Không gian tôpô đối xứng và nguyên lý ánh xạ co

Sheet1 Page 1 \documentclass[12pt]{article} \usepackage[viscii \renewcommand\contentsname{\hfill \up{mức lức} \hfill~} \def\refname{\hfill \up{ti liđu tham khọo}\hfill~} \usepackage{amsthm \usepackage{titlesec} \usepackage{fancybox} \usepackage{yhmath} \newpagestyle{xuancuong}{\sethead{}{\usepage}{}} \pagestyle{xuancuong} \titleformat{\section} {\normalfont\large\filcenter\bfseries\MakeUppercase}{\S\thesection.}{0.5em}{} \usepackage{titletoc} \titlecontents{section} [0pt] {}% {\contentsmargin{0pt}% \S\thecontentslabel.\enspace} {\contentsmargin{0pt}} {\enspace\titlerule*[1pc]{.}\contentspage} [] \let\up\MakeUppercase \usepackage[top=3.0cm \swapnumbers \newtheorem{theorem}{éánh lý}[section] \newtheorem{proposition}[theorem]{Mđnh ô} \newtheorem{lemma}[theorem]{B ô} \newtheorem{corollary}[theorem]{Hđ quọ} \newtheorem{definition}[theorem]{éánh nghợa} %\newtheorem{definition}{??nh ngh?a}[section] \newtheorem{example}[theorem]{Vớ dứ} \newtheorem{remark}[theorem]{NhĐn xột} \newtheorem{luoi}[theorem]{Lòắi} \newtheorem{pt}[theorem]{Phỹ cỹa màt tĐp} \newtheorem{pkg}[theorem]{Phỹ cỹa màt khụng gian} \newtheorem{lcd}[theorem]{Lõn cĐn dóy} \newtheorem{csy}[theorem]{Cẵ sã yêu} \newtheorem{axlt}[theorem]{nh xế liờn tức} \newtheorem{kgd}[theorem]{Khụng gian dóy} \newtheorem{fr}[theorem]{Khụng gian Frechet} \newtheorem{frm}[theorem]{Khụng gian Frechet mếnh} \newtheorem{doixung}[theorem]{Khụng gian tụpụ i xẹng} \newtheorem{nmt}[theorem]{Khụng gian nỉa mờtric} \setcounter{tocdepth}{1}%% M?c l?c kh?ng cỳ \subsection (thay s 3 0-4) \def\ch{{chùnh hỡnh}} \def\N{{\mathbb N}} \def\C{{\mathbb C}} \def\tp{{khụng gian tụpụ}} \def\p{{\mathcal P}} \def\dgl{{òỵc gữi l}} \def\dx{{i xẹng}} \let\up\MakeUppercase \numberwithin{subsection}{section} \begin{document} Sheet1 Page 2 \thisfancypage{% \setlength{\fboxsep}{0pt}% \setlength{\shadowsize}{0pt}% \shadowbox}{} \begin{titlepage} \begin{center} {\large{ TRNG éI HC VINH}} \par \vspace{0.2cm} {\large{KHOA TON}} \par \vspace{0.2cm} - - - - - - $\bigstar$ - - - - - - \par \vspace{0.8cm} %\includegraphics[scale=0.2]{logodhv1.eps} \par \vspace*{0.8in} {\Large {NGUY N TH NHUNG}} \par \vspace*{1.6in} {\Large \textbf{\up{KHễNG GIAN TễPễ é I XNG} \\\up{V NGUYấN Lí NH X CO}}} \par \vspace*{0.5in} {\bf {KHểA LUN T T NGHIP éI HC}} \par \vspace{0.2in} {\textbf{NGNH Cẳ NHN S PHM TON}} %\par % \vspace{0.1in} {\textbf{Chuyờn ngnh:} {\sc XC SUT TH NG Kấ}} \par \vspace{0.8in} \end{center} %\hspace*{220pt}\textbf{Cỏn bà hòắng dỗn khúa luĐn:} %\hfill{\sc PGS.TS éINH HUY HONG} %\hspace*{150pt}\textbf{Sinh viờn thủc hiđn:} {\sc NGUY N TH NHUNG} %\hspace*{220pt}\textbf{Lắp:} {42E$_2$ - Toỏn} \begin{center} \par \vspace{0.5in} \vfill \textit{VINH 2006} \end{center} \end{titlepage} \fontsize{15pt}{15pt}\selectfont \baselineskip 0.8cm \tableofcontents \newpage \section*{Lải mã Ơu} \addcontentsline{toc}{section}{Lải mã Ơu} \vskip 0.4cm \hspace*{20pt}Ta biêt rÂng trong khụng gian mờtric Sheet1 Page 3 dóy cú thơ phỏt biơu thụng qua khoọng cỏch v mữi ỏnh xế co trong khụng gian mờtric Ơy ỹ ôu cú duy nhÔt màt iơm bÔt àng (nguyờn lý ỏnh xế co). Khỏi niđm khụng gian i xẹng òỵc xõy dủng tòẵng tủ nhò khụng gian mờtric. Do ú tủ nhiờn l trong khụng gian i xẹng nhổng kêt quọ trong khụng gian mờtric trờn õy cũn ỳng nổa hay khụng? Giọi quyêt vÔn ô ny l mức ớch chớnh cỹa khúa luĐn. Vắi mức ớch trờn khúa luĐn òỵc trỡnh by thnh bn mức. Mức 1 dnh cho viđc giắi thiđu lếi màt s khỏi niđm v kêt quọ cẵ bọn cƠn dựng trong khúa luĐn. Mức 2 dnh cho viđc nghiờn cẹu sủ hài tứ cỹa dóy trong khụng gian i xẹng theo symmờtric $d$ m chỳng tụi gữi l $d$-hài tứ. Sau ú chỳng tụi tỡm iôu kiđn ơ sủ hài tứ cỹa dóy trong khụng gian i xẹng l tòẵng òẵng vắi $d$-hài tứ. Trong mức 3 xẹng vắi khụng gian nỉa mờtric dóy Trong mức 4 tức giổa cỏc khụng gian mờtric vỗn ỳng cho ỏnh xế liờn tức giổa cỏc khụng gian i xẹng Trong quỏ trỡnh tỡm tũi nghiờn cẹu ó Êt ra màt s vÔn ô khỏc nổa nồng lủc cựng khuụn kh cỹa khúa luĐn khụng cho phộp nờn chỳng chòa òỵc giọi quyêt. Chỳng tụi hy vững să giọi quyêt cỏc vÔn ô ny trong thải gian tiêp theo. \newpage Qua õy thƠy giỏo PGS.TS éinh Huy Hong dỗn tụi hon thnh khúa luĐn ny. Tụi xin gỉi lải cọm ẵn tắi cỏc thƠy giỏo tõm thƠy giỏo Do iôu kiđn thải gian v nồng lủc cũn hến chê nờn khúa luĐn ny chĂc chĂn khụng thơ trỏnh khửi nhổng thiêu sút thƠy giỏo cọm ẵn. \vskip 0.8cm \hspace*{220pt}\textbf{\textit{Vinh \hspace*{280pt}\textbf{Tỏc giọ} \newpage Sheet1 Page 4 %\addtocounter{section}{1} % éua vo cỏi ny %\setcounter{subsection}{0} % v cung cỏi ny n?a \section{Cỏc khỏi niđm cẵ bọn} \vskip 0.4cm \begin{pt} {\em Hữ $\p$ cỏc tĐp con cỹa \tp \ $X$ \dgl \ màt \textit{phỹ cỹa tĐp con} $A$ trong $X$ nêu $A \subset \cup\{P: P \in \p\}$. Ta viêt $\cup\p$ thay cho $\cup\{P: P \in \p\}$} \end{pt} \begin{pkg}{\em Hữ $\p$ cỏc tĐp con cỹa \tp \ $X$ \dgl \ màt \textit{phỹ cỹa khụng gian} $X$ nêu $X \subset \cup\p$.