Môt số tích chập suy rộng với hàm trọng hermite của các biến đổi tích phân dạng fourier và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NÔI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Tự NHIÊN NGUYỄN THỊ THU HUYÊN MỘT SỐ TÍCH CHẬP SUY RÔNG VỚI HÀM TRỌNG HERMITE CỦA CÁC BIÊN ĐổI TÍCH PHÂN DẠNG FOURIER VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ng ành: Tốn giải tích Mã số: 62 46 01 01 TĨM TẮT LUẬN ÁN TIÊN SĨ TỐN HỌC Hà Nơi - 2012 Cơng trình hồn thành tại: Trưịng Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội Ngưòi hưởng dẫn khoa học: PGS TS Nguyễn Minh Tuấn Phản biện 1: GS.TSKH Lê Hùng Sìn Trường Đại học Bách khoa Hà Nội Phản biện 2: PGS.TS Hà Tiến Ngoạn Viện Toán học, Viện KH&CN Việt Nam Phản biện 3: TS Cung Thế Anh Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Luận án bảo vệ trưdc Hội đồng cấp nhà nưdc chấm luận án tiến sĩ họp Trưdng Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội vào hồi giò ngày tháng năm Có thể tìm hiểu luận án thư viện: - Thư việnThông Quốc gia Trung tâm tinViệt thưNam viện, Đại học Quốc gia Hà Nội MỤC LỤC TÀI LIÊU THAM KHẢO 143 CÁC KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN • d số nguyên dương cho trước • x,y R : x = (xi,X2, ,xd), y = (y1,y2, ìyd')ì -x = (-X1, -X2, , -Xd), x + y = (xi + yi, X2 + y2, , Xd + yd) d • L (R ) := {f : R độ đo Lebesgue d d Rd f \f (x)\ dx < +1}, tích phân lấy theo • L (R ) := {f : R ! C : độ đo Lebesgue f \f(x)\dx < +1}, tích phân lấy theo ! C : d d Rd • V& f(x) L (R ), ||f II = -!■$ f d \f(x)\dx d R i2 • ~!2 = f(-x) f(x) : • xy := {x,y} = x y + x y + ••• + x y tích vơ hướng x,y R , 1 2 d d d \x\ := {x,x} = x2 + x2 + • • • + xd • cas xy := cos xy + sin xy • a = (a , , a ) N đa số, \a\ := a + • • • + a d d d • S = {f C1(R ) : sup sup(1 + \x\ ) \(D f)(x)\ < 1, N = d N a \a\ 0, phép biến đổi Fourier-sine (F ), biến đổi Fourier-cosine (F ) hàm f xác định (0, +1) cho công thức sau (xem [8] ) s c (Fsf )(x) = ựl Z f (y) sin(xy)dy, +1 (Fcf )(x) = yĩ Z f (y) cos(xy)dy, x> Ý tưởng xây dựng tích chập sau Y Ya Vilenkin phát triển vào năm 1958, lần xây dựng tích chập với hàm trọng biến đổi tích phân Mehler Fox (xem [55]) Gần 10 năm sau, năm 1967 V A Kakichev đề xuất phương pháp kiến thiết để xác định tích chập cho biến đổi tích phân K với hàm trọng ố(x) dựa đẳng thức nhân tử hóa K (f * g)(x) = £(x)(Kf)(x).(Kg)(x) Năm 1998, V A Kakichev N X Thảo đưa kỹ thuật xây dựng tích chập suy rộng ba biến đổi tích phân K ,K ,K (theo thứ tự đó), địi hỏi K phải phép biến đổi với nhân k (x, y) có phép biến đổi ngược Kỵ1 với nhân kf (u,v) xác định (xem [28]) Nói chung, tích chập biến đổi đối tượng để nghiên cứu Ví dụ, biến đổi Hilbert tích chập hàm f (t) với hàm g(t) = 1/(^í), biến đổi Weierstrass xác tích chập hàm f (t) với hàm dạng Gauss e~ (xem [38]) Ta biết tích hai hàm số thuộc L (R ) chưa thuộc L (R ) Ví dụ sau minh chứng cho kết luận Ví dụ: Cho hàm số 1 1 /2 1 d d x = 0, |x| < x = , x2 |x| > Dễ dàng kiểm tra f L (R), f2 L (R) Như vậy, phép nhân hai hàm khơng đóng kín L (R ) Bên cạnh đó, phương trình tích phân dạng chập thuộc lĩnh vực quan tâm lý thuyết phương trình tích phân tốn học Đặc biệt phương trình tích phân với nhân hàm dạng Gauss thu hút quan tâm nhiều tác giả như: [10] F Garcia-Vicente, J M Delgado, and C Rodriguez (2000), "Exact analytical