LÝ THUYẾT DUNG LƯỢNG TRONG KHÔNG GIAN TÔPÔ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Phan Phụng Hiệp LÝ THUYẾT DUNG LƯỢNG TRONG KHÔNG GIAN TÔPÔ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2008 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Phan Phụng Hiệp LÝ THUYẾT DUNG LƯỢNG TRONG KHÔNG GIAN TÔPÔ Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS ĐẬU THẾ CẤP Thành phố Hồ Chí Minh – 2008 LỜI CÁM ƠN Lời cám ơn sâu sắc nhất, xin trân trọng cảm ơn Thầy – PGS - TS Đậu Thế Cấp, người giảng dạy cho khóa học, tận tình hướng dẫn suốt trình thực luận văn Thạc sĩ Tôi xin gửi lời cám ơn đến quý Thầy Cô Hội đồng chấm luận văn dành thời gian đọc cho nhận xét luận văn Tôi xin chân thành cám ơn Ban Giám Hiệu, quý Thầy Cô Khoa Toán - Tin học, quý Thầy Cô thuộc Phòng Quản Lý Khoa Học Sau Đại Học Trường Đại Học Sư Phạm TP HCM trang bị cho kiến thức tạo điều kiện thuận lợi cho suốt trình học tập trường Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến quý Thầy Cô – đồng nghiệp Trường THPT Mạc Đĩnh Chi nhiệt tình giúp đỡ công việc để thuận lợi trình học tập Tôi xin cám ơn bạn học viên lớp Cao học Giải Tích khóa 16 chia sẻ, giúp đỡ suốt trình học tập Cuối lời cám ơn dành cho người thân gia đình tôi, người động viên suốt thời gian qua TP Hồ Chí Minh, ngày tháng 10 năm 2008 Phan Phụng Hiệp MỤC LỤC Lời cám ơn ……………………………………………………………… .1 Mục lục ………………………………………………………………………2 MỞ ĐẦU …………………………………………………………………….3 Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ …………………………………… 1.1 Độ đo …………………………………………………………… 1.2 Hàm đo được… …………….……………………………… 18 1.3 Bổ đề Urysohn……………………………………………………19 Chương 2: DUNG LƯỢNG TRONG KHÔNG GIAN TÔPÔ ………….21 2.1 Các định nghĩa tính chất …………………………………… 21 2.2 Mối liên hệ dung lượng độ đo ………………………… 28 2.3 Một số dung lượng đặc biệt …………………………………… 29 Chương 3: TÍCH PHÂN CHOQUET THEO DUNG LƯỢNG ……… 35 3.1 Định nghĩa ……………………………………………………….35 3.2 Tính chất………………………………………………………….36 KẾT LUẬN ……………………………………………………………… 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO ……………………………………………… 46 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết dung lượng đưa G Choquet tiếp tục phát triển nhiều tác giả thời gian qua Dung lượng xét không gian đo khái quát độ đo gần không gian mêtric R n với σ - đại số Borel hai tác giả Nguyễn Nhụy Lê Xuân Sơn Vì vậy, tiếp tục mở rộng kết không gian tôpô tổng quát lí mà chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Trong luận văn này, đưa khái niệm dung lượng khái niệm tích phân Choquet theo dung lượng