Môt số tích chập suy rộng với hàm trọng Hermite của các biến đổi tích phân dạng Fourier và ứng dụng

Các phương trình tích phân với nhân là các hàm dạng Gauss có nhiều ứngdụng trong vật lý như: ứng dụng trong truyền sóng bức xạ, lý thuyết lọctuyến tính, thủy lực học, và một số lĩnh vực

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

− − − − − − − − −

NGUYỄN THỊ THU HUYỀN

MỘT SỐ TÍCH CHẬP SUY RỘNG VỚI HÀM TRỌNG HERMITE CỦA CÁC BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN DẠNG FOURIER VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 62 46 01 01

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Công trình được hoàn thành tại: Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội

Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Nguyễn Minh Tuấn

Phản biện 1: GS.TSKH Lê Hùng Sơn

Trường Đại học Bách khoa Hà Nội

Phản biện 2: PGS.TS Hà Tiến Ngoạn

Viện Toán học, Viện KH&CN Việt Nam

Phản biện 3: TS Cung Thế Anh

Trường Đại học Sư phạm Hà Nội

Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng cấp nhà nước chấm luận án tiến sĩ họp tại Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia

Có thể tìm hiểu luận án tại thư viện:

- Thư viện Quốc gia Việt Nam

- Trung tâm Thông tin thư viện, Đại học Quốc gia Hà Nội

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN 2

LỜI CẢM ƠN 3

MỤC LỤC 4

CÁC KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN 6

MỞ ĐẦU 8

Chương 1.BIẾN ĐỔI FOURIER, FOURIER-SINE, FOURIER-COSINE VÀ HARTLEY 15 1.1 Biến đổi tích phân Fourier 15

1.1.1 Định nghĩa và các tính chất cơ bản 15

1.1.2 Tích chập 22

1.2 Biến đổi tích phân Fourier-sine, Fourier-cosine 28

1.3 Biến đổi Hartley 38

Chương 2.TÍCH CHẬP SUY RỘNG ĐỐI VỚI MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN DẠNG FOURIER 49 2.1 Tích chập suy rộng đối với các biến đổi Fourier và Fourier ngược 49

2.2 Tích chập suy rộng liên kết giữa các biến đổi Fourier và Hartley 55

2.3 Tích chập suy rộng đối với các biến đổi Fourier-sine và Fourier-cosine 81

2.4 Tích chập suy rộng với hàm trọng là một tổ hợp tuyến tính hữu hạn các hàm Hermite 95

Chương 3 ỨNG DỤNG 97 3.1 Cấu trúc vành định chuẩn trên L1(Rd) 97

3.2 Giải phương trình tích phân dạng chập với nhân Hermite 104 3.3 Đánh giá bán kính phổ của một số toán tử tích phân 131

KẾT LUẬN 141

DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN 142

TÀI LIỆU THAM KHẢO 143

CÁC KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN

• d là một số nguyên dương cho trước

• Cho Φα là một hàm Hermite Đặt Nα := 1

(2π)d Rd|Φα(x)|dx Rõràng, Nα > 0 Các chuẩn (0), (1) của f ∈ L1(Rd) lần lượt được địnhnghĩa như sau:

MỞ ĐẦU

1 Lịch sử vấn đề và lý do lựa chọn đề tài

Lý thuyết tích chập đối với các biến đổi tích phân đã được nghiên cứutrong một thời gian dài, và được áp dụng trong nhiều lĩnh vực của toánhọc, vật lý, y học, sinh học Cho đến nửa đầu của thế kỷ 20, các tích chậpđược tìm thấy là những tích chập không có hàm trọng cho một biến đổitích phân, và đối với nhiều biến đổi tích phân quen biết vẫn chưa tìm đượctích chập cho nó

