Sự hội tụ theo lưới và lọc trong không gian tôpô

MỤC LỤC Trang MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU Chương Các kiến thức chuẩn bị Chương Sự hội tụ theo lưới lọc 2.1 Tập có hướng lưới 2.2 Mơ tả số tính chất tôpô thông qua ngôn ngữ lưới 2.3 Lọc siêu lọc 23 KẾT LUẬN 28 TÀI LIỆU THAM KHẢO 29 LỜI MỞ ĐẦU Lý thuyết hội tụ đóng vài trị quan trọng giải tích tốn học Các cấu trúc giải tích như: Phép tính vi phân, tích phân, tổng chuỗi số, chuỗi hàm, dựa vào việc chuyển qua giới hạn Các vấn đề giới hạn dãy số, dãy hàm số, tổng chuỗi số, chuỗi hàm số (tổng đếm được) trình bày cách đầy đủ giáo trình dành cho sinh viên ĐHSP Song khái niệm tổng quát hội tụ đề cập tới ít, hội tụ dãy suy rộng (hay cịn gọi lưới) lọc Mục đích luận văn tìm hiểu khái niệm, tính chất lưới lọc mơ tả tính chất tơpơ theo thuật ngữ lưới lọc Với mục đích đó, luận văn viết thành hai chương Chương : Chương kiến thức chuẩn bị Chương trình bày tóm tắt, đọng số kiến thức tôpô đại cương số lý thuyết liên quan, sở để sử dụng cho chương sau Chương : Sự hội tụ theo lưới lọc Chương trình bày theo mục Mục 2.1: Tập có hướng lưới Mục 2.2: Mơ tả số tính chất tơpơ thơng qua ngơn ngữ lưới Mục 2.3: Lọc siêu lọc Phần kết luận số kết tác giả đạt làm khố luận Khố luận hồn thành hướng dẫn giúp đỡ tận tình thầy giáo khoa Tốn Đặc biệt tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo TS Lương Quốc Tuyển trực tiếp hướng dẫn suốt trình làm luận văn Xin cảm ơn bạn lớp 09ST động viên giúp đỡ tơi hồn thành tốt luận văn Đà Nẵng, tháng 05 năm 2013 Nguyễn Đăng Trung CHƯƠNG CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng tơi trình bày số khái niệm, ký hiệu kết cần dùng cho mục sau 1.1 Định nghĩa không gian tôpô Giả sử X tập khác  Họ T tập X gọi tôpô X thoả mãn điều kiện sau: i)   T, X T ii) Nếu A T, B T A  B  T iii) Nếu Ai  T, i  I  Ai  T i I Tập X với tơpơ T xác định gọi không gian tôpô, ký hiệu (X, T) X 1.2 Định nghĩa tập mở, tập đóng, bao đóng tập không gian tôpô X Cho không gian tơpơ (X, T ), E tập X 1) E gọi tập mở E T 2) E gọi tập đóng X \ E  T 3) Bao đóng E giao tất tập đóng chứa E 1.3 Định nghĩa lân cận Cho không gian tôpô (X, T ) Tập V  X gọi lân cận điểm x  X tồn tập mở WT cho x W  V 1.4 Vị trí tương đối điểm tập hợp không gian tôpô Cho không gian tôpô (X, T); E  X, x X Ta gọi x là: 1) Điểm E E lân cận x Lúc tập tất điểm E gọi phần E, ký hiệu IntE 2) Điểm biên E x không điểm E X \ E Tập tất điểm biên E gọi biên E ký hiệu  E 3) Điểm giới hạn E với lân cận V x có V  (E \ x)   4) Điểm dính E với lân cận V x có V  E   5) Điểm cô lập E tồn lên cận V x cho: V  E = x 1.5 Định lý Giả sử X không gian tôpô, E tập X Khi đó, 1) E đóng E = E 2) x điểm dính E x