không gian tôpô Hausdorff tổng quát với σ - đại số Borel Đối tượng phạm vi nghiên cứu Trong luận văn này, nghiên cứu dung lượng không gian tôpô Hausdorff với σ - đại số Borel, khảo sát số trường hợp dung lượng có giá tập hữu hạn, số tính chất tích phân Choquet theo dung lượng có giá tập hữu hạn Ý nghĩa khoa học thực tiễn Các kết có luận văn trường hợp cho lý thuyết dung lượng không gian tôpô Hausdorff với σ - đại số Borel Cấu trúc luận văn Nội dung luận văn trình bày chương: - Chương 1: Trình bày số vấn đề lí thuyết độ đo có liên quan bổ đề Urysohn - Chương 2: Trình bày định nghĩa dung lượng không gian tôpô Hausdorff số tính chất nó, mối liên hệ dung lượng với độ đo số dung lượng đặc biệt - Chương 3: Trình bày định nghĩa tích phân Choquet theo dung lượng chứng minh số kết trường hợp dung lượng có giá tập hữu hạn Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Độ đo Kí hiệu P ( X ) họ tất tập tập X Định nghĩa 1.1.1 Một họ M ⊂ P ( X ) gọi σ - đại số X thỏa mãn điều kiện i ∅ ∈ M ii { E j } +∞ j =1 ⊂ M +∞ UE j ∈M j =1 iii E ∈ M E c = X \ E ∈ M Nếu điều kiện ii thay điều kiện ii’ { E j } n j =1 ⊂ M n UE j ∈M j =1 M gọi đại số Cặp ( X , M) gồm tập X σ - đại số M X gọi không gian đo Ta biết giao họ khác rỗng σ - đại số tập X σ - đại số Nếu E họ tập X P ( X ) σ - đại số chứa E Do ta có σ - đại số M( E ) giao tất σ - đại số chứa E σ - đại số M( E ) gọi σ - đại số sinh E Với họ tập E , F X ta có E ⊂ M( F ) ⇒ M( E ) ⊂ M( F ) Định nghĩa 1.1.2 Cho X không gian tôpô Ta gọi σ - đại số Borel X σ - đại số sinh họ tập mở X, kí hiệu B( X ) Mỗi phần tử thuộc B( X ) gọi tập Borel Như tập Borel bao gồm tập mở, tập đóng, giao đếm tập mở, hợp đếm tập đóng… X Đặc biệt X không gian Hausdorff tập compăc tập Borel Ta gọi tập giao đếm tập mở tập Gδ , tập hợp đếm tập đóng tập Fσ Định lí 1.1.1 B( R ) sinh họ tập sau R a Họ khoảng mở E1 = {(a; b) / a < b} b Họ khoảng đóng E2 = {[a; b]/ a < b} c Họ khoảng nửa mở E3 = {(a; b]/ a < b} E4 = {[a; b) / a < b} d Họ nửa đường thẳng mở E5 = {(a; +∞) / a ∈ R} E6 = {(−∞; a) / a ∈ R} e Họ nửa đường thẳng đóng E7 = {[a; +∞) / a ∈ R} E8 = {(−∞; a ]/ a ∈ R} Định nghĩa 1.1.3 Cho { X α }α∈I họ tập khác rỗng, X = ∏ X α π α : X → X α α ∈I ánh xạ tọa độ thứ α Với α , cho Mα σ - đại số X α Ta gọi σ - đại số tích σ - đại số X α σ - đại số X sinh họ tập {π α−1 ( Eα ) / Eα ∈ Mα ,α ∈ I } n Ta kí hiệu σ - đại số ⊗ Mα , I = {1, , n} ta kí hiệu ⊗ M j α ∈I M1 ⊗ ⊗ Mn Định lí 1.1.2 Nếu I tập đếm ⊗ Mα σ - đại số sinh họ tập α ∈I   ∏ Eα / Eα ∈ Mα   α∈I  Định lí 1.1.3 Cho Mα sinh