Lưới trong không gian tôpô và một vài ứng dụng

Mở đầu Lý thuyết về sự hội tụ đóng vài trò quan trọng trong giải tích toán học. Các cấu trúc cơ bản của giải tích nh: Phép tính vi phân, tích phân, tổng của chuỗi số, chuỗi hàm, . đều dựa vào việc chuyển qua giới hạn. Các vấn đề giới hạn của dãy số, dãy hàm số, tổng của chuỗi số, chuỗi hàm số (tổng đếm đợc) đã đ- ợc trình bày một cách đầy đủ trong giáo trình dành cho sinh viên ĐHSP. Song các khái niệm tổng quát hơn về sự hội tụ thì chỉ đợc đề cập tới rất ít. Đó là sự hội tụ của dãy suy rộng (hay còn gọi là lới). Đặc biệt tổng quá đếm đợc thì ch- a đợc đề cập đến. Mục đích của luận văn là dựa vào sự hội tụ của lới, để miêu tả các khái niệm trong không gian tôpô và chứng minh nhiều mệnh đề, định lý theo thuật ngữ lới. Sau đó, dùng thuật ngữ lới để xây dựng một số không gian các họ khả tổng: họ khả tổng yếu và họ hội tụ yếu tới 0 trong không gian lồi địa phơng và xét mối quan hệ giữa hai không gian này. Với mục đích đó, luận văn đợc viết thành hai chơng. Chơng 1 gồm 2 mục: Mục 1 trình bày một số khái niệm và kết quả cần dùng về sau vì thế việc chứng minh các định lý không đợc trình bày. Mục2 nhằm tìm hiểu sự hội tụ theo lới, mô tả không gian tôpô, chứng minh nhiều định lý, mệnh đề theo thuật ngữ hội tụ của lới. Chơng 2 sử dụng khái niệm lới để xây dựng các họ khả tổng yếu và hội tụ yếu tới 0 trong không gian lồi địa phơng. Chơng này gồm 2 mục. Mỗi mục đ- ợc bắt đầu với định nghĩa các họ khả tổng và xây dựng không gian lồi địa ph- ơng trên không gian các họ này. Tiếp đó các nhận xét 2.1.11; 2.2.7 và các mệnh đề 2.1.12; 2.2.8; 2.2.9 cho ta thấy nếu E là không gian định chuẩn thì có thể trang bị cho [E], C 0 (E) các chuẩn sao cho tôpô sinh bởi chuẩn này trùng với tôpô sinh bởi họ các nửa chuẩn đã trang bị trên mỗi không gian lồi địa ph- ơng đó. Chơng 2 đợc kết thúc bằng hai mệnh đề 2.2.10 và 2.2.12 trình bày về mối quan hệ giữa họ khả tổng yếu và họ hội tụ yếu tới 0 trong không gian lồi địa phơng. Phần kết luận là một số kết quả tác giả đã đạt đợc khi làm khoá luận. Khoá luận đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn giúp đỡ tận tình của các thầy cô giáo trong tổ Giải tích và trong khoa Toán. Đặc biệt tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo TS. Đinh Huy Hoàng đã trực tiếp hớng dẫn, giảng dạy trong suốt quá trình làm luận văn. Xin cảm ơn các bạn trong lớp 39A 2 Toán đã động viên và giúp đỡ tôi hoàn thành tốt luận văn này. Vinh, 05/2002 Tác giả Chơng 1 3 Lới trong không gian tôpô Lý thuyết về sự hội tụ của dãy thông thờng đã đợc nghiên cứu một cách đầy đủ trong giáo trình giải tích dành cho sinh viên khoa Toán ĐHSP, nhng sự hội tụ của lới (dãy suy rộng) thì cha đợc đề cập tới. Tuy nhiên, sự hội tụ của l- ới cũng đã đợc sử dụng, chẳng hạn trong định nghĩa tích phân xác định. Mục đích của chơng này là nghiên cứu sự hội tụ của lới. Sau đó, dùng thuật ngữ lới để mô tả một