Bài viết này trình bày một phân tích tri thức luận lịch sử làm rõ quá trình hình thành và phát triển của khái niệm ánh xạ liên tục trong tập số thực ℝ, không gian mêtric, và không gian tôpô xuyên suốt qua các thời kì từ tiền sử đến hiện đại. Mời các bạn cùng tham khảo!
TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH HO CHI MINH CITY UNIVERSITY OF EDUCATION JOURNAL OF SCIENCE Tập 18, Số (2021): 1524-1537 ISSN: 2734-9918 Vol 18, No (2021): 1524-1537 Website: http://journal.hcmue.edu.vn Bài báo nghiên cứu* MỘT PHÂN TÍCH TRI THỨC LUẬN LỊCH SỬ KHÁI NIỆM ÁNH XẠ LIÊN TỤC TRONG ℝ, KHÔNG GIAN MÊTRIC VÀ KHÔNG GIAN TÔPÔ Nguyễn Ái Quốc Trường Đại học Sài Gòn, Việt Nam Tác giả liên hệ: Nguyễn Ái Quốc – Email: nguyenaq2014@gmail.com Ngày nhận bài: 23-12-2020; ngày nhận sửa: 24-4-2021; ngày duyệt đăng: 10-6-2021 TÓM TẮT Khái niệm ánh xạ liên tục ℝ, không gian mêtric không gian tôpô khái niệm trung tâm Giải tích khái niệm quan trọng tơpơ Bài báo trình bày phân tích tri thức luận lịch sử làm rõ trình hình thành phát triển khái niệm ánh xạ liên tục tập số thực ℝ, không gian mêtric, không gian tôpô xuyên suốt qua thời kì từ tiền sử đến đại Kết phân tích tri thức luận lịch sử giúp cho giảng viên tốn hình dung trở ngại mà sinh viên ngành Toán gặp phải tiếp cận tri thức để từ thiết kế giảng cách hợp lí Từ khóa: hàm số liên tục; ánh xạ liên tục; phân tích tri thức luận; không gian mêtric; không gian tôpô Đă ̣t vấ n đề 1.1 Sự cần thiết nghiên cứu tính liên tục Ánh xạ liên tục ℝ, không gian mêtric không gian tôpô xem khái niệm trung tâm giải tích khái niệm then chốt tôpô Ánh xạ liên tục giải nhiều vấn đề tổng quát giải tích hàm, khơng gian mêtric, lí thuyết thứ tự, lí thuyết miền… đó, việc dạy học ánh xạ liên tục không gian mêtric không gian tôpô bậc đại học chiếm vai trị quan trọng Chính thế, ánh xạ liên tục dạy cho sinh viên ngành Sư phạm Toán, Toán Ứng dụng trường đại học học phần Giải tích hàm Tôpô năm ba năm tư 1.2 Tồn tại những quan niê ̣m sai của sinh viên về tính liên tục Thực tế dạy học cho thấy, tồn sinh viên ngành Toán số sai lầm tiếp cận giải toán liên quan đến ánh xạ liên tục tập số thực ℝ, khơng gian mêtric, khơng gian tơpơ Để tìm hiểu khó khăn sai lầm việc học khái niệm ánh xạ liên tục không gian mêtric không gian tôpô sinh viên, tiến hành khảo sát quan niệm sinh viên Khoa Tốn hai Trường Đại học Sài Gịn Đại học Khoa học Tự nhiên khái niệm Cite this article as: Nguyen Ai Quoc (2021) An historical-epistemological analysis of continuity in metric and topological spaces Ho Chi Minh City University of Education Journal of Science, 18(8), 1524-1537 1524 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Nguyễn Ái Quốc Thực nghiệm chúng tơi thực hình thức trả lời câu hỏi khảo sát đưới dạng tập Tất sinh viên tham gia khảo sát kết thúc học phần Giải tích Hàm Tôpô đại cương, nghĩa sinh viên học qua chương không gian mêtric không gian tơpơ Mục tiêu khảo sát nhằm tìm hiểu khó khăn quan niệm sinh viên tính liên tục ánh xạ khơng gian mêtric không gian tôpô Thực nghiệm tiến hành 18 sinh viên hai trường nói Nội dung thực gồm câu hỏi: Phiếu khảo sát Xét không gian mêtric (ℝ, 𝑑1 ) (ℝ2 , 𝑑2 ) với 𝑑1 , 𝑑2 (Euclidean) mêtric thông thường định nghĩa sau: ∀𝑥, 𝑦 ∈ ℝ, 𝑑1 (𝑥, 𝑦) = |𝑥 − 𝑦|; ∀𝑥, 𝑦 ∈ ℝ2 , 𝑥 = (𝑥1 ; 𝑥2 ) ; 𝑦 = (𝑦1 ; 𝑦2 ), 𝑑2 (𝑥, 𝑦) = √(𝑥1 − 𝑦1 )2 + (𝑥2 − 𝑦2 )2 Hãy chứng tỏ ánh xạ 𝑓: ℝ2 ⟶ ℝ xác định 𝑓(𝑎, 𝑏) = 𝑎 𝑏 (phép nhân số thực) ánh xạ liên tục ℝ2 Câu trả lời mong đợi: Chiến lược Chứng minh định nghĩa theo 𝜀 − 𝛿 Để chứng minh f liên tục (𝑎, 𝑏), cần chứng tỏ với 𝜀 > 0, tồn số 𝛿 > cho: 𝑑2 ((𝑎, 𝑏), (𝑢, 𝑣)) < 𝛿 𝑑1 (𝑓 (𝑎, 𝑏), 𝑓 (𝑢, 𝑣)) = 𝑑1 (𝑎𝑏, 𝑢𝑣) < 𝜀 Giả sử 𝑑2 ((𝑎, 𝑏), (𝑢, 𝑣)) = √(𝑎 − 𝑢)2 + (𝑏 − 𝑣)2 < 𝛿 Với 𝛿 > Ta có |𝑎 − 𝑢| < 𝛿, |𝑏 − 𝑣| < 𝛿 𝑑1 (𝑎𝑏, 𝑢𝑣) = |𝑎𝑏 − 𝑢𝑣| = |𝑏(𝑎 − 𝑢) + 𝑎(𝑏 − 𝑣) + (𝑎 − 𝑢)(𝑣 − 𝑏)| ≤ |𝑏| |𝑎 − 𝑢| + |𝑎| |𝑏 − 𝑣| + |𝑎 − 𝑢| |𝑏 − 𝑣| < 𝛿 + 𝛿(|𝑎| + |𝑏|) Khi với 𝜀 > 0, ta đặt: 𝛿 + 𝛿(|𝑎| + |𝑏|) = 𝜀 ⟹ 𝛿 = −(|𝑎|+|𝑏|)+√(|𝑎|+|𝑏|)2 +4𝜀 Đối với lựa chọn cụ thể 𝛿, 𝑑2 ((𝑎, 𝑏), (𝑢, 𝑣)) < 𝛿 𝑑1 (𝑓(𝑎, 𝑏), 𝑓(𝑢, 𝑣)) = 