E 3) E đóng E chứa điểm dính E Hệ E đóng E chứa điểm giới hạn E 1.6 Định lý Bao đóng tập tuỳ ý hợp tập tập điểm giới hạn 1.7 Định lý : Cho không gian tôpô ( X , T ), họ V  T Họ V sở tôpô với điểm x  X với lân cận U x, V  V cho x  V  V 1.8 Định nghĩa không gian Hausdoff Không gian tôpô X gọi không gian Hausdoff (hay T2-không gian) với cặp điểm x, y X thỏa mãn x  y, tồn lân cận U x lân cận V y cho U  V =  1.9 Định nghĩa ánh xạ liên tục Giả sử X, Y hai không gian tôpô, a điểm thuộc X f : X  Y ánh xạ (1) f gọi liên tục điểm a với lân cận V điểm f(a)  Y, tồn lân cận U a cho f(U)  V (2) f gọi liên tục X liên tục x  X 1.10 Định nghĩa không gian compact Không gian tôpô X gọi không gian compact phủ mở X tồn phủ hữu hạn CHƯƠNG SỰ HỘI TỤ THEO LƯỚI VÀ LỌC Mục đích chương nghiên cứu hội tụ lưới lọc không gian topo Sau đó, dùng thuật ngữ lưới lọc để mơ tả số khái niệm tính chất khơng gian tôpô, tương tự dùng thuật ngữ dãy thông thường để mô tả kết không gian mêtríc 2.1 Tập có hướng lưới 2.1.1 Định nghĩa tập định hướng Tập D   gọi định hướng xác định quan hệ “” thoả mãn tính chất: 1) m, n, p  D cho m  n, n  p m  p 2) Nếu m D m  m 3) m, n  D, p  D cho p  m, p  n Khi đó, ta nói tập D định hướng quan hệ “” ký hiệu (D, ) vắn tắt D 2.1.2 Ví dụ Cho X khơng gian tôpô, x X V họ gồm lân cận x Khi đó, V định hướng quan hệ “” sau: U  V U  V Thật vậy, rõ ràng V   Hơn nữa, 1) Giả sử U, V, W  V cho U  V, V  W Khi đó, U  W 2) Nếu U  V, U  U 3) Nếu U, V V, U V V Do đó, ta đặt W = UV V, W U, W  V Do vậy, (V, ) tập định hướng 2.1.3 Mệnh đề Cho I tập số Ký hiệu J(I) = J  I: J tập hữu hạn I Trên J(I) xác định quan hệ bao hàm “” sau J, J’  J(I) : J  J’  J  J’ Khi đó, J(I) với quan hệ bao hàm tập định hướng 2.1.4 Định nghĩa lưới Giả sử D tập định hướng quan hệ “” Khi đó, hàm S xác định D nhận giá trị tập X gọi lưới (hay dãy suy rộng) X Ký hiệu (Sn, n D, ) (S, D, ) vắn tắt S Nếu miền giá trị lưới không gian tôpô X S gọi lưới khơng gian tôpô X 2.1.5 Định nghĩa lưới hội tụ Giả sử D tập định hướng quan hệ “”, (X, T) khơng gian tơpơ Khi đó, lưới (S n, D, ) gọi hội tụ không gian tôpô đến điểm s tôpô T với lân cận U s tồn n0 D cho n D mà n  n0 ta có Sn U Ký hiệu lim Sn = s hay Sn  s 2.1.6 Định nghĩa lưới nằm tập từ lúc Lưới Sn, n D,  gọi lưới nằm tập A từ lúc m D: n D mà n  m Sn A 2.1.7 Định nghĩa lưới thường xuyên gặp A Lưới Sn, n D,  gọi lưới thường xuyên gặp A m D, n D cho n  m Sn A 2.1.8 Định nghĩa điểm giới hạn Điểm s không gian tôpô X gọi điểm giới hạn lưới S S thường xuyên gặp lân cận s 2.1.9 Định nghĩa lưới Giả sử (D, ) (E, ) tập hai định hướng Lưới Tm, m D,  gọi lưới lưới Sn, n E,  tồn hàm N: D  E cho 1) T = S  N hay Ti  S N với i  D i 2) Với m E, tồn