Không gian tôpô đối xứng

1 LỜI MỞ ĐẦU Không gian mêtric không gian tôpô đặc biệt, có nhiều tính chất trực quan Để mở rộng lớp không gian người ta thường giảm nhẹ điều kiện mêtric Từ người ta thu không gian giả mêtric, nửa mêtric, o-mêtric, không gian đối xứng, không gian τ -đối xứng chứng minh số tính chất tương tự không gian mêtric đứng cho không gian Không gian tôpô đối xứng không gian τ -đối xứng hai lớp không gian rộng không gian mêtric Mục đích khoá luận nghiên cứu tính chất không gian tôpô đối xứng, từ nghiên cứu xem tính chất không gian tôpô đối xứng có thoả mãn với lớp không gian rộng không gian τ -đối xứng hay không? Với mục đích trên, khoá luận trình bày theo ba phần §1 Các khái niệm Mục dành cho giới thiệu lại số khái niệm kết cần dùng luận văn §2 Không gian tôpô đối xứng Mục dành cho việc định nghĩa chứng minh tính chất không gian tôpô đối xứng, mối quan hệ với số không gian tôpô đặc biệt §3 Không gian τ -đối xứng Đây nội dung luận văn Trong mục này, đề xuất chứng minh số tính chất không gian τ -đối xứng, nghiên cứu mối quan hệ với không gian tôpô đối xứng không gian tôpô đặc biệt khác Sau đó, xét đến tính d-hội tụ tính Cauchy dãy không gian τ -đối xứng Trong trình tìm tòi nghiên cứu thực khoá luận, đặt số vấn đề khác điều kiện thời gian lực khuôn khổ khoá luận không cho phép nên chúng chưa giải Chúng hy vọng giải thời gian Qua xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc đến thầy giáo PGS TS Đinh Huy Hoàng, người trực tiếp tận tình hướng dẫn hoàn thành khoá luận Tôi xin gửi lời cảm ơn tới thầy, cô giáo Khoa Toán, trường Đại Học Vinh quan tâm, giúp đỡ suốt trình học tập, đặc biệt thầy, cô giáo tổ Giải tích Do điều kiện thời gian lực hạn chế nên khoá luận chắn tránh khỏi thiếu sót, mong thầy, cô bạn góp ý bổ sung Tôi xin chân thành cảm ơn! Vinh, tháng năm 2009 Tác giả §1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN Trước vào nội dung chính,chúng ta cần nhắc lại số khái niệm kết tôpô đại cương sử dụng luận văn đây, trình bày kết quả, phần chứng minh tham khảo tài liệu 1.1 Định nghĩa ([1]) Họ P tập không gian X gọi phủ tập A X A ⊂ ∪{P : P ∈ P}.Ta viết ∪{P : P ∈ P} Họ P tập không gian X gọi phủ không gian X X ⊂ ∪ P Phủ P không gian tôpô X gọi phủ đếm theo điểm điểm x ∈ X thuộc nhiều đếm tập thuộc P 1.2 Định nghĩa Không gian tôpô X gọi T1 -không gian với hai điểm x, y ∈ X, x = y tồn lân cận tương ứng Ux , Uy x y cho y ∈ / Ux x ∈ / Uy Không gian tôpô X gọi T2 -không gian với hai điểm x, y ∈ X, x = y tồn lân cận tương ứng Ux , Uy x y cho Ux ∩ Uy = ∅ Không gian tôpô X gọi không gian quy tập đóng F ⊂ X với x ∈ / F tồn tập mở U, V cho F ⊂ U, x ∈ V U ∩ V = ∅ Không gian tôpô X gọi không gian chuẩn tắc hai tập đóng rời F1 , F2 tồn tập mở U1 , U2 cho F1 ⊂ U1 , F2 ⊂ U2 U1 ∩ U2 = ∅ 1.3 Định lý Không gian tôpô X T1 -không gian tập điểm đóng Chúng ta giới