Bài viết này trình bày một phân tích tri thức luận lịch sử về sự phát triển và hı̀nh thành khái niệm tích phân suy rộng, từ đó xác định các đặc trưng tri thức luận của tích phân suy rộng và một số chướng ngại đối với sinh viên khi nghiên cứu về tri thức này.
TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH HO CHI MINH CITY UNIVERSITY OF EDUCATION JOURNAL OF SCIENCE Tập 16, Số 11 (2019): 731-744 ISSN: 1859-3100 Vol 16, No 11 (2019): 731-744 Website: http://journal.hcmue.edu.vn Bài báo nghiên cứu* MỘT PHÂN TÍCH TRI THỨC LUẬN VỀ KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN SUY RỘNG Nguyễn Ái Quốc Trường Đại học Sài Gòn Tác giả liên hệ: Nguyễn Ái Quốc – Email: nguyenaq2014@gmail.com Ngày nhận bài: 25-5-2019; ngày nhận sửa: 04-6-2019; ngày duyệt đăng: 27-9-2019 TĨM TẮT Tích phân suy rộng khái qt hóa tích phân xác định miền không giới hạn hay hàm số dấu tích phân có gián đoạn vơ cực miền lấy tích phân Tích phân suy rộng khơng thể tính cách sử dụng tích phân Riemann thơng thường Bài báo trình bà y phâ n tích tri thức luận li ̣ch sử về sự phá t triể n và hı̀ nh thành khái niệm tích phân suy rộng, từ đó xá c ̣nh cá c đặc trư ng tri thức luận củ a tích phân suy rộng mộ t sớ chư ớng ngại đối với sinh viê n nghiê n cứu về tri thức nà y Từ khóa: phân tích tri thức luận; đặc trưng khoa học luận; tích phân suy rộng; giới hạn; chướng ngại Đặt vấn đề 1.1 Sự cần thiết nghiên cứu khái niệm tích phân suy rộng Tích phân suy rộng ứng dụng nhiều nhiều lĩnh vực tốn học, vật lí kinh tế Trong vật lí, tích phân suy rộng áp dụng để nghiên cứu điện thế, trọng lực, hay động Chẳng hạn, công cần thiết để nâng vật có khối lượng m kg từ bề mặt Trái Đất lên khoảng cách vơ tính cơng thức: , bán kính Trái Đất 9,8 Trong kinh tế, tích phân suy rộng áp dụng để tính giá trị tư dòng thu nhập liên tục: Giá trị Tư = , lưu lượng dòng thu nhập hàng năm thời điểm t, r lãi suất kép liên tục hàng năm Trong tốn học, tích phân suy rộng áp dụng Xác suất Thống kê, Chuẩn hàm, Giải phương trình vi phân, Biến đổi Fourier, Biến đổi Laplace, hàm số đặc biệt Beta Gamma Sự xuất tích phân suy rộng nhiều lĩnh vực khoa học nói mang đến nhiều trở ngại cho sinh viên (SV) đại học Cite this article as: Nguyen Ai Quoc (2019) An epistemological analysis of the concept of improper integral Ho Chi Minh City University of Education Journal of Science, 16(11), 731-744 731 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Tập 16, Số 11 (2019): 731-744 1.2 Tồn khó khăn sinh viên tiếp cận khái niệm tích phân suy rộng Tháng 4/2019 thực nghiệm khảo sát thực 31 SV Trường Đại học Sài Gòn Đại học Khoa học Tự nhiên – Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh khái niệm tích phân suy rộng Các sinh viên kết thúc học phần Giải tích hàm biến bao gồm phần Tích phân suy rộng học kì I từ tháng đến tháng 12 Nội dung thực nghiệm bao gồm câu hỏi tập liên quan đến Tích phân suy rộng: Câu Anh/chị cho biết tích phân sau, tích phân tích phân suy rộng, sao? a/ b/ c/ Câu Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = 1/x2, đường thẳng x = trục hoành (với x 1) Mục tiêu Câu hỏi nhằm tìm hiểu xem sinh viên có nhận dạng Tích phân suy rộng hay khơng Câu trả lời I, J K ba tích phân suy rộng, I thuộc loại 2, J K thuộc loại Mục tiêu Câu nhằm kiểm tra xem sinh viên vận dụng định nghĩa tích phân suy rộng để tính diện tích miền phẳng Kết thực nghiệm có 13/31 sinh viên chọn trả lời “Có” cho câu hỏi 1a, có | hai sinh viên giải thích sai cách đưa nguyên hàm x/(x-1) 1| mà không quan tâm đến không liên tục hàm số điểm biên miền lấy tích phân Có 18/31 sinh viên chọn trả lời “Khơng”, giải thích tích phân