Lí thuyết dung lượng được đưa ra bởi G.Choquet [1] và được tiếp tục phát triển bởi nhiều tác giả (xem tài liệu tham khảo). Dung lượng đã được xét trong không gian đo được bất kì như là một khái quát của độ đo và gần đây là trong IRn với σ-đại số Borel. Trong bài này chúng tôi đưa ra khái niệm dung lượng trong không gian Tôpô Hausdorff tổng quát. Sau đó chúng tôi đã khảo sát khá triệt để trường hợp dung lượng có giá là tập rời rạc. Trong IRn cũng mới xét trường hợp dung lượng có giá hữu hạn, do đó kết quả của chúng tôi là mới cả trong trường hợp không gian là IRn .
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Đậu Thế Cấp, Bùi Đình Thắng DUNG LƯỢNG TRONG KHƠNG GIAN TƠPƠ Đậu Thế Cấp1 , Bùi Đình Thắng Mở đầu Lí thuyết dung lượng đưa G.Choquet [1] tiếp tục phát triển nhiều tác giả (xem tài liệu tham khảo) Dung lượng xét khơng gian đo khái quát độ đo gần IRn với σ-đại số Borel Trong đưa khái niệm dung lượng không gian tôpô Hausdorff tổng qt Sau chúng tơi khảo sát triệt để trường hợp dung lượng có giá tập rời rạc Trong IRn xét trường hợp dung lượng có giá hữu hạn (xem [9]), kết trường hợp không gian IRn Dung lượng không gian tơpơ Trong suốt ta kí hiệu X không gian tôpô Hausdorff K(X), F(X), G(X), B(X) theo thứ tự họ tập compact, tập đóng, tập mở tập Borel X Ta có K(X) ⊂ F(X) ⊂ F(X) ∪ G(X) ⊂ B(X) Định nghĩa 2.1 Hàm tập T : B(X) → [0; +∞) gọi dung lượng X thỏa mãn điều kiện sau (C1 ) T (∅) = (C2 ) T đan dấu cấp hữu hạn, tức với tập A1 , A2 , , An ∈ B(X), n ≥ 2, có n T( i=1 (−1)#I+1 T ( Ai ) ≤ I∈I(n) Ai ) (2.1) i∈I I(n) = {I : I ⊂ {1, , n}, I = ∅}, #I số phần tử tập I (C3 ) T (A) = sup{T (C) : C ∈ K(X), C ⊂ A} với A ∈ B(X) PGS.TS, Khoa Toán - Tin học, Trường ĐHSP Tp Hồ Chí Minh ThS, Khoa Tốn, Trường ĐH Sài Gòn Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Số 14 năm 2008 (C4 ) T (A) = inf{T (G) : G ∈ G(X), G ⊃ C} với C ∈ K(X) Ký hiệu M σ-đại số X Bổ đề 2.1 Cho µ : M → [0; +∞) hàm tập thỏa mãn điều kiện sau đây: Với A, B ∈ M µ(A ∩ B) = µ(A) + µ(B) − µ(A ∪ B) (2.2) Khi với họ tập A1 , , An ∈ M, n ≥ ta có n µ( (−1)#I+1 µ( Ai ) = i=1 Ai ) (2.3) i∈I I∈I(n) Chứng minh Ta chứng minh qui nạp theo n Theo giả thiết (2.2) ta có (2.3) với n = Giả sử (2.3) với n ≥ 2, ta chứng minh với n + Kí hiệu I(n + 1) = I(n) ∪ {n + 1} ∪ (In , n + 1), n (In , n + 1) = {I ∪ {n + 1} : I ∈ I(n)} Đặt A = Ai Theo giả thiết qui i=1 nạp ta có n+1 µ( Ai ) = µ(A An+1 ) i=1 = µ(A) + µ(An+1 ) − µ(A An+1 ) n = µ(A) + µ(An+1 ) − µ ( Ai ) + µ(An+1 ) − µ( i=1 I∈I(n) (−1)#I+1 µ( Ai ) + µ(An+1 ) i∈I I∈I(n) (−1)#I +1 µ( + I ∈(I(n),n+1) i∈I (−1)#I+1 µ( = I∈I(n+1) (−1)#I+1 µ( Ai ) + µ(An+1 ) − i∈I I∈I(n) = (Ai ∪ An+1 )) i=1 (−1)#I+1 µ( = An+1 i=1 n n = µ( Ai ) Ai ), i∈I Ai ) i∈I Ai ) Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Đậu Thế Cấp, Bùi Đình Thắng I = I ∪ {n + 1}, I ∈ I(n) Vậy (2.3) với n + Định nghĩa 2.2 Một độ đo µ B(X) gọi độ đo Borel qui với E ∈ B(X) có µ(E) = inf{µ(U ) : U ∈ G(X), U ⊃ E}; µ(E) = sup{µ(C) : C ∈ K(X), C ⊂ E} Từ bổ đề 2.1 tính qui độ đo Lebesgue IRn ta có Định lí 2.1 a) Hàm tập µ : B(X) → [0, +∞) thoả mãn (C1 ), (C3 ), (C4 ) (2.2) dung lượng X b) Mọi độ đo qui B(X) dung lượng X Đặc biệt độ đo Lebesgue m B(IRn ) dung lượng IRn Định nghĩa 2.3 Hàm tập T : B(X) → [0, +∞) gọi cực đại T (A ∪ B) = max{T (A), T (B)} với A, B ∈ M Bổ đề 2.2 Nếu T hàm tập cực đại họ A1 , , An ∈ M ta có (−1)#I+1 T ( I∈I(n) Ai ) = min{T (Ai ) : ≤ i ≤ n} i∈I Chứng minh Ta chứng minh qui nạp theo n Với A1 , A2 ∈ M ta có T (A1 ) + T (A2 ) − T (A1 ∪ A2 ) = T (A1 ) + T (A2 ) − max{T (A1 ), T (A2 )} = min{T (A1 ), T (A2 )}, tức khẳng định với n = Giả sử khẳng định với n ≥ Với họ A1 , , An+1 ∈ M, khơng tổng qt ta giả thiết T (A1 ) = min{T (Ai ) : ≤ i ≤ n + 1} T (An+1 ) = max{T (Ai ) : ≤ i ≤ n + 1} Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Số 14 năm 2008 Bởi giả thiết qui nạp ta có (−1)#I+1 T ( I∈I(n+1) (−1)#I+1 T ( Ai ) = i∈I Ai ) + T (An+1 ) i∈I I∈I(n) (−1)#I +1 T ( + I ∈(In ,n+1) Ai ) i∈I = T (A1 ) + T (An+1 ) +(−Cn1 + Cn2 − · · · + (−1)n Cnn )T (An+1 ) = T (A1 ) + (1 − 1)n T (An+1 ) = T (A1 ) Vậy khẳng định với n + Định nghĩa 2.4 Hàm tập T : B(X) → [0, +∞) gọi độ đo cực đại hàm tập cực đại thỏa mãn điều kiện (C1 ), (C3 ), (C4 ) Từ bổ đề 2.2 ta có định lí sau Định lí 2.2 Mọi độ đo cực đại X dung lượng X Định lí 2.3 Cho T dung lượng X Khi a) T hàm tập không giảm, tức A, B ∈ B(X), A ⊂ B T (A) ≤ T (B) b) Với A, B ∈ B(X), A ∩ B = ∅ có T (A) + T (B) ≥ T (A ∪ B) Chứng minh a) Theo (C3 ) T (A) = sup{T (C) : C ⊂ A, C ∈ K(X)} ≤ sup{T (C) : C ⊂ B, C ∈ K(X)} = T (B) b) = T (A ∩ B) ≤ T (A) + T (B) − T (A ∪ B) Do T (A) + T (B) ≥ T (A ∪ B) Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Đậu Thế Cấp, Bùi Đình Thắng Hệ 2.1 Nếu A, B ∈ B(X) T (A) = T (A ∪ B) = T (B) Định nghĩa 2.5 Ta gọi giá dung lượng T , kí hiệu supp T tập đóng S nhỏ X cho T (X \ S) = Hệ 2.2 Với dung lượng T X ta có a) T (supp T ) ≥ T (B) ∀B ∈ B(X) b) T (supp T ) = T (X) Chứng minh a) Đặt A = B \ supp T , ta có A ⊂ X \ supp T nên T (A) = Vì B = A ∪ (B ∩ supp T ) nên theo hệ 2.1 T (B) = T (B ∩ supp T ) ≤ T (supp T ) b) Theo a) ta có T (supp T ) ≥ T (X) tính khơng giảm nên T (supp T ) ≤ T (X) Vậy T (supp T ) = T (X) Định nghĩa 2.6 Một dung lượng T X gọi dung lượng xác suất T (supp T ) = T (X) = Dung lượng có giá rời rạc Định nghĩa 3.1 Tập D X gọi rời rạc x ∈ D, tồn lân cận mở Ux x X cho D ∩ Ux = {x} Bổ đề 3.1 Cho D tập đóng, rời rạc X Khi a) Mọi tập D đóng X b) Tập D compact tập