Sang nửa sau của thế kỷ 20, rất nhiều tích chập suy rộng đối với cácbiến đổi tích phân và ứng dụng của chúng đã được nghiên cứu thành côngbởi nhiều tác giả Đặc biệt, I N Sneddon (xem [24]) là người đầu tiênxây dựng thành công tích chập suy rộng cho phép biến đổi tích phân vàxem xét các ứng dụng của chúng Đó là tích chập suy rộng của hai hàm f

và g xác định trên (0, +∞) đối với các biến đổi tích phân Fourier-sine vàFourier-cosine

f (y)[g(|x − y|) − g(x + y)]dy, x > 0

Tích chập đó thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa

Fs(f ∗

1 g)(x) = (Fsf )(x)(Fcg)(x), ∀ x > 0,trong đó phép biến đổi Fourier-sine (Fs), và biến đổi Fourier-cosine (Fc)của hàm f xác định trên (0, +∞) lần lượt cho bởi các công thức sau (xem[8])

(Fsf )(x) =

r2π

Z +∞

0

f (y) sin(xy)dy,(Fcf )(x) =

r2π

Gần 10 năm sau, năm 1967 V A Kakichev đã đề xuất phương phápkiến thiết để xác định tích chập cho biến đổi tích phân K với hàm trọngδ(x) dựa trên đẳng thức nhân tử hóa

K(f ∗ g)(x) = δ(x)(Kf )(x).(Kg)(x).δ

Năm 1998, V A Kakichev và N X Thảo đưa ra một kỹ thuật xâydựng tích chập suy rộng đối với ba biến đổi tích phân K1, K2, K3 (theothứ tự đó), trong đó đòi hỏi K1 phải là phép biến đổi với nhân k1(x, y) và

nó có phép biến đổi ngược K1−1 với nhân k1−1(u, v) xác định (xem [28]).Nói chung, mỗi tích chập là một biến đổi mới và có thể là một đốitượng mới để nghiên cứu Ví dụ, biến đổi Hilbert là tích chập của hàm

f (t) với hàm g(t) = 1/(πt), và biến đổi Weierstrass chính xác là tích chậpcủa hàm f (t) với hàm dạng Gauss e−14 t2 (xem [38])

Ta biết rằng tích của hai hàm số thuộc L1(Rd) thì chưa chắc thuộc

L1(Rd) Ví dụ sau đây sẽ minh chứng cho kết luận đó

Như vậy, phép nhân hai hàm là không đóng kín trong L1(Rd)

Bên cạnh đó, phương trình tích phân dạng chập thuộc lĩnh vực được quantâm trong lý thuyết phương trình tích phân của toán học Đặc biệt làphương trình tích phân với nhân là các hàm dạng Gauss đã thu hút sựquan tâm của nhiều tác giả như:

[10] F Garcia-Vicente, J M Delgado, and C Rodriguez (2000), "Exactanalytical solution of the convolution integral equation for a general profilefitting function and Gauss detector kernel", Phys Med Bio, (45), 645–650.[17] G Arfken (1985), Mathematical Methods for Physicists, AcademicPress

[34] P S Cho, H G Kuterdem, and R J Marks II (1998), "A sphericaldose model for radio surgery plan optimization", Phys Med Bio, (43),3145–3148

[48] T Kailath, B L, L Ljung, M Morf (1978), "Fast time-invariant mentations of Gauss signal detectors", IEEE Trans Information Theory,

imple-24 (4), 469–477

Các phương trình tích phân với nhân là các hàm dạng Gauss có nhiều ứngdụng trong vật lý như: ứng dụng trong truyền sóng bức xạ, lý thuyết lọctuyến tính, thủy lực học, và một số lĩnh vực của y học, sinh học

Từ kết quả của các công trình liên quan đến tích chập, tích chập suyrộng mà ta nhắc đến ở trên cho thấy các biến đổi tích phân Fourier, Fourier-sine, Fourier-cosine và Hartley có ứng dụng trong hầu hết các lĩnh vực củakhoa học kỹ thuật

Các biến đổi Fourier, Fourier ngược, Fourier-cosine, Fourier-sine vàHartley trong không gian L1(Rd) lần lượt được định nghĩa như sau (xem[8, 26, 35, 52])

Vì những lý do trên nên ta gọi chung các biến đổi Fourier, Fourier ngược,Fourier-cosine, Fourier-sine và Hartley là các biến đổi tích phân dạngFourier.