n  D cho p  n Np  m (p D) 2.2 Mơ tả số tính chất tơpơ thơng qua ngôn ngữ lưới 2.2.1 Định lý Giả sử X khơng gian tơpơ Khi đó, (a) Điểm s điểm giới hạn tập A X A \ s có lưới hội tụ đến s (b) Điểm s thuộc bao đóng tập A không gian X A có lưới hội tụ đến s (c) Tập A đóng X khơng có lưới chứa A , hội tụ đến đểm thuộc X \ A Chứng minh Điều kiện đủ Giả sử tồn lưới (Sn, D, ) A cho Sn  s Ta cần chứng minh s điểm dính A Thật vậy, Sn  s nên với lân cận U s, tồn n0  D cho Sn U với n  n0 Điều chứng tỏ U  A   Do đó, s điểm giới hạn A Điều kiện cần Giả sử s điểm giới hạn A Ta chứng minh A \ s tồn lưới hội tụ đến s Thật vậy, Ký hiệu V sở lân cận điểm s Khi đó, (V, ) tập định hướng Từ giả thiết s điểm giới hạn A ta suy U  ( A \ s )   với U V Bây giờ, với U V ta chọn Su  U  ( A \ s ) Lúc đó, ta thu lưới (SU, V, )  ( A \ s ) Để hoàn thành chứng minh ta cần chứng tỏ lưới (SU, V, ) hội tụ đến s Giả sử V lân cận s Khi đó, V sở lân cận nên tồn W V cho s  W  V Do đó, với U V mà U  W ta có U  V Mặt khác, SU  U với U V nên ta suy SU  V với U V mà U  W Do vậy, theo định nghĩa lưới hội tụ ta suy lưới (SU, V, ) nằm A hội tụ đến s (b) Điều kiện đủ Giả sử D tập định hướng quan hệ “” tồn lưới (Sn, D, ) A cho S n  s Ta cần chứng minh s  A Thật vậy, giả sử U lân cận s Khi đó, Sn  s nên tồn m  D cho S n  U với n  m Mặt khác, lưới (S n, D, ) A nên ta suy U  A   Do vậy, s  A Điều kiện cần Giả sử s  A , ta chứng minh A tồn lưới hội tụ đến s Thật vậy, Ký hiệu V sở lân cận điểm s Khi đó, (V, ) tập định hướng Từ giả thiết s  A suy U V ta có U  A   Lúc đó, với U V chọn Su  U  A, ta có lưới (SU, V, )  A Để hoàn thành chứng minh ta cần chứng tỏ lưới (SU, V, ) hội tụ đến s Giả sử V lân cận s Khi đó, V sở lân cận nên tồn W V cho s  W  V Do đó, với U V mà U  W ta có U  V Mặt khác, SU  U với U V nên ta suy SU  V với U V mà U  W Bởi vậy, theo định nghĩa lưới hội tụ ta suy lưới (SU, V, ) nằm A hội tụ đến s (c) Điều kiện cần Giả sử A đóng S lưới A mà S  s Ta cần chứng minh s A Thật vậy, A tập hợp đóng nên A = A Do đó, theo câu (b) ta suy s A Bởi thế, từ A = A ta suy s  A Điều kiện đủ Giả sử khơng có lưới A hội tụ đến điểm nằm A Ta chứng minh A tập hợp đóng, nghĩa A  A Thật vậy, giả sử s  A , theo (b), tồn lưới S A hội tụ đến s Mặt khác, theo giả thiết điều kiện đủ ta suy s  A Do vậy, A  A 2.2.2 Định lý Một không gian tôpô X không gian Hausdoff lưới hội tụ đến hai điểm khác Chứng minh Điều kiện cần Giả sử X không gian Hausdoff Ta cần chứng minh lưới X hội tụ đến hai điểm khác Thật vậy, giả sử (Sn, D, ) lưới nằm X S n  s1, Sn  s2 với s1  s2 Khi đó, X T2- không gian nên tồn lân cận U s1 s1 lân cận U s2 s2 cho U s1  U s2 =  Mặt khác, Sn  s1, U s1 lân cận s1 nên tồn n1  D