solution of the convolution integral equation for a general profile fitting function and Gauss detector kernel", Phys Med Bio, (45), 645-650 [17] G Arfken (1985), Mathematical Methods for Physicists, Academic Press [34] P.model dose S Cho, forH radio G Kuterdem, surgery plan andoptimization", R J Marks II (1998), Phys Med "A spherical Bio, (43), 3145-3148 [48] T Kailath, B L, L Ljung, M Morf (1978), "Fast time-invariant implementations of Gauss signal detectors", IEEE Trans Information Theory, 24 (4), 469-477 Các phương trình tích phân với nhân hàm dạng Gauss có nhiều ứng 1 d dụng vật lý như: ứng dụng truyền sóng xạ, lý thuyết lọc tuyến tính, thủy lực học, số lĩnh vực y học, sinh học Từ kết cơng trình liên quan đến tích chập, tích chập suy rộng mà ta nhắc đến cho thấy biến đổi tích phân Fourier, Fouriersine, Fourier-cosine Hartley có ứng dụng hầu hết lĩnh vực khoa học kỹ thuật Các biến đổi Fourier, Fourier ngược, Fourier-cosine, Fourier-sine Hartley không gian L1(R ) định nghĩa sau (xem [8, 26, 35, 52]) d f(x) = (Ff)(x) := -Ị-J í f(y)e-^dy, (2^) jRd (F-If)(x) := -Ị-J í ỉ^dy (2^) ĩjRd (Tf)(x) •■ /Rdcos(xy)f (y)dy; (T f)(x) : s (H f)(x) : i = -^1ị Ị^sin(xy)f (y)dy; = ^cas(xy)f(y)dy Dễ dàng kiểm tra (Ff)(x) = (F-'f)(x) (Ff)(x) = (F- ỉ)(x) I Ngoài ra, ta thấy biến đổi Fourier, Hartley tổng đại số hai biến đổi độc lập Fourier-sine Fourier-cosine Mối liên hệ biến đổi thể qua cơng thức Euler sau Tc Ts F + F-1 ’ iF — iF -I ’ (1 + i)F + (1 - i)F-1 Hi Vì lý nên ta gọi chung biến đổi Fourier, Fourier ngược, Fourier-cosine, Fourier-sine Hartley biến đổi tích phân dạng Fourier Xung quanh biến đổi này, nhóm nghiên cứu V A Kakichev, V K Tuấn, N X Thảo, N M Khoa xây dựng số tích chập, tích chập suy rộng nghiên cứu ứng dụng chúng biến đổi Fourier-sine, Fourier-cosine không gian L (R+) số khơng gian hàm có trọng khác (xem [42, 44, 50]) R N Bracewell đưa tích chập biến đổi Hartley không gian L (R) (xem [35, 36]) Các kết luận án B T Giang xây dựng tích chập, tích chập suy rộng nghiên cứu ứng dụng chúng cho biến đổi Fourier, Fourier-sine, Fourier-cosine, Hartley không gian L (R ) với hàm trọng hàm lượng giác (xem [12, 13, 14, 15]) Từ lý thuyết tích chập biến đổi tích phân đời, ngồi cơng trình ta liệt kê trên, lượng lớn báo, sách trình bày tích chập, tích chập suy rộng, đa chập ứng dụng chúng xuất nhiều tác R N Bracewell, L E Britvina, R V Churchill, H J Glaeske, S Saitoh, S B Yakubovich, V K Tuấn, N X Thảo, N M Tuấn, B T Giang, (xem [6, 7, 18, 20, 25, 27, 29, 35, 36, 39, 40, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 49, 50, 51, 54, 56]) Qua cơng trình ta thấy bật lên nhóm nghiên cứu: 1 d L E Britvina, Jorge J Betancor cộng với số cơng trình liên quan đến biến đổi Hankel, Fourier-cosine (xem [29, 31]) S B Yakubovich, Y Luchko với cơng trình liên quan đến biến đổi Kontorovich Lebedev (xem [40, 41]) V A Kakichev, V K Tuấn, N X Thảo, N M Khoa, Trịnh Tuân, N Thanh Hồng với cơng trình tích chập suy rộng liên quan đến biến đổi Fourier, Fourier-cosine, Fourier-sine, Hankel, Kontorovich Lebedev, Stieltjes biến đổi I nửa không gian (xem [21, 27, 32, 42, 43, 44, 45, 49, 50, 51, 56]) Quan tâm đến biến đổi Việt Nam cịn có Phan Tăng Đa (xem [6]) S Saitoh cộng với số cơng trình liên quan đến biến đổi Weierstrass, Laplace (xem [38, 39, 47, 54]) 10 hay 'n — (XI + K1) 1p n Như vậy, (XI + Ki)'n — (3.32) Ta phải chứng minh 'n — Thật vậy, sử dụng tính liên tục F X từ (3.32) suy F(XI + K1)'n —— Hay là, XF'n + (FKi)'n — Theo đẳng thức nhân tử hóa chập, ta có [X + ^a(Fk1) + (h (Fk2)]F'n — Tương đương, ||[X + ‘Ềa(Fki') + $li (Fk )]F'„\\L — t (3.33) Do giả thiết |X| > R , nên hàm số A1 (x) — X + $ (x)(Fk1)(x) + (x)(Fk2)(x) — a điểm x R Mặt khác, sử dụng bổ đề Riemann-Lebesgue tính giảm nhanh hàm Hermite $ , lí ta suy d a X + Mx)(Fk1)(x) + ^ (x)(Fk2)(x) — |X| lim |A (x)| — lim nn Vì A (x) liên tục R X — nên tồn " > cho d |A1(x)| — |X + $ (x)(Fk1)(x) + ;(x)(Fk2)(x)| > " a — [X + ^a(Fk1) + $£(Fk2)] F'n L1 [ |A1(x)||F'n(x)|dx JRd với x R Do vậy, d > / "|F'n(x)|dx — ".||F'n|| hd Kết hợp điều với (3.33), ta suy F 'n ! Từ tính liên tục F-1 X, ta dẫn đến 'n ! 0Định lý chứng minh □ Tương tự, ta có định lý sau Định lý 3.10 Nếu |X| > R tốn tứ (XI + K ) liên tục X 2 Nhận xét Từ Định lý 3.9, Định lý 3.10 nhận xét phía trên, ta suy |X| > R (|X| > R ) tốn tử XI + K (XI + x2) khả nghịch liên tục X Định lý sau cho đánh giá bán kính phổ hai toán tử K K 1 Định lý 3.11 Bán kính phổ tốn tứ tích phân K K thỏa mãn bất đẳng thức sau: r(K1) < R1 r(K2) < R2 Dự đốn Mặc dù chưa tính xác bán kính phổ tốn tử K K , luận án mạnh dạn đưa dự đốn bán kính phổ chúng R , R tương ứng Cụ thể, 2 r(K1) = R1 r(K2) = R2 Sau vài ví dụ Ví dụ 3.6 Với d =1, xét hàm nhân k (x) = T (x), k (x) = $o(x), a = 1,jổ = 1 Theo Định lý 1.2, (F$ )(x) = (-i) “ Mx) (F^)(x) = (-i) 0(x) j j a j Suy A1(x) = A — i$2(x) + TQ(X) Khi đó, ta tìm R1 = max I — z^2(x) + T2(x)| xeR = max p 16x + e~ 1x1 = 2A/2 + V3e~■'' v xeR Theo Định lý 3.11, ta suy r(Ki) < 2^2 + \ 3e~2+P Ví dụ 3.7 Xét k1(x) = k (x) = 7(x) Ta có A2(x) = A + 2e- x 12 Ta thấy R = max2e“ = |x |2 xeRd Theo Định lý 3.11, ta suy r(K ) < 2 Nhận xét Bài tốn đánh giá bán kính phổ tốn tử tích phân K1, K (xác định X) đưa đến tốn tìm mơđun phức lớn hàm số liên tục, bị chặn triệt tiêu vơ 2 Phương trình (3.16) ln có nghiệm khơng gian X với A C thỏa mãn IA| > xeRd max |T (x)(Fki)(x) a + T ; (x)(Fk2)(x)I, phương trình (3.22) ln có nghiệm khơng gian X với A C thỏa mãn |A| > maxf|7(x)(FK)(x)|} xeRd Những kết luận phù hợp hoàn toàn với kết biết lý thuyết tổng quan phương trình tích phân Fredholm, mà tốn tử tích phân, nói chung, compact bán kính phổ hữu hạn Mặt khác, từ bất đẳng thức chuẩn Định lý 2.1 suy K , K2 hai toán tử giới nội L (R ) Vì thế, chúng tơi mạnh dạn đưa dự đoán Dự đoán K , K2 toán tử compact không gian Banach 1 d L (R ) d Kết luận chương Chương sử dụng tích chập nhận Chương vào việc xây dựng L (R ) thành vành định chuẩn giải lớp phương trình tích phân với nhân hàm Hermite (trong trường hợp đặc biệt nhân hàm dạng Gauss) Đối với phương trình xét, luận án điều kiện cần đủ cho tính giải nghiệm tường minh chúng Điểm khác biệt luận án chương so với luận án theo hướng nghiên cứu là: từ việc giải phương trình tích phân luận án tốn đánh giá bán kính phổ số tốn tử tích phân dẫn đến tốn tìm mơ đun lớn hàm số liên tục, bị chặn giảm nhanh vơ khơng gian R Ngồi ra, luận án không gian số phương trình tích phân xét ln có nghiệm Nội dung Chương luận án viết dựa báo [1], [2], [3] (Danh mục cơng trình khoa học tác giả liên quan đến luận án) d d KẾT LUẬN Luận án xây dựng tích chập suy rộng với hàm trọng hàm Hermite, tích