Xung quanh những biến đổi này, nhóm nghiên cứu V A Kakichev,

V K Tuấn, N X Thảo, N M Khoa đã xây dựng một số tích chập, tíchchập suy rộng và nghiên cứu các ứng dụng của chúng đối với các biếnđổi Fourier-sine, Fourier-cosine trong không gian L1(R+) và một số khônggian hàm có trọng khác (xem [42, 44, 50]) R N Bracewell đã đưa ratích chập đối với biến đổi Hartley trong không gian L1(R) (xem [35, 36]).Các kết quả trong luận án của B T Giang đã xây dựng tích chập, tíchchập suy rộng và nghiên cứu các ứng dụng của chúng cho các biến đổiFourier, Fourier-sine, Fourier-cosine, Hartley trong không gian L1(Rd) vớihàm trọng là các hàm lượng giác (xem [12, 13, 14, 15])

Từ khi lý thuyết tích chập đối với các biến đổi tích phân ra đời, ngoàicác công trình ta liệt kê ở trên, một lượng lớn các bài báo, sách trình bày

về tích chập, tích chập suy rộng, đa chập và các ứng dụng của chúng đãđược xuất bản bởi nhiều tác giả như R N Bracewell, L E Britvina, R

V Churchill, H J Glaeske, S Saitoh, S B Yakubovich, V K Tuấn, N

X Thảo, N M Tuấn, B T Giang, (xem [6, 7, 18, 20, 25, 27, 29, 35, 36,

39, 40, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 49, 50, 51, 54, 56]) Qua các công trình đó tathấy nổi bật lên là các nhóm nghiên cứu:

1 L E Britvina, Jorge J Betancor và các cộng sự với một số công trìnhliên quan đến các biến đổi Hankel, Fourier-cosine (xem [29, 31])

2 S B Yakubovich, Y Luchko với các công trình liên quan đến biếnđổi Kontorovich Lebedev (xem [40, 41])

3 V A Kakichev, V K Tuấn, N X Thảo, N M Khoa, Trịnh Tuân,

N Thanh Hồng với các công trình về tích chập suy rộng liên quanđến các biến đổi Fourier, Fourier-cosine, Fourier-sine, Hankel, Kon-torovich Lebedev, Stieltjes và biến đổi I trên nửa không gian (xem[21, 27, 32, 42, 43, 44, 45, 49, 50, 51, 56]) Quan tâm đến các biếnđổi này ở Việt Nam còn có Phan Tăng Đa (xem [6])

4 S Saitoh cùng các cộng sự với một số công trình liên quan đến cácbiến đổi Weierstrass, Laplace (xem [38, 39, 47, 54])

5 R N Bracewell với một số công trình liên quan đến biến đổi Hartleytrong không gian một chiều (xem [35, 36]).

6 N M Tuấn, N V Mậu, B T Giang, P D Tuấn với một số côngtrình liên quan đến các biến đổi Fourier, Fourier-cosine, Fourier-sine

và Hartley trong không gian Rd (xem [12, 13, 14, 15, 16, 46])

Như vậy, chúng ta có thể thấy được những ứng dụng rộng rãi của cáctích chập, tích chập suy rộng, đa chập trong nhiều lĩnh vực của toán học,vật lý, y học, sinh học và thấy được các ứng dụng rộng rãi của các biến đổitích phân dạng Fourier trong các lĩnh vực của khoa học kỹ thuật Trongnhiều trường hợp, các ứng dụng đó thường được đưa về giải phương trìnhtích phân với nhân là các hàm dạng Gauss

Vì những lý do trên, chúng tôi lựa chọn đề tài với tên gọi là "Một sốtích chập suy rộng với hàm trọng Hermite của các biến đổi tích phân dạngFourier và ứng dụng"

2 Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Luận án xây dựng một số tích chập suy rộng đối với một số biến đổitích phân dạng Fourier đã nói ở trên với hàm trọng là các hàm Hermite

