Ứng dụng lý thuyết thế vị phẳng vào phép nội suy các không gian lp và phép xấp xỉ đều

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỊ CHÍ MINH NGUYỄN VĂN QUANG ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT THẾ VỊ PHẲNG VÀO PHÉP NỘI SUY CÁC KHƠNG GIAN LP VÀ PHÉP XẤP XỈ ĐỀU Chun ngành: Mã số: Tốn giải tích 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN VĂN ĐƠNG Thành phố Hồ Chí Minh - 2009 LỜI CẢM ƠN Đầu tiên tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy TS Nguyễn Văn Đơng, người tận tâm hướng dẫn tạo điều kiện tối đa để tơi hồn thành luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn đến Q Thầy Cơ Hội đồng chấm luận văn giành thời gian đọc, chỉnh sửa đóng góp ý kiến giúp cho tơi hồn thành luận văn cách hồn chỉnh Tơi xin cảm ơn Ban Giám Hiệu, Phòng KHCN-Sau Đại học tồn thể thầy khoa Tốn-Tin học trường Đại học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh giảng dạy tạo điều kiện tốt cho tơi suốt thời gian nghiên cứu đề tài Tơi chân thành cảm ơn gia đình, anh chị bạn đồng nghiệp động viên, giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Cuối cùng, q trình viết luận văn khó tránh khỏi thiếu sót, mong nhận góp ý Q Thầy Cơ bạn đọc nhằm bổ sung hồn thiện đề tài Xin chân thành cảm ơn TP Hồ Chí Minh, tháng 11 năm 2009 DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU : tập số tự nhiên : tập số ngun : tập số hữu tỉ : tập số thực : tập số phức  : tập số phức mở rộng ( mặt cầu Rieman) B( ,  ) , ( ,  ) : hình tròn mở tâm  , bán kính  B ( ,  ) : hình tròn đóng tâm  , bán kính  supp  : giá độ đo  supp  : giá hàm  D : biên D int( D) : phần D diam  D  : đường kính D A( D) : tập tất hàm chỉnh hình D H ( D) : tập tất hàm điều hòa D S (U ) : tập tất hàm điều hòa U C n ( D) : tập tất hàm khả vi liên tục đến cấp n D Cc  D  : tập tất hàm liên tục có giá compact D C  ( D ) : tập tất hàm khả vi vơ hạn lần D Cc  D  : tập tất hàm khả vi vơ hạn có giá compact D # A; A : lực lượng tập A H  : đại số hàm giải tích bị chặn, đĩa đơn vị MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài mục đích nghiên cứu Lý thuyết vị tên gọi cho lĩnh vực nghiên cứu rộng rãi giải tích phức bao gồm vấn đề liên quan đến hàm điều hòa, điều hòa dưới, tốn Dirichlet, độ đo điều hòa, hàm Green, vị dung lượng… Xuất phát từ thực tiễn vật lý, phát triển nhanh từ lý thuyết vị cổ điển n lý thuyết đa vị n đến lý thuyết tiên đề khơng gian tổng qt Sự phát triển ngày trừu tượng khái qt Tuy nhiên có chung cho tất lý thuyết trên, lý thuyết vị mặt phẳng: lý thuyết chứa vật liệu cần thiết cho lý thuyết vị Có liên hệ chặt chẽ lý thuyết vị giải tích phức: kỹ thuật giải tích phức, đặc biệt ánh xạ bảo giác, giúp đưa nhanh gọn chứng minh kết lý thuyết vị Mặt khác định lý tương tự lý thuyết vị lại có vơ số ứng dụng giải tích phức Trong lý thuyết số, phép nội suy phương pháp xây dựng điểm liệu dựa vào tập rời rạc điểm liệu biết Các liệu có nhờ việc lấy mẫu, thí nghiệm, phép thử , từ người ta cố gắng xây dựng hàm mà khớp gần với liệu Lĩnh vực gọi làm khớp đường cong, giải tích ngược (giải tích hồi quy) Phép nội suy trường hợp đặc biệt làm khớp đường cong mà đồ thị hàm số phải qua điểm liệu Các dạng phép nội suy xây dựng cách chọn lớp hàm khác nhau, chẳng hạn : phép nội suy đa thức, phép nội suy hàm lượng giác, phép nội suy hàm điều hòa dương Một tốn có liên hệ gần gũi với phép nội suy phép xấp xỉ hàm đa thức với hàm đơn giản Các kết lý thuyết vị phép nội suy nghiên cứu ứng dụng rộng rãi Vì chúng tơi chọn đề tài làm nội dung nghiên cứu luận văn nhằm học tập phát triển đề tài theo hướng Đối tượng phạm vi nghiên cứu Trong luận văn này, sau giới thiệu số kết có Lý thuyết vị mặt phẳng, nhiều ứng dụng lý thuyết vị, chúng tơi giới thiệu ba ứng dụng sau: + Phép nội suy khơng gian Lp : + Xấp xỉ + Phép nội suy hàm điều hòa dương Cấu trúc luận văn Luận văn chia thành chương với nội dung sau Chương 1: Trong chương này, ta trình bày kết lý thuyết vị mặt phẳng phức, mà khơng đưa chứng minh Các chứng minh trình bày chi tiết [10] Chương 2: Sử dụng định lý Ba đường thẳng lý thuyết vị kiến thức giải tích hàm ta chứng minh định lý Định lý nội suy Riesz – Thorin, mà trường hợp đặc biệt định lý là: với T tốn tử tuyến tính bị chặn L1 L2 T tốn tử tuyến tính bị chặn Lp với p thỏa  p  Chương 3: Nội dung chương sử dụng lý thuyết vị, ta mở rộng kết định lý Runge xấp xỉ dều đa thức qua định lý: Định lý Bernstein-Walsh, Định lý Keldysh Chương 4: Trình bày điều kiện cần đủ để dãy điểm tách đường tròn đơn vị dãy nội suy hàm điều hòa dương TP Hồ Chí Minh, ngày 25 tháng 10 năm 2009 Người thực Nguyễn Văn Quang Chương 1: MỘT SỐ KẾT QUẢ CỦA LÝ THUYẾT THẾ VỊ TRONG MẶT PHẲNG 1.1 Hàm điều hòa Định nghĩa 1.1.1 Cho U tập mở Hàm f : U  gọi hàm điều hòa f  C (U ) f  U Tập hợp hàm điều hòa U ký hiệu H (U ) Kết khơng cung cấp cho nguồn ví dụ phong phú hàm điều hòa mà mang lại cơng cụ hữu ích để khám phá tính chất chúng thơng qua tính chất hàm chỉnh hình Định lý 1.1.2 Cho D miền a Nếu f  A( D) u  Re f u  H ( D) b Nếu u  H ( D) D miền đơn liên tồn f  A( D) cho u  Re f Hơn nữa, hàm f sai khác số Định lý 1.1.3 ( Ngun lý cực đại) Cho f hàm điều hồ miền D  a Nếu f đạt cực đại D f  const D b Nếu f liên tục D f ( z )  z  D f  D (   D D khơng bị chặn) Định lý 1.1.4 ( Ngun lý đồng nhất) Cho f , g hai hàm điều hồ miền D Nếu f  g tập mở U  ,U  D f  g D Định nghĩa 1.1.5 a) Hàm P : B(0,1)  B(0,1)  xác định bởi:    z  1 z P( z,  )  Re     z    z gọi nhân Poisson  z  1,   1 b) Nếu   B( ,  )  :   P :   hàm khả tích Lebesgue ta gọi hàm xác định bởi: P ( z )  2 2  z  0 P    , ei  (   ei )d ( z )  tích phân Poisson Cụ thể với r    t  2 ta có: P (  re )  2 it 2 0   r2  (   ei )d    r cos(  t )  r Sau kết bản: Hệ 1.1.6 ( Cơng thức tích phân Poisson) Cho f hàm điều hồ lân cận mở đĩa tròn đóng B( ,  ) Khi với r    t  2 ta có: f (  re )  2 it 2 0   r2 i 2 f (   e ) d    r cos(  t )  r 1.2 Hàm điều hòa dương Từ “dương” có nghĩa “ khơng âm” tình khó mà phân biệt chúng theo ngun lý cực đại hàm điều hòa đạt giá trị cực tiểu miền phải đồng khơng tồn miền Định lý 1.2.1 ( Bất đẳng thức Harnack) Cho h hàm điều hòa dương B(z,R) Khi với r < R ,   [0,2  ] có Rr Rr h( z )  h( z  rei )  h( z ) Rr Rr Hệ 1.2.2 Cho D miền  z,   D Khi tồn số  cho với hàm điều hòa dương h D,  1h( )  h( z )   h( ) Từ hệ ta đưa định nghĩa sau: Định nghĩa 1.2.3 Cho D miền  z,   D Khoảng cách Harnack z  số nhỏ  D ( z ,  ) cho với hàm điều hòa dương h D có  D ( z,  )1 h( )  h( z )   D ( z,  )h( ) Có trường hợp mà  