𝑑1 (𝑎𝑏, 𝑢𝑣) < 𝜀 Do ánh xạ 𝑓 liên tục ℝ2 Chiến lược Chứng minh dãy hội tụ 𝑎𝑛 ⟶ 𝑎 Xét (𝑎𝑛 , 𝑏𝑛 ) → (𝑎, 𝑏) ℝ2 , { 𝑏 ⟶ 𝑏 , 𝑎𝑛 𝑏𝑛 ⟶ 𝑎 𝑏 𝑛 Suy 𝑓(𝑎𝑛 , 𝑏𝑛 ) ⟶ 𝑓(𝑎, 𝑏) ℝ Do 𝑓 liên tục ℝ2 Kết khảo sát: Lời giải Lời giải sai Không trả lời Trả lời Chứng minh theo định nghĩa ngôn ngữ 𝜀 − 𝛿 Chứng minh theo Kĩ thuật dãy hội tụ Chứng minh theo cách khác 4/18 (22,2%) 7/18 (38,9%) 7/18 (38,9%) Tổng 1525 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Tập 18, Số (2021): 1524-1537 Trong 4/18 (22,2%) sinh viên đưa lời giải khơng có sinh viên số lựa chọn cách chứng minh dựa theo định nghĩa ngôn ngữ 𝜀 − 𝛿 mà tất lựa chọn chứng minh thông qua dãy hội tụ, có sinh viên lựa chọn chứng minh theo định nghĩa ngơn ngữ 𝜀 − 𝛿 lại khơng hồn thành lời giải Trong sinh viên đưa lời giải sai, ghi nhận số quan niệm sinh viên sau: Sinh viên 1: “𝑓 ánh xạ tuyến tính nên 𝑓 liên tục” Sinh viên 2: “𝑓 liên tục lại (0; 0) nên 𝑓 liên tục ℝ2 ” Sinh viên 3: “Vì ánh xạ 𝑓 từ (ℝ, 𝑑1 ) đến (ℝ2 , 𝑑2 ) không gian với mêtric thông thường xác định điểm 𝑅 nên liên tục Có sinh viên khơng đưa câu trả lời Có tất 14/18 Sinh viên (77,78%) khơng đưa câu trả lời xác hay khơng trả lời Như vậy, qua thống kê ban đầu cho thấy sinh viên gặp khó khăn việc nghiên cứu học tập liên quan đến khái niệm ánh xạ liên tục không gian mêtric Đặc biệt việc hiểu vận dụng định nghĩa ánh xạ liên tục qua ngôn ngữ 𝜀 − 𝛿 để giải toán chứng minh ánh xạ liên tục Đồng thời tồn sinh viên số quan niệm sai tính liên tục ánh xạ khơng gian mêtric như: “Ánh xạ tuyến tính liên tục”, “liên tục điểm liên tục điểm”, hay “ánh xạ xét khơng gian có mêtric thơng thường liên tục” Có thể dự đốn quan niệm sai lầm sinh viên xuất phát từ việc nhầm lẫn khái niệm liên tục ánh xạ không gian mêtric không gian định chuẩn, hay hàm sơ cấp xác định đâu liên tục Tổng kết từ hai kết khảo sát trên, cho thấy tính trừu tượng khái niệm ánh xạ liên tục khơng gian mêtric góp phần việc dẫn đến số khó khăn cho sinh viên việc tiếp cận, hiểu vận dụng để giải toán chứng minh hay xét ánh xạ liên tục Bên cạnh đó, tồn sinh viên số quan niệm sai lầm khái niệm ánh xạ liên tục không gian mêtric Nội dung 2.1 Tính liên tục khơng gian mêtric tôpô Khái niệm ánh xạ liên tục điểm không gian số thực ℝ trên, bậc đại học định nghĩa thơng qua hình thức ngôn ngữ 𝜀 − 𝛿: Một hàm số 𝑓: ℝ ⟶ ℝ liên tục điểm a với 𝜀 > 0, tồn 𝛿 > cho |𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)| < 𝜀 với x cho |𝑥 − 𝑎| < 𝛿.” (Wilson, 2009, p.29) Đặc biệt, không gian mêtric tôpô khái niệm ánh xạ liên tục điểm không định nghĩa thông qua ngôn ngữ mang tính trừu tượng cao ngơn ngữ 𝜀 − 𝛿, ngơn ngữ dãy hội tụ mà cịn ngơn ngữ tôpô thông qua tập ảnh ngược tập mở: Định nghĩa ánh xạ liên tục không gian mêtric: “Giả sử (𝑋, 𝑑𝑋 ) (𝑌, 𝑑𝑋 ) không gian mêtric cho 𝑓: 𝑋 ⟶ 𝑌 ánh xạ 1526 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Nguyễn Ái Quốc (a) Ta nói 𝑓 liên tục 𝑥0 ∈ 𝑋 với 𝜀 > 0, tồn 𝛿 > cho 𝑑𝑌 (𝑓(𝑥), 𝑓(𝑥0 )) < ε 𝑑𝑋 (𝑥, 𝑥0 ) < 𝛿 (b) Ta nói 𝑓 liên tục f liên tục 𝑥0 ∈ 𝑋.” (Sutherland, 2009, p.40) Định nghĩa tính liên tục khơng gian tơpơ theo ngơn ngữ tập mở: “Ánh xạ liên tục ảnh ngược tập mở tập mở” (Wilson, 2009, p.55) 2.2 Phân tích tri thức luận lịch sử khái niệm ánh xạ liên tục R, không gian mêtric tơpơ Q trình hình thành khái niệm ánh xạ liên tục Khái niệm liên tục xuất lịch sử thuộc tính tổng thể liên quan đến tất điểm khoảng, trước trở thành thuộc tính cục hàm liên quan đến điểm vùng lân cận x Trong trình phát triển, khái niệm liên tục từ ý tưởng vật lí, trực quan ngầm ẩn sang khái niệm liên tục hàm mà biết cách xây dựng định nghĩa mặt toán học, điều phải trải qua số giai đoạn + Thời kì tiền sử Đối với người Hi Lạp cổ đại, tính liên tục nhận thức ý nghĩa, ngầm ẩn số suy luận họ Chẳng hạn, tính liên tục ngầm ẩn suy luận Zeno ơng phát biểu nghịch lí “Achilles rùa” “Phân đơi” Những nghịch lí xuất đối lập hai phương diện: phương diện rời rạc phương diện liên tục Trong nghịch lí “Achilles rùa”, Zeno phát biểu toán hàm chứa đồng thời giả thuyết mâu thuẫn: vô hạn đối