số khái niệm, kết quả trong không gian tôpô, tơng tự nh dùng thuật ngữ dãy thông thờng mô tả các kết quả trong không gian mêtríc. Đ1. Các kiến thức chuẩn bị Trong mục này ta sẽ trình bày một số khái niệm, ký hiệu và kết quả cơ bản cần dùng cho các mục sau. 1.1.1. Định nghĩa không gian tôpô. Giả sử X là một tập khác . Họ T các tập con nào đó của X đợc gọi một tôpô trên X nếu thoả mãn các điều kiện sau: T 1 : T, X T. T 2 : Nếu A T, B T thì A B T. T 3 : Nếu A i T, i I thì Ii i A T. Tập X cùng với tôpô T xác định trên nó đợc gọi là không gian tôpô, ký hiệu là (X, T ) hoặc X. 1.1.2. Định nghĩa tập mở, tập đóng, bao đóng của một tập trong không gian tôpô X. Cho không gian tôpô (X, T ), E là tập con nào đó của X. 1) E đợc gọi là tập mở nếu E T. 2) E đợc gọi là tập đóng nếu X \ E T. 3) Bao đóng của E là giao tất cả các tập đóng chứa E. 4 1.1.3. Định nghĩa lân cận. Cho không gian tôpô (X, T ). Tập V X đợc gọi là lân cận của điểm x X nếu tồn tại tập mở WT sao cho x W V. 1.1.4. Định nghĩa các loại điểm. Cho không gian tôpô (X, T ); E X, x X. Ta gọi x là: 1) Điểm trong của E nếu E là lân cận của x. Lúc đó tập tất cả các điểm trong của E gọi là phần trong của E, ký hiệu là IntE. 2) Điểm biên của E nếu x không là điểm trong của E cũng nh X \ E. Tập tất cả các điểm biên của E gọi là biên của E và ký hiệu là E. 3) Điểm giới hạn của E nếu với mọi lân cận V của x đều có V (E \ {x}) . 4) Điểm dính của E nếu với mọi lân cận V của x đều có V E . 5) Điểm cô lập của E nếu tồn tại lên cận V của x sao cho: V E = {x}. 1.1.5. Định lý. Giả sử X là không gian tôpô, E là tập con của X. Khi đó 1) E đóng khi và chỉ khi E = E . 2) x là điểm dính của E khi và chỉ khi x E . 3) E đóng khi và chỉ khi E chứa mọi điểm dính của E. Hệ quả. E đóng khi và chỉ khi E chứa mọi điểm giới hạn của E. 1.1.6. Định lý. Bao đóng của một tập tuỳ ý là hợp của tập đó và tập các điểm giới hạn của nó. 1.1.7. Định nghĩa tập trù mật. Giả sử A, B là các tập con của không gian tôpô X. Ta nói A trù mật trong B nếu B A . A đợc gọi là trù mật trong X nếu X = A . 1.1.8. Định nghĩa không gian Hausdoff. Không gian tôpô X đợc gọi là không gian Hausdoff (T 2 - không gian) nếu mọi cặp điểm x,y X, x y đều tồn tại lân cận U của x và lân cận V của y sao cho U V = . 5 1.1.9. Định nghĩa ánh xạ liên tục. Giả sử X, Y là hai không gian tôpô, a là một điểm thuộc X. ánh xạ f : X Y đợc gọi là liên tục tại điểm a nếu với mọi lân cận V của điểm f(a) Y đều tồn tại một lân cận U của a sao cho f(U) V. 1.1.10. Định nghĩa không gian compact. Không gian tôpô X đợc gọi là không gian compact nếu mọi phủ mở của X đều trích ra đợc một phủ con hữu hạn. 1.1.11. Định nghĩa không gian vectơ tôpô. Không gian vectơ X đợc gọi là không gian vectơ tôpô nếu trên X đã trang bị một tôpô T sao cho các phép toán cộng và nhân vô hớng của không gian vectơ X liên tục đối với tôpô T . Lúc đó tôpô T đợc gọi là tôpô vectơ. Phép toán cộng liên