thiệu số khái niệm phủ Cho không gian tôpô X, P phủ X Ký hiệu P n Khi W = Sn0 (x) ⊂ Sn (x) ⊂ U ∩ V Vậy với U, V ∈ Px tồn W ∈ Px cho W ⊂ U ∩ V Với G ⊂ X, ta có G mở x ∈ G tồn P = Sn (x) ∈ Px cho P ⊂ G Như P sở yếu X Mặt khác, với x Px tập đếm Vậy X gf -không gian đếm 2.8 Hệ Mọi không gian tôpô đối xứng A-không gian 2.9 Mệnh đề Không gian tôpô đối xứng Hausdorff không gian dãy Chứng minh Giả sử X không gian tôpô đối xứng Xét phủ P = ∪{Px : x ∈ X}, Px = {Sn (x) : n ∈ N} Theo chứng minh Mệnh đề 2.7 P sở yếu X Bây ta chứng minh tập A X đóng dãy A hội tụ hội tụ điểm A Thật vậy, giả sử A tập đóng X Khi X\A tập mở nên với x ∈ X\A, tồn lân cận U x cho U ⊂ X\A Do tồn dãy A hội x ∈ X\A, xn → x tồn n0 cho xn ∈ U với n ≥ n0 Vì dãy A hội tụ hội tụ điểm A Ngược lại, giả sử dãy hội tụ A hội tụ điểm A Ta chứng minh A đóng phản chứng Giả sử A không đóng Khi X\A không mở nên tồn x ∈ X\A cho Sn (x) ∩ A = ∅ với n ∈ N Từ ta xây dựng dãy {xn : n ∈ N} A sau: Với n ∈ N ta lấy xn ∈ Sn (x) ∩ A Khi với U lân cận x, tồn n0 ∈ N cho Sn0 (x) ⊂ U , suy xn ∈ Sn (x) ∩ A ⊂ Sn0 (x) ⊂ U, ∀n ≥ n0 hay xn ∈ U với n ≥ n0 Do {xn : n ∈ N} dãy hội tụ x Mặt khác, {xn } ⊂ A nên x ∈ A, mâu thuẫn với x ∈ X\A Từ suy A đóng Vậy X không gian dãy 2.10 Mệnh đề Không gian tôpô đối xứng Hausdorff snf-không gian đếm Chứng minh Giả sử X không gian tôpô đối xứng Hausdorff Xét phủ P = ∪{Px : x ∈ X}, Px = {Sn (x) : n ∈ N} Ta có P sở yếu X Ta chứng minh P sn-lưới, hay P ∈ Px lân cận dãy x Giả sử tồn P0 ∈ Px mà P0 lân cận dãy x Khi tồn dãy {xn : n = 1, 2, } ⊂ X\P0 cho xn → x Từ {xn : n = 1, 2, } tập đóng x ∈ / {xn : n = 1, 2, } Suy X\{xn : n = 1, 2, } tập mở Mặt khác, ta lại có {xn : n = 1, 2, } ∪ {x} tập đóng nên X\({xn : n = 1, 2, } ∪ {x}) tập mở Khi đó, lấy điểm y ∈ X\{xn : n = 1, 2, } Nếu y = x tồn P0 ∈ Px cho P0 ⊂ X\{xn : n = 1, 2, } Nếu y = x y ∈ X\({xn : n = 1, 2, } ∪ {x}) Do tồn P ∈ Py cho y ∈ P ⊂ X\({xn : n = 1, 2, } ∪ {x}) ⊂ X\{xn : n = 1, 2, } Vậy với y ∈ X\{xn : n = 1, 2, } tồn P ∈ Py cho y ∈ P ⊂ X\{xn : n = 1, 2, } hay với y ∈ X\{xn : n = 1, 2, } tồn n ∈ N cho Sn (y) ⊂ X\{xn : n = 1, 2, }, suy X\{xn : n = 1, 2, } mở Đây điều mâu thuẫn Do P sn-lưới Hiển nhiên Px đếm với x ∈ X Vậy ta có X snf -không gian đếm 2.11 Mệnh đề Không gian tôpô đối xứng Hausdorff α4 -không gian Chứng minh Giả sử X không gian tôpô đối xứng Hausdorff Ta cần chứng minh với x ∈ X, quạt x có đường chéo hội tụ tới x Giả sử M quạt điểm x X Khi M biểu diễn dạng M = {x} ∪ {∪{xnm : m ∈ N} : n ∈ N}, 10 {xnm : m ∈ N}n∈N đếm dãy rời X xnm → x m → ∞; n = 1, 2, Do X không gian tôpô đối xứng nên phủ P = ∪{Px : x ∈ X}, Px = {Sn (x) : n ∈ N} sn-lưới Do Sn (x) lân cận dãy x Suy với k ∈ N Sn (x) tồn mnk cho xkm ∈ Sn (x) với m ≥ mnk Vì với k ∈ N n ∈ N {xkm : m ∈ N} ∩ Sn (x) = ∅ Ta xây dựng đường chéo sau: C = {yn : n ∈ N} sau: với n ∈ N chọn yn ∈ Sn (x) ∩ {xnm : m ∈ N} Khi đó, với n ∈ N C ∩ {xnm : m ∈ N} = {yn } = ∅ Do C tập có giao với vô hạn dãy M Nếu U lân cận x tồn n0 ∈ N cho Sn0 (x) ⊂ U Suy yn ∈ Sn (x) ⊂ Sn0 (x) ⊂ U với n ≥ n0 hay yn ∈ U với n ≥ n0 Từ ta có {yn } dãy hội tụ x Như vậy, quạt x ∈ X có đường chéo hội tụ x Vậy X α4 -không gian 2.12 Mệnh đề Không gian nửa mêtric không gian Frechet Chứng minh Giả sử X không gian nửa mêtric A ⊂ X Ta chứng minh với x ∈ A tồn dãy {xn } A hội tụ x Thật vậy, x ∈ A d(x, A) = Ta xây dựng dãy {xn } ⊂ A hội tụ x sau: } Từ d(x, A) = suy n Sn (x) ∩ A = ∅ với n ∈ N Lấy xn ∈ Sn (x) ∩ A, n = 1, 2, , ta xây Xét hình cầu Sn (x) = {y ∈ X : d(x, y) < dựng {xn } ⊂ A Giả sử U lân cận x Khi tồn tập mở V ⊂ U cho x ∈ V , tồn n0 ∈ N cho Sn0 (x) ⊂ V ⊂ U Vì xn ⊂ Sn (x) ⊂ V ⊂ U với n ≥ n0 , tức xn → x n → ∞ Vây X không gian Frechet 2.13 Mệnh đề Không gian nửa metric không gian tôpô đối xứng, Frechet 11 Chứng minh Giả sử X không gian nửa mêtric Khi tồn hàm số d : X × X → R, thoả mãn ba điều kiện: 1) d(x, y) ≥ ∀ x, y ∈ X, d(x, y) = ⇔ x = y 2) d(x, y) = d(y, x) ∀ x, y ∈ X 3) A ⊂ X, x ∈ A ⇔ d(x, A) = Ta chứng minh hàm số d thoả mãn điều kiện: A ⊂ X, A mở với x ∈ A, tồn n ∈ N cho Sn (x) ⊂ A Giả sử A ⊂ X, A mở Khi X\A đóng nên X\A = X\A Từ đó, ta có y ∈ X\A d(y, X\A) = x ∈ X\A d(x, X\A) > Từ đó, với x ∈ A ta có d(x, X\A) = ε > Chọn n ∈ N cho < ε Khi n Sn (x) = {y ∈ X : d(x, y) < } ⊂ A n Vậy tồn n ∈ N cho Sn (x) ⊂ A Ngược lại, giả sử A ⊂ X cho với x ∈ A, tồn n ∈ N cho Sn (x) ⊂ A Ta chứng minh A tập mở Đặt H = X\A \(X\A) Giả sử H = ∅ Khi tồn x ∈ H Điều tương đương với x∈X \A x ∈ A Do x ∈ A nên tồn n ∈ N cho Sn (x) ⊂ A Vì d(x, X\A) > Mà x ∈ X\A nên d(x, X\A) = Đây điều mâu thuẫn Do H = ∅, tức X\A = X\A X\A đóng, hay A mở Vậy (X, d) không gian tôpô đối xứng Giả sử A ⊂ X x ∈ A d(x, A) = 0, với n = 1, 2, d(x, A) = nên Sn (x) ∩ A = ∅ Lấy xn ∈ Sn (x) ∩ A, n = 1, 2, Ta {xn } ⊂ A Giả sử U lân cận x Khi tồn m ∈ N cho Sm (x) ⊂ U Do xn ∈ Sm (x) ⊂ U với n > m Như xn → x X không gian Frechet 12 2.14 Mệnh đề Giả sử X không gian tôpô đối xứng Khi X không gian nửa mêtric với x ∈ X, r > 0, B(x, r) = {y ∈ X : d(x, y) < r} lân cận x Chứng minh X không gian nửa mêtric Khi với A ⊂ X, x ∈ A d d(x, A) = tức với A ⊂ X, A = A d A = {x ∈ X : d(x, A) = 0} Ta chứng minh B(x, r) lân cận x Đặt E = X\B(x, r) Ta có d(x, E) ≥ r > nên x ∈ / E Từ x ∈ X\E mở tồn U mở cho x ∈ U ⊆ X\E Ta chứng minh U ⊆ B(x, r) Lấy z ∈ U , z ∈ X\E nên z ∈ / E Vì z ∈ / E z ∈ B(r, x) Từ U ⊆ B(x, r) Vậy B(x, r) lân cận x Ngược lại, giả sử B(x, r) lân cận x với r > Ta chứng minh d A=A d Ta có A ⊆ A Vì với x ∈ A tồn dãy {xn } ⊂ A hội tụ tới x, d d(xn , x) → nên d(x, A) = hay x ∈ A d Ta chứng minh A ⊆ A Thật vậy: d Lấy x ∈ A d(x, A) = Giả sử x ∈ / A x ∈ X\A - mở Khi tồn B(x, r) ⊂ X\A nên d(x, A) ≥ d(x, A ≥ r(vô lý) Do x ∈ A d A ⊆ A d Vậy A = A 13 §3 KHÔNG GIAN τ - ĐỐI XỨNG Trong §2, nghiên cứu số tính chất không gian đối xứng Trong mục này, xây dựng lớp không gian tổng quát không gian đối xứng xét xem tính chất tương tự không gian đối xứng cho lớp không gian hay không? 