suy rộng chứa cận hữu hạn không chứa cận vô cực Đối với Câu 1b 1c, câu có tất 31 sinh viên chọn câu trả lời “Có”, có 20 giải thích giải thích khơng cho tích phân có dạng “vơ định”, hay K tích phân suy rộng loại Cuối có trả lời khơng giải thích Đối với Câu 2, có 21/31 sinh viên sử dụng tích phân suy rộng để tính diện tích miền phẳng, có 14 trả lời xác sinh viên xem cận vơ cực cận hữu hạn tích phân xác định tính tính phân (Hình 1) Còn lại 10 sinh viên trả lời khơng thể tính diện tích hình phẳng miền phẳng kéo dài vơ hạn 732 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Nguyễn Ái Quốc Hình Cận vơ cực cận hữu hạn Kết thực nghiệm cho thấy tồn quan niệm sinh viên tích phân suy rộng tích phân xác định phải có cận vơ cực mà khơng quan tâm đến tích phân có miền lấy tích phân chứa điểm hàm số khơng liên tục Một số sinh viên bị ảnh hưởng cận hữu hạn tích phân xác định việc tính tích phân suy rộng Đặc biệt, có số sinh viên bị ảnh hưởng yếu tố phản trực quan miền khơng giới hạn khơng thể có diện tích hữu hạn 1.3 Sự cần thiết phân tích tri thức luận Việc xác đinh ̣ các loa ̣i sai lầ m của sinh viên ho ̣c Toán và nguồ n gố c của chúng luôn là nhiệm vu ̣ đầ u tiên đặt đố i với các nhà nghiên cứu Didactic Toán trước đưa các giải pháp để giúp sinh viên loa ̣i bỏ các sai lầ m đó Theo Brousseau (1983, p.171): - Nghıã của tri thức, những vấ n đề mà tri thức đó cho phép giải quyế t; - Những quan niệm có thể gắ n liề n với tri thức Khái niệm tích phân suy rộng Theo James Steward (2016), Định nghĩa tích phân suy rộng loại 1: tồn với (a) Nếu , → giới hạn tồn (là số hữu hạn) (b) tồn với , → giới hạn tồn (là số hữu hạn) Tích phân suy rộng gọi hội tụ giới hạn tương ứng tồn phân kì giới hạn khơng tồn (c) Nếu hai hội tụ, ta định nghĩa ” (p.568) Định nghĩa tích phân suy rộng loại 2: (a) Nếu liên tục [a, b) không liên tục b, thì: → giới hạn tồn (là số hữu hạn) (b) Nếu liên tục (a, b] khơng liên tục a, thì: → 733 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Tập 16, Số 11 (2019): 731-744 giới hạn tồn (là số hữu hạn) gọi hội tụ giới hạn tương ứng tồn phân kì Tích phân suy rộng giới hạn khơng tồn (c) Nếu khơng liên tục c, a < c < b, hai hội tụ, ta định nghĩa ” (p 571) Phân tích tri thức luận lịch sử khái niệm tích phân suy rộng 3.1 Sự đời khái niệm tích phân suy rộng Các hình thể khơng giới hạn Oresme Khái niệm tích phân suy rộng, chưa có tên thức, hình thành tác phẩm “Tractatus de configuationibus qualitatum et motuum” (1353) (Chuyên luận hình thể đại lượng chuyển động), Nicole Oreme (1323-1382) Ông triết gia kinh viện, nhà thiên văn học, nhà tốn học, vật lí gia giảng dạy Đại học Paris trường vừa thành lập Trong chương III tác phẩm nói trên, ơng định nghĩa tích phân Riemann đánh giá tích phân số hàm số bao gồm tích phân suy rộng có đồ thị tiến đến vơ hay miền lấy tích phân kéo dài đến vô Kết quan trọng ông tích phân diện tích miền nằm đồ thị tuyến tính tích chiều dài đáy với chiều cao đồ thị trung điểm đáy Cũng chương III, ơng trình bày kết quan trọng khác phần mặt phẳng khơng bị chặn có diện tích hữu hạn Ơng xét hai hình vng có cạnh feet, có tổng diện tích feet vng Sau đó, chọn hình vng thứ hai thực phép chia hình vng theo cạnh nằm ngang theo cách sau: Hình Hình kéo dài vơ hạn Oresme 734 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Nguyễn Ái Quốc Chia đôi cạnh, chia đôi nửa cạnh nằm bên phải, chia đôi phần tư cạnh nằm bên phải, tiếp tục phép chia vơ hạn lần (Hình 2a) Luận chứng Oresme tiếp tục xếp lại phần hình vng mà khơng làm thay đổi tổng diện tích hai hình vng ban đầu: Đặt nửa hình vng thứ hai (phần E) lên đầu hình vng thứ phía bên phải; đặt