tục, nghĩa là ánh xạ + : X ì X X cho bởi (x,y) x+y là liên tục, tức là với mọi lân cận V của (x + y) sẽ tồn tại lân cận V x của x và V y của y sao cho V x + V y V. Phép toán nhân vô hớng liên tục nghĩa là ánh xạ ì : ì X X cho bởi ( , x) x liên tục tức là với lân cận V bất kỳ của ( x), tồn tại một lân cận V x của x và một số r > 0 sao cho V x V với mọi giá trị của sao cho | - | < r. 1.1.12. Định nghĩa tập lồi và tập bị chặn. Tập con A của không gian vectơ E đợc gọi là lồi nếu mọi vectơ x, y A, mọi số thực [0, 1] ta có: x + (1 - )y A. Tập con A của E đợc gọi là bị chặn nếu mọi lân cận của điểm O trong E đều tồn tại số tự nhiên n sao cho A nU. 1.1.13. Định nghĩa không gian lồi địa phơng. Giả sử E là không gian vectơ tôpô Hausdoff, E đợc gọi là không gian lồi địa phơng nếu điểm gốc O E có cơ sở lân cận tạo nên từ các tập lồi. 6 1.1.14. Định nghĩa tập bị chặn yếu. Cho E là không gian lồi địa phơng, tập con A E đợc gọi là tập bị chặn yếu nếu mọi a E, tập a(A) bị chặn. (E là không gian đối ngẫu của E) 1.1.15. Định lý Macki. Cho tập A E. Nếu A bị chặn yếu thì A bị chặn với tôpô ban đầu của E. 1.1.16. Định nghĩa Pôla. Giả sử E là không gian lồi địa phơng, U là một tập con của E. Khi đó tập U 0 = {a E : |a(x)| 1, x U} đợc gọi là Pôla của U trong E, U 0 là một lân cận của O trong E. Đ2. Sự hội tụ của lới trong không gian tôpô I. Định nghĩa và tính chất cơ bản của lới. 1.2.1. Định nghĩa tập định hớng. Tập D đợc gọi là định hớng nếu trên nó xác định một quan hệ thoả mãn các tính chất: 1) m, n, p D sao cho m n, n p thì m p. 2) Nếu m D thì m m. 3) m, n D, p D sao cho p m, p n. Khi đó ta nói tập D đợc định hớng bởi quan hệ và ký hiệu là (D, ) hoặc vắn tắt là D. 1.2.2. Ví dụ. Cho X là không gian tôpô, U là họ các lân cận của điểm x X. Lúc đó U đợc định hớng bởi quan hệ . Thật vậy, rõ ràng U , hơn nữa 1) U, V, W U : U V, V W suy ra U W. 2) U U thì U U 3) U, VU suy ra (U V)U, nh vậy W = (UV)U: W U, W V. Vậy (U, ) là một tập định hớng. 1.2.3. Mệnh đề. Cho I là tập chỉ số bất kỳ. 7 Ký hiệu J(I) = {J I, J hữu hạn}. Trên J(I) xác định quan hệ bao hàm nh sau J, J J(I) : J J J J Khi đó J(I) với quan hệ bao hàm là một tập định hớng. 1.2.4. Định nghĩa lới. Giả sử D là một tập định hớng bởi quan hệ . Khi đó hàm S xác định trên D và nhận giá trị trong tập X đợc gọi là một lới (hay dãy suy rộng) trong X. Ký hiệu (S n , n D, ) hoặc (S, D, ) hoặc vắn tắt là S. Nếu miền giá trị của lới là không gian tôpô X thì S đợc gọi là lới trong không gian tôpô X. 1.2.5. Định nghĩa lới hội tụ. Giả sử D là một tập đợc định hớng bởi quan hệ , (X, T ) là một không gian tôpô. Khi đó lới (S n , D, ) đợc gọi là hội tụ trong không gian tôpô đến điểm s đối với tôpô T nếu với mọi lân cận U của s đều tồn tại n 0 D sao cho n D mà n n 0 thì S n U. Ký hiệu limS n = s hay S n s. 1.2.6. Định nghĩa lới nằm trong một tập từ một lúc nào đó. Lới {S n , n D, } đợc gọi là lới nằm trong tập A từ một lúc