu hạn trung tâm Số gia hữu hạn trung tâm bậc 1, 2 và bậc cao hơn của hàm ƒ(x) tại điểm x …………………………………………………… )()(2)( )2/()2/()( )2/()2/()( 2 hxfxfhxf hxfhxfxf hxfhxfxf −+−+= −−+= −−+= δδδ δ )4.3() 2 ()()( )3.3(),)2/(()1()( 0 h k xfkhxfxf hikxf i k xf kkk k i ikk +=+∇=∆⇒ −+         −= ∑ = − δ δ 7 3.2. Các bảng số gia 3.2. Các bảng số gia Bảng số gia hữu hạn tiến 8 Bảng số gia hữu hạn lùi Bảng số gia hữu hạn lùi 9 10 3.3. Các phương pháp nội suy 3.3. Các phương pháp nội suy 1. Nội suy với mốc cách đều xét cách biểu diễn một đa thức theo số gia hữu hạn • Nếu thay cho việc dùng biến x khi các mốc cách đều ta dùng biến • Thì các mốc được thay thế bằng u = -m , -m+1, … , 0 , 1 , … , m ii xxh h xx u −= − = +1 0 , [...]...     [ 0] [1] (u + k )[ 2 k +1] 2 k +1 Nếu số hạng cuối cùng là δ y −1 / 2 thì sai số là: (2k + 1)! E 2 ( k +1) (u + k )[ 2 ( k +1)] h 2 ( k +1) f ( 2 ( k +1)) (ξ ) = (2(k + 1))! Nếu số hạng cuối là (u + k )[ 2 k ] 2 k δ y0 (2k )! thì sai số là (u + k − 1)[ 2 k +1] h 2 k +1 f ( 2 k +1) (ξ ) E2 k +1 = (2k + 1)! 22 2 Nội suy với mốc không cách đều Nội suy Lagrange Trên đoạn a≤x≤b cho một lưới các... một lưới các điểm chia (điểm nút) xi, i = 0, 1, 2, …, n: a ≤ x0, x1, x2, …, xn ≤ b tại các nút xi cho giá trị của hàm số y = f(x) là yi = f(xi), i = 0, 1, 2, …, n 23 24 25 26 Nội suy bằng đa thức Newton 27 28 29 30 • Phương pháp xấp xỉ bình phương cực tiểu Giả sử có 2 dạng đại lượng x và y có liên hệ phụ thuộc nhau theo một dạng đã biết: y = a + bx + cx2 + … Chưa biết các giá trị cụ thể a, b, c … Các... một số dương đủ nhỏ thì công thức nội suy Gregory-Newton tiến với sai số EN là u [ i ] ∆i y0 y=∑ + EN , i! i =0 h N +1u [ N +1] f ( N +1) (ξ ) EN = ( N + 1)! N ∀ ∆i y0 = ∆i PN (x0), i =0, 1, 2, …, N • yj = PN (xj) = ƒ(xj) , j = 0, 1, 2, …, N, x0 < ξ < xN • Tại điểm x = x0 + ph p( p − 1) 2 p( p − 1)( p − 2) 3 ∆ y0 + ∆ y0 2! 3! p( p − 1)( p − 2) ( p − N + 1) N + + ∆ y0 15 N! PN ( x) = y0 + p∆y0 + Nội suy. .. một số dương đủ nhỏ thì công thức nội suy Gregory-Newton lui với sai số EN là u[i ]∇i y0 y=∑ + EN , i! i =0 h N +1u[ N +1] f ( N +1) (ξ ) EN = ( N + 1)! N ∀ ∇i y0 = ∇i PN (x0), i =0, 1, 2, …, N • yj = PN (xj) = ƒ(xj) , j = 0, 1, 2, …, N, x0 < ξ < xN • Tại điểm x = x0 + ph p ( p − 1) 2 p( p − 1)( p − 2) 3 PN ( x) = y N + p∇y N + ∇ yN + ∇ yN 2! 3! p( p − 1)( p − 2) ( p − N + 1) N + + ∇ yN N! 20 Nội suy. .. δ y0   5! δ 2 + 6! δ y0  + +  (2k + 1)! δ    2 2 k!     + •Nếu số hạng cuối cùng là (u+k-1)[2k]δ2kyo/(2k)! thì sai số là: (u + k )[ 2 k +1] h 2 k +1 f ( 2 k +1) (ξ ) E2 k +1 = (2k + 1)! •Nếu số hạng cuối là E2k (u + k − 1)[ 2 k −1] 2 k −1 y1 δ (2k + 1)! 