phần tư hình vng thứ hai (phần F) lên đầu E phía bên phải; đặt phần tám hình vng thứ hai (phần G) lên đầu F phía bên phải; tiếp tục (Hình 2b) Ta nhận hình phẳng cao vơ hạn, tổng diện tích feet khơng thay đổi Lập thể dài vô hạn Torricelli Các kết Oresme xem xét không gian 2D Kết xét không gian 3D mà ngày gọi tích phân suy rộng hội tụ Evangelista Torricelli (1608-1647), nhà toán học người Ý, khám phá vào khoảng năm 1643 Kết gọi Còi Gabriel (Gabriel’s Trumpet)1 trình bày báo “De Solido Hyperbolico Acuto” (Khối Hyperbolic nhọn) Năm 1642, Torricelli tuyên bố lập thể có chiều dài vơ hạn có thể tích hữu hạn (Mancosu, 1996, p.130) Trong thuật ngữ đại, quay đoạn đồ thị hàm số 1/ xung quanh trục Ox cắt lập thể thu với mặt phẳng song song với trục Oy, người ta thu lập thể có chiều dài vơ hạn tích hữu hạn Torricelli chứng minh điều hai cách: Trước tiên sử dụng phương pháp không chia tách được2 (method of Indivisibles), sau phương pháp vét cạn3 (method of exhaustion) Tên đề cập đến truyền thống để Tổng lãnh thiên thần Gabriel thiên thần thổi còi để tuyên bố Ngày phán xét, liên kết thiêng liêng, vô hạn, với hữu hạn Trong Hình học, phương pháp khơng thể chia tách được, hay gọi ngun lí Cavalier, phương pháp tính diện tích thể tích Nguyên lí Cavalier phát biểu sau: “Nếu hai hình phẳng (hay khối lập thể) có chiều cao, thiết diện tạo đường thẳng (hay mặt phẳng) song song với đáy có khoảng cách đến đáy ln có tỉ số, hình phẳng (hay khối lập thể) có tỉ số này.” (Boyer, 1968, p.362) Phương pháp “không thể chia tách được” bắt nguồn từ thời Cổ đại Nhà khoa học Hi Lạp Democritus (khoảng 460-380 B.C.) dường coi lập thể "tổng" số lượng lớn ngun tử "khơng thể chia cắt" nhỏ; Archimedes (287-212 trước Cơng ngun) tìm thấy diện tích thể tích nhiều hình cách kết hợp ngun tắc lí thuyết đòn bẩy ơng với ý tưởng hình phẳng bao gồm vơ số đoạn thẳng song song hình hình học bao gồm vô số nhiều mặt cắt phẳng song song Tuy nhiên, thời đại họ, ý tưởng phương pháp bị phê phán nghiêm trọng Ví dụ, Archimedes cho cần phải cung cấp chứng thứ hai kết thu phương pháp “không thể chia tách được”, dựa phương pháp vét cạn Những ý tưởng phương pháp “không thể chia tách được” hồi sinh nghiên cứu toán học vào đầu kỉ XVI đến kỉ XVII J Kepler đặc biệt B Cavalieri, mà phương pháp thường liên kết với tên ông nhiều Phiên phương pháp Cavalieri sau chuyển đổi đáng kể phục vụ giai đoạn việc tạo phép tính tích phân (Katz, 2009) Trong Tốn học, phương pháp vét cạn kĩ thuật phát minh người Hi Lạp cổ để chứng minh mệnh đề liên quan đến diện tích thể tích hình hình học Mặc dù tiền thân phép tính tích phân, phương pháp vét cạn khơng sử dụng giới hạn luận chứng đại lượng vơ bé Thay vào đó, 735 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Tập 16, Số 11 (2019): 731-744 Hình Còi Gabriel Lập thể thu gọi “lập thể dài vơ hạn Torricelli” (Hình 3) Các kĩ thuật tảng cho xác định “lập thể dài vô hạn Torricelli” cung cấp phương pháp chia tách nhà toán học người Ý Evangelista Cavalieri (1598-1647) từ năm 1630 (Mancosu, 1996, p.131) Tuy nhiên, điểm khác biệt Torricelli sử dụng đường cong không chia tách lập thể có chiều dài vơ hạn Trong (Mancosu, 1996, p.131), tính chất phản trực quan, khối tròn xoay Torricelli có tác động lớn đến cộng đồng khoa học kỉ XVII Tại Anh, nhà toán học John Wallis (1616-1703) nhà triết học Thomas Hobbes (1588-1679) tham gia vào tranh cãi kéo dài xung quanh số chủ đề toán học, có khối tròn xoay Torricelli Hobbes từ chối tồn vật thể vô hạn, chẳng hạn “lập thể dài vô hạn Torricelli”, “… biết cảm nhận tạo từ ý tưởng mà cảm nhận” (Mancosu, 1996, p 145146) Ơng nhấn mạnh vật thể phải tồn