nào đó nếu và chỉ nếu m D: n D mà n m thì S n A. 1.2.7. Định nghĩa lới thờng xuyên gặp A. Lới {S n , n D, } đợc gọi là l- ới thờng xuyên gặp A nếu và chỉ nếu m D, n D sao cho n m và S n A. 1.2.8. Định nghĩa điểm giới hạn. Điểm s của không gian tôpô X đợc gọi là điểm giới hạn của lới S khi và chỉ khi S thờng xuyên gặp mỗi lân cận của s. 1.2.9. Định nghĩa lới con. Giả sử (D, ) và (E, ) là tập hai định hớng. Lới {T m , m D, } đợc gọi là lới con của lới {S n , n E, } khi và chỉ khi tồn tại hàm N: D E sao cho 8 1) T = S.N hay T i = SN i với mỗi i D. 2) m E, n D sao cho nếu p n thì N p m (p D). 1.2.10. Định nghĩa lới tổng và tích trong không gian vectơ tôpô. Giả sử (D, ) là một tập định hớng, (S, D, ) và (T, D, ) là hai lới trong không gian vectơ tôpô X. Khi đó 1) (S + T, D, ) : (S + T) i = S ( i ) + T ( i ) , i D đợc gọi là lới tổng của lới (S, D, ) và (T, D, ) trong không gian vectơ tôpô X. 2) ( S, D, ) : ( S) ( i ) = . S ( i ) , i D đợc gọi là lới tích của lới (S, D, ) với số thuộc trờng cơ sở của X. 1.2.11. Mệnh đề. Giả sử (D,) là một tập định hớng, (S, D, ) và (T, D, ) là các lới hội tụ trong không gian vectơ tôpô X. Khi đó các lới (S +T, D,) và ( S,D) cũng hội tụ, đồng thời nếu S s, Tt thì S+T s+t, S s. Chứng minh. Theo giả thiết S s suy ra với mọi lân cận U s của s, n 1 D: n n 1 thì S n U s và cũng từ T t suy ra với mọi lân cận U t của t n 2 D: n n 2 thì T n U t . Giả sử W là lân cận của (s + t) theo định nghĩa 1.1.11 suy ra tồn tại lân cận V s của s và lân cận V t của t sao cho: V s +V t W. Khi đó, chọn n 0 D: n 0 n 1 và n 0 n 2 (chọn đợc n 0 vì tập D định hớng) ta có nếu n n 0 thì S n V s và T n V t , do đó (S + T) n V s + V t W. Vậy (S + T, D, ) hội tụ đến s + t. Cũng theo định nghĩa 1.1.11 thì mỗi lân cận W của ( s) tồn tại lân cận V s của s và một số r > 0 sao cho V s W với mọi giá trị của sao cho | - | < r. 9 Chọn = , khi đó | - | = 0 < r. Nh vậy chọn n 0 = n 1 . Khi đó n D mà n > n 1 thì S n V s hay suy ra S V s . Vậy ( S, D, ) hội tụ đến s. II. Lới và các khái niệm trong không gian tôpô. 1.2.12. Định lý. Một không gian tôpô X là không gian Hausdoff khi và chỉ khi mỗi lới trong nó hội tụ đến một điểm duy nhất. Chứng minh. Điều kiện cần: Giả sử X là không gian Hausdoff ta cần chứng minh mỗi lới trong nó hội tụ đến một điểm duy nhất. Thật vậy, giả sử (S n ,D,) là một lới trong X và S n s 1 , S n s 2 mà s 1 s 2 . Khi đó, do X là T 2 - không gian nên tồn tại lân cận 1 s U của s 1 và lân cận 2 s U của s 2 sao cho 1 s U 2 s U = . Vì S n s 1 , 1 s U là lân cận của s 1 nên n 1 D: n n 1 thì S n 1 s U . Tơng tự, vì S n s 2 nên n 2 D : n n 2 thì S n 2 s U . Chọn n 0 D: n 0 n 1 , n 0 n 2 . Khi đó nD mà n n 0 thì S n 1 s U và S n 2 s U , do đó 1 s U 2 s U , mâu thuẫn với giả thiết. Vậy s 1 s 2 hay lới {S n , D, } hội tụ đến một điểm duy nhất. Điều kiện đủ: Giả sử mọi lới trong X đều hội tụ tới một điểm duy nhất, ta chứng tỏ X là T 2 - không