Sử dụng các tích chập đó, luận án xây dựng L1(Rd) thành các vành địnhchuẩn mà phép nhân được hiểu là phép nhân chập, giải một số phươngtrình tích phân dạng chập với nhân là các hàm Hermite (trong trường hợpđặc biệt thì các nhân này trở thành các hàm dạng Gauss), đưa ra cáchđánh giá bán kính phổ của một số toán tử tích phân và chỉ ra được khônggian trên đó một số phương trình tích phân được xét luôn có nghiệm duynhất

3 Phương pháp nghiên cứu

Luận án sử dụng các kĩ thuật biến đổi tích phân, kĩ thuật đánh giá tíchphân trong L1(Rd) để chứng minh sự tồn tại của các tích chập Bên cạnh

đó, luận án còn sử dụng các kĩ thuật phép biến đổi Fourier, Fourier-sine,Fourier-cosine và Hartley vào việc giải các phương trình tích phân với nhânHermite (bằng cách đưa các phương trình được xét về các phương trình,

hệ phương trình đại số) Ngoài ra, luận án còn sử dụng các kĩ thuật củagiải tích hàm để thu được đánh giá bán kính phổ của một số toán tử tíchphân

4 Cấu trúc và các kết quả của luận án

Nội dung của luận án, ngoài phần mở đầu, phần kết luận gồm có bachương:

Chương 1 Trình bày một số tính chất cơ bản của các biến đổi Fourier,Fourier-sine, Fourier-cosine và Hartley cùng tích chập đối với chúng Trongchương này, luận án có đưa ra các ví dụ cụ thể minh họa cho các tính chất

và các tích chập đã biết

Chương 2 Xây dựng các tích chập suy rộng mới của một số biến đổitích phân dạng Fourier với hàm trọng là các hàm Hermite Cụ thể là: xâydựng các tích chập suy rộng đối với các biến đổi Fourier, Fourier ngược;các tích chập suy rộng liên kết giữa các biến đổi Fourier và Hartley; cáctích chập suy rộng đối với các biến đổi Fourier-sine và Fourier-cosine.Chương 3 Sử dụng các tích chập mới nhận được ở Chương 2 vào việcxây dựng L1(Rd) thành các vành định chuẩn và giải một lớp phương trìnhtích phân với nhân là hàm Hermite (trong trường hợp đặc biệt thì nhân

là các hàm dạng Gauss) Khi so sánh việc giải một số phương trình tíchphân dạng chập với các tác giả (xem [19, 22, 23, 43, 50]), các tác giả đó đã

sử dụng định lý Wiener-Lèvy và thu được nghiệm ẩn Ở đây, đối với mỗiphương trình được xét với một vài hạn chế áp lên vế phải, luận án đã chỉ

ra điều kiện cần và đủ cho tính giải được cũng như nghiệm tường minhcủa chúng

Từ việc giải các phương trình tích phân đó, luận án chỉ ra rằng bàitoán đánh giá bán kính phổ của một số toán tử tích phân được dẫn đến bàitoán tìm mô đun lớn nhất của các hàm số liên tục, bị chặn và giảm nhanhtại vô cùng trên không gian Rd Ngoài ra, luận án đã chỉ ra được khônggian trên đó một số phương trình tích phân được xét luôn có nghiệm duynhất

5 Ý nghĩa của các kết quả của luận án

Sự khác biệt giữa các kết quả của luận án và các luận án trước đó theocùng hướng nghiên cứu của tác giả (xem [12, 13, 14, 15, 16, 46]) là luận

án xây dựng được một số tích chập với hàm trọng Hermite đối với một

số phép biến đổi tích phân dạng Fourier, sử dụng các tích chập xây dựngđược luận án chỉ ra rằng bài toán đánh giá bán kính phổ của một số toán

tử tích phân được dẫn đến bài toán tìm mô đun lớn nhất của các hàm sốliên tục, bị chặn và giảm nhanh tại vô cùng trên không gian Rd Ngoài ra,luận án đã chỉ ra được không gian trên đó một số phương trình tích phânđược xét luôn có nghiệm duy nhất