chập suy rộng hai biến đổi Fourier, Fourier ngược; tích chập suy rộng liên kết biến đổi Fourier Hartley; tích chập suy rộng biến đổi Fourier-sine, Fourier-cosine Sử dụng tích chập suy rộng đó, luận án xây dựng L1 (R ) thành vành định chuẩn; giải số phương trình tích phân dạng chập; đưa cách đánh giá bán kính phổ số tốn tử tích phân Những kết luận án d Xây dựng số tích chập suy rộng hai phép biến đổi Fourier, Fourier ngược ứng dụng giải phương trình tích phân dạng chập với nhân hàm Hermite Xây dựng số tích chập suy rộng liên kết phép biến đổi Fourier, Hartley với hàm trọng hàm Hermite ững dụng giải phương trình tích phân dạng chập với nhân hàm dạng Gauss Xây dựng số tích chập suy rộng hai phép biến đổi Fourier-sine, Fourier-cosine ứng dụng giải phương trình tích phân dạng chập với nhân hàm Hermite Sử dụng tích chập suy rộng thiết lập vào xây dựng L1(R ) thành vành định chuẩn d Đối với phương trình tích phân xét, luận án điều kiện cần đủ cho tính giải nghiệm tường minh Từ đưa cách đánh giá bán kính phổ số tốn tử tích phân khơng gian số phương trình tích phân xét ln có nghiệm DANH MỤC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐEN LUẬN ÁN [1 ] N M Tuan and N T T Huyen (2010), “The solvability and explicit Solutions of two integral equations via generalized convolutions”, J Math Anal Appl, 369, pp 712-718 [2] N M Tuan and N T T Huyen (2010), “The Hermite Functions Related to Infinite Series of Generalized Convolutions and Applications”, Complex Anal Oper Theory, 6, pp 219-236 [3 ] N M Tuan and N T T Huyen (2011), “Applications of generalized convolutions associated with the Fourier and Hartley transforms”, Journal of Integral Equations and Applications, 23 (2), (accepted, available on the web source of the Journal, http://projecteuclid.org/euclid.jiea/1300803213) TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] A Bottcher, B Silbermann (2006), Analysis of Toeplitz operators, Springer Monographs in Mathematics, Springer-Verlag, Berlin [2] A D Polyanin, A V Manzhirov (1998), Handbook of Integral Equations, CRC Press, Boca Raton [3] A D Poularikas (Ed.) (2000), The Electrical Engineering Handbook Series, CRC Press with IEEE Press, Florida, second ed [4] C Thierry, G Stolzenberg (1991), "The Wiener lemma and certain of its generalizations", Bull Am Math Soc New Ser, (24), N 1, 1-9 [5] D Przeworska-Rolewicz and S Rolewicz (1968), Equations in Linear Spaces, PWN-Polish Scientific Publishers, Warsawa [6] Phan Tang Da (1972), "On a class integral equations of convolution type", Differen Urav, (86), 1058-1067 (in Russian) [7] E M Stein and R Shakarchi (2007), Princeton Lectures in Analysis: Fourier Analysis, an introduction, Princeton University Press, Princeton and Oxford [8] E C Titchmarsh (1986), Introduction to the theory of Fourier integrals, Chelsea, New York [9] F Garcia-Vicente, J M Delgado, and C Peraza (1998), "Experimental determination of the convolution kernel for the study of the spatial response of a detector", Med Phys, (25), 202-207 [10] F Garcia-Vicente, J M Delgado, and C Rodriguez (2000), "Exact analytical solution of the convolution integral equation for a general profile fitting function and Gauss detector kernel", Phys Med Bio, (45), 645-650 [11] F D Gakhov and Yu I Cherski (1978), Equations of convolution