lập với hữu hạn, liên tục đối lập với không liên tục Đối với Aristoteles, liên tục chia thành phần ln ln chia được, tính liên tục khơng thể nhận thức khơng có mối liên hệ mật thiết phần tử Định nghĩa không vận hành Aristoteles thành công việc tách biệt hai khái niệm tiếp giáp liên tục Theo Dhombres (Dhombres, 1978, p.85), Eutocius (480-540) đưa định đề đường thẳng ngắn số đường có điểm mút Ông lập luận cách vẽ đường đa giác nội tiếp đường cong AB cách sử dụng nhiều lần liên tục kết “một cạnh tam giác nhỏ tổng hai cạnh kia” thấy đường thẳng xấp xỉ AB lớn đường thẳng AB Theo hệ thống thái dương hệ Ptolemaeus, vị trí Mặt Trời, Mặt Trăng hành tinh xem thay đổi liên tục định kì theo thời gian Việc xác định vị trí Ptolemaeus thực theo phương pháp chuẩn sử dụng để biên soạn bảng thiên văn khác Theo Youschkevich (Youschkevich, 1981, p.15), hàm số tính liên tục hàm số khơng nói rõ cơng trình này, khái niệm hàm số không tồn cách tường minh toán học Hi Lạp: Những ý tưởng thay đổi đại lượng biến thiên không xa lạ với tư tưởng người Hi Lạp Các toán chuyển động, liên tục 1527 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Tập 18, Số (2021): 1524-1537 vô hạn nghiên cứu từ thời Heraclitus hay Zeno xứ Elea, hầu hết phần lớn “Vật lí” hay triết học tự nhiên Aristoteles dành cho việc nghiên cứu câu hỏi + Thời kì Trung cổ đến cuối kỉ XVI Đối với nhà toán học Ả Rập Hồi giáo, tính liên tục mang tính trực giác ngầm ẩn, số người xem điều hiển nhiên Ý tưởng tính liên tục sở cho suy luận Eljaouhari (cuối kỉ VIII đầu kỉ IX) ông đề xuất phương pháp vẽ hình bình hành dựa định đề thứ Euclide: “Tất điểm vật thể chuyển động thẳng đơn giản hình thành đường thẳng chuyển động chúng.” Thabit Ibn Qurra (826-901) sử dụng quy trình vét cạn chun luận “Về tính tốn paraboloid” để chứng minh mệnh đề thiết yếu cho việc tính thể tích vật rắn nội tiếp mái vịm tạo thành từ hình nón dãy hình nón cụt (Katz, 2009, p.305) Vào kỉ XIV, Oresme (1323-1382) sử dụng biểu diễn đồ họa để mô tả tượng thay đổi theo thời gian dựa cơng trình triết gia học thuật Đại học Merton, Oxford Các triết gia khoảng thời gian bắt đầu khám phá ý tưởng biểu diễn vận tốc, đại lượng khác nhau, đoạn thẳng Trong tác phẩm có tựa đề Tractatus de configurationibus Qualitatum et motum (Chuyên luận cấu hình phẩm chất vận động) vào khoảng năm 1350, Oresme mô tả phương pháp biểu thị đại lượng mối quan hệ với đại lượng khác Phương pháp này, gọi Latitude des formes1, cho phép ông biểu diễn đồ thị biến thiên cường độ phẩm chất: tốc độ, nhiệt, cường độ ánh sáng Trong biểu diễn đồ họa này, kinh độ biểu diễn đường thẳng nằm ngang vĩ độ đường thẳng đứng Kinh độ mà ngày gọi giá trị biến độc lập vĩ độ giá trị biến phụ thuộc Các biến thiên phân thành ba loại: đồng dạng, dị dạng đồng dị dạng sai lệch + Thời kì Phục Hưng (Thế kỉ XVI đến cuối kỉ XVIII) Kepler (1571-1630) người sử dụng phép biến đổi liên tục hình hình học thành hình khác: Kepler Astronomia Per Optica mặt cắt cơnic khác thu cách thay đổi "một cách liên tục" độ nghiêng mặt phẳng cắt Tương tự vậy, tác phẩm Nova Stereometria Doliorum, Kepler bỏ qua phương pháp chứng minh phản chứng bao gồm phương pháp vét kiệt sử dụng giới hạn Do đó, chu vi hình trịn xác định đa giác có số cạnh lớn vơ hạn cạnh ngắn vô hạn, Kepler sử dụng nguyên lí thay đổi liên tục để suy diện tích hình trịn 𝜋𝑅 từ chu vi Tạm dịch: Vĩ độ hình dạng 1528 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Nguyễn Ái Quốc hình trịn (2𝜋R) từ tỉ số diện tích đa giác nội tiếp với chu vi đường tròn (Katz, 2009, p.514) Cavalieri (1598-1647) xem bề mặt chồng đoạn thẳng có kích thước thể tích hình thành từ bề mặt phẳng Ơng xuất tác phẩm Geometria Indivisibilibus Continuorum No va Quodam Ratione Promota (Hình học liên tục phân chia theo phương pháp mới), ơng xử lí “khơng thể phân chia được” không định nghĩa chúng, không xem “không thể phân chia được” nhỏ vô hạn Bằng cách áp dụng đại số vào hình học cách trình bày phương pháp giải tích giới thiệu hàm số, Descartes (1596-1650) mở kỉ nguyên