Các kết quả của luận án góp phần làm phong phú thêm về lý thuyếttích chập đối với các biến đổi tích phân, lý thuyết phương trình tích phândạng chập, và có thể áp dụng để giải một số phương trình vi, tích phânxuất hiện trong các lĩnh vực ứng dụng như xử lý tín hiệu số,

Nội dung trong Chương 2 và Chương 3 của luận án được viết dựa trêncác bài báo [1], [2], [3] (Danh mục công trình khoa học của tác giả liênquan đến luận án), các kết quả này đã được báo các tại:

Seminar Giải tích đại số của trường ĐHKHTN - ĐHQG Hà Nội; inar Giải tích của bộ môn Giải tích khoa Toán - Cơ - Tin học trườngĐHKHTN - ĐHQG Hà Nội; Seminar của khoa Toán Tin ĐHBK Hà Nội

Sem-Chương 1 BIẾN ĐỔI FOURIER, FOURIER-SINE,

FOURIER-COSINE VÀ HARTLEY

Các biến đổi tích phân Fourier, Fourier-sine, Fourier-cosine, Hartleycùng tích chập đối với chúng được nghiên cứu và phát triển đã lâu và cónhiều áp dụng trong các lĩnh vực khác nhau Trong chương này, luận ántrình bày các tính chất cơ bản và tích chập đối với những biến đổi này

1.1 Biến đổi tích phân Fourier

Trước hết, ta nhắc lại một số không gian hàm và các chuẩn trong nó.Cho d là một số nguyên dương Ký hiệu

(F−1f )(x) : = 1

(2π)d2 Rd

f (y)eixydy

Với mỗi x = (x1, x2, , xd), ta ký hiệu −x = (−x1, −x2, , −xd) và

Sau đây là biến đổi Fourier của một số hàm số

Ví dụ 1.1 Trong không gian Rd, xét hàm số

f (x) = e−|x|2.Theo (xem [52]), ta có

1(2π)d2

e−ix1 y 1 −ix 2 y 2 −···−ix d y d×

× e−y2−y2−···−yd2dy1dy2· · · dyd

= e

−x21+x22+···+x24

(F f )(x) = √1

2πZ

f (y)e−ixydy

= √12π

Z +∞

0

e−ye−ixydy

= √ 12π(1 + ix).Suy ra

Hình 1.2: Π(x), (F Π)(x)

Z +∞

−∞

|Π(x)|dx = 1nên Π ∈ L1(R) Ta có

(F Π)(x) = √1

2πZ

e−ixydy,

x , nếu x 6= 0

1

√ 2π, nếu x = 0

Dễ thấy, ˆΠ 6∈ L1(R)

Nhận xét Ta thấy, nếu f ∈ L1(Rd) thì không phải lúc nào cũng cóˆ

f ∈ L1(Rd) Ta có kết quả sau đây

Định lý 1.1 ([8, 52]) F là một ánh xạ tuyến tính liên tục từ L1(Rd) vào

C0(Rd) và ||F f ||∞ ≤ ||f ||

Nhận xét Ở Ví dụ 1.1, hiển nhiên ta có ˆf ∈ C0(Rd) Trong các Ví

dụ 1.2, 1.3 ở trên, ta đã biết các hàm ảnh ˆf , ˆΠ 6∈ L1(R) Tuy nhiên, ta cóˆ

Φα(x) := (−1)|α|e12 |x| 2

Dαxe−|x|2,trong đó ta ký hiệu

Định lý 1.2 ([8, 52]) Biến đổi Fourier của hàm Hermite Φα(x) là hàm(−i)|α|Φα(x)

Nhận thấy rằng (F−1Φα)(x) = i|α|Φα(x)

Từ phần sau, đẳng thức hàm f (x) = g(x) trong không gian L1(Rd) cónghĩa dấu bằng xảy ra tại hầu khắp nơi x ∈ Rd Tuy nhiên, ta có kết luậnsau

Mệnh đề 1.1 Nếu f = g trong không gian L1(Rd) và nếu f, g liên tụcthì f (x) = g(x) với mọi x ∈ Rd.