D ( z ,  ) tính Định lý 1.2.4 Nếu   B( ,  )   ( z,  )    z    z  Định lý 1.2.5 (Định lý Harnack) Cho  hn n1 hàm điều hòa miền D  giả sử h1  h2  h3  D Khi hn   địa phương hn  h địa phương, với h hàm điều hòa D 1.3 Hàm Điều Hòa Dưới Hàm u : U  [, ) gọi điều Định nghĩa 1.3.1 Cho U tập mở hồ u nửa liên tục thoả mãn bất đẳng thức trung bình địa phương:  U ,   : u ( )  2 2 0 u(  re it )dt ,0  r   Hàm v : U  [, ) gọi điều hồ v điều hồ Tập tất hàm điều hồ U kí hiệu S (U ) Định lý 1.3.2 Nếu f chỉnh hình tập mở U Định lý 1.3.3 Cho U tập mở log f  S (U ) u, v  S (U ) Khi a max(u, v)  S (U ) b  u   v  S (U )  ,   Định lý 1.3.4 (Ngun lý cực đại) Cho miền D  u  S ( D) a Nếu u nhận giá trị cực đại tồn cục D u  const b Nếu lim sup u ( z )   D u  D z  Định lý 1.3.4 (Ngun lý Paragmen – Lindelof): Cho u hàm điều hòa trên miền D  khơng bị chặn, cho: limsup u  z   z    D \  Cũng giả sử rằng, có hàm điều hòa hữu hạn v D cho: liminf v  z   limsup z  z  uz 0 v z u  D 1.4 Thế vị Định nghĩa 1.4.1 Cho  độ đo Borel hữu hạn với giá compact Thế vị hàm p :   ,   xác định bởi: p ( z )   log z   d  ( ), z  Định lý 1.4.2 Với định nghĩa thì: p  S ( ) điều hồ \ supp  1 Hơn nữa: p ( z )   ( ) log z  O( z ) z   Định nghĩa 1.4.3 Cho  độ đo Borel hữu hạn với giá compact K Năng lượng I (  ) đại lượng xác định bởi: I (  )   log z   d  ( z )d  ( )   p ( z )d  ( z ) Để giải thích thuật ngữ này, ta coi  phân bố điện tích Khi p ( z ) thể lượng vị z ứng với  , lượng tồn phần là:  p ( z ) d  ( z )  I (  ) Thực đẩy lùi điện tích, hầu hết nhà vật lý định nghĩa lượng  I (  ) , Định nghĩa 3.2.1 thuận lợi Cũng I (  )   Thực tế có số tập hợp có độ đo với lượng vơ hạn Định nghĩa 1.4.4 Cho K tập compact , kí hiệu P( K ) tập tất độ đo Borel xác suất K Nếu tồn v  P( K ) cho I (v)  sup I (  ) v gọi độ P ( K ) đo cân K Định lý 1.4.5 ( Định lý Frostman) Cho K tập compact , v độ đo cân K Khi a pv  I (v) b pv  I (v) K \ E với E tập cực dạng F K 1.5 Tập cực Định nghĩa 1.5.1 a Tập E gọi tập cực I (  )   với độ đo Borel hữu hạn   mà supp  tập compact E b Một tính chất gọi gần khắp nơi (g.k.n) tập S khắp nơi S \ E với E tập cực Borel Tập có phần tử tập cực Tập tập cực tập cực Ngược lại tập khơng tập cực chứa tập compact khơng tập cực (đó supp  với  độ đo với I (  )   ) Định lý 1.5.2 Cho  độ đo Borel hữu hạn với giá compact giả sử I (  )   Khi  ( E )  với tập cực Borel E Hệ 1.5.3 Mọi tập cực Borel có độ đo Lebesgue Hệ 1.5.4 Hợp đếm tập cực Borel tập cực Đặc biệt tập đếm tập cực 1.6 Tốn tử Laplace suy rộng Định lý 1.6.1 Cho  độ đo Borel hữu hạn với giá compact Khi p  2 Hệ 1.6.2 Cho 1 , 2 độ đo Borel hữu hạn p1  p2  h tập mở U , h  H (U ) thì: 1 U  2 U với giá compact Nếu Định lý 1.6.3 Cho K tập compact khơng cực Khi độ đo cân v supp v   e K Hệ 1.6.4 Độ đo cân đĩa đóng  độ đo Lebesgue chuẩn tắc  1.7 Tập mỏng Định nghĩa 1.7.1 Cho S    Ta nói S khơng mỏng    S \   với hàm điều hồ u xác định lân cận  ta có: limsup u ( z )  u ( ) z  zS \  Ngược lại ta nói S mỏng  Định lý 1.7.2 Tập cực dạng F mỏng điểm thuộc Định lý 1.7.3 Một tập liên thơng chứa nhiều điểm khơng mỏng điểm thuộc bao đóng 1.8 Hàm Green: Định nghĩa 1.8.1 Cho D miền thực  Một hàm Green D ánh xạ g D : D  D  (, ] cho với   D : (a) g D (.,  ) điều hòa D \{} , bị