3.1 Định nghĩa ([2]) Giả sử (X, τ ) không gian tôpô hàm d : X × X → R Hàm d gọi hàm τ -đối xứng X thoả mãn điều kiện sau 1) d(x, y) ≥ ∀ x, y ∈ X, 2) d(x, y) = d(y, x) ∀ x, y ∈ X, 3) Với x ∈ X với lân cận U x tồn ε > cho B(x, ε) ⊂ U , B(x, ε) = {y ∈ X : d(x, y) < ε} Không gian tôpô (X, τ ) với hàm τ -đối xứng gọi không gian τ -đối xứng 3.2 Nhận xét Từ định nghĩa không gian đối xứng Định nghĩa 3.1 suy rằng, không gian đối xứng không gian τ -đối xứng Ví dụ sau cho thấy tồn không gian τ -đối xứng không đối xứng 3.3 Ví dụ ([2]) Cho X = [0, ∞) d(x, y) = |x − y|(mêtric thông thường) Xét hàm p : X × X → R+ xác đinh p(x, y) = e|x−y| , ∀x, y ∈ X Từ x ∈ X, Bp (x, ε) ⊂ Bd (x, ε), ε > Suy hàm p τ -đối xứng X, τ tôpô thông thường Bp (x, ε) = {y ∈ X : p(x, y) < ε}, Bd (x, ε) = {y ∈ X : d(x, y) < ε} 14 Ngoài ra, (X, p) không không gian đối xứng p(1, 1) = Chúng ta nhớ lại rằng, dãy {xn } không gian tôpô X gọi hội tụ tới x ∈ X lân cận U x tồn n0 ∈ N cho xn ∈ U với n ≥ n0 Khi ta viết xn → x 3.4 Định nghĩa Giả sử {xn } dãy không gian τ - đối xứng với hàm τ - đối xứng d Ta nói dãy {xn } d - hội tụ tới x ∈ X d d(x, xn ) → n → ∞ Khi ta viết xn − → x Mệnh đề sau nói lên mối quan hệ tính d-hội tụ tính hội tụ dãy không gian τ - đối xứng 3.5 Mệnh đề Giả sử {xn } dãy không gian τ -đối xứng (X, τ ) d → x xn → x x ∈ X Khi đó, xn − Chứng minh Giả sử lim d(xn , x) = ta cần chứng minh lân cận U n→∞ X tồn n0 ∈ N cho xn ∈ U với n ≥ n0 Thật vậy, giả sử U lân cận x Khi tồn tập mở V chứa x cho x ∈ V ⊂ U Suy tồn ε > cho B(x, ε) ⊂ V Mặt khác, lim d(xn , x) = nên với ε trên, tồn n0 ∈ N cho d(xn , x) < ε với n→∞ n ≥ n0 , tức xn ∈ B(x, ε) ⊂ V ⊂ U với n ≥ n0 Điều ngược lại mệnh đề không đúng, tức tồn dãy hội tụ không gian τ -đối xứng không d-hội tụ Ví dụ sau chứng minh điều 3.6 Ví dụ Giả sử X = [0, ∞) với τ tôpô thông thường R Ta xác định hàm d : X × X → R với d(x, y) = e|x−y| Khi d τ -đối xứng X Lấy dãy {xn } X cho xn → x ∈ X(theo tôpô thông thường) Ta có d(xn , x) = e|xn −x| → 15 Do {xn } không d-hội tụ tới x Từ Ví dụ 3.6 có câu hỏi đặt với điều kiện từ xn → x d suy xn − → x Mệnh đề sau trả lời câu hỏi 3.7 Mệnh đề Giả sử (X, τ ) không gian với hàm d τ -đối xứng X Khi đó, với x ∈ X với ε > 0, B(x, ε) lân cận dãy x dãy hội tụ X d - hội tụ Chứng minh Giả sử với x ∈ X, với ε > 0, B(x, ε) lân cận dãy d x {xn } dãy X, xn → x ∈ X Ta cần chứng minh xn − → x Với ε > 0,vì B(x, ε) lân cận dãy x nên tồn n0 ∈ N cho xn ∈ B(x, ε) với n ≥ n0 Do d(xn , x) < ε, ∀n ≥ n0 d → x Từ suy lim d(xn , x) = 0, tức xn − n→∞ Ngược lại, giả sử với dãy hội tụ X d - hội tụ tồn x ∈ X ε > cho B(x, ε) không lân cậm dãy x Khi đó, tồn d dãy xn X \ B(x, ε) xn → x