vũ trụ nhận thức ánh sáng tự nhiên” Mancosu (1996) nhiều nhà triết học kỉ XVII cho Hình học cung cấp cho kiến thức chối cãi tất kiến thức liên quan đến tập hợp thật hiển nhiên biết đến “ánh sáng tự nhiên” (Mancosu, 1996, p.137-138) Hobbes nhấn mạnh rằng, nhà tốn học nói “một đường dài vơ hạn”, điều hiểu đường mở rộng nhiều người ta mong muốn Ông lập luận vật thể vơ hạn khơng có sở vật chất khơng thể cảm nhận “ánh sáng tự nhiên” Theo Hobbes, khơng thể nói “đường dài vơ hạn” một quy trình logic chặt chẽ, dựa tiên đề đại lượng cho trước tạo nhỏ đại lượng cho trước khác cách giảm nửa liên tiếp (một số lần hữu hạn) Phương pháp vét cạn tính diện tích hình cách nội tiếp bên dãy đa giác có diện tích hội tụ diện tích hình ban đầu Nếu dãy đa giác dựng xác hiệu diện tích đa giác n cạnh hình ban đầu nhỏ tùy ý n trở nên lớn Khi hiệu diện tích nhỏ tùy ý, giá trị cho diện tích hình “được vét cạn” cách có hệ thống diện tích bị chặn thiết lập liên tiếp số hạng dãy Ý tưởng phương pháp vét cạn nảy sinh vào cuối kỉ thứ V trước Công nguyên Antiphon đưa ơng khơng hiểu rõ hồn tồn Lí thuyết Eudoxus xứ Cnidus thực nghiêm ngặt vài kỉ sau ơng tính diện tích thể tích Phương pháp vét cạn lại phát minh Trung Quốc vào kỉ thứ Liu Hiu để tính diện tích hình tròn Thuật ngữ Phương pháp vét cạn Gregory vùng Saint Vincent đưa tác phẩm Opus geometricum quadraturae circuli et sectionum (Katz, 2009) 736 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Nguyễn Ái Quốc thứ cho trước Điều tương tự có giá trị lập thể có chiều dài vơ hạn với thể tích hữu hạn Trong đó, Wallis, “lập thể dài vô hạn Torricelli” vấn đề miễn coi đối tượng tốn học Ơng trả lời cho Hobbes: Một bề mặt, hay lập thể, giả sử cấu tạo dài vô hạn, lớn hữu hạn… khơng có trọng tâm Chẳng hạn khối hyperbolic nhọn Torricelli; vô số thứ khác, Tiến sĩ Wallis, Ngài Fermat, nhiều người khác khám phá Nhưng để xác định điều cần nhiều Hình học Logic mà ngài Hobbes khơng có” (Mancosu, 1996, p 146) Không đồng ý với Wallis, Hobbes trả lời: Tôi không nhớ điều Torricelli, nghĩ Tiến sĩ Wallis sai ngài Fermat Bởi vì, để hiểu điều này, người khơng cần thiết phải nhà hình học nhà logic, người phải bị điên.” (Mancosu, 1996, p.146-147) Theo Mancosu, Wallis đồng ý với quan điểm Leibniz nói “lập thể dài vơ hạn Torricelli” khơng có ngoạn mục chuỗi vô hạn ⋯ bằng Nếu phương pháp dẫn đến kết lập thể vô hạn có thể tích hữu hạn, lập thể tồn bối cảnh toán học Khác với Hobbes, Wallis (và Leibniz) tạo khác biệt đối tượng tốn học “các đối tượng khác” Có lẽ người ta nói Wallis Leibniz khái qt hóa khái niệm thể tích khơng phép đo lập thể hữu hạn, mà phép đo lập thể có chiều dài vô hạn Một vấn đề tương tự (nhưng đại hơn) số phần tử tập hợp tất số tự nhiên, xét mặt số lượng, số phần tử tập hợp tất số chẵn dương Điều thực cách tồn tương ứng – phần tử hai tập hợp 0, 1, 2, 3, … 2, 4, 6, 8, … Trong trường hợp này, khái niệm “số” khái quát hóa Nó tương đối dễ dàng để xác định xem số lượng phần tử hai tập hữu hạn có hay khơng Người ta đơn giản phải đếm phần tử hai tập tương ứng Nó tương đối dễ dàng để thiết lập tương ứng – phần tử trường hợp Tuy nhiên, để xác định xem phần tử hai tập hợp vơ hạn có điều khơng dễ dàng Trong trường hợp vậy, người ta phải sử dụng phương pháp để thiết lập tương ứng – phần tử hai tập hợp Điều quan trọng cần lưu ý “lập thể dài vô hạn Torricelli” ví dụ so sánh số lượng phần tử hai tập hợp vơ hạn trái ngược với “tình hàng ngày” nhận “các nghịch lí” Trong ví dụ sau cùng, tập hợp số chẵn dương chứa tập hợp số tự nhiên (mặc dù tập hợp có số lượng) ví dụ trước, thu lập thể tích hữu hạn có chiều dài vơ hạn 737 