chuong 4 noi suy va xap xi ham revised compatibility mode

Môn Học : PHƯƠNG PHÁP SỐ GV : Th.S Nguyễn Tấn Phúc Bộ môn Cơ Điện Tử Email: phucnt@hcmuaf.edu.vn Tel : 01267102772 Môn Học : PHƯƠNG PHÁP SỐ GV : Th.S Nguyễn Tấn Phúc Bộ môn Cơ Điện Tử Email: phucnt@hcmuaf.edu.vn Tel : 01267102772 Chương : NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM NỘI DUNG CHƯƠNG: I) ĐẶT BÀI TOÁN II) NỘI SUY THEO HÀM LAGRANGE III) NỘI SUY THEO PP NEWTON IV) XẤP XĨ THỰC NGHIỆM - PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG BÉ NHẤT I ĐẶT BÀI TOÁN : Để tính giá trò hàm liên tục bất kỳ, ta xấp xỉ hàm đa thức, tính giá trò đa thức từ tính giá trò gần hàm Xét hàm y = f(x) cho dạng bảng soá x xo x1 x2 xn y yo y1 y2 yn Các giá trò xk, k = 0, 1, , n theo thứ tự tăng dần gọi điểm nút nội suy Các giá trò yk = f(xk) giá trò cho trước hàm xk Bài toán : xây dựng đa thức pn(x) bậc ≤n thoả điều kiện pn(xk) = yk, k=0,1, n Đa thức gọi đa thức nội suy hàm f(x) II ĐA THỨC NỘY SUY LAGRANGE: Cho hàm y = f(x) bảng số x xo x1 x2 xn y yo y1 y2 yn Ta xây dựng đa thức nội suy hàm f(x) [a,b]=[x0, xn] Đặt n pn( k ) ( x ) = ∏ ( x − xi ) ∏ ( x k − xi ) i = 0,i ≠ k n i = 0,i ≠ k ( x − x )( x − x1 ) ( x − x k −1 )( x − x k +1 ) ( x − x n ) = ( x k − x )( x k − x1 ) ( x k − x k −1 )( x k − x k +1 ) ( x k − x n ) Ta coù 1 p ( xi ) =  0 (k ) n i=k i≠k Đa thức n L n ( x ) = ∑ pn( k ) ( x ) y k k =0 có bậc ≤ n thỏa điều kiện Ln(xk) = yk gọi đa thức nội suy Lagrange hàm f Ví dụ : Cho hàm f bảng số x y -1 Xây dựng đa thức nội suy Lagrange tính gần f(2) Giải n=2 ( x − 1)( x − 3) p ( x) = = ( x − x + 3) (0 − 1)(0 − 3) (0) n ( x − 0)( x − 3) p ( x) = = − ( x − 3x ) (1 − 0)(1 − 3) (1) n ( x − 0)( x − 1) p ( x) = = (x − x) (3 − 0)(3 − 1) (2) n Đa thức nội suy Lagrange 2 19 Ln ( x )= ( x − x + 3) + ( x − x ) + ( x − x ) = x − x + 3 6 f(2) ≈ Ln(2) = -2/3 Ví dụ : Cho hàm f xác đònh [0,1] bảng số x y 0.3 0.7 2.2599 2.5238 Tính gần phương pháp newton : f(0.12) ; f(0.9) theo sai phân cấp Giải : ta lập bảng tỉ sai phaân xk f(xk) f[xk,xk+1] f[xk,xk+1,xk+2] 0.8663 0.3 2.2599 -0.295 0.6598 0.7 2.5238 Ta có Bài tập p.50:thầy hùng IV.BÀI TOÁN XẤP XỈ THỰC NGHIỆM : Xét toán thống kê lượng mưa 12 tháng Thực nghieäm (k=1 12) xk yk 550 650 540 580 610 605 Các giá trò yk xác đònh thực nghiệm nên không xác Khi việc xây dựng đường cong qua tất điểm Mk(xk, yk) không xác Bài toán xấp xỉ thực nghiệm : tìm hàm f(x) xấp xỉ bảng {(xk,yk)} theo phương pháp bình phương cực tiểu : g( f ) = ∑ ( f ( xk ) − yk )2 đạt Hàm f tổng quát đa dạng Để đơn giản, thực tế thường ta tìm hàm f theo dạng sau : - f(x) = A + Bx - f(x) = A+Bx+Cx2 - f(x) = Asinx+Bcosx - f(x) = AeBx - f(x) = AxB … Trường hợp f(x) = A+ Bx : Phương trình bình phương cực tiểu có dạng g( A, B) = ∑ ( A + Bxk − yk )2 Bài toán qui tìm cực tiểu hàm biến g(A,B)  ∂g Điểm dừng = ( A + Bx − y ) = ∑  ∂A k k   ∂g = ( A + Bx − y ) x = ∑ k k k  ∂B Suy Suy ra: A, B  nA + (∑ xk )B = ∑ yk  ( x ) A ( x )B = ∑ xk y + ∑ ∑ k k  k Ví dụ : Tìm hàm f(x) = A + Bx xấp xỉ bảng số x y 1 2 3 2 4 5 Theo pp BPCT Ta coù n = 10 Giải hệ pt  nA + (∑ xk )B = ∑ yk  