cho toán học Youschkevitch (1981, p.26) trích dẫn nhận định Hankel (1839-1873): “Tốn học có từ thời Descartes, nghiên cứu đại số túy phương trình, dẫn đến việc nghiên cứu biến thiên đại lượng tham gia vào biểu thức đại số, cách coi chúng đại lượng phát triển cách liên tục.” Mặc dù, nghiên cứu độc lập với Descartes, Fermat (1601-1665) sử dụng phương pháp giải tích giới thiệu hàm thể ý tưởng biến thiên liên tục đại lượng Introduction aux lieux plans et solides (Nhập môn quỹ tích hình phẳng hình khối) xuất năm 1679 Theo Youschkevich (1981, p.25): “Ngay phương trình chứa hai đại lượng chưa biết, có quỹ tích tương ứng “cực điểm”2 đại lượng vạch nên đường thẳng đường cong.” Ví dụ, ta xét phương trình 𝑦 = 𝑥 − 14𝑥 + 49𝑥 + chứa hai đại lượng chưa biết x y Quỹ tích đường cong vạch nên cực điểm đại lượng y đoạn thẳng xy có độ dài thay đổi liên tục (Hình 1) Hình Mối liên hệ x y theo Fermat Newton (1642-1727) khởi đầu thay đổi lớn tốn học nhờ lí thuyết đạo hàm ơng Ơng coi đường cong khơng cịn tập hợp điểm với tính chất định, mà quỹ đạo điểm chuyển động Đối với ông, đường cong liên tục theo nghĩa biểu diễn đường liên tục: Cực điểm đầu mút đoạn thẳng xy có độ dài y với đầu mút đặt điểm x trục 1529 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Tập 18, Số (2021): 1524-1537 Tôi không xem đại lượng tốn học hình thành từ phận dù nhỏ, vạch nên từ chuyển động liên tục Các đường vạch nên tạo ra, đặt cạnh phần chúng, mà chuyển động liên tục điểm; bề mặt vạch nên chuyển động đường; vật thể tạo nên chuyển động bề mặt; góc quay cạnh; thời gian dòng chảy liên tục (Dhombres, 1978, p.164) Leibniz (1646-1716) công bố Nouveaux Essais Sur l'Entendement Humain (Những tiểu luận hiểu biết người) nguyên tắc ông quy luật liên tục phản ánh triết học mà theo vũ trụ hình thành từ vật thể “du mục” khơng thể phân biệt, có thứ bậc kết nối liên tục Ơng tun bố thêm: “Khơng có xảy lúc, châm ngôn tuyệt vời câu châm ngôn kiểm chứng rõ ràng nhất, chất không thay đổi Tôi gọi quy luật liên tục.” Dhombres (1978, p.177) Theo Euler (1707-1783), đường cong tương ứng với hàm số x, ngược lại hàm số x biểu thị đường cong Trong tập tác phẩm “Giới thiệu giải tích vơ cực”, ông tồn hàm thuộc loại khác mà ông phân loại thành hàm đường cong liên tục hàm không liên tục hỗn hợp (Youschkevitch, 1981, p.40) Đối với Euler, tính liên tục hàm định nghĩa tính bất biến quy luật phương trình xác định hàm toàn miền giá trị biến Youschkevitch (1981, p.46) viết chi tiết quan điểm Euler hồi kí ơng “De usu functionum disontinuarum in analysi” (Các hàm không liên tục giải tích), xuất năm 1767: Các hàm "liên tục" định nghĩa dạng hình ảnh hình học, cách giả sử không mối quan hệ tọa độ tất điểm đường cong xác định phương trình, [ ] Tất phần đường cong (liên tục) gắn với liên kết gần để thực thay đổi mà khơng làm ảnh hưởng đến liên kết liên tục Do đó, theo Euler, hàm liên tục hàm xác định biểu thức giải tích nhất, chúng tương ứng với hàm khả vi hàm không liên tục tương ứng với hàm mà ngày gọi khả vi phần Lưu ý vào thời ông, phần lớn hàm sử dụng biểu thị dạng biểu thức giải tích miền xác định chúng thuật ngữ “biểu thức giải tích” coi đương nhiên Hơn nữa, Euler không định nghĩa thuật ngữ cách rõ ràng, ông liệt kê phép tốn đại số mà qua hợp thành biểu thức giải tích Ý nghĩa thuật ngữ xuất từ hàm mà ông xem xét phần cịn lại sách Euler sử dụng hai định nghĩa cho từ ‘hàm số’ Thật vậy, “hàm” coi quan hệ x y biểu diễn mặt phẳng đường cong vẽ tay, lại biểu thị đại lượng hình thành biểu thức giải tích với 1530 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Nguyễn Ái Quốc số biến số Hai định nghĩa cạnh tranh tìm thấy lịch sử sau này, chẳng hạn Fourier (1768-1830) áp dụng định nghĩa Lagrange (1736-1813) theo đuổi ý tưởng thể định nghĩa thứ hai Nhưng Fourier xa nhiều ơng xem xét hàm liên tục theo mảnh + Thời kì nghiêm ngặt hóa giải tích Vào đầu kỉ XIX có tiến triển quan trọng giải tích, phần lớn thơng qua hoạt động giảng dạy nhà toán học thời đó, có Lagrange Giống Euler, ơng tin hàm