} \end{pkg} \begin{luoi}{\em Phỹ $\p$ cỹa $X$ \dgl \ màt \textit{lòắi} nêu vắi mi tĐp mã $U$ trong $X$ sao cho $x \in \cup\mathcal{F} \subset U$ $\p^{<\omega}$ l hữ tÔt cọ cỏc tĐp con hổu hến cỹa $\p$.} \end{luoi} \begin{lcd}{\em TĐp con $P$ cỹa \tp \ $X$ \dgl \ màt \textit{lõn cĐn dóy cỹa} $x$ trong $X$ tn tếi $n_0$ sao cho $x_n \in P$ \end{lcd} \begin{csy}{\em Giọ sỉ phỹ $\p$ cỹa \tp \ $X$ òỵc cho bãi $\p = \{\p_x: x \in X\}$ thửa món: (i) Mi $\p_x$ ôu l màt lòắi tếi $x$ $U$ cỹa $x$ (ii) Nêu $P_1 $P_3 \subset P_1 \cap P_2$ $\p$ \dgl \ màt \textit{cẵ sã yêu cỹa} \tp \ $X$ $G$ cỹa $X$ l tĐp mã khi v chù khi vắi mi $x \in G$ $P \in \p_x$ sao cho $P \subset G$.} \end{csy} \begin{axlt}{\em nh xế $f: X \to Y$ \dgl \ \textit{liờn tức tếi iơm} $x \in X$ (i) Nghách ọnh cỹa màt tĐp úng chẹa $f(x)$ l màt tĐp hỵp úng~chẹa~$x$; (ii) Nghách ọnh cỹa màt lõn cĐn cỹa $f(x)$ trong $Y$ l màt lõn cĐn cỹa $x$ trong $X$; (iii) Vắi mữi tĐp con $A$ chẹa $x$ cỹa $X$ thỡ $f(\overline{A}) \subset \overline{f(A)}$. Sheet1 Page 5 nh xế $f: X \to Y$ \dgl \ \textit{liờn tức} nêu nú liờn tức tếi mữi iơm $x \in X$ (i) Nghách ọnh cỹa tĐp mã trong $Y$ l tĐp mã trong $X$; (ii) Nghách ọnh cỹa tĐp úng trong $Y$ l tĐp úng trong $X$; (iii) Vắi mữi tĐp con $A$ cỹa $X$ thỡ $f(\overline{A}) \subset \overline{f(A)}$.} \end{axlt} \begin{kgd}{\em Khụng gian tụpụ $X$ \dgl \ \textit{khụng gian dóy} thửa món: Mi tĐp con $A$ cỹa $X$ l úng khi v chù khi khụng cú dóy $\{x_n\}$ trong $A$ hài tứ vô iơm $x$ khụng thuàc $A$.} \end{kgd} \begin{fr}{\em Khụng gian tụpụ $X$ \dgl \ \textit{khụng gian Frechet} nêu vắi mi tĐp con $A$ cỹa $X$ v mữi phƠn tỉ $x \in \overline{A}$ luụn tỡm òỵc dóy $\{x_n\}$ trong $A$ hài tứ vô $x$.} \end{fr} \begin{frm}{\em Khụng gian tụpụ $X$ \dgl \ \textit{khụng gian Frechet mếnh} nêu vắi mi dóy giọm $\{A_n: n \in \mathbb{N}\}$ cỏc tĐp con trong $X$ v $x \in \overline{A_n\setminus{\{x\}}}$ \mathbb{N}$ vô $x$ \end{frm} \begin{doixung}\label{dn110}{\em Khụng gian tụpụ $X$ \dgl \ \textit{\tp \ \dx} nêu tn tếi hm s $d: X\times X \to \mathbb{R}$ thửa món: (1) $d(x \Leftrightarrow x = y$; (2) $d(x (3) $U \subset X$ \in \mathbb{N}$ sao cho $S_n(x) \subset U$ \in X: d(x \end{doixung} \begin{nmt}{\em Khụng gian tụpụ $X$ \dgl \ \textit{nỉa mờtric} iôu kiđn (3) cỹa éánh nghợa 1.10 bÂng iôu kiđn: (3') Vắi mữi $A \subset X$ $d(x \begin{eqnarray*} d(x \end{eqnarray*}} \end{nmt} \newpage \section{Sủ hài tứ trong khụng gian i xẹng} \vskip 0.4cm Sheet1 Page 6 \hspace*{20pt}Trong éánh nghợa khụng gian tụpụ i xẹng (éánh nghợa \ref{dn110}) ta să tỡm cỏch mụ tọ sủ hài tứ cỹa màt dóy trong $X$ qua hm $d$ tòẵng tủ nhò dóy hài tứ trong khụng gian mờtric. éƠu tiờn \begin{definition}\label{dn21}{\em Cho $X$ l \tp \ \dx \ v $\{x_n\}$ l màt dóy trong $X$. Ta núi dóy $\{x_n\}$ l \textit{d-hài tứ tắi} $x \in X$ v viêt $x_n \xrightarrow[]{d}{x}$ \to \infty$} \end{definition} \vskip 0.3cm \textbf{Chỳ ý.} Ta gữi tụpụ trờn $X$ l $\tau$. Nêu $x_n \to x$ theo tụpụ $\tau$ thỡ ta ký hiđu l $x_n \to x$. \begin{remark}\label{nx22}{\em 1) Giọ sỉ $\{x_n\}$ l dóy trong khụng gian \dx \ $X$. Khi ú tứ ên nhiôu iơm khỏc nhau. \vskip 0.2cm ThĐt vĐy à Decartes trì iơm O. Trờn $X$ ta xỏc ánh tụpụ $\tau$ nhò sau: \begin{center} {\fontsize{12pt}{12pt}\selectfont $\tau = \{\emptyset \bigcup\limits_{i \in I}{(a_{x_i}; b_{x_i})} \bigcup\limits_{j \in J}{(a_{y_j}; b_{y_j})}\bigcup(a_x; +\infty)\bigcup(a_y; +\infty)|\ \infty)\}$ \end{center} trong ú ơ chù màt iơm thuàc $Ox$($Oy$ - tòẵng ẹng) dựng ký hiđu $a_x; b_x; a_{x_i}$ ($a_y; b_y; a_{y_j}$ - tòẵng ẹng). Tròắc hêt $\tau$ ỳng l màt tụpụ trờn $X$. ThĐt vĐy: ($P_1$) $\emptyset ($P_2$) $D_1 ($P_3$) $D_i \in \tau \in I}{D_i} \in \tau$. Giọ sỉ $k$ l khoọng cỏch thụng thòảng trong $\mathbb{R}$. Xõy dủng hm s $d: X\times X \to \mathbb{R}$ nhò sau: \begin{equation*} d(x \begin{cases} $k(x \dfrac{1}{k(x \end{cases} \end{equation*} Sheet1 Page 7 Ta chẹng minh rÂng $d$ thửa món 3 iôu kiđn cỹa \tp \ \dx. ThĐt vĐy %\begin{enumerate} (1) $d(x $d(x y$. (2) $d(x %\end{enumerate} Bõy giả $X$. éÊt \begin{eqnarray*} U = \bigcup\limits_{i \in I}{(a_{x_i}; b_{x_i})} \bigcup\limits_{j \in J}{(a_{y_j}; b_{y_j})}\bigcup(a_x; +\infty)\bigcup(a_y; +\infty) \end{eqnarray*} Vắi $x$ bÔt kẽ thuàc $X$ tròảng~hỵp: \textit{Tròảng hỵp 1.} $x \in (a_{x_i}; b_{x_i})$. Ta Êt $\varepsilon = \min\{d(x chữn $n \in \mathbb{N}$ sao cho $\dfrac 1n < \varepsilon$. Khi ú cú \begin{eqnarray*} S_n(x) = \{y \in X: d(x \end{eqnarray*} \textit{Tròảng hỵp 2.