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Tập 16, Số 11 (2019): 731-744 Phép cầu phương Fermat hyperbol parabol bậc cao Torricelli chứng tỏ diện tích miền nằm đường cong nằm với số tự nhiên n Pierre Fermat (1601-1665) chứng minh hệ thức với số hữu tỉ khác Lời giải Fermat cho toán cầu phương vừa tận dụng vừa mở rộng nỗ lực trước Archimedes, Cavalieri, Kepler, Oresme, Wallis Những đóng góp độc đáo ơng người thực phép cầu phương hình phi tuyến tính miền vơ hạn xem hình thành khái niệm tích phân suy rộng Fermat nhận xét Archimedes sử dụng cấp số nhân cho phép cầu phương parabol, so sánh đại lượng không đồng nhất, ông tự giới hạn với cấp số cộng Fermat đặt vấn đề có phải Archimedes thấy cấp số nhân khơng phù hợp cho phép cầu phương? Có phải kĩ thuật đặc biệt mà Archimedes sử dụng để thực phép cầu phương cho parabola với cấp số nhân khó áp dụng cho đường khác? Fermat nhận cấp số nhân hiệu cho phép cầu phương cho parabol hyperbol phương pháp hoàn toàn giống ông muốn truyền đạt phát minh cho cộng đồng nhà hình học đại Fermat bắt đầu cách xem xét hyperbol tổng quát DSEF (Hình 4) giới hạn tiệm cận AR AC sau: Hình Phép cầu phương Hyperbol Sau chọn điểm G, H, O… trục Ox, Fermat dựng đường thẳng theo thứ tự EG, IH, NO… song song với tiệm cận AC, tất thực theo hai tiêu chí: + Các đoạn thẳng AG, AH, AO tạo thành cấp số nhân tăng vô hạn cho ⋯ + Các đoạn thẳng AG, AH, AO “đủ gần với nhau” cho hình chữ nhật bị giới hạn xấp xỉ với hình thang, tức hình chữ nhật đường chéo EH xấp xỉ hình thang EGHI Đường cong hyperbol xác định hệ thức tỉ lệ đại phương trình , mà kí hiệu Trong phần tiếp theo, Fermat xem xét tỉ lệ cụ thể , biểu thị Mục đích Fermat xác định diện tích miền vơ hạn DEGR 738 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Nguyễn Ái Quốc Ông xét cấp số nhân giảm có số hạng AG, AH, AO… giả sử số hạng đủ gần cho đánh đồng (ad-equate) chúng theo phương pháp Archimedes, hay đánh đồng cách xấp xỉ hình bình hành GEGH với tứ giác cong GHIE Ông giả sử thêm khoảng GH, HO, OM… số hạng cấp số để dễ dàng sử dụng phương pháp vét cạn Archimedes làm nhỏ đến mức khơng thể phương pháp hình chữ nhật ngoại tiếp nội tiếp4 Ông thiết lập số tỉ lệ: ⋯, chứng tỏ rằng: , tập trung vào tỉ số diện tích hai hình chữ nhật Bằng cách xác định mối quan hệ tỉ lệ cho đoạn thẳng AG, AH AO từ suy ra: , Sau đó, Fermat lưu ý ơng chứng minh tương tự , từ suy rằng: “nhiều vơ hạn hình chữ nhật EGGH, HIHO, NOOM tạo thành cấp số nhân, mà tỉ số chúng AH/AG Ở giai đoạn chứng minh, Fermat tạo hai “bước nhảy” lớn: Thứ nhất, ông sử dụng tính chất tiếng cấp số nhân, Mệnh đề 35 Euclid (Quyển IX) tác phẩm “Cơ sở”, cụ thể định lí sau: Cho cấp số nhân có số hạng giảm vơ hạn, tỉ số hiệu hai số hạng liên tiếp cấp số với số nhỏ hai số tỉ số số lớn tất số hạng cấp số với tổng tất số khác đến vơ Ví dụ: Tổng tất số hạng cấp số nhân 3, 1, , , , … ngoại trừ Tỉ số với tỉ số với Tương tự, hai số hạng liên tiếp , hiệu chúng , có tỉ số với số nhỏ tỉ số với Thứ hai, ông sử dụng phương pháp “đánh đồng” Archimedes Diophantus phát triển, theo người ta “đánh đồng” số xấp xỉ qua tiến trình giới hạn Theo mệnh đề Euclid, Fermat lập luận tỉ số GH (tức hiệu hai số hạng AG AH) với số hạng nhỏ AG tỉ số GE × GH (hình chữ nhật đầu tiên) so với tổng tất hình chữ nhật khác “với số lượng vô hạn” Sử dụng đánh đồng nhận xét chiều rộng hình chữ nhật nhỏ, Fermat kết luận “ tổng hình vơ hạn bị giới hạn HI, tiệm cận HR, đường cong mở rộng vô hạn IND Để tính diện tích miền đường cong, ta làm xấp xỉ cách sử dụng hình chữ nhật nội tiếp đường cong ngoại tiếp đường cong Tổng diện tích hình chữ nhật nội tiếp tổng dưới, tổng hình chữ nhật