Eα , α ∈ I Khi ⊗ Mα sinh F1 = {π α−1 ( Eα ) / Eα ∈ Eα , α ∈ I } α ∈I Nếu I đếm X α ∈ Eα , ∀α ∈ I ⊗ Mα α ∈I sinh   F2 = ∏ Eα / Eα ∈ Eα   α∈I  Định lí 1.1.4 n Cho X , , X n không gian mêtric X = ∏ X j không gian n mêtric tích Khi ⊗ B( X j ) ⊂ B( X ) Nếu tất không gian X j khả li n ⊗ B ( X j ) = B( X ) Ta gọi gian R n tập dạng G1 × × Gn , Gi khoảng mở, khoảng đóng, khoảng nửa mở R Định lí 1.1.5 n B( R n ) = ⊗ B( R) B( R n ) σ - đại số sinh gian Rn Định nghĩa 1.1.4 Họ E tập X gọi họ sơ cấp i ∅ ∈ E ii E , F ∈ E ⇒ E ∩ F ∈ E iii E ∈ E E c hợp hữu hạn tập rời E Định lí 1.1.6 Nếu E họ sơ cấp họ A hợp hữu hạn tập rời E đại số Định nghĩa 1.1.5 Cho M σ - đại số X Một hàm tập µ : M → [0; +∞] gọi độ đo M thỏa mãn điều kiện i µ (∅) = ii { E j } +∞ j =1  +∞  +∞ dãy tập rời thuộc M µ  U E j  = ∑ µ ( E j )  j =1  j =1 Độ đo µ M gọi hữu hạn µ ( E ) < +∞, ∀E ∈ M 32 Nếu ( B ∪ C ) ∩ A0 = ∅ TA ( B ∪ C ) = max {TA ( B ), TA (C )} =0 Nếu ( B ∪ C ) ∩ A0 ≠ ∅ TA ( B ∪ C ) = max {ti : xi ∈ B ∪ C} = max {TA ( B ), TA (C )} Do TA thỏa mãn điều kiện định nghĩa 2.1.1 Ta có TA ( B ) = sup {TA (C ) : C ∈ K ( X ), C ⊂ B} , ∀B ∈ B( X ) Thật vậy: Nếu B ∩ A0 = ∅ TA ( B ) = Vì ∀C ∈ K ( X ), C ⊂ B ta có C ∩ A0 = ∅ , suy TA (C ) = nên đẳng thức Nếu B ∩ A0 ≠ ∅ ⇒ TA ( B ) = max {ti : xi ∈ B} = ti∗ Gọi xi* ∈ X tương ứng với ti* Ta có { xi*} tập compăc chứa B TA ({x }) = t Tất nhiên * i * i ∀C ∈ K ( X ), C ⊂ B ⇒ TA (C ) ≤ ti∗ nên đẳng thức Ta có TA (C ) = inf {TA (G ) : G ∈ G ( X ), G ⊃ C} , ∀C ∈ K ( X ) Thật vậy: Nếu C ∩ A0 = ∅ ⇒ TA (C ) = Ta có X \ A0 tập mở chứa C TA ( X \ A0 ) = nên đẳng thức Nếu C ∩ A0 ≠ ∅ ⇒ TA (C ) = max {ti : xi ∈ C} = ti* Xét G ' = X \ ( A0 \ C ) tập mở chứa C ta có TA (G ') = ti* Tất nhiên ∀G ∈ G ( X ), G ⊃ C ⇒ TA (G ) ≥ ti∗ nên đẳng thức Vậy TA dung lượng X Hiển nhiên suppTA = A0 Nếu max {ti , i = 1, , k} = TA ( A0 ) = ta có TA dung lượng xác suất X 33 Định lí 2.3.4 Cho tập hữu hạn A = {( x1 , t1 ), , ( xk , tk )} ⊂ X × (0; +∞) k Đặt A0 = { x1 , , xk } ⊂ X Hàm T A : B( X ) → [0; +∞) , T A = ∑ tiδ xi xác i =1 định sau ∀B ∈ B( X ) , T A ( B) = ∑ ti xi ∈B ∩ A0 Khi T A dung lượng X Chứng minh: Ta có T A (∅) = +∞ Với { Bi }1 dãy tập rời B( X ) , A0 hữu hạn nên có hữu hạn Bi có giao với A0 +∞ +∞ i =1 i =1 ⇒ T (U Bi ) = ∑ T A ( Bi ) A Vậy T A độ đo X Do T A thoả mãn điều kiện định nghĩa 2.1.1 Ta có T A ( B) = sup {T A (C ) : C ∈ K ( X ), C ⊂ B} , ∀B ∈ B( X ) Thật vậy, ta có ∑ C ' = B ∩ A0 tập compăc chứa B T A ( B) = T A (C ') = ti Khi xi ∈B ∩ A0 =C ' ∀C ∈ K ( X ), C ⊂ B ⇒ (C ∩ A0 ) ⊂ C ' ⇒ T A (C ) ≤ T A (C ') nên đẳng thức Ta có T A (C ) = inf {T A (G ) : G ∈ G ( X ), G ⊃ C} , ∀C ∈ K ( X ) Thật vậy, ta có G ' = X \ ( A0 \ C ) tập mở chứa C T A (C ) = T A (G ') = ∑ ti Khi xi ∈C ∩ A0 ∀G ∈ G ( X ), G ⊃ C ⇒ (G ∩ A0 ) ⊃ (G '∩ A0 ) ⇒ T A (G ) ≥ T A (G ') nên đẳng thức 34 Vậy T A dung lượng X Hiển nhiên sup pT A = A0 k Nếu ∑t i i =1 = T A ( A0 ) = ta có T A dung lượng xác suất X 35 Chương3: TÍCH PHÂN CHOQUET THEO DUNG LƯỢNG 3.1 Định nghĩa Cho T dung lượng X f : X → R + hàm đo Borel Cho A ∈ B( X ) , xét hàm f A : R → R xác định f A (t ) = T ({ x ∈ A : f ( x) ≥ t} ) , ∀t ∈ R Thế f A hàm giảm theo t, không âm f A hàm đo Borel R Từ đó, với hàm f : X → R + đo Borel, ta định nghĩa tích phân Choquet f theo dung lượng T tập A ∈ B( X ) sau +∞ ∫ fdT = ∫ A Nếu +∞ f A (t )dt = ∫ T ({ x ∈ A : f ( x) ≥ t} ) dt ∫ fdT < +∞ ta nói f khả tích A Đặc biệt A = X ta viết ∫ fdT = ∫ fdT X Trong trường hợp tổng quát, cho f : X → R hàm đo Borel Kí hiệu f + ( x) = max { f ( x), 0} f − ( x) = max {− f ( x), 0} Nếu f + f − khả tích ta định nghĩa tích phân Choquet f theo dung lượng T tập A ∈ B( X ) sau ∫ fdT = ∫ f A A + dT − ∫ f − dT A 36 3.2 Tính chất Định lí 3.2.1 Cho T dung lượng X , f : X → R + hàm đo Borel A ∈ B( X ) Nếu α = sup { f ( x) : x ∈ A} < +∞ α ∫ fdT = ∫ T ({ x ∈ A : f ( x) ≥ t}) dt A Chứng minh: {x ∈ A : Ta có f ( x) ≥ t} = ∅, ∀t > α nên T ({ x ∈ A : f ( x) ≥ t} ) = 0, ∀t > α α +∞ ∫ fdT = ∫ T ({ x ∈ A : f ( x) ≥ t}) dt + α∫ T ({ x ∈ A : f ( x) ≥ t}) dt Do A α = ∫ T ({ x ∈ A : f ( x) ≥ t} ) dt Định lí 3.2.2 Cho T dung lượng X C ∈ K ( X ) 1 Hàm fC : X → R + , xác định ∀x ∈ X , fC ( x) =  0 Khi ∫f C dT = T (C ) Chứng minh: Ta có sup { fC ( x) : x ∈ X } = nên theo định lí 3.2.1 ∫f C dT = ∫ T ({ x ∈ X : f C ( x) ≥ t}) dt ∀t ∈ (0;1] {x ∈ X : f C ( x ) ≥ t} = C , x ∈ C x ∉ C 37 ∫f C dT = ∫ T (C )dt = T (C ) Định lí 3.2.3 Cho X không gian tôpô chuẩn tắc T dung lượng X Nếu ∃x ∈ X , ∫ fdT = f ( x), ∀f ∈ C + ( X ) suppT = { x} , C + ( X ) tập hợp hàm liên tục, không âm X Chứng minh: Giả sử suppT ≠ { x} tồn tập mở G ⊂ X \ { x} cho T (G ) = δ > Vì T (G ) = sup {T (C ) : C ∈ K ( X ), C ⊂ G} nên ∃C ∈ K ( X ), C ⊂ G : T (C ) > δ Xét tập đóng rời C X \ G Theo bổ đề Urysohn tồn hàm fC ,G : X → [0;1] , liên tục thỏa 1 x ∈ C fC ,G ( x) =  x ∉ G  Ta có fC ,G ∈ C + (X) x ∉ G nên = fC ,G ( x) = ∫ fC ,G dT ≥ ∫ fC dT = T (C ) > δ > , ta gặp mâu thuẫn Vậy sup pT = { x} Với x ∈ X , xét Tx dung lượng tương ứng định lí 2.3.1 Ta có định lí sau 38 Định lí 3.2.4 Cho X không gian tôpô chuẩn tắc a Nếu f : X → R + hàm đo