khai triển thành chuỗi số nguyên, không cảm thấy cần thiết phải định nghĩa tính liên tục, ngầm ẩn suy luận ơng Lagrange ngầm ẩn sử dụng tính liên tục, chứng minh ông dựa ý tưởng hình học trực quan tính liên tục mà ơng biện minh sau: Chúng ta ln tìm thấy hồnh độ i tương ứng với tung độ nhỏ đại lượng cho trước, sau giá trị nhỏ i đáp ứng cho tung độ nhỏ đại lượng cho trước (El Bouazzaoui, 1988, p.80) Giống Lagrange, Arbogast (1759-1803), không cảm thấy cần phải đưa định nghĩa tính liên tục hay không liên tục hàm ông sử dụng tác phẩm mình, chẳng hạn định nghĩa hàm tùy ý Cũng Lagrange, ông áp dụng quan điểm Euler hàm liên tục, bổ sung thêm số chi tiết, đặc biệt tính liên tục Euler bị phá hủy hai trường hợp: phần khác đường cong không kết hợp với hàm khơng quy, nghĩa hàm khơng tn theo quy luật cho khoảng nào, dù nhỏ đến đâu Chasles (1793-1880) người theo quan niệm Euler liên tục Trong tác phẩm Fragment sur les fonctions discontinues (Phân mảnh hàm không liên tục), ông tồn hàm có biểu thức giải tích khác miền khác khoảng hữu hạn biểu diễn phương trình Điều có nghĩa chúng vừa “khơng liên tục” vừa “liên tục” theo nghĩa Euler Bolzano (1781-1848) kiến trúc sư nỗ lực nghiêm ngặt hóa thực tốn học Ơng đặt vấn đề sâu sắc tảng giải tích Luận án ơng (1817) mang tên Démonstration purement analytique du théorème: entre deux valeurs quelconques qui donnent deux résultats de signes opposés se trouve au moins une racine réelle de l'équation (Chứng minh giải tích túy định lí: hai giá trị có dấu đối nhau, có nghiệm thực phương trình) tập hợp định nghĩa chặt chẽ tính liên tục đạo hàm hàm số, cho nhìn tổng quan mối quan hệ thống tính khả vi tính liên tục hàm Ông đưa định nghĩa hàm số liên tục xoay quanh khái niệm giới hạn: “Nói hàm số biến số thực x liên tục, với giá trị x thuộc khoảng cho trước, nghĩa là: x giá trị vậy, hiệu số 𝑓(𝑥 − 𝑤) − 𝑓(𝑥) 1531 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Tập 18, Số (2021): 1524-1537 nhỏ độ lớn cho ln lấy w nhỏ muốn.” (Dieudonné, 1986, p.242) Theo Guillemont (1990), định nghĩa tính liên tục mà Bolzano đưa diễn đạt mặt hình thức tương ứng với : (∀𝑥 ∈ 𝐼)(∀𝜀 > 0)(∃𝜂 > 0)(∀𝜔 ∈ 𝑅)(|𝜔| < 𝜂 ⟹ |𝑓(𝑥 + 𝜔) − 𝑓(𝑥)| < 𝜀 Các dấu giá trị tuyệt đối không đưa định nghĩa này, Bolzano ngụ ý Ở đây, tính liên tục giải phóng thức khỏi hỗ trợ hình học để trở thành khái niệm số học Đó định nghĩa liên tục mà sử dụng Trong luận án (1817), Bolzano đưa định nghĩa tính liên tục vài năm trước Cauchy, ơng nhấn mạnh đặc tính địa phương tính liên tục cách xem xét tính liên tục điểm nghiên cứu riêng biệt tính liên tục bên trái bên phải điểm Ông tách khái niệm liên tục khỏi khái niệm khả vi xây dựng lí thuyết hàm ơng ví dụ hàm liên tục khoảng đóng mà khơng có đạo hàm điểm khoảng (Barra & Pensec, 1976-77, p.61) Cauchy (1789-1857) sử dụng khái niệm giới hạn ơng định nghĩa tính liên tục (theo nghĩa đại) hội tụ chuỗi số chuỗi hàm (Katz, 2009, p.765) Cauchy tiếp tục cố gắng Lagrange nhằm cung cấp cho khoa học toán học tảng vững Tác phẩm Cours d'Analyse (Bài giảng Giải tích) Cauchy xuất năm 1821 dành cho việc giảng dạy ông Đại học Bách khoa, mở đường cho giải tích đại thơng qua tính chặt chẽ rõ ràng theo phong cách ông Để định nghĩa tính liên tục, Cauchy giống người tiền nhiệm mình, ngoại trừ Bolzano, khơng sử dụng trực giác hình học, mà xác ông sử dụng khái niệm giới hạn đại lượng vơ bé Đối với ơng, tính liên tục trở thành khái niệm toán học theo nghĩa định nghĩa chưa hồn tồn tốn học hóa Tính liên tục khơng cịn coi thuộc tính đường cong hàm, thuộc tính vốn có chủ đề toán học, mà quan hệ đóng vai trị cơng cụ để nghiên cứu hàm số: “Hàm số 𝑓(𝑥) liên tục giới hạn cho trước giới hạn số gia nhỏ vô hạn i biến x tạo số gia nhỏ vơ hạn 𝑓(𝑥 + 𝑖) − 𝑓(𝑥) hàm số.” (Merzbach & Boyer, 2011, p.456) Trong “Luận văn hàm liên tục” xuất năm 1844, Cauchy phá hủy đặc trưng hóa Euler hàm “liên tục” hàm xác định phương trình đại số, điều mà Chasles ám vào năm 1780 tác phẩm “Phân mảnh hàm không liên tục” Cauchy cho thấy đặc trưng hóa khơng thể xác định