hữu hạn Chứng minh a) A ⊂ D A đóng D Vì D đóng X nên A đóng X Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Số 14 năm 2008 b) Nếu C tập vơ hạn D C khơng compact D khơng compact X Định nghĩa 3.2 Họ số thực không âm {ti }, i ∈ Igọi khả tổng có tổng s ti , J ⊂ I, #J < +∞ ti = sup i∈I Bổ đề 3.2 Nếu = s < +∞ i∈J i∈I ti < +∞ tập I0 = {i ∈ I : ti > 0} đếm Chứng minh Đặt An = {i ∈ I0 : ti > } Ta có n ∞ I0 = An n=1 Nếu I0 khơng đếm tồn n0 cho An vơ hạn Khi ti ≥ ti = i∈I i∈I ti = +∞ i∈An0 Bổ đề 3.3 Nếu µ : B(X) → [0, +∞) dung lượng độ đo, có giá tập rời rạc D D tập đếm Chứng minh Mọi x ∈ D có µ({x}) > tồn x ∈ D, µ({x}) = D = D \ {x} tập đóng (bổ đề 3.1) µ(X \ D ) = 0, mâu thuẫn với D tập đóng nhỏ có tính chất Mọi tập hữu hạn A ⊂ D µ({x}) ≤ µ(D) < +∞ µ(A) = x∈A µ({x}) < +∞ Từ theo bổ đề 3.2, D đếm nên x∈D Định nghĩa 3.3 Cho T dung lượng X có giá tập rời rạc D Đặt tx = T ({x}) với x ∈ D, ta gọi T∞ T1 hàm B(X) xác định sup{tx : x ∈ A ∩ D} A ∩ D = ∅ T∞ (A) = A ∩ D = ∅, Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM T1 (A) = Đậu Thế Cấp, Bùi Đình Thắng tx A ∩ D = ∅ x∈A∩D A ∩ D = ∅ Định lí 3.1 Cho T dung lượng X có giá tập rời rạc D Khi T∞ dung lượng X T∞ (A) ≤ T (A) với A ∈ B(X) Chứng minh Hiển nhiên T∞ thỏa mãn (C1 ), (C3 ) Với C ∈ K(X), G = Ux (X \ D) tập mở chứa C, T∞ (C) = x∈C∩D T∞ (C ∩ D) = T∞ (G ∩ D) = T∞ (G) nên có (C4 ) Để chứng minh T∞ thỏa mãn (C2 ), theo bổ đề 2.2 ta chứng minh T∞ hàm cực đại Thật vậy, A, B ∈ B(X) có T∞ (A ∪ B) = sup{tx : x ∈ (A ∪ B) ∩ D} = max{sup{tx : x ∈ A ∩ D}, sup{tx : x ∈ B ∩ D}} = max{T∞ (A), T∞ (B)} Cuối cùng, A ∈ B(X) T∞ (A) = sup{tx : x ∈ A ∩ D} = sup{T ({x}) : x ∈ A ∩ D} ≤ T (A) Hệ 3.1 Cho D tập rời rạc X, x ∈ D chọn giá trị dx > Với A ∈ B(X) đặt sup{dx : x ∈ A ∩ D} A ∩ D = ∅ T (A) = A ∩ D = ∅ Khi T dung lượng sup{dx : x ∈ D} < ∞ Với dung lượng ta có T = T∞ Định lí 3.2 Cho T dung lượng có giá tập rời rạc D Khi T1 dung lượng D đếm tx < ∞ Với A ∈ B(X) ta x∈D có T (A) ≤ T1 (A) Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Số 14 năm 2008 tx < ∞ theo bổ đề 3.2, Chứng minh Nếu T1 dung lượng T1 (D) = x∈D D đếm Ngược lại hiển nhiên T1 thỏa mãn (C1 ), (C3 ) Với C ∈ K(X), G= (X \ D) Ux x∈C∩D mở chứa C T1 (C) = T1 (C ∩ D) = T1 (G ∩ D) = T1 (G) nên T thỏa mãn (C4 ) Với A, B ∈ B(X) ta có T1 (A ∪ B) = tx x∈(A∪B)∩D = tx − tx + x∈A∩D x∈B∩D tx x∈A∩B∩D = T1 (A) + T1 (B) − T1 (A ∩ B) Vậy T1 thỏa mãn (2.1) dung lượng theo định lí 2.1 Với a, b ∈ D, a = b theo định lí 2.3 b) T ({a, b}) ≤ T ({a}) + T ({b}) từ tiếp tục sử dụng định lí 2.3 b qui nạp theo số phần tử C ta có T (C) ≤ T ({x}) = T1 (C) x∈C với C ⊂ D, #C < ∞ Bây với A ∈ B(X) ta có T (A) = T (A ∩ D) = sup{T (C) : C ⊂ A ∩ D, C compact} (do C4 ) = sup{T (C) : C ⊂ A ∩ D, #C < ∞} (do