cho S n U s1 với n  n1 Lại Sn  s2 nên tồn n2 D cho Sn U s2 với n  n2 Hơn nữa, D tập định hướng nên ta chọn n0 D cho n  n 1, n  n Khi đó, S nU s1 Sn U s2 với nD mà n  n0, Bởi thế, U s1  U s2  , điều mâu thuẫn với U s1  U s2 =  Do vậy, s1  s2 hay lưới Sn, D,  hội tụ đến điểm Điều kiện đủ Giả sử khơng có lưới X hội tụ đến hai điểm khác Ta chứng tỏ X T2- không gian Thật vậy, giả sử X T2-không gian Lúc đó, tồn hai điểm s1, s2  X mà s1  s2 cho với lân cận U s1 với lân cận V s2 có U  V   Gọi Us họ lân cận s1, Us họ lân cận s2 Khi đó, theo Ví dụ 2.1.2 ta suy ( U s1 , ) ( U s2 , ) tập định hướng Đặt V= Us  Us định nghĩa quan hệ “” V sau: Với (T, U), (V, W)  V, ta có (T, U)  (V, W)  T  V, U  W Dễ dàng chứng minh (V, ) tập định hướng Bây giờ, ta xây dựng lưới X sau: Bởi với (T, U)  V ta có T  U   Do đó, với (T, U)  V ta chọn S (T, U)  T  U Như vậy, ta lưới (S(T,U), V, ) X, viết tắt S(T,U) Ta chứng tỏ S(T,U)  s1 S(T,U)  s2 Thật vậy, giả sử V lân cận s1 W lân cận s2 Khi đó, với (T, U)  V mà (T, U)  (V, W) ta có S(T, U)  T  U  T  V S(T, U)  T  U  U  W 10 Vn  ( X \ A)   với n  N * Do vậy, với n  N * ta lấy xn  Vn  ( X \ A) , ta dãy  xn   X \ A hội tụ đến s Hơn nữa, theo giả thiết điều kiện đủ ta suy {x n} nằm A kể từ lúc Điều mâu thuẫn với  xn   X \ A (c) Giả sử điểm s điểm giới hạn dãy S V1 ,V2 , sở lân cận s cho Vn1  Vn với n Vì s điểm giới hạn S nên với n, Vn chứa vô hạn phần tử S Do đó, với i  N * , ta chọn Ni cho   N i  i S Ni  Vi Khi đó, S Ni , i  1, 2, dãy S hội tụ đến s 2.2.7 Định lý Cho X Y không gian tôpô, f ánh xạ liên tục X Y điều khẳng định sau tương đương: (a) Ánh xạ f liên tục; (b) Nghịch ảnh tập hợp đóng tập hợp đóng; (c) Nghịch ảnh phần tử thuộc tiền sở tơpơ khơng gian Y tập hợp mở; (d) Với điểm x  X , nghịch ảnh lân cận tùy ý điểm f (x) lân cận điểm x; (e) Với lưới S (hoặc {S n, n  D }) X hội tụ tới điểm s đó, hợp thành f S (hoặc { f (Sn), n  D }) hội tụ tới điểm f (s) (f) Ảnh bao đóng tập tùy ý A X tập bao đóng ảnh tập A, tức f [ A ]  f [ A] ; (g) Với tập B Y: f 1[B]  f 1[ B] Chứng minh (a)  ( f ) Giả sử A  X f ánh xạ liên tục Khi đó, f(A)   , ta lấy 15 y  f ( A) , kéo theo tồn x  A thoả mãn f(x) = y Giả sử U lân cận tuỳ ý y = f(x) Vì f liên tục, nên tồn lân cận V x cho f(V)  U, V  f-1(U) Vì x A  V  A     f-1(U)  A   -1   x’  f (U)  A  f(x')  U  f(A)  U  f(A)   (lân cận tùy ý điểm y ln có giao khác rỗng với tập f(A))  f ( A)  f ( A) -1 ( f )  ( g ) giả sử B  Y tùy ý, đặt A=f (B) Ta có : f ( A)  f ( A)  B  A  f 1 ( f ( A))  f 1 ( B)  f-1(B)  f 1 ( B)  g   (b) Giả sử B tập đóng tùy ý Y, đặt A = f-1(B)  X Theo giả thiết ta có: f-1(B)  f 1 ( B)  f 1 ( B) tập đóng X (b )  (c ) Giả sử B tập mở tuỳ ý Y Khi Y \ B tập đóng