được, cách đưa ví dụ hàm: 𝑓 (𝑥) = 𝑥 𝑥 > 𝑓(𝑥) = − 𝑥 𝑥 < hay x = 0, viết khơng liên tục theo nghĩa Euler, biểu diễn phương trình 𝑦 = √𝑥 với x thuộc R, “liên tục” theo 1532 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Nguyễn Ái Quốc nghĩa Euler Mặc dù vậy, thuật ngữ Euler sử dụng Bolzano Cauchy đưa định nghĩa liên tục biết đến ngày Darboux (1842-1917), luận án ông xuất năm 1875, đưa định nghĩa tính liên tục tính chất địa phương cách nói: “Một hàm 𝑓(𝑥) cho liên tục giá trị 𝑥 = 𝑥0 , lấy h đủ nhỏ để có: |𝑓(𝑥0 + 𝜃ℎ) − 𝑓(𝑥0 )| < 𝜀, 𝜃 nhận tất giá trị dương nhỏ 𝜀 nhỏ muốn.” (Groupe d'histoire des mathématiques de l'IREM de Paris Nord, 1978, p.20) Darboux đưa định nghĩa tính liên tục khoảng đóng: “Chúng ta nói hàm liên tục khoảng (𝑥0 , 𝑥1 ) 𝑥0 < 𝑥1 liên tục tất giá trị x 𝑥0 𝑥1 có lim 𝑓(𝑥0 + ℎ) = 𝑓(𝑥0 ), 𝑙𝑖𝑚(𝑥1 − ℎ) = 𝑓(𝑥1 ) h tiến đến giá trị dương Các điều kiện cuối thỏa mãn hàm liên tục với giá trị 𝑥0 , 𝑥1 x ” (Monna, 1972, p.65) Như vậy, Darboux người đưa định nghĩa liên tục hàm khoảng đóng Các định nghĩa ông xem định nghĩa đầy đủ ngày Cho đến lúc đó, số nhà tốn học thường định nghĩa hàm liên tục hàm lấy từ giá trị sang giá trị khác mà không qua tất giá trị trung gian xem định nghĩa tương đương với định nghĩa Cauchy Dirichlet (1805-1859), đưa định nghĩa hàm số liên tục: “Gọi a b hai giá trị cố định x đại lượng biến thiên, nằm a b Nếu với x cho tương ứng giá trị hữu hạn 𝑦 = 𝑓(𝑥) biến thiên liên tục thân x biến thiên liên tục từ a đến b, ta nói 𝑓 hàm liên tục khoảng (Groupe d'histoire des mathématiques de l'IREM de Paris Nord , 1978, p.20) Dirichlet giải hàm khơng liên tục có số điểm gián đoạn đếm xây dựng ví dụ tiếng ơng hàm khơng liên tục điểm khoảng (0, 1), 𝑓(𝑥) = với giá trị hữu tỉ x 𝑓(𝑥) = với giá trị vô tỉ x Hàm tạo thành ví dụ hàm tùy ý thực xác định ℝ cung cấp cho giải tích phản ví dụ quan trọng (đặc biệt, 𝑓(𝑥) khơng khả tích theo nghĩa Riemann) Weierstrass (1815-1897), cải thiện công việc Bolzano Cauchy cách sử dụng cách có hệ thống công thức epsilon eta cho định nghĩa định lí Ơng cố gắng xác định định nghĩa tính liên tục từ trực giác chuyển động liên tục mà tìm thấy biểu thức “một biến số tiến gần giới hạn” có định nghĩa Bolzano Cauchy điều ngầm gợi ý thời gian chuyển động Boyer (1959, p.286) Weierstrass đề xuất định nghĩa tính liên tục tương đương với định nghĩa hai nhà tốn học này, xác hơn: “𝑓(𝑥) liên tục 𝑥 = 𝑥0 , với giá trị x “vùng lân cận” 𝑥0 với số dương nhỏ tùy ý 𝜀, tìm thấy “vùng lân cận” 𝑥0 cho với giá trị x vùng lân cận này, hiệu |𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥0 )| < 𝜀 1533 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Tập 18, Số (2021): 1524-1537 |𝑥 − 𝑥0 | < 𝜂” Lần nhận thấy phần giới thiệu diễn đạt “với giá trị 𝑥0 ” “có thể” Những định lượng làm cho định nghĩa trở thành định nghĩa phức tạp lúc (Dhombres, 1987, p.187) + Không gian mêtric Fréchet Không gian tơpơ Hausdorff Theo Gregory (2008, p.229), Fréchet khái quát hóa kết Weierstrass, cách sử dụng định nghĩa ơng tính liên tục, thuộc tính ngày thường gọi tính liên tục dãy: Một hàm 𝑓 liên tục a tập đóng E 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞ 𝑓(𝑎𝑛 ) = 𝑓(𝑎) cho dãy {𝑎𝑛 } E hội tụ a Theo Katz (2009, p 887), Hausdorff (1868-1942) định nghĩa tính liên tục cách sử dụng khái niệm lân cận Cụ thể, ông lấy định nghĩa –tiêu chuẩn tính liên tục cho hàm biến thực, lưu ý định nghĩa sử dụng lân cận đường thực, sau chuyển thành định nghĩa tổng quát cho không gian tôpô: “Hàm 𝑦 = 𝑓 (𝑥) gọi liên tục điểm a, với lân cận Vb điểm 𝑏 = 𝑓 (𝑎) tồn lân cận Ua điểm a, có ảnh nằm Vb, tức 𝑓(𝑈𝑎 ) ⊆ 𝑉𝑏 ” Sau đó, Hausdorff tạo định nghĩa tương đương: Hàm 𝑓: 𝐴 → 𝐵 liên tục a nếu, với tập Q B mà 𝑏 = 𝑓 (𝑎) điểm trong, ảnh nghịch đảo 𝑓 −1 (𝑄) chứa điểm a điểm 2.3 Một số kết từ phân tích tri thức luận lịch sử 2.3.1 Nguyên nhân đời khái niệm liên tục Phân tích chúng tơi xun qua giai đoạn lịch sử khái niệm liên tục cho phép xác định nhóm tốn cho phép khái niệm hình thành phát triển Trước hết, tốn hình học phản ánh chất đại