Borel ta có ∫ fdT x = f ( x), ∀x ∈ X b Ngược lại, T dung lượng X thỏa ∃x ∈ X , ∫ fdT = f ( x), ∀f ∈ C + ( X ) T = Tx Chứng minh: a ∀x ∈ X , ta có +∞ ∫ fdT = ∫ T ({ y ∈ X : f ( y) ≥ t}) dt x x +∞ f ( x) = ∫ T ({ y ∈ X : f ( y) ≥ t}) dt + ∫ T ({ y ∈ X : f ( y) ≥ t}) dt x x f ( x) f ( x) = ∫ 1dt = f ( x) b Theo định nghĩa 2.1.1 ta có T ({ x} ) = inf {T (V ) : V ∈ G ( X ), V ⊃ { x}} Do với ε > cho trước, tồn V ∈ G ( X ), V ⊃ { x} cho T (V ) < T ({ x} ) + ε Ta có T ({ x} ) ≤ ∫ f{x},V dT = f{x},V ( x) = ≤ T (V ) < T ({ x} ) + ε ⇒ T ({ x} ) ≤ < T ({ x} ) + ε ⇒ T ({ x} ) = Theo định lí 3.2.3, suppT = { x} nên ta T ( suppT ) = T ( X ) = ∀A ∈ B( X ) , ta có: 39 Nếu x ∉ A Tx ( A) = Vì T ( A) ≤ T ( X \ { x} ) = nên T ( A) = Tx ( A) x ∈ A Tx ( A) = Vì = T ({ x} ) ≤ T ( A) ≤ T ( X ) = nên Nếu T ( A) = Tx ( A) Vậy T = Tx Tổng quát hơn, cho C ∈ K ( X ) , xét dung lượng TC tương ứng định lí 2.3.2, ta có kết sau Định lí 3.2.5 Cho X không gian tôpô chuẩn tắc a Nếu f : X → R + hàm đo Borel ∫ fdT C = sup { f ( x) : x ∈ C} , ∀C ∈ K ( X ) b Ngược lại, T dung lượng X thỏa ∃C ∈ K ( X ), ∫ fdT = sup{ f ( x) : x ∈ C} , ∀f ∈ C + ( X ) T = TC suppT = C Chứng minh: a Với C ∈ K ( X ) , đặt M = sup { f ( x) : x ∈ C} Ta có: ∫ fdT C +∞ = ∫ T ({ x ∈ X : f ( x) ≥ t}) dt C M = ∫ TC ({ x ∈ X : f ( x) ≥ t} ) dt M = ∫ dt = M = sup { f ( x) : x ∈ C} b Trước hết ta chứng minh T ( K ) = TC ( K ), ∀K ∈ K ( X ) Nếu K ∩ C = ∅ TC ( K ) = tồn tập mở G1 ⊃ K , G1 ∩ C = ∅ 40 Xét hai hàm f K (là hàm đặc trưng K) f K ,G1 (kí hiệu chứng minh định lí 3.2.3) ta có { } T ( K ) = ∫ f K dT ≤ ∫ f K ,G1 dT = sup f K ,G1 ( x) : x ∈ C = (do x ∈ C ⇒ x ∉ G1 ⇒ f K ,G1 ( x) = ) Nếu K ∩ C ≠ ∅ TC ( K ) = Ta có T ( K ) = inf {T (G ) : G ∈ G ( X ), G ⊃ K } , nên với ε > cho trước, tồn G2 ∈ G ( X ), G2 ⊃ K cho T (G2 ) < T ( K ) + ε { Ta có T ( K ) = ∫ f K dT ≤ ∫ f K ,G2 dT = sup f K ,G2 ( x) : x ∈ C } = ≤ T (G2 ) < T ( K ) + ε Vậy T ( K ) ≤ < T ( K ) + ε Suy T ( K ) = ∀A ∈ B( X ) ta có T ( A) = sup {T ( K ) : K ∈ K ( X ), K ⊂ A} = sup {TC ( K ) : K ∈ K ( X ), K ⊂ A} = TC ( A) Vậy T = TC Tiếp theo ta chứng minh suppT = C ∀K ∈ K ( X ), K ⊂ X \ C , gọi G tập mở cho K ⊂ G ⊂ X \ C Ta có T ( K ) = ∫ f K dT ≤ ∫ f K ,G dT = sup { f K ,G ( x) : x ∈ C} = Do T ( X \ C ) = sup {T ( K ) : K ∈ K ( X ), K ⊂ X \ C} = Vậy suppT ⊂ C 41 ∀G ∈ G ( X ) mà T (G ) = G ⊂ X \ C Thật vậy, G ∩ C ≠ ∅ , xét x ∈ G ∩ C Với ε > cho trước, tồn V ∈ G ( X ), V ⊃ { x} cho T ({ x} ) > T (V ) − ε Xét hàm f{x},V ta T (G ) ≥ T ({ x} ) > T (V ) − ε ≥ ∫ f{x},V dT − ε { } ⇒ T (G ) > sup