Y -1 -1 -1  f (y \ B) tập đóng, lấy f (Y \ B)= X \f (B) đóng -1  f (B) tập mở X Do phần tử thuộc tiền sở tơpơ Y tập mở Y nên tạo ảnh mở X c    a  Giả sử ánh xạ f thoả mãn điều kiện  c  , với x0 điểm X, U lân cận tuỳ ý điểm f(x0) Y Giả sử V sở tôpô Y, M tiền sở tơpơ 16 Theo định lý (1.7), tồn W V cho f(x0)  W  U Từ định nghĩa tiền sở ta thấy W giao hữu hạn phần tử M, nghĩa W = V1   Vk (Vi  M) Vì f-1(W) = f-1(V1)   f-1(Vk) theo (c) tập f-1(V1) , , f-1(Vk) tập mở X, nên f-1(W) tập mở X Đặt f-1(W) = V ta có x0  f-1(W) = V Ta có: f (V )  f ( f 1 (W))  W  f ( X )  W  U Do f liên tục điểm x0 Do x0 điểm X nên ánh xạ f liên tục X (a)  (d ) Điều kiện cần Ánh xạ f liên tục điểm x0 thuộc X với lân cận U f(x0) Y Ta chứng minh tạo ảnh f-1(U) lân x0 X Thật vậy, ánh xạ f liên tục x0 tồn lân cận V x0 để f(V)  U  V  f 1 ( f (V ))  f 1 (U )  f 1 (U ) lân cận x0 X Điều kiện đủ Giả sử với lân cận U f(x0) ln có f-1(U) lân cận x0 X Khi chọn V=f-1(U) Ta có : f(V)=f(f-1(U)  U  f liên tục x0 ( a )  (e ) Điều kiện cần Giả sử ánh xạ f : X  Y liên tục a, suy với lân cận V f(a), tồn lân cận U a cho f(U)  V Mặt khác Sn  a nên n0 D : n  n0 Sn  U Do f(Sn)  f(U)  V 17 Vậy với lân cận V f(a) tồn n0 D cho: n  n0 f(Sn) V Do lưới f(Sn)  f(a) Điều kiện đủ Giả sử Sn, n D,   X, S n  a f(Sn)  f(a).Ta chứng tỏ f liên tục a Giả sử f không liên tục a tức tồn lân cận V f(a) cho với lân cận U a ta có f(U) V, suy SU  U cho f(SU)  V Gọi U sở lân cận a Khi (U, ) tập định hướng Với U  U SU U : f(SU) V Lúc lấy lưới (SU, U, ) SU  a f(S U)  V, V  U, nghĩa lưới f(SU) không hội tụ đến f(a), mâu thuẫn với giả thiết Vậy f liên tục a 2.2.8 Định lý Không gian tôpô compăc họ tập đóng có tính giao hữu hạn có giao không trống Chứng minh Nếu U họ tập khơng gian tơpơ X , theo cơng thức Đơ Moocgăng X \  { A : A U}   { X \ A : A  U} Do đó, U phủ X giao phần bù phần tử thuộc U trống Không gian X compăc họ tập mở mà họ khơng phủ X, khơng phủ X Do họ tập đóng có tính giao hữu hạn có giao khơng trống 18 2.2.9.Định lý Không gian tôpô X compăc lưới X có điểm giới hạn Do đó, X compăc lưới X có lưới hội tụ tới điểm X Chứng minh Trước chứng minh ta nhắc lại định nghĩa mệnh đề sau: Định nghĩa “Họ U tập hợp gọi có tính giao hữu hạn giao tập hữu hạn phần tử họ khác rỗng” Định lý 2.2.8 “Một không gian tôpô X compact họ tập đóng X có tính giao hữu hạn có giao khác rỗng” Ta chứng minh định lý sau: Điều kiện cần Giả sử X không gian compact , D tập định hướng, Sn, n D,  lưới X Với n D, ký hiệu En = Sm : m > n Do D định hướng nên họ tập En có tính giao hữu hạn, En  E n nên họ E n có tính giao hữu hạn Vì tồn điểm s chung cho E n, s điểm giới hạn lưới Sn, n D,  Điều kiện đủ Giả sử lưới X có điểm giới