ngoại tiếp tổng Bằng cách lấy nhiều hình chữ nhật hơn, ta có xấp xỉ tốt Trong giới hạn, số hình chữ nhật tăng đến tổng tổng hội tụ giá trị mà diện tích miền nằm đường cong (Katz, 2009) 739 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Đó Tập 16, Số 11 (2019): 731-744 Sau đó, Fernmat sử dụng tỉ lệ để chứng minh diện tích hình chữ nhật (AGEG) diện tích miền DIHR Fermat kết thúc chứng minh ơng với dòng chữ sau: Do hình chữ nhật GEGH với hình nêu trên; thêm hình chữ nhật EGGH vào hai bên, cách tuân theo phép chia liên tục vơ thời hạn, biến giảm đến khơng, đến thật mà dễ dàng khẳng định chứng minh dài hơn, thực theo phong cách Archimedes: loại hyperbol này, hình bình hành AE tương đương với hình giới hạn đáy GE, tiệm cận GR đường cong ED kéo dài vô tận Đường Cissoid5 René Francois de Sluse Christiaan Huygens Sluse Huygens bắt đầu nghiên cứu đường cissoid giảng từ năm 1658 Sluse (1622-1685), người Bỉ, nhà toán học giáo sĩ Liège Christiaan Huygens (1629-1695), người Hà Lan, nhà tốn học, thiên văn học vật lí học Nền tảng nghiên cứu đường cissoid gồm hai phần Trong phần thứ nhất, phù hợp chương trình rộng lớn có mục tiêu rút phép cầu phương đường tròn từ phép cầu phương đường cong liên quan đến đường tròn, đường cissoid đường cong Trong phần thứ hai, Sluse Huygens đồng nghiệp, bối rối trước khám phá “Tích phân suy rộng” Torricelli Sluse Huygens cố gắng tìm kiếm kết tương tự cho đường cong khác có chiều dài vô hạn, đường cissoid ứng cử viên Trong thư gửi cho Huygens ngày 14 tháng năm 1568 (Huygens, 1889, p.150-152), Sluse trình bày việc tính thể tích lập thể vơ hạn sinh quay cissoid xung quanh tiệm cận cách chứng minh thể tích hữu hạn Chứng minh ơng sử dụng vỏ hình trụ khơng thể chia tách (Hình 5) dựa tính chất thứ hai cissoid: EQ: AQ = AQ: XQ = XQ: BQ Bằng cách nhân chéo phần tử bên ngoài, thu được: EQBQ = AQXQ 2BQEQ = 2AQXQ hay diện tích bề mặt hình trụ bên trái = diện tích bề mặt hình trụ bên phải Hơn nữa, vỏ hình trụ có khoảng cách đến tiệm cận Vì thể tích lập thể tròn xoay cissoid quanh tiệm cận thể tích lập thể tròn xoay xoay nửa đường tròn xung quanh tiếp tuyến với điểm A Thể tích lập thể tròn xoay trơng giống táo, Kepler tính tốn tác phẩm New solid geometry of wine barrels (Hình học lập thể thùng rượu) Trong hình học, đường cissoid Diocles đường cong phẳng đáng lưu ý tính chất sử dụng để dựng hai tỉ lệ trung bình cho tỉ lệ cho trước Đặc biệt, sử dụng để gấp đôi khối lập phương (một ba tốn lớn Hi Lạp cổ đại) Nó định nghĩa đường cissoid đường tròn đường thẳng tiếp tuyến với so với điểm đường tròn đối tâm với tiếp điểm Từ “cissoid” xuất phát từ tiếng Hi Lạp “κισσοειδής kissoeidēs” (hình Thường xuân) từ κισσός kissos (cây thường xuân) -οειδής -oeidēs (có giống của) Đường cong đặt tên theo Diocles, người nghiên cứu kỉ thứ hai trước Cơng ngun (Katz, 2009) 740 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Nguyễn Ái Quốc Hình Đường cissoid Sluse Huygens (Jahnke, 2016) 3.2 Các quan niệm hình thành tích phân suy rộng Kết phân tích lịch sử hình thành Tích phân suy rộng cho thấy q trình hình thành tri thức chịu ảnh hưởng quan niệm sau: - Quan niệm hình học: Tích phân suy rộng gắn liền với việc xem xét diện tích miền 2D khơng giới hạn hay thể tích lập thể dài vô hạn với phương pháp hình học: phương pháp vét cạn, phương pháp khơng thể chia tách được, phương pháp cầu phương, phương pháp đánh đồng - Quan niệm đại số: Tích phân suy rộng gắn liền với việc sử dụng cấp số nhân phép cầu phương Fermat - Quan niệm xấp xỉ: thể phương pháp đánh đồng Archimedes Diophantus 3.3 Các đặc trưng tri thức luận khái niệm tích phân suy rộng Từ việc phân