f{x},V ( x) : x ∈ C − ε = − ε ⇒ T (G ) > , ta gặp mâu thuẫn Do supp T = X \ U{G : G ∈ G ( X ), T (G ) = 0} ⇒ sup pT ⊃ X \ ( X \ C ) = C Vậy suppT = C Định lí 3.2.6 Cho tập hữu hạn A = {( x1 , t1 ), , ( xk , tk )} ⊂ X × (0; +∞) xét dung lượng TA tương ứng định lí 2.3.3 a Nếu f : X → R + hàm đo Borel ta có k −1 ∫ fdT = ∑ (α A i +1 i =0 { { } − α i ) max tn j : j = i + 1, , k , } xn i : i = 1, , k = { xi : i = 1, , k} α = ≤ α1 = f ( xn ) ≤ α = f ( xn ) ≤ ≤ α k = f ( xn ) k b Ngược lại, T dung lượng X thỏa k −1 ∫ fdT = ∑ (α i +1 i =0 hàm đo T = TA { } − α i ) max tn j : j = i + 1, , k , ∀f : X → R + 42 Chứng minh: a Đặt α = α k = f ( xnk ) = max { f ( xi ) : i = 1, , k} Ta có ∫ fdT A +∞ = ∫ T ({ x ∈ X : f ( x) ≥ t}) dt A α = ∫ TA ({ x ∈ X : f ( x) ≥ t} ) dt Theo định nghĩa dung lượng TA { } TA ({ x ∈ X : f ( x) ≥ t} ) = max tn j : j = i + 1, , k ∀t ∈ (α i ;α i +1 ] Do α ∫ fdT = ∫ T ({ x ∈ X : f ( x) ≥ t}) dt A A k −1 α i +1 =∑ ∫ max {t i =0 α i n j } : j = i + 1, , k dt k −1 { } = ∑ (α i +1 − α i ) max tn j : j = i + 1, , k i =0 b Trước hết ta chứng minh T ( K ) = TA ( K ), ∀K ∈ K ( X ) 1 x ∈ K Xét hàm số f K ( x) =  ∉ x K  Không tính tổng quát ta giả sử f K ( x1 ) ≤ f K ( x2 ) ≤ ≤ f K ( xk ) Đặt α i = f K ( xi ), i = 1, , k A0 = { x1 , , xk } ⊂ X Nếu K ∩ A0 = ∅ TA ( K ) = k −1 T ( K ) = ∫ f K dT = ∑ (α i +1 − α i ) max {t j : j = i + 1, , k} i =0 Vì ∀i = 1, , k , xi ∉ K ⇒ α i = ⇒ T ( K ) = Nếu K ∩ A0 ≠ ∅ Gọi i số nhỏ mà xi ∈ K ∩ A0 43 Ta có f K ( xi ) = ≤ f K ( x j ), ∀j = i + 1, , k Do x j ∈ K ∩ A0 , ∀j = i + 1, , k Suy α1 = = α i −1 = 0, α i = = α k = Theo định nghĩa dung lượng TA TA ( K ) = max {ti : xi ∈ K ∩ A0 } = max {t j : j = i, , k} k −1 Ta có T ( K ) = ∫ f K dT = ∑ (α i +1 − α i ) max {t j : j = i + 1, , k} i =0 = (α i − α i −1 ) max {t j : j = i, , k} = max {t j : j = i, , k} = TA ( K ) Vậy T ( K ) = TA ( K ), ∀K ∈ K ( X ) ∀B ∈ B( X ) ta có T ( B ) = sup {T ( K ) : K ∈ K ( X ), K ⊂ B} = sup {TA ( K ) : K ∈ K ( X ), K ⊂ B} = TA ( B ) Vậy T = TA Định lí 3.2.7 Cho tập hữu hạn A = {( x1 , t1 ), , ( xk , tk )} ⊂ X × (0; +∞) xét dung k lượng T A = ∑ tiδ xi tương ứng định lí 2.3.4 i =1 Nếu f : X → R + hàm đo Borel ta có ∫ Chứng minh: k fdT A = ∑ ti f ( xi ) i =1 44 Không tính tổng quát ta giả sử f ( x1 ) ≤ f ( x2 ) ≤ ≤ f ( xk ) k Với ∀i = 1, , k , đặt = ∑ tn n =i Ta có T A ({ x ∈ X : f ( x) ≥ t} ) = +1 , ∀t ∈ ( f ( xi ); f ( xi +1 ) ] Do ∫ fdT f ( xk ) A = ∫ T A ({ x ∈ X : f ( x) ≥ t} ) dt k −1 f ( xi +1 ) =∑ ∫ i = f ( xi ) T A ({ x ∈ X : f ( x) ≥ t} ) dt với f ( x0 ) = k −1 f ( xi +1 ) =∑ ∫ +1dt i = f ( xi ) k −1 = ∑ +1 ( f ( xi +1 ) − f ( xi ) ) i =0 k −1 = ∑ (ai − +1 ) f ( xi ) + ak f ( xk ) i =1 k −1 = ∑ ti f ( xi ) + t k f ( xk ) i =1 k = ∑ ti f ( xi ) i =1 45 KẾT LUẬN Trong chương 2, đưa định nghĩa dung lượng không gian tôpô Hausdorff, chứng minh tính chất bản, đưa lớp dung lượng gồm: lớp độ đo cực đại, lớp độ đo Borel quy hữu hạn, lớp độ đo Lebesgue tập Borel bị chặn R n xây dựng dung lượng có giá hữu hạn Trong chương 3, trình bày số tính chất tích phân Choquet theo dung lượng có giá hữu hạn nêu chương Cuối cùng, kính mong nhận xét bảo tận tình Quý Thầy Cô để có thêm kinh nghiệm học hỏi nhiều đường học vấn 46 TÀI LIỆU THAM KHẢO Đậu Thế Cấp, Tôpô đại cương, NXB Giáo dục, 2005 Đậu Thế Cấp, Độ đo tích phân, NXB Giáo dục, 2006 Nguyen Nhuy, Le Xuan Son, Probability capacities in Rd and the Choquet integral for capacities, Acta Mathematica Vietnamica 29 (2004), pp 41-56 Nguyen Nhuy, Le Xuan Son, The weak topology on the space of probability capacities in Rd, Vietnam Journal of Mathematics.33 (2005), pp 241-251 [...]... K = H n với n đủ lớn Cho các không gian độ đo ( X j , M j , µ j ), j = 1, , n n Ta gọi gian trong ∏X j là các tập dạng A1 × × An , trong đó Aj ∈ M j gọi là 1 các cạnh của gian Với mọi gian A1 × × An ta có 17 n ( A1 × × An ) = U ( X 1 × × X j −1 × Acj × X j +1 × × X n ) c j =1 là hợp của các gian rời nhau Ta có ∅ là gian và giao của hai gian là gian nên họ các gian trong n ∏X j là 1 một họ sơ cấp... họ các tập Borel, các tập compăc, các tập mở trong không gian tôpô X Định nghĩa 2.1.1 Cho X là không gian tôpô Hausdorff Hàm T : B( X ) → [0; +∞) được gọi là dung lượng trên X nếu nó thỏa mãn 4 điều kiện sau đây 1 T (∅) = 0 2 Với mọi họ tập Borel Ai , i = 1, , k , k ≥ 2 ta có  k    T  I Ai  ≤ ∑ (−1) # I +1T  U Ai  ,  i =1  I∈I ( k )  i∈I  trong đó I (k ) = { I ⊂ {1, , k} , I ≠ ∅} và #... I ) 3 T ( A) = sup {T (C ) : C ∈ K ( X ), C ⊂ A} , ∀A ∈ B( X ) 4 T (C ) = inf {T (G ) : G ∈ G ( X ), G ⊃ C} , ∀C ∈ K ( X ) Kể từ đây trong luận văn này, không gian tôpô X ta xét là không gian tôpô Hausdorff Định lí 2.1.1 Cho T là dung lượng trên X Khi đó T là hàm không giảm trên B( X ) Chứng minh: Giả sử A, B ∈ B( X ), A ⊂ B Đặt K ( A) = {C : C ∈ K ( X ), C ⊂ A} 22 K ( B ) = {C : C ∈ K ( X ), C... vậy, một độ đo cực đại là một dung lượng trên X Định nghĩa 2.1.4 Hàm T : B( X ) → [0; +∞) được gọi là có tính liên tục trên nếu với mọi dãy giảm C1 ⊃ C2 ⊃ ⊃ Cn ⊃ của các tập Borel trong X và +∞ IC n = C0 thì n =1 lim T (Cn ) = T (C0 ) n→+∞ Trong trường