hạn Cần X compact Giả sử U họ tập đóng X có tính giao hữu hạn, ta xác định n B =   Ai , Ai  U, n N * i 1 Hiển nhiên (B, ) tập định hướng 19 Với B  B, B   nên chọn SB  B suy SB, B,  lưới X, theo giả thiết SB, B,  có điểm giới hạn s Do tồn  S B'  lưới SB cho S B'  s Với C B mà C  B ta có Sc C  B, suy lưới SB nằm phần tử B B từ lúc Mặt khác, B đóng S B'  s nên s B Như s B, B B hay B   BB Vậy X tập compact Bổ đề Mỗi dãy khơng gian tơpơ có điểm giới hạn tập vô hạn không gian có điểm  -giới hạn Chứng minh Giả sử X khơng gian mà dãy có điểm giới hạn A  X tập vô hạn X   dãy {x1, x2, , xn, }  A cho xi  xj i  j Theo giả thiết dãy {x1, x2, , xn, } có điểm giới hạn, ta gọi điểm x ta chứng minh x điểm  -giới hạn A  Giả sử V lân cận x, x điểm giới hạn dãy  xn  n 1 nên kể từ no V chứa vơ số điểm dãy cách chọn dãy điểm xn khác nên V chứa vô hạn điểm khác dãy  xn  n 1  A  V chứa vô hạn điểm A Giả sử tập vơ hạn X có điểm  -giới hạn   xn  n 1 dãy X TH1  Nếu  xn  n 1 nhận hữu hạn giá trị {a1, a2, , ak} lúc có 20 giá trị ak xuất vô số lần dãy lúc dễ dàng chứng minh ak 0 điểm giới hạn dãy  xn  n 1 TH2  Nếu  xn   n 1 nhận vô hạn giá trị   xn  n 1 tập vô hạn X   x điểm  -giới hạn    lân cận V x V chứa vơ số điểm dãy  xn  n 1  Từ n0 V chứa vô số điểm dãy  Mọi dãy X có điểm giới hạn Bổ đề Nếu X không gian linđơlơp dãy X có điểm giới hạn, X compăc Chứng minh Theo điều kiện bổ đề, xem phủ mở xét gồm tập A0 , A1 , , An , , n   Tiến hành theo qui nạp, đặt B0  A0 , với p   , đặt Bp tập hợp tập An mà không bị phủ bới Bo , B1 , , B p 1 Nếu thời điểm đó, chọn khơng thực được, Bi chọn lập thành phủ hữu hạn phải tìm Ngược lại, B p , p   chọn bp , cho bp  Bi với i  p Giả sử x điểm giới hạn dãy Khi x  Bp với p đó, x điểm giới hạn, nên bq  B p với q đó, q  p Điều dẫn tới mâu thuẫn 2.2.10.Định lý Giả sử X khơng gian tơpơ, điều kiện liên hệ với sau Đối với tất không gian (a) tương đương với (b), (d) kéo theo (a) Nếu X thỏa mãn tiên đề đếm thứ nhất, (a), (b) (c) tương đương Nếu X thỏa mãn tiên đề đếm thứ hai tất bốn điều 21 kiện tương đương Nếu X khơng gian giả mêtric, từ bốn điều kiện suy X thỏa mãn tiên đề đếm thứ hai, bốn điều kiện tương đương (a) Mỗi tập vô hạn X có điểm  -giới hạn (b) Mỗi dãy X có điểm giới hạn (c) Đối với dãy X tồn dãy hội tụ tới điểm X (d) Khơng gian compăc Chứng minh Từ bổ đề suy rằng, (a) tương đương với (b) dãy lưới, nên định lí 2.2.8 (d) kéo theo (a) Nếu X thỏa mãn tiên đề điếm thứ nhất, định lí 2.2.6, (b) (c) tương đương Nếu X thỏa mãn tiên đề điếm thứ hai, phủ mở có phủ đếm Áp dụng bổ đề 2, ta có bốn điều kiện tương đương Nếu X khơng gian giả metric, X thỏa mã tiên đề đếm thứ nhất, ba điều kiện đâu tương đương, đồng thời chúng