tı́ch quá trı̀nh lich ̣ sử hı̀nh thành khái niệm tích phân suy rộng dựa trên ̂ các tài liẹu tham khảo: Babb (2005), Mancosu (1996); Paradı́s, Pla, & Viader (2004); Katz (2009), Jahnke (2016), rút các đặc trưng tri thức luận của khái niệm tích phân suy rộng như sau: - Đặc trưng hữu hạn, vô hạn: Một hình phẳng khơng bị giới hạn có diện tích hữu hạn, vật thể hình học có chiều dài vơ hạn tích hữu hạn - Đặc trưng giới hạn: Rút từ định nghĩa Tích phân suy rộng kết giới hạn vô cực “tích phân xác định” cận tiến đến vơ cùng, hay giới hạn bên “tích phân xác định” điểm mà hàm số dấu tích phân khơng xác định - Đặc trưng khơng bị giới hạn: Tích phân suy rộng gắn liền với hình khơng bị giới hạn - Đặc trưng diện tích thể tích: Khái niệm tích phân suy rộng khởi nguồn từ việc xem xét diện tích hình phẳng thể tích lập thể tròn xoay - Đặc trưng chuỗi vô hạn: Lập thể dài vô hạn Torricelli gắn liền với hội tụ chuỗi vô hạn theo quan điểm Wallis Leibniz - Đặc trưng tiền tốn học: Khái niệm tích phân suy rộng nghiên cứu khơng có tên nghiên cứu Oreme, Torricelli Fermat 741 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Tập 16, Số 11 (2019): 731-744 - Đặc trưng đa tiếp cận: Tiếp cận qua việc tính diện tích miền đường tuyến tính, đường phi tuyến tính; qua tính thể tích lập thể tròn xoay sinh quay đường hyperbol, cissoid xung quanh tiệm cận chúng 3.4 Chướng ngại tri thức luận nhận dạng Những tranh cãi lịch sử số đối tượng hình học khơng bị giới hạn cho thấy người học khó hiểu đối tượng Vì thế, sinh viên học Giải tích gặp khó khăn để tưởng tượng chấp nhận đối tượng hình học Từ kế t quả phân tı́ch lich ̣ sử hı̀nh thành tích phân suy rộng, chúng tôi xác đinh ̣ đươ ̣c ̂ chướng nga ̣i tri thức luạn của tích phân suy rộng là: - Chướng ngại phản trực quan: Một hình phẳng lập thể khơng bị giới hạn có diện tích thể tích hữu hạn - Chướng ngại tính hữu hạn tích phân xác định: Tích phân suy rộng khái qt hóa tích phân xác định miền khơng giới hạn 3.5 Giả thuyết nghiên cứu Với hai khó khăn xác định sinh viên thực nghiệm khảo sát ban đầu: - Quan niệm tích phân suy rộng tích phân xác định phải có cận vơ cực; - Bị ảnh hưởng cận hữu hạn miền lấy tích phân tích phân xác định việc tính tích phân suy rộng; - Quan niệm miền khơng giới hạn khơng thể có diện tích hữu hạn, từ kết phân tích tri thức luận Mục 3.2 3.3, xây dựng giả thuyết H sau khó khăn sinh viên lần đầu tiếp cận Tích phân suy rộng: H Thuộc tính hữu hạn đối tượng hình học quen thuộc chướng ngại sinh viên khoa Toán tiếp cận khái niệm Tích phân suy rộng Kết luận Kết phân tích tri thức luận lịch sử Tích phân suy rộng cho thấy nghĩa tri thức hình phẳng khơng giới hạn có diện tích hữu hạn hay lập thể dài vơ hạn tích hữu hạn Sự hình thành tri thức chịu ảnh hưởng mạnh mẽ quan niệm Hình học vào kỉ XVII với phương pháp vét cạn, phương pháp đánh đồng, phương pháp chia tách được, phương pháp cầu phương Cũng vào kỉ này, có hai bước nhảy lớn cho hình thành khái niệm tích phân suy rộng, sử dụng công cụ cấp số nhân đại số phương pháp đánh đồng Fermat việc cầu phương đường hyperbol Mặt khác, tri thức có mối liên hệ chặt chẽ với diện tích hình phẳng, hay thể tích lập thể, chuỗi vơ hạn Tính tồn Tích phân suy rộng gắn liền việc xem xét tính hội tụ hàm số vơ cực Để kiểm chứng giả thuyết nghiên cứu nêu mục 3.5 ba khó khăn sinh viên tiếp cận Tích phân suy rộng, nghiên cứu tiến hành thực nghiệm hai Trường: Đại học Khoa học Tự nhiên Đại học Sài Gòn, kết nghiên cứu trình bày viết khác 742 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Nguyễn Ái Quốc Tuyên bố quyền lợi: Các tác giả xác nhận hoàn tồn khơng có xung đột quyền lợi TÀI