2 (u + k − 1)[ 2 k ] h 2 k f ( 2 k ) (ξ ) = (2k )! thì sai số là 21 • Gauss lùi  (u + 1)[ 2] 2  (u + 1)[3] 3 y = (u y0 + u δ y −1/ 2.. .Nội suy Gregory-Newton tiến Ta dùng một loại đa thức được gọi là đa thức giai thừa u [ 0] = 1, u [1] = u, u [ 2] = u (u − 1), u [ k ] = u (u − 1)(u − 2) (u − k + 1), 11 Khi đó, theo định nghĩa (3.1), số gia hữu hạn tiến bậc 1 của u[k] ∆u [ k ] = (u + 1) k − u [ k ] = (u + 1)u [ k −1] − (u − k + 1)u... nghĩa (3.2), số gia hữu hạn lui bậc 1 của u[k] ∇u[ k ] = u[ k ] − (u − 1)[ k ] = (u + k − 1)u[ k −1] − (u − 1)u[ k −1] = ku[ k −1] Tương tự ∇ 2u[ k ] = k ( k − 1)u[ k −2 ] ∇ k u [ k ] = k! Ta nhận thấy u1 = u[1], u2 = u(u+1)-u = u[2] - u[1], u3 = u(u+1)(u+2) + 3u(u+1) + u = u[3] -3 u[2] + u[1] 17 Tức là uk có thể biểu diễn thành một đa thức của các đa thức giai thừa u[i], i = 1, 2, …, k và do PN(x)... Chưa biết các giá trị cụ thể a, b, c … Các cặp giá trị tương ứng (xi , yi) đã biết: 31 • Trường hợp y = a + bx Ta có yi – a – bxi = εi i = 1, 2, 3, …., n Là các sai số tại xi, do đó: S = ∑(yi – a – bxi)2 là tổng bình phương của các sai số S phụ thuộc a, b, còn xi, yi đã biết Xác định a, b sao cho S bé nhất ⇒ a,b là nghiệm của hệ pt: ⇒ na + b∑xi = ∑yi a∑xi + b∑xi2 = ∑xiyi 32 • Trường hợp: y = a + bx... PN(x) = PN(x0+ uh) Là một đa thức bậc N của u[i] , cho nên ta có thể viết PN ( x) = c0 u [ N ] + c1u [ N −1] + + c N −1u [1] + c N u [ 0 ] Tính c0, c1,…,cN : Tại thời điểm x=x0 hay u=0 ta tính PN(x) và ∇kPN(x) PN ( x0 ) = c0 0[ N ] + c1 0[ N −1] + + c N −1 0[1] + c N 0[ 0 ] = c N ∇PN ( x) = Nc0u[ N −1] + ( N − 1)c1u[ N −2 ] + + cN −1u[ 0 ] ⇒ ∇PN ( x0 ) = cN −1 ∇ 2 PN ( x) = N ( N − 1)c0u[ N − 2] . 1 Chương 3 Chương 3 Nội suy và xấp xỉ Nội suy và xấp xỉ hàm số hàm số 2 3.1. Số gia hữu hạn 3.1. Số gia hữu hạn Cho giá trị của hàm số ƒ(x) tại các điểm mốc Là …, 1. Số gia hữu hạn tiến - Số. Các bảng số gia 3.2. Các bảng số gia Bảng số gia hữu hạn tiến 8 Bảng số gia hữu hạn lùi Bảng số gia hữu hạn lùi 9 10 3.3. Các phương pháp nội suy 3.3. Các phương pháp nội suy 1. Nội suy với mốc. x ……………………………………………………………… )2()(2)( )()()( )()()( 2 hxfhxfxf hxfxfxf hxfxfxf −+−−= −∇−∇=∇ −−=∇ )()1( )2.3(),)(()1()( 0 0 ihxf i k hikxf i k xf k i i k i ikk −         −= −−         −=∇ ∑ ∑ = = − 6 3. Số gia hữu hạn trung tâm Số gia hữu hạn trung tâm bậc 1, 2 và bậc cao hơn của hàm ƒ(x) tại điểm x …………………………………………………… )()(2)( )2/()2/()( )2/()2/()( 2 hxfxfhxf hxfhxfxf hxfhxfxf −+−+= −−+= −−+= δδδ δ )4.3() 2 ()()( )3.3(),)2/(()1()( 0 h k xfkhxfxf hikxf i k xf kkk k i ikk +=+∇=∆⇒ −+         −= ∑ = − δ δ 7 3.2.