10 A + 29 B = 39 ⇒  (∑ x k ) A + (∑ x k )B = ∑ xk yk 29 A + 109 B = 140 Nghieäm A = 0.7671, B=1.0803 Vậy f(x) = 0.7671+1.0803x Trường hợp f(x) = Acosx + Bsinx : Phương trình bình phương cực tiểu có dạng g( A, B) = ∑ ( A cos xk + B sin xk − yk )2 Baøi toán qui tìm cực tiểu hàm biến g(A,B) Điểm dừng  ∂g = 2∑( A cos x + B sin x − y )cos x =  ∂A k k k k   ∂g = ( A cos x + B sin x − y )sin x = ∑ k k k k  ∂B Suy (∑ cos2 xk )A + (∑ sin xk cos xk )B = ∑ yk cos xk  ( sin x cos x ) A + ( sin ∑ xk )B = ∑ yk sin xk  ∑ k k Suy ra: A,B Ví dụ : Tìm hàm f(x)=Acosx+Bsinx xấp xỉ bảng số x y 10 20 30 40 50 1.45 1.12 0.83 1.26 1.14 rad Theo pp BPCT Ta coù n = (∑cos2 xk )A + (∑sin xk cos xk )B = ∑ yk cos xk  Giải hệ pt ( sin x cos x )A + ( sin x )B = y sin x ∑ k k ∑ k ∑ k  2.2703 A − 0.0735B = −0.3719 ⇒ −0.0735 A + 2.7297B = 0.0533 Nghiệm A = -0.1633, B=0.0151 Vậy f(x) = -0.1633cosx+0.0151sinx k Trường hợp f(x) = Ax2 + Bsinx : Phương trình bình phương cực tiểu có dạng g( A, B) = ∑ ( Axk2 + B sin xk − yk )2 Bài toán qui tìm cực tiểu hàm biến g(A,B) Điểm dừng  ∂g 2  ∂A = 2∑( Axk + B sin xk − yk )xk =   ∂g = ( Ax2 + B sin x − y )sin x = k k k  ∂B ∑ k Suy Suy ra:A,B (∑ xk4 )A + (∑ xk2 sin xk )B = ∑ xk2 yk  2 ( x sin x ) A + ( sin  ∑ k ∑ xk )B = ∑ yk sin xk k Ví dụ : Tìm hàm f(x)=Ax2+Bsinx xấp xỉ bảng soá x y 1.3 1.5 1.8 2.0 2.4 2.6 2.7 2.7 1.8 3.51 3.1 3.78 3.9 4.32 Theo pp BPCT Ta coù n =7 (∑ xk4 )A + (∑ xk2 sin xk )B = ∑ xk2 yk Giải hệ pt  2 (∑ xk sin xk ) A + (∑ sin xk )B = ∑ yk sin xk  166.4355 A + 21.1563B = 112.015 ⇒  21.1563 A + 4.6033B = 17.0441 Nghiệm A = 0.4867, B=1.4657 Vậy f(x) = 0.4857x2 + 1.4657sinx Trường hợp f(x) = A+ Bx+Cx2: Phương trình bình phương cực tiểu có dạng g( A, B, C ) = ∑ ( A + Bxk + Cxk2 − yk )2 Bài toán qui tìm cực tiểu hàm biến g(A,B,C)  ∂g  ∂ A = ∑ ( A + Bx + C x − y ) =  Điểm dừng  ∂ g = ∑ ( A + Bx + C x − y ) x =  ∂B k k k k k k k   ∂g 2 = ( A + B x + C x − y ) x =0 ∑ k k k k  ∂C  Suy  nA + (∑ x k )B + (∑ x k2 )C = ∑ yk  (∑ x k ) A + (∑ x k )B + (∑ x k )C = ∑ x k yk  ( x ) A + ( x ) B + ( x ) C = x ∑ k ∑ k ∑ k yk  ∑ k Suy ra: A,B,C Ví dụ : Tìm hàm f(x) = A + Bx+Cx2 xấp xỉ bảng số x y 1 4.12 4.18 3 6.23 8.34 8.38 12.13 18.32 Theo pp Bình Phương cực tiểu GIẢI n=7 Giải hệ pt  nA + (∑ xk )B + (∑ xk2 )C = ∑ yk   (∑ xk ) A + (∑ x k )B + (∑ x k )C = ∑ xk y k  ( x ) A + ( x ) B + ( x ) C = x  ∑ k ∑ k ∑ k ∑ k yk  A + 19B + 65C = 61.70  ⇒ 19 A + 65B + 253C = 211.04 65A + 253B + 1061C = 835.78  Nghieäm A = 4.3, B=-0.71, C=0.69 Vậy f(x) = 4.3-0.71x+0.69x2 Bài tập p.58-60 KẾT THÚC CHƯƠNG 4… ... xk  166 .43 55 A + 21.1563B = 112.015 ⇒  21.1563 A + 4. 6033B = 17. 044 1 Nghieäm A = 0 .48 67, B=1 .46 57 Va y f(x) = 0 .48 57x2 + 1 .46 57sinx ... ∑ k Suy Suy ra:A,B (∑ xk4 )A + (∑ xk2 sin xk )B = ∑ xk2 yk  2 ( x sin x ) A + ( sin  ∑ k ∑ xk )B = ∑ yk sin xk k Ví dụ : Tìm hàm f(x)=Ax2+Bsinx xấp xỉ bảng số x y 1.3 1.5 1.8 2.0 2 .4 2.6... 3.9 4. 32 Theo pp BPCT Ta coù n =7 (∑ xk4 )A + (∑ xk2 sin xk )B = ∑ xk2 yk Giải hệ pt  2 (∑ xk sin xk ) A + (∑ sin xk )B = ∑ yk sin xk  166 .43 55 A + 21.1563B = 112.015 ⇒  21.1563 A + 4. 6033B