} $x \in (a_x \min\{d(x $\dfrac 1n < \varepsilon$. Khi ú \begin{eqnarray*} S_n(x) = \{y \in X: d(x \end{eqnarray*} Cọ hai tròảng hỵp Nêu $y \in U$ m $y \in (a_{y_j}; b_{y_j})$ hoÊc $y \in (a_y; +\infty)$ thỡ chẹng minh tòẵng tủ nhò hai tròảng hỵp trờn. Ngòỵc lếi sao cho $S_n(x) \subset U$. Khụng mÔt tớnh tng quỏt \in Ox \cap U$. Khi ú \begin{eqnarray*} S_n(x) = (x - \dfrac 1n; x + \dfrac 1n) \cup (a_y; +\infty) \subset U \end{eqnarray*} trong ú $a_y \in Oy$ sao cho $k(x $a_y = 0$ nêu $k(x Giọ sỉ $y \in Oy\cap U$ suy ra tn tếi $m \in \mathbb{N}$ sao cho $S_m(y) \subset U$. Ta cú $S_m(y) = (x - \dfrac 1m; x + \dfrac 1m)\cup (a_x; +\infty) \subset U$ $k(y rÂng vắi mi $z \in U$ Sheet1 Page 8 \subset U$. Do ú $U$ l tĐp mã. VĐy $(X Bõy giả ta chẹng minh vắi khụng gian $(X trờn LÔy $x_n = n \in Ox \xrightarrow[]{d}{y}$ Oy$ v $\varepsilon > 0$. Chữn $n_0 \in \mathbb{N}$ sao cho $n_0 > \dfrac{1}{\varepsilon}$. Khi ú \begin{eqnarray*} d(x_n < \varepsilon \end{eqnarray*} Nhò vĐy \xrightarrow[]{d}{y}$. 2) Giọ sỉ $\{x_n\}$ l màt dóy trong khụng gian \dx. Ta thÔy dóy $\{x_n\}$ cú hai sủ hài tứ ú l $d$-hài tứ v hài tứ theo tụpụ ó cho trờn $X$. VÔn ô òỵc Êt ra l hài tứ ny cỹa dóy $\{x_n\}$. éánh lý sau õy giọi quyêt vÔn ô ny.} \end{remark} \begin{theorem}\label{dl23} \textit{Giọ sỉ $\{x_n\}$ l dóy trong khụng gian i xẹng $X$ v $x \in X$. Khi ú} \textit{i) Nêu $x_n \xrightarrow[]{d}{x}$ thỡ $x_n \to x$.} \textit{ii) Nêu thờm giọ thiêt $X$ l khụng gian Hausdorff thỡ tì $x_n \to x$ suy ra $x_n \xrightarrow[]{d}{x}$.} \end{theorem} \textit{Chẹng minh.} i) Giọ sỉ $x_n \xrightarrow[]{d}{x}$ chẹng minh mữi lõn cĐn $U$ cỹa $x$ ôu tn tếi $n_0 \in \mathbb{N}$ sao cho $x_n \in U$ l lõn cĐn bÔt kẽ cỹa $x$. Do $x_n \xrightarrow[]{d}{x}$ nờn $d(x_n > 0$ $U$ l lõn cĐn cỹa $x$ nờn tn tếi tĐp mã $V$ chẹa $x$ sao cho $x \in V \subset U$. Hẵn nổa $S_{n_1} \subset V$ \dfrac{1}{n_1}\}$ Chữn $\varepsilon = \dfrac{1}{n_1}$ \subset V \subset U$ vắi mữi $n \geq n_0$. VĐy $x_n \to x$. éơ chẹng minh ii) cỹa éánh lý ny \begin{lemma}\label{bd24} \textit{Giọ sỉ $X$ l khụng gian \dx \ v $\p = \cup\{\p_x: x \in X\}$ Sheet1 Page 9 .\}$ \textit{Khi ú \end{lemma} \textit{Chẹng minh.