Chứng minh Giả sử ngược lại, tồn tại x0 ∈ Rd sao cho f (x0) 6= g(x0) Đặt

|f (x0) − g(x0)| = 2ε > 0

Từ tính liên tục của f và g, dẫn đến ∃ δ > 0 thỏa mãn:

∀x ∈ Rd và |x0− x| < δthì

> 0

Điều này mâu thuẫn với kf − gk = 0 (do giả thiết f = g trong không gian

L1(Rd)) Vì vậy, điều giả sử trên là sai và ta suy ra f (x) = g(x) ∀ x ∈ Rd.Mệnh đề được chứng minh

Định lý 1.3 dưới đây cho ta thấy biến đổi Fourier là một song ánh liêntục và là một toán tử đại số từ S vào S

(F f )(y)eixydy, ∀x ∈ Rd (1.4)

(b) Biến đổi Fourier là một song ánh tuyến tính liên tục từ S vào S và

F4 = I trên S

Định lý 1.4 ([8, 52], định lý ngược) Nếu f ∈ L1(Rd), F f ∈ L1(Rd) vànếu

Hệ quả 1.1 ([52]) Nếu f ∈ L1(Rd) và nếu F f = 0 trong L1(Rd), thì

f = 0 trong L1(Rd)

Ký hiệu I là toán tử đồng nhất trong L2(Rd) Ta nhắc lại định lýPlancherel cho biến đổi Fourier Định lý này giúp ta chỉ ra tập phổ củatoán tử mở rộng của toán tử F trong L2(Rd)

Định lý 1.5 ([8, 52], định lý Plancherel) Tồn tại duy nhất đẳng cự tuyếntính

F : L2(Rd) → L2(Rd)thỏa mãn

Z

|y|≤R

e−ixyf (y)dy (1.5)Hơn nữa, nếu (1.5) thỏa mãn thì

f (x) = l.i.m

R→∞

1(2π)d2

Z

|y|≤R

eixy(F f )(y)dy,với x ∈ Rd hầu khắp nơi

Định nghĩa 1.1 ([52]) Cho X là không gian tuyến tính định chuẩn trêntrường số phức C,

A : X → X

là toán tử tuyến tính liên tục

(i) λ ∈ C là giá trị chính quy của A nếu toán tử

Aλ := λI + Akhả nghịch và liên tục trên X Tập tất cả các giá trị chính quy của A kýhiệu là ρ(A)

(ii) Phổ của toán tử A được ký hiệu là σ(A) và σ(A) = C\ρ(A).

−i Do đó, các toán tử −I +F , I +F , iI +F , −iI +F không là các đơn ánh.Suy ra bốn toán tử đó không khả nghịch Vì vậy, σ(F ) = {−1, 1, −i, i}.Định lý được chứng minh

Ảnh ∗(f, g) được ký hiệu là f ∗δ

K 3 ,K 1 ,K 2

g Khi δ là đơn vị của đại số V

và K1 = K2 = K3 = K thì tích chập suy rộng đó được gọi ngắn gọn làtích chập đối với biến đổi K, và ký hiệu là f ∗

∧(x) có tên gọi là hàm Tritangle (xem [35]).

Vì

Z +∞

−∞

| ∧ (x)|dx = 1,nên ∧ ∈ L1(R) và Π ∈ L1(R) Ta có

Rx+12

−1 (1 − |y|)dy, nếu − 32 ≤ x < −12

1

√ 2π

Rx+12x−12 (1 − |y|)dy, nếu − 1

2 ≤ x < 1

2 1

√ 2π

R1 x−12(1 − |y|)dy, nếu 12 ≤ x ≤ 32

0, nếu |x| > 32.Tính các tích phân trên, ta nhận được

1

4 √ 2π(−4x2+ 3), nếu − 12 ≤ x < 12

1

8 √ 2π(4x2− 12x + 9), nếu 12 ≤ x ≤ 32

0, nếu |x| > 32

0 sin(x − y) cos ydy, nếu − π2 ≤ x < π2

1

√ 2π

Rπ x−π2 sin(x − y) cos ydy, nếu π2 ≤ x < 3π2

0, nếu x 6∈ [−π2,3π2 ]