Vì xn → x nên xn − → x Do tồn n0 ∈ N cho d(xn , x) < ε, với n ≥ n0 , tức xn ∈ B(x, ε) với n ≥ n0 Từ suy B(x, ε) lân cận dãy X(Mâu thuẫn với giả thiết) Từ ta có điều phải chứng minh Ta biết rằng, không gian đối xứng τ -đối xứng (Nhận xét 3.2) Vấn đề đặt với điều kiện không gian τ -đối xứng đối xứng? Để giải vấn đề ta cần bổ đề sau 3.8 Bổ đề Giả sử X không gian dãy T2 Khi X không gian snf - đếm X không gian gf - đếm Chứng minh Điều kiện đủ hiển nhiên cở sở yếu sn - lưới Bây ta chứng minh điều kiện cần Giả sử X snf - không gian đếm Khi X có sn - lưới P = ∪{Px : x ∈ X} Px tập đếm với x ∈ X Ta cần chứng minh P cở sở yếu 16 X Ta cần chứng minh A mở X với x ∈ A tồn P ∈ Px cho P ⊂ A Giả sử A mở X Khi đó, với x ∈ A A lân cận mở chứa x nên tồn P ∈ Px cho P ⊂ A Ngược lại, giả sử A ⊂ X mà x ∈ A tồn P ∈ Px cho P ⊂ A A không mở, tức X \ A không đóng Khi tồn dãy {xn } ⊂ X \ A cho xn → x mà x ∈ / X \ A hay x ∈ A Mặt khác theo giả thiết, tòn P ∈ Px cho P ⊂ A Vì P sn-lưới nên P lân cận dãy x Do tồn n0 ∈ N cho xn ∈ P ⊂ A với n ≥ n0 Điều mâu thuẫn với {xn } ⊂ X \ A Vậy A mở X 3.9 Định lý Giả sử (X, τ ) không gian dãy T2 Khi X không gian đối xứng X τ -đối xứng dãy hội tụ X d-hội tụ Chứng minh Điều kiện cần suy từ Nhận xét 3.2, Mệnh đề 2.10 Mệnh đề 3.7 Điều kiện đủ: Giả sử X không gian τ -đối xứng với hàm τ -đối xứng d cho dãy hội tụ X d-hội tụ Khi đó, với x ∈ X đặt Px = {B(x, ) : n = 1, 2, } n đặt P = ∪x∈X Px Rõ ràng P thoả mãn hai điều kiện 1),2) định nghĩa sn-lưới Theo Mệnh đề 3.7, B(x, ) lân cận dãy x Do P sn-lưới Vì n Px đếm nên X snf -không gian đếm Vì X không gian dãy T2 nên theo Bổ đề 3.8, X gf -không gian đếm P sở yếu X Bây ta xác định hàm d : X × X → R 17 công thức     d (x, y) = inf    x = y 1 , 1 inf{n : x ∈ B(y, )} inf{n : y ∈ B(x, )} n n x = y Hiển nhiên d (x, y) ≥ 0, d (x, x) = d (x, y) = d (y, x) với x, y ∈ X Giả sử x = y.Vì X T2 -không gian nên tồn lân cận V y 1 cho U ∩ V = ∅ Do X τ -đối xứng nên tồn B(x, ) B(y, ) n m cho 1 B(x, ) ⊂ U, B(y, ) ⊂ V n m 1 Vì B(x, ) ∩ B(y, ) = ∅ ta có d (x, y) > n m Cho G tập X Giả sử G mở Khi đó, với x ∈ G, P sở yếu nên tồn n0 ∈ N cho B(x, ) ⊂ G Với y ∈ X \ G n0 1 ta có y ∈ / B(x, ) Do inf {n : y ∈ / B(x, )} ≤ n0 , tức n0 n 1 inf {n : y ∈ / B(x, )} n ≥ n0 Với z ∈ X r > đặt B (z, r) = {t ∈ X : d (z, t) < r} Khi đó, tồn n ∈ N cho B (x, ) ⊂ G Thật vậy, giả sử n B (x, ) ⊂ G với n > n0 n Khi ta chọn dãy {xn } với n > n0 cho xn ∈ B (x, ) ∩ (X \ G) ∀ n > n0 n Vì xn ∈ X \ G với n > n0 nên theo (1) ta có 1 inf {j : xn ∈ / B(x, )} j ≥ 1 > ∀ n > n0 n0 n (1) 18 Do để d (x, xn ) < n 1 inf {j : xn ∈ / B(x, )} j < ∀ n > n0 n Từ suy x ∈ B(xn , )∀ n > n0 n tức d(x, xn ) < với n > n0 Do n lim d(xn , x) = n→∞ d → x Theo Mệnh đề 3.5, xn → x Điều mâu thuẫn với G Hay xn − tập mở chứa x xn ∈ X \ G với n > n0 Do B (x, ) ⊂ G với n ∈ N n Bây giả sử với x ∈ G tồn B (x, r) ⊂ G Ta cần chứng tỏ G mở X Chọn n ∈ N cho B (x, ) ⊂ B (x, r) n Với y ∈ B(x, ta có n inf {j : y ∈ / B(y, )} > n j Từ suy d (x, y) < 1 inf {j : y ∈ / B(y, )} j < , n tức y ∈ B (x, ) Do n 1 B(x, ) ⊂ B (x, ) ⊂ B (x, r) ⊂ G n n Từ P sở yếu suy G tập mở X Như hàm d thoả mãn Định nghĩa 2.1 X không gian đối xứng 19 3.10 Mệnh đề Giả sử (X, τ ) không gian tôpô với hàm τ -đối xứng d Khi 1) Nếu (X, τ ) T1 -không gian từ d(x, y) = kéo theo x = y 2) Nếu (X, τ ) T2 -không gian từ dãy {xn } X mà lim d(xn , x) = lim d(xn , y) = kéo theo x = y Chứng minh 1) Giả sử (X, τ ) T1 -không gian, d(x, y) = x = y Khi từ (X, τ ) T1 -không gian suy tồn τ -lân cận V X cho y ∈ / V Vì V τ -lân cận x nên tồn Bd (x, ε) ⊂ V Ta có d(x, y) ≥ ε > Điều mâu thuẫn với giả thiết Vậy x = y 2) Từ Mệnh đề 3.5, lim d(xn , x) = lim d(xn , y) = kéo theo xn → x xn → y Do X T2 -không gian nên x = y 3.11 Định lý Giả sử (X, τ ) không gian tôpô với hàm τ -đối xứng d {xn } dãy X Dãy {xn } gọi dãy Cauchy d(xn , xm ) → m n → ∞, tức với ε > tồn n0 ∈ N cho d(xn , xm ) < ε với n, m ≥ n0 Không gian X gọi đầy đủ dãy Cauchy X hội tụ Tập Y gọi tập đầy đủ {xn } dãy Cauchy Y xn → x ∈ Y 3.12 Nhận xét Mỗi tập đóng không gian τ -đối xứng, đầy đủ tập đầy đủ Chứng minh Giả sử Y tập đóng không gian τ -đối xứng, đầy đủ X {yn } dãy Cauchy Y Khi X đầy đủ nên yn → x ∈ X Từ {yn } ⊂ Y Y đóng suy x ∈ Y Vậy Y tập đầy đủ 3.13 Định lý Với không gian τ -đối xứng (X, τ ) điều kiện sau tương đương 20 1) Mọi dãy d-hội tụ dãy Cauchy d d 2) Nếu {xn }, {yn } hai dãy X cho xn − → x, yn − →x∈X lim d(xn , yn ) = n→∞ Chứng minh Giả sử điều kiện 1) thoả mãn {xn }, {yn } hai dãy d d X cho xn − → x, yn − → x ∈ X Với n = 1, 2, , đặt z2n−1 = xn , z2n = yn Khi từ d(x, xn ) → d(x, yn ) → suy lim d(x, zn ) → 0, tức n→∞ d zn − → x Theo điều kiện 1), {zn } dãy Cauchy Do đó, với ε > tồn n0 ∈ N cho d(zn , zn+m ) < ε với n ≥ n0 , m ∈ N Từ suy d(xn , yn ) = d(z2n−1 , z2n ) < ε với n ≥ n0 Do lim d(xn , yn ) = n→∞ Ngược lại, giả sử điều kiện 2) thoả mãn {xn } dãy d-hội tụ tới x ∈ X Ta cần chứng minh {xn } dãy Cauchy Giả sử {xn } không dãy Cauchy Khi tồn ε > cho với n ∈ N tồn mn > n kn ∈ N thoả mãn d(xmn , xmn +kn ) > ε Không tính tổng quát giả thiết mn + kn < mn+1 với n Khi {xmn } {xmn +kn } hai dãy dãy {xn } Từ d(x, xn ) → suy lim d(x, xmn ) = lim d(x, xmn +kn ) = n→∞ n→∞ Theo điều kiện 2) ta có lim d(xmn , xmn +kn ) = n→∞ Ta có điều mâu thuẫn Do {xn } dãy Cauchy Ta biết rằng, không gian mêtric đầy đủ dãy giảm hình cầu đóng đường kính chúng dần tới có điểm chung 21 Định lý sau cho thấy điều không gian τ -đối xứng, đầy đủ 3.14 Định lý Giả sử (X, τ ) không gian τ -đối xứng, đầy đủ Khi đó, {An } dãy giảm tập đóng, khác rỗng X cho lim d(An ) = n→∞ 0, d(An ) = sup {d(x, y) : x, y ∈ An }, An có điểm chung Hơn nữa, thêm giả thiết X T1 -không gian điểm chung An Chứng minh Với n = 1, 