gian. Thật vậy, giả sử X không phải là T 2 - không gian. Lúc đó, tồn tại hai điểm s 1 , s 2 X sao cho s 1 s 2 , khi đó mọi lân cận U của s 1 và mọi lân cận V của s 2 đều có U V . Gọi 1 s U là họ các lân cận của s 1 , 2 s U là họ các lân cận của s 2 . Theo ví dụ 1.2.2. thì ( 1 s U , ) và ( 2 s U , ) là các tập định hớng. Ký hiệu U = 1 s U ì 2 s U . Định nghĩa quan hệ trên U nh sau: 10 (T, U), (V, W) U tacó (T, U) (V, W) T V, U W. Dễ dàng chứng minh đợc (U, ) là một tập định hớng. Ta xây dựng lới trong X nh sau: Với mỗi (T, U) U thì T U , vì thế từ mỗi tập (T, U) có thể chọn một điểm S ( T, U ) T U. Nh vậy ta đợc lới (S ( T,U ) ,U, ), ký hiệu gọn là S ( T,U ) . Ta sẽ chứng tỏ S ( T,U ) s 1 và S ( T,U ) s 2 . Thật vậy, lấy lân cận V bất kỳ của s 1 và lân cận W bất kỳ của s 2 . Khi đó (T, U) U mà (T, U) (V, W) thì có : S ( T, U ) T U T V suy ra S ( T, U ) s 1 S ( T, U ) T U U W suy ra S ( T, U ) s 2 . Nh vậy trong X tồn tại lới (S ( T, U ) , U, ) hội tụ đến hai điểm khác nhau, điều này mâu thuẫn với giả thiết. Vậy X là T 2 - không gian. 1.2.13. Định lý. Giả sử X là không gian tôpô. Điểm s X là điểm dính của tập con E X khi và chỉ khi trong E có lới hội tụ đến s. Chứng minh. Điều kiện đủ: Giả sử D là một tập định hớng bởi quan hệ và tồn tại lới (S, D, ) trong E sao cho S s. Cần chứng minh s là điểm dính của E. Thật vậy, do S s nên với mọi lân cận U của s, n 0 D i n n 0 thì S n U, chứng tỏ U E , nghĩa là s là điểm dính của E. Điều kiện cần: Giả sử s là điểm dính của E, ta chứng minh trong E tồn tại lới hội tụ đến s. Ký hiệu U là cơ sở lân cận của điểm s. Khi đó (U, ) là một tập định hớng. Từ giả thiết s là điểm dính của E suy ra mọi U U đều có U E . Lúc đó, chọn S u U E, ta có lới (S U , U, ) E. 11 Lấy V là lân cận bất kỳ của s, do U là hệ cơ sở lân cận nên WU: sWV. Do đó mọi U U mà U W thì U V. Mặt khác S U U nên S U V, U W. Theo định nghĩa lới hội tụ thì (S U , U, ) s. 1.2.14. Hệ quả. Điểm s là điểm giới hạn của E khi và chỉ khi trong E\ {s} có lới hội tụ đến s. Chứng minh. Hệ quả này đợc suy ra dễ dàng nhờ nhận xét rằng: Nếu x là điểm giới hạn của E thì x là điểm dính của tập E \ {x}. 1.2.15. Định lý. Giả sử X là không gian tôpô. Điểm s X là điểm biên của tập con E X khi và chỉ khi tồn tại lới trong E và lới trong CE đều hội tụ về s. Chứng minh. Điều kiện đủ: Giả sử tồn tại lới (S, D, ) E, S s và lới (T, D, ) CE, T s. Cần chứng tỏ s là điểm biên của tập E. Thật vậy, từ giả thiết S s suy ra mọi lân cận U của s, n 1 D: n n 1 thì S n U, nghĩa là U E . Cũng từ T s suy ra mọi lân cận V của s n 2 D: n n 2 thì S n V, nghĩa là V CE . Chọn n 0 D: n 0 n 1 , n 0 n 2 lúc đó n n 0 thì S n U E và S n V CE, U, V U . Vậy s là điểm biên của E. Điều kiện cần: Giả sử s là điểm biên của E. Cần chứng minh tồn tại lới trong E và CE đều hội tụ về s. Thật vậy, ký hiệu U là hệ cơ sở lân cận của s, khi đó U E và U CE , U U Ta đã biết (U, ) là một tập định hớng. 12