2 ≤ x < π

2 1

2 √ 2π[(−x + 3π2 ) sin x + cos x], nếu π2 ≤ x < 3π2

0, nếu x 6∈ [−π2,3π2]

Dễ dàng thấy f ∗

F g ∈ L1(R)

Rx 1

0 (x1− y1)y1dy1

Rx 2

0 (x2− y2)y2dy2,nếu (x1, x2) ∈ [0, 1] × [0, 1]

1 2π

Rx 1

0 (x1− y1)y1dy1Rx1

2 −1(x2− y2)y2dy2,nếu (x1, x2) ∈ [0, 1] × [1, 2]

1 2π

R1

x 1 −1(x1− y1)y1dy1Rx2

0 (x2− y2)y2dy2,nếu (x1, x2) ∈ [1, 2] × [0, 1]

1 2π

R1

x 1 −1(x1− y1)y1dy1

R1

x 2 −1(x2− y2)y2dy2,nếu (x1, x2) ∈ [1, 2] × [1, 2]

0, với những (x1, x2) khác

x3(−x3+6x 2 −4) 72π , nếu (x1, x2) ∈ [0, 1] × [1, 2]

x32(−x31+6x 1 −4) 72π , nếu (x1, x2) ∈ [1, 2] × [0, 1]

Các biến đổi tích phân Fourier-cosine và Fourier-sine trong không gian

L1(Rd) được định nghĩa như sau (xem [5]):

Công thức Euler chỉ ra mối liên hệ giữa biến đổi Fourier, biến đổi Fourierngược và các biến đổi Fourier-sine, Fourier-cosine

Nhận xét Qua công thức biến đổi của Tc, Ts, ta thấy rằng nếu f làhàm chẵn theo từng thành phần của biến số tức là f (−x) = f (x)
thì

Tsf = 0, và nếu f là hàm lẻ theo từng thành phần của biến số tức là

f (−x) = −f (x)
thì Tcf = 0 Ngoài ra, cho f ∈ L2(Rd) dùng công thứcEuler ta có thể định nghĩa để tích phân bên vế phải của (1.8), (1.9) xácđịnh với x ∈ Rd hầu khắp nơi Nhưng trong trường hợp này các ánh xạ

Tc, Ts không đơn ánh, không đẳng cự Vì vậy, đối với các biến đổi Tc, Tskhông có định lý ngược và định lý Plancherel

Ta xét biến đổi Fourier-sine, Fourier-cosine của một số hàm đã được xét

R

f (y) cos xydy

= 1

2√2π

1

2√2π(1 − ix)

Hình 1.9: f (x), (Tcf )(x)

Hình 1.10: f (x), (Tsf )(x)

= √ 12π(1 + x2) ,và

(Tsf )(x) = √1

2πZ

R

f (y) sin xydy

= 1

2√2π

Z +∞

0

e−y[ie−ixy− ieixy]dy

= i

2√2π(1 + ix) +

−i

2√2π(1 − ix)

= √ x2π(1 + x2).Như vậy, Tcf ∈ L1(R) nhưng Tsf 6∈ L1(R)

sinx2

x , nếu x 6= 0

1

√ 2π, nếu x = 0,và

(TsΠ)(x) = √1

2πZ

Tính toán các hệ số, ta suy ra các đẳng thức cần chứng minh.

Mệnh đề 1.3 sau đây cho thấy các biến đổi Fourier-sine, Fourier-cosine

là các toán tử đại số trong không gian các hàm giảm nhanh S

Mệnh đề 1.3 ([14]) Các biến đổi Tc, Ts là các ánh xạ tuyến tính liên tục

từ S vào S, và thỏa mãn các tính chất sau:

x−12 (1 − |u|)du +R−x+

1 2

−x− 1 2

−1 (1 − |u|)du], nếu 12 ≤ x ≤ 32

2 sin(x + u) cos udu], nếu − 3π2 ≤ x < −π2

1

2 √ 2π

2 √ 2π[Rx−π π

2 sin(x − u) cos udu], nếu π2 ≤ x < 3π

1

2 √ 2π(x sin x − cos x), nếu − π2 ≤ x < π2

1

4 √ 2π[cos x − (x − 3π2 ) sin x], nếu π2 ≤ x < 3π2

0, nếu x 6∈ [−3π2 ,3π2 ]