2, , lấy xn ∈ An Vì d(An ) → nến với ε > tồn n0 ∈ N cho d(An ) < ε với n ≥ n0 Do với n ≥ n0 , m ∈ N, từ xn , xn+m ∈ An0 suy d(xn , xn+m ) < ε Như {xn } dãy Cauchy không gian đầy đủ Vì xn → x ∈ X Với n = 1, 2, , dãy {xn+k }k nằm An với k, từ tính đóng An suy xn+k → x ∈ An Do x ∈ ∩∞ n=1 An Giả sử tồn y ∈ ∩∞ n=1 An Khi x y thuộc An với n Do d(x, y) = Vì X T1 -không gian nên theo Mệnh đề 3.10, x = y Vậy ∩∞ n=1 An = {x} 22 KẾT LUẬN Khoá luận đạt kết sau -Dựa vào tài liệu tham khảo trình bày lại khái niệm số tính chất không gian đối xứng, sau xét mối quan hệ không gian đối xứng số không gian tôpô đặc biệt khác -Trình bày định nghĩa ví dụ không gian τ -đối xứng -Đưa chứng minh số tính chất không gian τ -đối xứng, Mệnh đề 3.5, Mệnh đề 3.7, Bổ đề 3.8, Định lý 3.9, mệnh đề 3.10, Nhận xét 3.12, Định lý 3.13 Định lý 3.14 Khoá luận tiếp tục nghiên cứu tồn tính chất loại phủ đếm theo điểm không gian τ -đối xứng k-lưới, cs-lưới, cs∗ -lưới, 23 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Lê Khánh Hưng, Không gian tôpô đối xứng, Khoá luận tốt nghiệp ĐH, ĐH Vinh, 2005 [2] M Amri and D El Moutawakil, Normal structure and fixed points of nonexpansive maps in general topolagical spaces, Acta.Math Academiae Paedagogicae Nyíregypháziensis , 18(2002), 71-76 [3] G Grnenhage, Generalized metric spaces, in K Kunen and Z.E Vaughan, eds, Hanbook of Set-thoeretic Topology, North-Halland, (1984) [4] Dinh Huy Hoang and Le Khanh Hung, Symmetric space and point - countable covers, VNU J of science, Mathematics-Physics XXII, No 3- 2006, 28-30 [...]... A ⊆ A d Vậy A = A 13 §3 KHÔNG GIAN τ - ĐỐI XỨNG Trong §2, chúng ta đã nghiên cứu một số tính chất của không gian đối xứng Trong mục này, chúng ta sẽ xây dựng một lớp không gian tổng quát hơn không gian đối xứng và xét xem các tính chất tương tự như đối với không gian đối xứng còn đúng cho lớp không gian này nữa hay không? 3.1 Định nghĩa ([2]) Giả sử (X, τ ) là không gian tôpô và hàm d : X × X → R... nghĩa 3.1 suy ra rằng, mỗi không gian đối xứng là không gian τ -đối xứng Ví dụ sau cho thấy tồn tại không gian τ -đối xứng nhưng không đối xứng 3.3 Ví dụ ([2]) Cho X = [0, ∞) và d(x, y) = |x − y|(mêtric thông thường) Xét hàm p : X × X → R+ được xác đinh bởi p(x, y) = e|x−y| , ∀x, y ∈ X Từ mỗi x ∈ X, Bp (x, ε) ⊂ Bd (x, ε), ε > 0 Suy ra rằng hàm p là τ -đối xứng trên X, ở đây τ là tôpô thông thường Bp (x,... do đó X là không gian đối xứng 19 3.10 Mệnh đề Giả sử (X, τ ) là không gian tôpô với hàm τ -đối xứng d Khi đó 1) Nếu (X, τ ) là T1 -không gian thì từ d(x, y) = 0 kéo theo x = y 2) Nếu (X, τ ) là T2 -không gian thì từ dãy {xn } trong X mà lim d(xn , x) = lim d(xn , y) = 0 kéo theo x = y Chứng minh 1) Giả sử (X, τ ) là T1 -không gian, d(x, y) = 0 nhưng x = y Khi đó từ (X, τ ) là T1 -không gian suy ra... y) = 0 Vì X là T1 -không gian nên theo Mệnh đề 3.10, x = y Vậy ∩∞ n=1 An = {x} 22 KẾT LUẬN Khoá luận đã đạt được các kết quả chính sau đây -Dựa vào các tài liệu tham khảo trình bày lại khái niệm và một số tính chất của không gian đối xứng, sau đó xét mối quan hệ giữa không gian đối xứng và một số không gian tôpô đặc biệt khác -Trình bày định nghĩa và ví dụ về không gian τ -đối xứng -Đưa ra và chứng... được gọi là hàm τ -đối xứng trên X nếu thoả mãn các điều kiện sau 1) d(x, y) ≥ 0 ∀ x, y ∈ X, 2) d(x, y) = d(y, x) ∀ x, y ∈ X, 3) Với mỗi x ∈ X và với mỗi lân cận U của x đều tồn tại ε > 0 sao cho B(x, ε) ⊂ U , trong đó B(x, ε) = {y ∈ X : d(x, y) < ε} Không gian tôpô (X, τ ) cùng với một hàm τ -đối xứng trên nó được gọi là không gian τ -đối xứng 3.2 Nhận xét Từ định nghĩa không gian đối xứng và Định nghĩa... ở đây là với điều kiện nào thì mỗi không gian τ -đối xứng là đối xứng? Để giải quyết vấn đề này ta cần bổ đề sau 3.8 Bổ đề Giả sử X là không gian dãy và T2 Khi đó X là không gian snf - đếm được khi và chỉ khi X là không gian gf - đếm được Chứng minh Điều kiện đủ là hiển nhiên vì mỗi cở sở yếu là sn - lưới Bây giờ ta chứng minh điều kiện cần Giả sử X là snf - không gian đếm được Khi đó X có một sn -... là không gian tôpô đối xứng Giả sử A ⊂ X và x ∈ A khi đó d(x, A) = 0, với mọi n = 1, 2, vì d(x, A) = 0 nên Sn (x) ∩ A = ∅ Lấy xn ∈ Sn (x) ∩ A, n = 1, 2, Ta được {xn } ⊂ A Giả sử U là một lân cận của x Khi đó tồn tại m ∈ N sao cho Sm (x) ⊂ U Do đó xn ∈ Sm (x) ⊂ U với mọi n > m Như vậy xn → x và do đó X là không gian Frechet 12 2.14 Mệnh đề Giả sử X là không gian tôpô đối xứng Khi đó X là không gian. .. (x, ε) = {y ∈ X : d(x, y) < ε} 14 Ngoài ra, (X, p) không là không gian đối xứng vì p(1, 1) = 1 Chúng ta nhớ lại rằng, dãy {xn } trong không gian tôpô X được gọi là hội tụ tới x ∈ X nếu mỗi lân cận U của x tồn tại n0 ∈ N sao cho xn ∈ U với mọi n ≥ n0 Khi đó ta viết xn → x 3.4 Định nghĩa Giả sử {xn } là dãy trong không gian τ - đối xứng với hàm τ - đối xứng d Ta nói dãy {xn } là d - hội tụ tới x ∈ X nếu... một số tính chất của không gian τ -đối xứng, đó là Mệnh đề 3.5, Mệnh đề 3.7, Bổ đề 3.8, Định lý 3.9, mệnh đề 3.10, Nhận xét 3.12, Định lý 3.13 và Định lý 3.14 Khoá luận có thể tiếp tục nghiên cứu sự tồn tại và tính chất của các loại phủ đếm được theo điểm trong không gian τ -đối xứng như k-lưới, cs-lưới, cs∗ -lưới, 23 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Lê Khánh Hưng, Không gian tôpô đối xứng, Khoá luận tốt nghiệp... Cauchy trong Y thì xn → x ∈ Y 3.12 Nhận xét Mỗi tập con đóng của không gian τ -đối xứng, đầy đủ là tập đầy đủ Chứng minh Giả sử Y là tập con đóng của không gian τ -đối xứng, đầy đủ X và {yn } là một dãy Cauchy trong Y Khi đó vì X đầy đủ nên yn → x ∈ X Từ {yn } ⊂ Y và Y đóng suy ra x ∈ Y Vậy Y là tập đầy đủ 3.13 Định lý Với không gian τ -đối xứng (X, τ ) các điều kiện sau là tương đương 20 1) Mọi dãy