lượng hình học Những vấn đề đặt liên quan đến hình học ln xem thiết yếu để hiểu khía cạnh định khái niệm liên tục Tuy nhiên, ý tưởng nghiên cứu khái niệm liên tục đến lúc lại gặp nhiều trở ngại dựa tảng hình học, địi hỏi nhà tốn học phải rời bỏ quan điểm hình học để đặt vào lĩnh vực số Sự chuyển tiếp cần thiết khó khăn thấy với nhà toán học kỉ XVII, điển hình Cauchy khơng chắn tách rời khỏi tầm nhìn hình học định lí giá trị trung gian ơng xem hình ảnh hình học đơn giản (Mawfik, Boukhssimi, Lamrabet, 2001, p 42) Bài toán đặt quan trọng thứ hai có nguồn gốc hình học, thân nhanh chóng trở thành tốn khai triển hàm thành chuỗi số nguyên Cuối cùng, toán đặt thiết yếu thứ ba tơpơ, liên quan đến phép biến đổi liên tục phép đồng phôi Vấn đề xuất cơng trình Cantor, Fréchet, Hausdorf (Mawfik, Boukhssimi, Lamrabet, 2001, p 42) 2.3.2 Quan niê ̣m ảnh hưởng lên hình thành khái niệm liên tục Sự hình thành khái niệm ánh xạ liên tục chịu ảnh hưởng quan niệm hình học xuyên suốt thời kì tiền sử, Phục Hưng; quan niệm số học thời kì Nghiêm ngặt 1534 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Nguyễn Ái Quốc hóa giải tích vào cuối kỉ XIX; quan niệm tơpơ tốn học nói chung giải tích nói riêng vào đầu kỉ XX nỗ lực khái quát hóa hàm số liên tục tập số thực ℝ vào không gian mêtric không gian tôpô 2.3.3 Đặc trưng tri thức luận của khái niệm liên tục Từ kết phân tích tri thức luận lịch sử ánh xạ liên tục 2.2 cho phép rút đặc trưng tri thức luận khái niệm ánh xạ liên tục sau đây: Đặc trưng phạm vi tác động khái niệm liên tục: hình học, số học, giải tích, tơpơ Đặc trưng cách tiếp cận khái niệm: định nghĩa epsilon-delta, dãy hội tụ, tập mở, lân cận, ảnh ngược ánh xạ Đặc trưng trừu tượng: gắn liền với tính trừu tượng khơng gian mêtric khơng gian tơpơ Đặc trưng cụ thể/khái qt hóa: cụ thể đường thẳng thực 𝑅, khái quát vào không gian Euclide n chiều, không gian mêtric không gian tôpô 2.3.4 Chướng ngại tri thức luận Định nghĩa hàm số liên tục theo khái niệm giới hạn thông qua ngôn ngữ –là chướng ngại tri thức luận người học việc xác định (theo ) địi hỏi người học phải có số kĩ giải bất đẳng thức chứa giá trị tuyệt đối, làm trội, làm giảm đại lượng so với đại lượng khác Việc chuyển từ làm việc mêtric thông thường ℝ sang mêtric không gian ℝ𝑛 chướng ngại tri thức luận người học phải chuyển đổi từ không gian chiều sang không gian n chiều với phép tính liên quan đến bất đẳng thức Việc định nghĩa khái niệm ánh xạ liên tục không gian tôpô theo tập mở chướng ngại tri thức luận người học thân khái niệm tập mở khái quát hóa khoảng mở tập số thực ℝ vào không gian mêtric ℝ𝑛 khơng gian tơpơ mang tính trừu tượng Các chướng ngại thể phần qua quan niệm sai lầm phần thực nghiệm khảo sát trình bày mục 1.2 Việc nghiên cứu ảnh hưởng chướng ngại tri thức luận chướng ngại sư phạm cần đến thực nghiệm sâu rộng mà tiến hành Kết luận Từ nhìn tổng quan lịch sử vạch ra, nhận thấy khái niệm hàm số tính liên tục phát triển mối quan hệ biện chứng, thay đổi tầm nhìn mối quan hệ với khái niệm mang đến thay đổi mối quan hệ với khái niệm kia, tiến dẫn đến tiến ngược lại Hơn nữa, thời kì, định nghĩa tính liên tục phụ thuộc vào hàm số thao tác toán cần giải Định nghĩa hàm số liên tục ℝ theo ngơn ngữ kết q trình cơng thức hóa tính liên tục từ trực giác chuyển động liên tục trình nghiêm ngặt 1535 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Tập 18, Số (2021): 1524-1537 hóa giải tích cơng cụ số học để tách khỏi ngơn ngữ hình học nhờ vào nghiên cứu Cauchy, Bolzano Weierstrass Việc mở rộng định lí Weierstrass hàm liên tục biến số thực khoảng đóng bị chặn đạt chặn nhỏ động lực cho việc khái qt hóa khơng gian Euclide thành khơng gian trừu tượng Fréchet Xuất phát từ ý tưởng lựa chọn hệ thống lân cận làm sở cho lí thuyết tổng quát không gian tôpô, Hausdorff định nghĩa ánh xạ liên tục không gian tôpô ngôn ngữ lân cận Kết phân tích tri thức luận lịch sử khái niệm ánh xạ liên tục giúp nhà đào tạo sư phạm hình dung trở ngại mà sinh viên ngành Toán gặp phải tiếp cận tri thức