bổ đề 3.1 b) ≤ sup{T1 (C) : C ⊂ A ∩ D, #C < ∞} = T1 (A ∩ D) = T1 (A) Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Đậu Thế Cấp, Bùi Đình Thắng T ({x}) < ∞ Hệ 3.2 Nếu T dung lượng có giá D tập rời rạc x∈D T∞ T1 dung lượng T∞ (A) ≤ T (A) ≤ T1 (A) với A ∈ B(X) Hệ 3.3 Cho D tập rời rạc đóng X, với x ∈ D, chọn dx > Với A ∈ B(X) đặt T (A) = dx A ∩ D = ∅ x∈A∩D A ∩ D = ∅ dx < ∞ Khi T dung lượng có giá D D đếm x∈D Với dung lượng ta có T = T1 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] G.Choquet (1953-1954), Theory of capacities, Ann.Inst.Fourier 5, 131-295 [2] S.Graf (1980), A Radon-Nikodym theorem for capacities, J.Reine und Angewandte Mathematik 320, 192-214 [3] P.J.Huber (1973), The use of Choquet capacities in statistics, Bull.Internat.Statist 45, 181-191 [4] P.J.Huber, V.Strassen (1973), Minimax test and Neyman-Pearson lemma for capaciti, Ann.Statist 1, 251-263 [5] N.T.Hung, N.T.Nhu, Tonghui Wang (1997), On capacities functionals in interval probabilities, Inter.J.Uncertainty, Fuzziness and Knowleged-Based System 5, 359-377 [6] N.T.Hung, B.Bouchon-Meunier (2003), Random sets and large deviations principle as a foundation for possibility measures, Soft Computing 8, 61-70 [7] J.B.Kodane, L.Wasserman (1996), Symmetic coherent, Choquet capacities, Ann.Statist 24, 1250-1264 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Số 14 năm 2008 [8] G.Matheron (1975), Random sets and integral geometry, J.Wiley [9] N.Nhuy, L.X.Son (2004), Probability capacities in IRd and the Choquet integral for capacities, Acta.Math.Vietnam 29, 41-56 [10] N.Nhuy, L.X.Son (2005), The weak topology on the space of probability capacities in IRd , Vietnam J.Math 33, 241-251 Tóm tắt Dung lượng khơng gian Tôpô Trong viết này, giới thiệu khái niệm capacity không gian tôpô Hausdorff, khái niệm tổng quát hoá khái niệm capacity IRn Những capacity có giá rời rạc khảo sát Abstract The capacities in topological spaces In this note we introduce a notion of capacities in Hausdorff topological spaces, that generalizes the notion of capacity in IRn The capacities for discrete support are investigated 10 ... ∩ D = ∅ T (A) = A ∩ D = ∅ Khi T dung lượng sup{dx : x ∈ D} < ∞ Với dung lượng ta có T = T∞ Định lí 3.2 Cho T dung lượng có giá tập rời rạc D Khi T1 dung lượng D đếm tx < ∞ Với A ∈ B(X) ta... capacities in IRd , Vietnam J.Math 33, 241-251 Tóm tắt Dung lượng khơng gian Tơpơ Trong viết này, giới thiệu khái niệm capacity không gian tôpô Hausdorff, khái niệm tổng quát hoá khái niệm capacity... : B(X) → [0, +∞) thoả mãn (C1 ), (C3 ), (C4 ) (2.2) dung lượng X b) Mọi độ đo qui B(X) dung lượng X Đặc biệt độ đo Lebesgue m B(IRn ) dung lượng IRn Định nghĩa 2.3 Hàm tập T : B(X) → [0, +∞)