suy từ tính compăc Định lý chứng minh ta khơng gian giả metric, tập vơ hạn có điểm giới hạn, tách thỏa mãn tiên đề đếm thứ hai Giả sử X không gian giả metric Với r  tùy ý, ta xét họ tất tập A mà khoảng cách hai điểm A không nhỏ r Tập hợp Ar thiết hữu hạn, r -hình cầu tâm điểm tùy ý X, chưa không phần tử Ar , Ar khơng có điểm giới hạn Hơn nữa, r -hình cầu tâm điểm tùy ý x  X thiết cắt Ar , Ar tối đại; trường hợp ngược lại, thêm x vào Ar Cuối cùng, 22 hợp A tập Ar , với r nghịch đảo số nguyên dương, đếm trù mật X 2.3 Lọc siêu lọc 2.3.1 Định nghĩa : Cho F họ khác rỗng gồm tập X thỏa mãn điều kiện sau 1) Giao hai phần tử tùy ý F thuộc F 2) Nếu A F, A  B  X B  F Khi đó, (a) F gọi lọc X (b) F gọi hội tụ đến điểm x không gian topo X lân cận x phần tử F (c) Lọc F X gọi siêu lọc khơng chứa tập thực lọc X (d) Lọc g gọi mạnh lọc F (hay F yếu g) F  g 2.3.2 Nhận xét Trong không gian topo X, họ F gồm tất lân cận x lọc X hội tụ đến x Hơn nữa, lọc yếu hội tụ đến x 2.3.3 Định lí Đối với không gian topo X, khẳng định sau (a) Tập U mở U thuộc lọc hội tụ đến điểm U (b) Điểm x điểm giới hạn tập A tập A \ x thuộc lọc hội tụ đến x Chứng minh (a) Giả sử U tập hợp mở F lọc hội tụ đến x  U Khi đó, U lân cận x nên theo định nghĩa lọc hội tụ ta suy U  F 23 Ngược lại, giả sử U thuộc lọc hội tụ đến điểm U Khi đó, với x U , theo nhận xét 2.3.2 ta suy họ F gồm lân cận x lọc hội tụ đến x Suy U  F Do đó, U lân cận x  U Bởi vậy, U tập hợp mở (b) Điều kiện cần Giả sử x điểm giới hạn A Khi đó, gọi g họ gồm tất lân cận x Đặt F = g {U  ( A \ {x}) : U  g} Dễ dàng kiểm tra F lọc X hội tụ đến x Điều kiện đủ Giả sử A \  x thuộc lọc f hội tụ đến x Khi đó, lân cận x thuộc f Hơn nữa, A \  x phần tử F nên với lân cận U x ta có U  ( A \  x  F Điều chứng tỏ x điểm giới hạn A 2.3.4 Định lí Đối với khơng gian topo X, khẳng định sau (a) Ký hiệu qua  x họ lọc hội tụ đến x Khi đó,  { F : F   x } hệ lân cận x (b) Nếu lọc F hội tụ đến x G lọc chứa F G hội tụ đến x Chứng minh (a) Nhờ Nhận xét 2.3.2 ta suy họ F gồm tất lân cận x lọc hội tụ đến x Do vậy, F   x , suy  { F : F x } = F họ gồm lân cận x (b) Bởi G lọc chứa F F lọc hội tụ đến x nên ta suy lân cận x nằm F, kéo theo thuộc G Do vậy, G lọc hội tụ đến x 24 2.3.5 Định lí Đối với không gian topo X, khẳng định sau Nếu  xn , n  D lưới X họ F tập A mà  xn , n  D rơi vào chúng kể từ lúc đó, lọc X Giả sử F lọc X D  {( x, F ) : x  F  F } Ta định hướng tập D sau :  y, G   ( x, F ) GF ta đặt f ( x, F )  x Khi đó, F lập nên từ tất tập A mà lưới  f ( x, F ), ( x, F )  D rơi vào A kể từ lúc Chứng minh (a) (  ) Giả sử U mở, x U Ta có U lân cận x nên U thuộc vào lọc hội tụ tới x (  ) Xét tập U mà U thuộc lọc hội tụ đến điểm U Giả sử x