chặn bên ngồi lân cận  (b) g D ( ,  )   z   , log z  O(1),    log z    O(1),   g D ( z,  )   (c) g D ( z ,  )  z   , với   D gần khắp nơi Ví dụ: Nếu   B(0,1) g  ( z,  ) : log  z z  hàm Green  Định lí 1.8.2 Cho D miền  , cho D khơng tập cực, tồn hàm Green g D D Định lí 1.8.3 Cho D miền  , cho D khơng tập cực Khi đó: g D ( z,  )  ( z,   D) 1.9 Dung lượng : Định nghĩa 1.9.1 Dung lượng loga tập E cho bởi: c  E  : sup e I     suppremum lấy độ đo xác suất Borel  với giá tập compact E Đặc biệt K tập compact với độ đo cân v, c  K   eI v ta hiểu e  , rõ ràng c  E   E tập cực Có nhiều dung lượng khác có tính chất này, dung lượng loga có thuận lợi liên kết gần gủi đặc biệt với giải tích phức Vì ta nghiên cứu dung lượng loga nên ta gọi ngắn gọn dung lượng Ta bắt đầu cách liệt kê tính chất sơ cấp Định lí 1.9.2 a) Nếu E1  E2 c  E1   c  E2  b) Nếu E  c  E   sup c  K  : K  E , K compact c) Nếu E  c  E      c  E  với  ,   d) Nếu K tập compact c  K   c   e K  Định lí 1.9.3 a) Nếu K1  K  K3  tập compact K   K n thì: n c  K   lim c  K n  n  b) Nếu B1  B2  B3  tập Borel B   Bn thì: n c  B   lim c  Bn  n Định lí 1.9.4 Cho K tập compact khơng tập cực D thành phần  \ K mà chứa  Khi đó: g D  z ,    log z  log c  K   o 1 Hệ 1.9.5 Nếu   z   r  c  B  , r    r Định lí 1.9.6 Cho K tập compact q  z    j 0 a j z j ad  Khi đó: d c q 1  K  1/ d  cK      ad    Chương 2: PHÉP NỘI SUY TRONG KHƠNG GIAN LP  Trước vào kết chương, ta nêu khái niệm, kết biết khơng gian Lp 2.1 Một số kết biết khơng gian Lp Định nghĩa 2.1.1 Cho khơng gian độ đo  ,   Hàm f :   đo được, với p  1;   , ta định nghĩa f p  p   p  f d        inf c: f  x   c  p     h.k.n  Lp    tập hợp hàm đo f :   p   cho f p   Mệnh đề 2.1.2 i) Với f  L    , ta có f  x   f p ii) Nếu f  Lp    ,g  Lq    ,   fg d  f p g q  hầu khắp nơi   1, p,q  1;   fg  L1    q với  p   (Bất đẳng thức Holder) (p, q gọi liên hiệp với nhau) Hệ 2.1.3 Giả sử f i  Lpi , i  1, k với 1 1      Khi p1 p pk p f  f1.f f k  Lp f k p   fi i 1 pi Nếu f  Lp  Lq 1  p  q    r   p,q  f  Lr ta có f với    0;1 thỏa  r  f p f  1    r p q Nếu   X    p[...]... liu T cú b chn trờn Lp vi mi p tha 1 p 2 Cõu tr li l cú, v õy l mt trng hp dc bit ca nh lý ni suy sau õy, m kt qu c chng minh vi mt chỳt kt qu ca gii tớch phc hay lý thuyt th v nh lý 2.2.1 (nh lý ni suy Riesz Thorin) Cho , v , l cỏc khụng gian o v T l ỏnh x tuyn tớnh t Lp0 Lp1 vo Lq0 Lq1 , vi p0 , p1 , q 0 , q1 1; Nu T : Lp0 Lq0 vi T M 0 T : Lp1 Lq1 vi T ... Khi ú: d c q 1 K 1/ d cK ad Chng 2: PHẫP NI SUY TRONG KHễNG GIAN LP Trc khi i vo cỏc kt qu chớnh ca chng, ta nờu cỏc khỏi nim, kt qu ó bit ca khụng gian Lp 2.1 Mt s kt qu ó bit v khụng gian Lp nh ngha 2.1.1 Cho khụng gian o , Hm f : o c, vi mi p 1; , ta nh ngha f p 1 p p f d inf c: f x c khi 1 p h.k.n trờn Lp l tp hp cỏc hm o c f : khi p sao cho f p ... khụng gian Lp , ta vit l khụng gian l p A , hay vit tt l l p Mt phn t ca l p cú th c xem nh l mt dóy s phc x n v 1 p p x p n n 1 + Nờu l o Lebesgues trờn k , ta vit l p k thay cho l p P 2.2 Phộp ni suy trong khụng gian L : Vi ỏnh x tuyn tớnh T, c nh ngha trờn khụng gian cỏc hm o c, v T l toỏn t b chn trờn c L1 v L2 Da vo bt ng thc Holder, thỡ Lp (vi 1 p 2 ) u cha trong khụng gian. .. tha r f p f 1 1 r p q 3 Nu X v p