[f (x ư u) + f (x + u)]g(u)du

= 14πZ

R2

(eư|xưu|22 + eư|x+u|22 )eư|u|22 du

= 14π

−x 1dy1R−x1

2(x1+ y1)(x2+ y2)y1y2dy2,nếu (x1, x2) ∈ [−1, 0] × [−1, 0]

1 4π

R1

−x 1dy1

R1−x 2

0 (x1+ y1)(x2+ y2)y1y2dy2,nếu (x1, x2) ∈ [−1, 0] × [0, 1]

1 4π

R1−x 1

0 dy1

R1

−x 2(x1+ y1)(x2+ y2)y1y2dy2,nếu (x1, x2) ∈ [0, 1] × [−1, 0]

1 4π[R0x1dy1R0x2(x1− y1)(x2− y2)y1y2dy2++R1−x1

0 dy1R1−x2

0 (x1+ y1)(x2+ y2)y1y2dy2],nếu (x1, x2) ∈ [0, 1] × [0, 1]

1 4π

Rx 1

0 (x1− y1)y1dy1

R1

x 2 −1(x2− y2)y2dy2,nếu (x1, x2) ∈ [0, 1] × [1, 2]

1 4π

R1

x 1 −1(x1− y1)y1dy1

Rx 2

0 (x2− y2)y2dy2,nếu (x1, x2) ∈ [1, 2] × [0, 1]

1 4π

R1

x 1 −1(x1− y1)y1dy1Rx1

2 −1(x2− y2)y2dy2,nếu (x1, x2) ∈ [1, 2] × [1, 2]

0, với những (x1, x2) khác

x3(−x3+6x 1 −4) 144π , nếu (x1, x2) ∈ [1, 2] × [0, 1]

1.3 Biến đổi Hartley

Biến đổi Hartley được đưa ra vào năm 1942 và được định nghĩa nhưsau (xem [35]):

trong đó f (x) là hàm (thực hoặc phức) xác định trên R và

cas xy = cos xy + sin xy

Biến đổi Hartley là một biến đổi liên quan mật thiết đến biến đổi Fourier

Vì nhân của biến đổi Hartley có thể được viết lại

Fourier-Biến đổi Hartley nhiều chiều trong không gian L1(Rd) được định nghĩanhư sau (xem [14, 46]):

(H1f )(x) = (Hˇ 2f )(x)

Vì vậy, ta gọi H1 và H2 là các biến đổi Hartley

Công thức sau thể hiện mối liên hệ giữa các biến đổi Hartley và cácbiến đổi Fourier, Fourier-sine, Fourier-cosine

f (y)(cos xy + sin xy)dy

= 1

2√2π

1

2√2π(1 − ix) +

i

2√2π(1 + ix) +

−i

2√2π(1 − ix)

= √ 1 + x

2π(1 + x2).

Do đó, H1f 6∈ L1(R)

Nhận xét Theo Ví dụ 1.7, ta có (Tcf )(x) ∈ L1(R) và (Tsf )(x) 6∈ L1(R).Mặt khác, H1 = Tc+ Ts Do đó, điều ta vừa chỉ ra H1f 6∈ L1(R) phù hợpvới Ví dụ 1.7

Ta đã biết Π ∈ L1(R) Ta có

(H1Π)(x) = √1

2πZ

sinx2

x , nếu x 6= 0

1

√ 2π, nếu x = 0

Khi đó, f0(x) = f (x) với x ∈ Rd hầu khắp nơi

Hệ quả 1.3 ([14, 46], định lý duy nhất) Nếu f ∈ L1(Rd) và H1f = 0trong L1(Rd) thì f = 0 trong L1(Rd)