BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HỒ THỊ NGỌC KHÔNG GIAN Lp(x) VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Demo Version - Select.Pdf SDK LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH Mã số : 60 46 01 02 Cán hướng dẫn khoa học: PGS.TS LÊ VĂN HẠP HUẾ, 2014 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi, số liệu kết luận văn trung thực, đồng tác giả cho phép sử dụng chưa công bố cơng trình khác Hồ Thị Ngọc Demo Version - Select.Pdf SDK ii LỜI CẢM ƠN Luận văn hồn thành hướng dẫn khoa học tận tình, chu đáo Thầy giáo, PGS.TS Lê Văn Hạp Tôi xin gửi đến Thầy trân trọng biết ơn sâu sắc Xin bày tỏ lòng biết ơn kính trọng đến q Thầy Cơ giáo Trường ĐHSP Huế, ĐHKH Huế, người tận tình giảng dạy ln động viên, khích lệ tơi suốt hai năm học qua Tôi xin chân thành cảm ơn BGH trường ĐHSP Huế, Thầy Cơ Khoa Tốn trường ĐHSP Huế, ĐHKH Huế PQLSĐH trường ĐHSP Huế, người giúp tơi có kiến thức khoa học điều kiện để hồn thành cơng việc học tập, nghiên cứu Cuối tơi xin chân thành cảm ơn Demo Version - Select.Pdf SDK iii Mục lục Trang phụ bìa i Lời cam đoan ii Lời cảm ơn iii Mục lục Lời nói đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 Không gian nửa mođun 1.1.1 Tính chất 1.1.2 Sự hội tụ X 1.1.3 Mođun liên hợp không gian nửa mođun đối ngẫu Không gian Musielak-Orlicz 11 14 Demo Version - Select.Pdf SDK Không gian Lp(x) 2.1 Tính chất 2.2 Bất đẳng thức Holder phép nhúng 2.2.1 Bất đẳng thức Holder cho Lp(x) 2.2.2 Phép nhúng 2.3 Chuẩn liên hợp 2.4 Hội tụ Lp(x) 2.5 Tính trù mật Lp(x) Một số ứng dụng 3.1 3.2 16 18 22 23 25 30 34 38 40 Bài toán Dirichlet Bài toán Newmann 41 46 Kết luận 56 Tài liệu tham khảo 57 LỜI NĨI ĐẦU Khơng gian Lp(x) xuất tài liệu lần vào năm 1931 báo Orlicz Tuy nhiên, sau báo Orlicz từ bỏ nghiên cứu không gian tập trung vào nghiên cứu lý thuyết không gian hàm tổng quát mà mang tên ông - Không gian Orlicz Nhưng năm gần đây, việc nghiên cứu không gian phát triển mạnh, nhiều kết trước phần lớn thay nhiều kết gần Không gian Lp(x) khác với không gian Lp chỗ mũ p số mà hàm từ Ω đến [1, ∞] Khơng gian có lớp khơng gian tổng qt khơng gian Musielak- Orlicz khơng gian nửa mođun Vì thừa hưởng số tính chất mà khơng u cầu tính số mũ áp dụng kết không gian Musielak- Orlicz chung cho p(x) Gần đây, khảo sát tính bị chặn toán tử cực đại Lp(x) (Ω) với Ω miền bị chặn, Diening đưa điều kiện log-Holder liên tục Sau đó, điều kiện nới rộng Lp(x) (Rn ) số mũ bên tập compact Trường hợp miền xác định không bị chặn sớm cải thiện Cruz - Uribe, Fiorenza Neugebauer Sự quan tâm không gian thúc đẩy mơ hình vật lý cho chất lỏng electrorheological có độ nhớt thay đổi, điều mơ hình hóa thơng qua phụ thuộc độ nhớt số mũ biến p(x) Năm 2006, Y.M Chen, S Levine M Rao đề xuất hướng nghiên cứu cho việc phục hồi hình ảnh dựa số mũ biến Laplacian Đây điểm khởi đầu cho nghiên cứu mối liên hệ PDE với số mũ biến sử lý hình ảnh Trong luận văn này, chúng tơi tìm hiểu khơng gian Lp(x) số ứng dụng của mũ biến p(x) vào PDE Nội dung luận văn chia làm ba Demo Version - Select.Pdf SDK chương Chương giới thiệu số khái niệm để đưa đến khái niệm khơng gian Lp(x) Trong đó, chúng tơi trình bày khơng gian nửa mođun tính chất quan trọng không gian này, loại hội tụ mối quan hệ chúng Ngoài mođun liên hợp không gian mođun đối ngẫu đưa vào Cuối Chương 1, chúng tơi giới thiệu khơng gian cụ thể không gian Musielak- Orlicz mà mođun xác định tích phân hàm nhận giá trị thực Chương dành cho việc giới thiệu tổng quan không gian Lp(x) , nội dung luận văn Trong chương chia nhỏ thành nhiều phần đưa số tính chất định lý quan trọng bao gồm: tính chất sở, bất đẳng thức phép nhúng, chuẩn liên hợp, hội tụ tính chất trù mật khơng gian Một số định lý quan trọng đề cập cuối chương kết sử dụng sau Khảo sát toán Dirichlet, toán Newmann với p(x)-Laplacian nội dung Chương Phần đầu chương trình bày tính xấp xỉ hữu hạn phần tử p(x)-Laplacian toán −div (κ + |∇v|)p(x)−2 ∇v = f với p ∈ P log Một số tài liệu trước chứng minh hội tụ mạnh gradien khơng có tỉ lệ rõ ràng nào, để lấy tỉ lệ hội tụ mục đích phần Phần lại trình bày vấn đề tồn nghiệm tốn Newmann khơng với p(x)-Laplacian p = ∞ miền cách xét dãy thích hợp pk bị chặn để pk → p thay p pk toán gốc Phần khép lại định lí quan trọng vấn đề tồn nghiệm viscosity toán phát sinh tự nhiên từ Bổ đề 3.3, Mệnh đề 3.7 phép chuyển qua giới hạn Mặc dù thân cố gắng việc trình bày luận văn khơng thể tránh khỏi sai sót Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp để luận văn hoàn thiện Huế, ngày 15 tháng năm 2014 Hồ Thị Ngọc Demo Version - Select.Pdf SDK ... Khơng gian Lp(x) xuất tài liệu lần vào năm 1931 báo Orlicz Tuy nhiên, sau báo Orlicz từ bỏ nghiên cứu không gian tập trung vào nghiên cứu lý thuyết không gian hàm tổng quát mà mang tên ông - Không. .. ông - Không gian Orlicz Nhưng năm gần đây, việc nghiên cứu không gian phát triển mạnh, nhiều kết trước phần lớn thay nhiều kết gần Không gian Lp(x) khác với không gian Lp chỗ mũ p số mà hàm từ... từ Ω đến [1, ∞] Khơng gian có lớp khơng gian tổng qt khơng gian Musielak- Orlicz khơng gian nửa mođun Vì thừa hưởng số tính chất mà khơng u cầu tính số mũ áp dụng kết không gian Musielak- Orlicz