type, Nauka, Moscow, (in Russian) [12] B T Giang, N M Tuan (2008), "Generalized convolutions for the Fourier integral transforms and applications", Journal of Siberian Federal Univ, (4), 371-379 [13] B T Giang and N M Tuan (2009), "Generalized convolutions and the integral equations of the convolution type", Complex Var Elliptic Equ, Voi 55, N.4, 331-345 [14] B T Giang, N V Mau, and N M Tuan (2009), "Operational properties of two integral transforms of Fourier type and their convolutions", Integral Equation Operator Theory, (65), 363-386 [15] B T Giang and N M Tuan (2009), "Generalized onvolutions for the integral transforms of Fourier type and applications" Fract Calc Appl Anal, (12), 253-268 [16] B T Giang, N V Mau, and N M Tuan (2010), "Convolutions for the Fourier transforms with geometric variables and applications", Math Nachr, Vol 283, No.12, 1758-1770 [17] G Arfken (1985), Mathematical Methods for Physicists, Academic Press [18] H J Glaeske and V.K Tuan (1991), "Mapping properties and composition structure of multidimensional integral transform", Math Nachr, (152), 179-190 [19] Y H Hochstadt (1973), Integral equations, John Wiley & Sons, N [20] H Bateman and A Erdelyi (1954), Tables ofintegral transforms, New York - Toronto - London MC Gray-Hill, V.1 [21] H M Srivastava and Vu Kim Tuan (1995), "A new convolution theorem for the Stieltjes transform and its application to a class of singular equations", Arch Math, (64), 144-149 [22] I Feldman, I Gohberg, and N Krupnik (2000), "Convolution equations on finite intervals and factorization of matrix functions", Integral Equation Operator Theory, (36), 201-211 [23] I S Gohberg and I A Feldman (1971), Convolution equations and projection methods for their Solutions, Nauka, Moscow, (in Russian) [24] I N Sneddon (1951), Fourier transform, MC Graw-Hill, New York [25] J W Brown and R V Churchill (2006), Fourier Series and Boundary Value Problems, McGraw-Hill, N Y [26] K J Olejniczak (2000), The Hartley transform, In A D Poularikas, editor, The Transforms and Applications Handbook, The Electrical Engineering Handbook Series, part 4, pages 341-401, CRC Press with IEEE Press, Florida, second edition [27] Kakichev V A (1990), “On the matrix convolutions for power series”, Izv Vyssh Uchebn Zaved, Ser Mat, (2), 53-62, (in Russian) [28] Kakichev V.A and Nguyen Xuan Thao(1998), "On the design method of generalized convolution for the integral transforms", Izv Vuzov Mat - N.1.- pp 31-40, (in Russian) [29] L E Britvina (2005), "A class of integral transforms related to the Fourier-cosine convolution", Integral Transforms Spec Funct, (16), 379-389 [30] M A Naimark (1959), Normed Rings, P Noordhoff Ltd, Groningen, Netherlands [31] Mohamed Belhadj and Jorge J.Betancor (2002), "Beurling Distributions and Hankel transform", Math Nachr, (233), 19-45 [32] N D V Nha, D T Duc, and V K Tuan (2008), "Weighted l p norm inequalities for various convolution type transformations and their applications", Armen J Math, (1), 1-18 [33] N I Akhiezer (1965), Lectures on the theory of approximations, Pub Nauka, Moscow, (in Russian) [34] P S Cho, H G Kuterdem, and R J Marks II (1998), "A spherical dose model for radio surgery plan optimization", Phys Med Bio, (43), 3145-3148 [35] R N Bracewell (1986), The Hartley