U Do giả thiết nên U lân cận x Vậy U mở (b) (  ) Giả sử x điểm giới hạn A , tức ( A \  x)  U  , U  họ lân cận x Do đó, họ  A \  x  U  (với U  họ lân cận x ) cở lọc F mịn lọc sở Vì vậy, lọc F hội tụ tới x A \  x  F (  ) Giả sử A \  x thuộc họ lọc F hội tụ đến x Ta có U  F với U thuộc họ lân cận x nên A \  x  U  F Do A \  x  U   với U lân cận x Vậy x điểm giới hạn A (c)Ta ký hiệu  x tập lọc hội tụ đến x, F0 hệ lân cận x Ta có : F0  x nên  { F : F   x }  F0 Mà F0  F với F   x nên F0   { F : F  x } 25 Vậy F0 =  { F : F   x } (d) Ta có Nếu F lọc hội tụ đến x , G lọc chứa F G chứa lân cận x Từ G lọc hội tụ đến x (e)Giả sử F siêu lọc, A F, A  E  F Ta chứng minh E  F F  F Giả sử E  F F  F Xét M={ D  E : D  F } N={ D  F : D  F } Lấy D1 , D2  F Giả sử D1  E   D1  F   Do : D1  D2  A   D1  E   ( D2  F )   Suy : D1  D2  A   (mâu thuẫn) Vậy M N sở lọc chứa F, E F, F ( mâu thuẫn) Vậy E  F F  F Đặc biệt, X  F nên với A  X A F X \ A  F (f) 1) Xét  xn , n  D lưới X Giả sử F={ A : A  X mà đến lúc lưới rơi vào A } Vậy F họ tập khơng trống Hơn A F, B  F xn  A n  n0 , xn  B n  n1 Do xn  A  B n  n2 với n2  n0 , n2  n1 Từ ta có A  B F Nếu A F, B  A B  F Vậy F lọc 2) Giả sử D  {  x, E  | x  E , E  F } Ta có  f ( x, F ), ( x, F )  D lưới Giả sử F  F Ta chứng minh từ lúc lưới rơi vào F Thật Với x  F , xét ( y, B) mà ( y, B)  ( x, F ) f ( y, B)  y  B  F 26 Do lưới rơi vào F với ( y, B)  ( x, F ) Ngược lại, lấy A tập từ lúc lưới rơi vào A hay giả sử với ( y, E )  ( x, F ) y  A Ta lại có ( y, F )  ( x, F ) với y  F Vậy F lập nên từ tập A mà lưới  f  x, F  |  x, F   D rơi vào kể từ lúc 27 KẾT LUẬN Những kết mà đạt làm khố luận: Tìm hiểu chứng minh chi tiết số tính chất topo theo thuật ngữ lưới lọc trình bày [3] Giải chi tiết số tập [3] 28 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đậu Thế Cấp (1992), Giáo trình giải tích hàm, ĐHSP Vinh [2] Nguyễn Văn Kh, Lê Mậu Hải (1995), Khơng gian tuyến tính tơpơ Banach - Hinbert, Nxb ĐH & THCN [3] J L Keli (1973), Tôpô đại cương, Nxb ĐH & THCN [4] A P Robertson, W J Robertson (1977), Không gian vectơ tôpô, Nxb ĐH & THCN 29 ... X S gọi lưới không gian tôpô X 2.1.5 Định nghĩa lưới hội tụ Giả sử D tập định hướng quan hệ “”, (X, T) không gian tơpơ Khi đó, lưới (S n, D, ) gọi hội tụ không gian tôpô đến điểm s tôpô T với... phủ hữu hạn CHƯƠNG SỰ HỘI TỤ THEO LƯỚI VÀ LỌC Mục đích chương nghiên cứu hội tụ lưới lọc khơng gian topo Sau đó, dùng thuật ngữ lưới lọc để mô tả số khái niệm tính chất khơng gian tơpơ, tương tự... Định lý Một không gian tôpô X không gian Hausdoff khơng có lưới hội tụ đến hai điểm khác Chứng minh Điều kiện cần Giả sử X không gian Hausdoff Ta cần chứng minh khơng có lưới X hội tụ đến hai