này, để từ thiết kế giảng cách hợp lí Tuyên bố quyền lợi: Tác giả xác nhận hoàn tồn khơng có xung đột quyền lợi TÀI LIỆU THAM KHẢO Barra, R., & Pensec, J J (1976-77) Sur l’enseignement de l’analyse, n°1 – Notion de fonctions IREM de Poitiers, 1-53 Boyer, C B (1959) The history of the calculus and its conceptual development New York: Dover Publications Brunschvicg, L (1912) Les étapes de la philosophie mathématique Paris: Librairie Alian, réédité par Blanchard en 1972 Chevallard, Y (1980) La transposition didactique Grenoble: La pensée sauvage Dhombres, J (1978) Nombre, mesure et continu Épistémologie et histoire Paris: Cédic/Fernand Nathan Dieudonné, J (1978) Abrégé d’histoire des mathématiques, 1700-1900 (2 volumes) Paris: Hermann El Bouazzaoui, H (1988) Conceptions des élèves et des professeurs propos de la notion de continuité d’une fonction Thèse de doctorat Québec, Université Laval Fréchet, M (1904) Généralisation d’un théorème de Weierstrass C R Acad Sci Paris 139, 848-850 Groupe d'histoire des mathématiques de l'IREM de Paris Nord (1978) “Éléments pour une approche historique de l'analyse en 1er et en terminale” Dossier n°1 Université Paris XIII, IREM Paris Nord, n°32 Katz, V J (2009) A History of Mathematices-An Introduction (3rd Edition) Pearson Education Le, T H C, & Le, V T (2003) The role of epistemological analysis of History of Mathematics in research and practice of mathematics teaching and learning Research theme at the Ministry Level, Code B2001-23-2 1536 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Nguyễn Ái Quốc Mawfik, N., & Boukhssimi, D., & Lamrabet, D (2001) Genèse historique de la notion de continuité d’une fonction Bulletin Association mathématique du Quebec, vol XLI, n0 1, 31-44 Merzbach, U C., & Boyer, C B (2011) A History of Mathematics (3rd Edition) John Wiley & Sons, Inc Publisher Monna, A F (1972) Functional Analysis in Historical Perspective New York, NY, Oostoek, Sheltema and Holthema Gregory H Moore (2008) The emergence of open sets, closed sets, and limit point in analysis and topology Historica Mathematica, 35, 220-241 Sutherland, W A (2009) Introduction to Metric and Topological Spaces Second Edition, Oxford University Press Youschkevitch, A P (1981) Le concept de fonction jusqu’au milieu du XIXe siècle Dans Fragments d’histoire des mathématiques, Brochure A.P.M.E.P, 41, 7-68 AN HISTORICAL-EPISTEMOLOGICAL ANALYSIS OF CONTINUITY IN METRIC AND TOPOLOGICAL SPACES Nguyen Ai Quoc Saigon University, Vietnam Corresponding author: Nguyen Ai Quoc – Email: nguyenaq2014@gmail.com Received: December 23, 2020; Revised: April 24, 2021; Accepted: June 10, 2021 ABSTRACT The concept of continuous mapping in ℝ, metric and topological spaces is one of the central concepts of analysis and an important concept of topology This paper presents a historical epistemological analysis that clarifies the genesis and development of the concept of continuous mapping in the real number set ℝ, the metric spaces, and the topological spaces throughout the periods from prehistoric to modern The results of the historical epistemological analysis can help teacher educators visualize the obstacles that mathematics students face when learning this knowledge so that they can design their lessons in a more reasonable way Keywords: continuous function; continuous mapping; epistemological analysis; metric space; topological space 1537 ... Phân tích tri thức luận lịch sử khái niệm ánh xạ liên tục R, không gian mêtric tơpơ Q trình hình thành khái niệm ánh xạ liên tục Khái niệm liên tục xuất lịch sử thuộc tính tổng thể liên quan... đó, tồn sinh viên số quan niệm sai lầm khái niệm ánh xạ liên tục không gian mêtric Nội dung 2.1 Tính liên tục khơng gian mêtric tôpô Khái niệm ánh xạ liên tục điểm không gian số thực ℝ trên, bậc... 2.3.3 Đặc trưng tri thức luận của khái niệm liên tục Từ kết phân tích tri thức luận lịch sử ánh xạ liên tục 2.2 cho phép rút đặc trưng tri thức luận khái niệm ánh xạ liên tục sau đây: Đặc