} Giọ sỉ $U$ l lõn cĐn bÔt kẽ cỹa $x$. Khi ú tn tếi $V$ mã sao cho $x \in V \subset U$. Do $X$ l khụng gian \dx \ nờn tn tếi $n \in \mathbb{N}$ sao cho $S_n(x) \subset V \subset U$ \subset U$. VĐy $\p_x$ l màt lòắi tếi $x$. Giọ sỉ $U Khi ú sao cho $n_0 > n$. Khi ú: \begin{eqnarray*} W = S_{n_0}(x) \subset S_n(x) \subset U \cap V \end{eqnarray*} VĐy \subset U\cap V$. Vắi $G \subset X$ luụn tn tếi $P = S_n(x) \in \p_x$ sao cho $P \subset G$. Nhò vĐy \begin{lemma}\label{bd25} \textit{Vắi cỏc giọ thiêt ô \ref{bd24} v $X$ l khụng gian Hausdorff thỡ mi $P \in \p_x$ l lõn cĐn dóy cỹa $x$.} \end{lemma} \textit{Chẹng minh.} Giọ sỉ tn tếi $P_0 \in \p_x$ m $P_0$ khụng l lõn cĐn dóy cỹa $x$. Khi ú .\} \subset X\setminus{P_0}$ sao cho $x_n \to x$. Tì ú $\{x_n: n = 1 .\}$. Suy ra $X\setminus{\{x_n: n = 1 tĐp mã. MÊt khỏc tĐp úng nờn $X\setminus{(\{x_n: n = 1 màt tĐp mã. Khi ú 1 Nêu $y = x$ X\setminus{\{x_n: n = 1 Nêu $y \not= x$ \{x\})}$. Do ú tn tếi $P \in \p_y$ sao cho $y \in P \subset X\setminus{(\{x_n: n = 1 X\setminus{\{x_n: n = 1 VĐy $P \in \p_y$ sao cho $y~\in~P~\subset~X\setminus{\{x_n: n = 1 .\}}$ .\}}$ X\setminus{\{x_n: n = 1 $X\setminus{\{x_n: n = 1 Sheet1 Page 10 thuỗn. Do ú $P \in \p_x$ l màt lõn cĐn dóy cỹa $x$. Bõy giả ta trã lếi chẹng minh iôu kiđn ỹ cỹa éánh lý \ref{dl23}. Giọ sỉ $x_n \to x$ màt lõn cĐn dóy cỹa $x$ 1 S_k(x)$ vắi mữi $n \geq n_k$ \begin{eqnarray*} 0 \leq d(x_n \end{eqnarray*} Tì ú suy ra $d(x_n \xrightarrow[]{d}{x}$. \newpage %%\begin{center} \section{Quan hđ giổa khụng gian i xẹng v màt s khụng gian Êc biđt} %\end{center} \vskip 0.4cm \hspace*{20pt}Trong mức ny giổa khụng gian \dx \ vắi khụng gian nỉa mờtric khụng gian Frechet \begin{proposition}{\em \cite{LKH}}\label{md31} \textit{Khụng gian i xẹng l khụng gian dóy.} \end{proposition} \vskip 0.2cm \textit{Chẹng minh.} Giọ sỉ $X$ l \tp \ \dx $\p~=~\{\p_x: x \in X\}$ \mathbb{N}\}$. Theo chẹng minh B ô \ref{bd24} cẵ sã yêu cỹa $X$. Bõy giả ta chẹng minh rÂng mi tĐp con $A$ cỹa $X$ l úng khi v chù khi mữi dóy trong A nêu hài tứ thỡ hài tứ tắi màt iơm trong $A$. ThĐt vĐy $X\setminus{A}$ mã nờn vắi mữi $x \in X\setminus{A}$ cĐn $U$ cỹa $x$ sao cho $U \subset X\setminus{A}$. Do ú khụng thơ tn tếi dóy trong $A$ hài tứ vô $x \in X\setminus{A}$ cú dóy $\{x_n\} \subset A$ m $x_n \to x$ thỡ tn tếi $n_0$ sao cho $x_n \in U$ nêu hài tứ thỡ să hài tứ vô màt iơm trong $A$. Ngòỵc lếi $A$. Ta chẹng minh $A$ úng bÂng phọn chẹng. Giọ sỉ $A$ khụng úng X\setminus{A}$ sao cho $S_n(x) \cap A \not= \emptyset$ \in \mathbb{N}$. Tì ú \mathbb{N}\}$ trong $A$ nhò sau: Vắi mi $n \in \N$ \in S_n(x)\cap A$. Khi ú tếi $n_0 \in \N$ sao cho $S_{n_0} \subset U$