transform, Oxford University Press, Oxford [36] R N Bracewell (1994), "Aspects of the Hartley transíorm", Proc IEEE, (82), 381-387 [37] R V Churchill (1941), Eourier series and boundary value problems, New York [38] S Saitoh (1983), "The Weierstrass transíorm and an isometry in the heat equation", Appl Anal, (16), 1-6 [39] S Saitoh (1995), "One approach to some general integral transíorms and its applications", Integral Transform Spec Eunct, (3), 49-84 [40] S B Yakubovich and Y Luchko (1994), The Hypergeometric Approach to Integral Transforms and Convolutions, Mathematics and its applications, Kluwer Acad Publ, Dordrecht/Boston/London, Vol 287 [41] S B Yakubovich and A.I.Mosinski (1993), "Integral-equation and convolutions íor transíorm of Kontorovich-Lebedev type", Dif, Uravnenia 29, (7), 1272-1284 (in Russian) [42] N X Thao and N M Khoa (2006), "On the generalized convolution with a weight íunction íor the Fourier-sine and cosine transíorms", Integral Transforms Spec Eunct, (17), 673-685 [43] N X Thao, V K Tuan and N T Hong (2008), "Generalized convolution transíorms and Toeplitz plus Hankel integral equations", Erac Calc App Anal, (11), 153-174 [44] Nguyen Xuan Thao (2001), "On the generalized convolution íor the Stieltjes, Hilbert, Fourier-cosine and sine transíorms", UKR Mat J, V.53, N.4, 560-567 (in Russian) [45] Nguyen Xuan Thao (1999), "Abasic analogue of the I-íunction of the two variables", Volin Mat Visn, 102-106 [46] N M Tuan and P D Tuan (2009), "Generalized convolutions relative to the Hartley transforms with applications", Sci Math Jpn, (70), 77-89 [47] T Matsura and S Saitoh (2006), "Analytical and numerical inversion formulas in the Gauss convolution by using the Paley-Wiener spaces", Appl Anal, (85), 901-915 [48] T Kailath, B L, L Ljung, M Morf (1978), "Fast time-invariant implementations of Gauss signal detectors", IEEE Trans Information Theory, 24 (4), 469-477 [49] V A Kakichev (1967), "On the convolution for integral transforms", Izv ANBSSR, Ser Fiz Mat, (2), 48-57 (in Russian) [50] V A Kakichev and N X Thao and V K Tuan (1998), "On the generalized convolutions for Fourier cosine and sine transforms", EastWest Jour Math, (1), 85-90 [51] V A Kakichev and N X Thao (2001), "On the generalized convolution for H- transforms", Izv Vuzov Mat, (N 8), 21-28 (in Russian) [52] W Rudin (1991), Functional Analysis, McGraw-Hill, N Y [53] W B Vasantha Kadasamy (2002), Smarandache a.ssociat.ive rings, American Research Press, Rehoboth, NM Non- [54] Y Sawano, H Fujiwara and S Saitoh (2008), "Real inversion formulas of the Laplace transform on weighted function spaces", Complex Anal Oper Theory, (2), 511-521 [55] Y Ya Vilenkin (1958), "Matrix elements of midecomsale unitary rep- resentations for motions group of the Laachekski’s space and generalized Mehler-Fox transforms", Dokl, Akad, Nauk USSR, 118 (2), 219-222 (in Russian) [56] Z Tomovski and V K Tuan (2009), "On Fourier transforms and summation formulas of generalized Mathieu series", Math Sci Res J, (13), 1-10 -1*12 = —7 e 12 Dễ thấy, ví dụ Ff L (R ) d Ví dụ 1.2 Xét hàm số 0, x (0, n) Hiển nhiên f, g L1(R) Ta có (ỉ /• 11 * g)(x) = f (x - y)g(y)dy (L7) ^ —1 F Hàm dấu tích phân vế phải (1.7) y (0, n) |x - y| > Vì vậy, Íp= J'Q+ sin(x — y) cos ydy, JJ_„ sin(x - y) cos ydy, p2 0, —2