hợp tổng quát, một dung lượng không nhất thiết có tính liên tục trên, chẳng hạn như ví dụ sau đây Ví dụ Cho không gian định chuẩn ( X , ), X ≠... (suppT ) ≤ T ( X ) và theo trên thì T ( X ) ≤ T (suppT ) nên được T (suppT ) = T ( X ) Hệ quả 2.1.2 Nếu T là dung lượng trên X thì suppT = X \ U{G : G ∈ G ( X ), T (G ) = 0} Định nghĩa 2.1.6 Dung lượng T được gọi là dung lượng xác suất trên X T (suppT ) = 1 nếu 28 2.2 Mối liên hệ giữa dung lượng và độ đo Định lí 2.2.1 Nếu µ là độ đo hữu hạn trên B( X ) thì với mọi họ tập Borel Ai , i = 1, , k , k... {n + 1} , I ∈ I (n) Hệ quả 2.2.1 Độ đo Borel chính quy hữu hạn trên X là dung lượng trên X Đặc biệt, với mọi tập con Borel bị chặn A của R n , thu hẹp của độ đo Lebesgue trên B( A) là dung lượng trên A Như vậy, lớp các dung lượng trên X chứa lớp các độ đo Borel chính quy hữu hạn và lớp của những độ đo cực đại 2.3 Một số dung lượng đặc biệt Định lí 2.3.1 Cho x ∈ X Hàm Tx = δ x : B( X ) → [0; +∞) được... các giá trị r = k 2− n , 0 < k ≤ 2n trù mật trong [0;1] nên f ( x) < α ⇔ x ∈U r với r nào đó , r < α ⇔ x ∈ UU r r α ⇔ x ∉U r với r nào đó , r > α ⇔ x ∉U s với s nào đó , s > α ( ) ⇔ x ∈ U X \ Us s >α ( ) Vì vậy f −1 ( (−∞;α ) ) = U U r và f −1 ( (α ; +∞) ) = U X \ U s là mở r α 21 Chương 2: DUNG LƯỢNG TRONG KHÔNG GIAN TÔPÔ 2.1 Các định nghĩa và tính chất Ta kí... một tập mở chứa C Mà Tx ( X \ { x} ) = 0 nên đẳng thức cũng đúng Vậy Tx là dung lượng trên X Hiển nhiên suppT = { x} và Tx ({ x} ) = 1 nên Tx là dung lượng xác suất trên X Định lí 2.3.2 Cho C ∈ K ( X ) Hàm TC : B( X ) → [0; +∞) được xác định như sau 1 ∀A ∈ B( X ) , TC ( A) =  0 khi A ∩ C ≠ ∅ khi A ∩ C = ∅ Khi đó TC là dung lượng xác suất trên X và suppTC = C Chứng minh: Ta có TC (∅) = 0 Ta có... thức cũng đúng Vậy TC là dung lượng trên X Hiển nhiên suppTC = C và TC (C ) = 1 nên TC là dung lượng xác suất trên X Định lí 2.3.3 Cho tập hữu hạn A = {( x1 , t1 ), , ( xk , tk )} ⊂ X × (0; +∞) Đặt A0 = { x1 , , xk } ⊂ X Hàm TA : B( X ) → [0; +∞) được xác định như sau max {ti : xi ∈ B ∩ A0 } khi B ∩ A0 ≠ ∅ ∀B ∈ B( X ) , TA ( B ) =  khi B ∩ A0 = ∅ 0 Khi đó TA là dung lượng trên X và suppTA =... đúng Vậy TA là dung lượng trên X Hiển nhiên suppTA = A0 Nếu max {ti , i = 1, , k} = 1 thì TA ( A0 ) = 1 và ta có TA là dung lượng xác suất trên X 33 Định lí 2.3.4 Cho tập hữu hạn A = {( x1 , t1 ), , ( xk , tk )} ⊂ X × (0; +∞) k Đặt A0 = { x1 , , xk } ⊂ X Hàm T A : B( X ) → [0; +∞) , T A = ∑ tiδ xi được xác i =1 định như sau ∀B ∈ B( X ) , T A ( B) = ∑ ti xi ∈B ∩ A0 Khi đó T A là dung lượng trên X