LIỆU THAM KHẢO BABB, J (2005) Mathematical Concepts and Proofs from Nicole Oresme: Using the History of Calculus to Teach Mathematics Science & Education, (14), 443-456 Boyer, C B (1968) A History of Mathematics, NewYork Brousseau, G (1983) Les obstacles épistémologiques et les problèmes en mathématiques Recherches en Didactique des Mathématiques, 4(2), 141-163 Jahnke, H N (2016) A History of Analysis History Of Mathematics, 24, American Mathematical Society and London Mathematical Society, 60-61 Katz, V J (2009) A History of Mathematics – An Introduction 3rd Edition, Pearson Education, Inc Le, V T (2003) A new perspective on the process of teaching the concept of mathematics [Cách nhı̀n mới về tiế n trı̀nh da ̣y ho ̣c khái niệm toán ho ̣c] Journal of Education, 64, Hanoi Mancosu, P (1996) Philosophy of Mathematics & Mathematical Practice in the Seventeenth Century New York and Oxford: Oxford University Press Nguyen Dinh Phu, Nguyen Cong Tam, Dinh Ngoc Thanh, & Dặng Duc Trong (2012) Syllabus of Analysis of functions of a single variable [Giao trinh Giai tich Ham mot bien] Viet Nam National University Ho Chi Minh City Press Paradı́s, J., Pla, J., &Viader, P (2004) Fermat and the Quadrature of the Folium of Descartes The American Mathematical Monthly, 111(3), 216-229 Pham Hoang Quan, Dinh Ngoc Thanh, & Dang Duc Trong (2011) Analysis of functions of a single variable, Part – Integral – Number Series – function sequences – function series [Giai tich ham mot bien Phan – Tich phan – Chuoi so – Day ham – Chuoi ham] Viet Nam National University Ho Chi Minh City Press Stewart, J (2016) Calculus Eighth Ed Boston: Cengage Learning, 568-571 Tran Luong Cong Khanh (2006) La notion d’intégrale dans l’enseignement des mathématiques au lycée: une étude comparative entre la France et le Vietnam Thèse, Université Joseph Fourier, Grenoble, France Tuyên bố quyền lợi: Các tác giả xác nhận hồn tồn khơng có xung đột quyền lợi Lời cảm ơn: Nghiên cứu tài trợ Trường Đại học Sài Gòn đề tài mã số CS2019-27 743 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Tập 16, Số 11 (2019): 731-744 AN EPISTEMOLOGICAL ANALYSIS OF THE CONCEPT OF IMPROPER INTEGRAL Nguyen Ai Quoc Saigon University Corresponding author: Nguyen Ai Quoc – Email: nguyenaq2014@gmail.com Received: May 25, 2019; Revised: June 04, 2019; Accepted: September 27, 2019 ABSTRACT An improper integral is the generalization of a definite integral on an unlimited domain or the integrand that approaches infinity at one or more points in the range of integration Improper integrals cannot be computed using a normal Riemann integral This paper presents an epistemological analysis of the history of developing and forming the concept of improper integral, which helps determine the epistemological characteristics of an improper integral and some challenges students may face when learning the improper integral Keywords: epistemological analysis; epistemological characteristics; improper integral; limit; challenges for students 744 ... niệm hình thành tích phân suy rộng Kết phân tích lịch sử hình thành Tích phân suy rộng cho thấy q trình hình thành tri thức chịu ảnh hưởng quan niệm sau: - Quan niệm hình học: Tích phân suy rộng. .. cận Tích phân suy rộng: H Thuộc tính hữu hạn đối tượng hình học quen thuộc chướng ngại sinh viên khoa Toán tiếp cận khái niệm Tích phân suy rộng Kết luận Kết phân tích tri thức luận lịch sử Tích. .. ứng tồn phân kì Tích phân suy rộng giới hạn khơng tồn (c) Nếu khơng liên tục c, a < c < b, hai hội tụ, ta định nghĩa ” (p 571) Phân tích tri thức luận lịch sử khái niệm tích phân suy rộng 3.1