Một phân tích tri thức luận về sự hình thành định nghĩa giới hạn hàm số tại một điểm của Weierstrass

Bài viết này trình bày một phân tích tri thức luận làm rõ quá trình hình thành định nghĩa giới hạn hàm số theo epsilon-delta (

TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH HO CHI MINH CITY UNIVERSITY OF EDUCATION JOURNAL OF SCIENCE Tập 19, Số (2022): 251-265 ISSN: 2734-9918 Vol 19, No (2022): 251-265 Website: http://journal.hcmue.edu.vn https://doi.org/10.54607/hcmue.js.19.2.3377(2022) Bài báo nghiên cứu * MỘT PHÂN TÍCH TRI THỨC LUẬN VỀ SỰ HÌNH THÀNH ĐỊNH NGHĨA GIỚI HẠN HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM CỦA WEIERSTRASS Nguyễn Ái Quốc Trường Đại học Sài Gòn, Việt Nam Tác giả liên hệ: Nguyễn Ái Quốc – Email: nguyenaq2014@gmail.com Ngày nhận bài: 04-6-2019; ngày nhận sửa: 04-9-2021; ngày duyệt đăng: 11-02-2022 TÓM TẮT Bài báo trình bày phân tích tri thức luận làm rõ trình hình thành định nghĩa giới hạn hàm số theo epsilon-delta (𝜀𝜀 − 𝛿𝛿) Weierstrass Nghiên cứu phân tích nguồn gốc đời khái niệm giới hạn điều kiện hình thành định nghĩa giới hạn hàm số Weierstrass qua giai đoạn từ thời Cổ đại đến cuối kỉ XIV Các kết nghiên cứu cho phép xác định hai quan điểm toán học ảnh hưởng lên hình thành định nghĩa Weierstrass, nghiêm ngặt hóa số học hóa giải tích; số chướng ngại tri thức luận gắn liền với định nghĩa Weierstrass Kết nghiên cứu góp phần làm sáng tỏ nguồn gốc tri thức luận khó khăn, sai lầm mà sinh viên ngành Sư phạm Toán học gặp phải tiếp cận định nghĩa giới hạn hàm số theo epsilon-delta (𝜀𝜀 − 𝛿𝛿) Weierstrass Từ khóa: epsilon-delta; chướng ngại; giới hạn hàm số; phân tích tri thức luận; nghiêm ngặt hóa, số học hóa Giới thiệu 1.1 Sự cần thiết nghiên cứu khái niệm giới hạn hàm số điểm theo nghĩa Weierstrass Khái niệm giới hạn khái niệm sở cho việc thiết lập tảng giải tích đại Nó sử dụng để xây dựng khái niệm khác giải tích hội tụ, liên tục, khả vi khả tích hàm số; số khái niệm giải tích hàm, xác suất thống kê Việc không hiểu rõ khái niệm giới hạn dẫn đến khó khăn học khái niệm khác Lịch sử hình thành khái niệm giới hạn hàm số cung cấp lí sâu sắc SV gặp khó khăn hiểu ý tưởng giới hạn Trong suốt nhiều năm, nhà giáo dục toán học nhận thấy định nghĩa giới hạn hàm số Weierstrass gây khó khăn cho học sinh, sinh viên (SV) việc học giảng dạy giáo viên Cụ thể vừa tiếp Cite this article as: Nguyen Ai Quoc (2022) An epistemological analysis of the formulation of Weierstrass’ limit definition of a function at a point Ho Chi Minh City University of Education Journal of Science, 19(2), 251-265 251 Tập 19, Số (2022): 251-265 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM cận định nghĩa ε-δ giới hạn hàm số điểm, SV gặp nhiều khó khăn việc xác định δ cho x đủ gần 𝑥𝑥0 để khoảng cách 𝑓𝑓(𝑥𝑥) giới hạn L bé ε Liên quan đến khó khăn SV việc sử dụng định nghĩa để chứng minh giới hạn hàm số điểm, tiến hành thực nghiệm khảo sát 23 SV năm ngành Sư phạm Tốn Trường Đại học Sài Gịn vào ngày 18/12/2018 Các SV học học phần Giải tích Thực nghiệm tiến hành thời gian 30 phút Nội dung thực nghiệm bao gồm câu hỏi: Câu Bạn định nghĩa giới hạn hàm số lim 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝐿𝐿 theo ngôn ngữ ε, δ Bạn 𝑥𝑥→𝑥𝑥0 mô tả định nghĩa theo cách hiểu Câu Bạn dùng định nghĩa giới hạn hàm số theo ngôn ngữ ε, δ để chứng minh rằng: lim 𝑥𝑥 𝑥𝑥→3 Câu Bạn dùng định nghĩa giới hạn hàm số theo ngôn ngữ ε, δ để chứng minh 4𝑥𝑥 rằng: lim 𝑥𝑥−4 = −4 𝑥𝑥→2 Mục tiêu câu nhằm tìm hiểu SV có nhớ hiểu định nghĩa giới hạn hàm số điểm Theo Stewart (2016, p.73), giới hạn hàm số điểm a định nghĩa sau: Cho 𝑓𝑓 hàm số xác định khoảng mở chứa số 𝑎𝑎, ngoại trừ số 𝑎𝑎 Ta nói giới hạn 𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝑥𝑥 tiến đến 𝑎𝑎 𝐿𝐿, ta viết 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑥𝑥→𝑎𝑎 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝐿𝐿 với số 𝜀𝜀 > tồn số 𝛿𝛿 > cho < |𝑥𝑥 − 𝑎𝑎| < 𝛿𝛿 |𝑓𝑓(𝑥𝑥) − 𝐿𝐿| < 𝜀𝜀 Mục tiêu câu hỏi nhằm tìm hiểu SV vận dụng định nghĩa để chứng minh giới hạn hàm số điểm Trong câu hỏi 2, việc ước lượng δ dễ dàng so với câu hỏi hàm số cho hàm đa thức bậc đơn giản, câu hỏi hàm phân thức nên cần nhiều phép biến đổi Ở câu hỏi 2, câu trả lời mong đợi là: 𝜀𝜀 𝜀𝜀 Cho ε > 0, đặt 𝛿𝛿 = min{1, 7}, < |𝑥𝑥 − 3| < 𝛿𝛿 |𝑥𝑥 − 3| < 1, 2< x 0, đặt 𝛿𝛿 = min{1, 8}, < |𝑥𝑥 − 2| < 𝛿𝛿 < −1 < 𝑥𝑥 − < ⇒ < x < ⇒ |𝑥𝑥−4| < Ta có: 8|𝑥𝑥−2| |𝑥𝑥−4| < 𝜀𝜀 ⇒ |8𝑥𝑥−16| |𝑥𝑥−4| 4𝑥𝑥 < 𝜀𝜀 ⇒ �𝑥𝑥−4 − (−4)� < 𝜀𝜀 Đối với câu hỏi 1, có 6/23 SV khơng viết xác định nghĩa giới hạn hàm số Có 10/23 SV mơ tả x tiến dần đến 𝑥𝑥0 𝑓𝑓(𝑥𝑥) tiến dần đến L Mơ tả khơng xác theo nghĩa toán học Câu trả lời SV S1: 252 Nguyễn Ái Quốc Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM S1 viết chưa xác khái niệm lim 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝐿𝐿 diễn đạt lại định nghĩa 𝑥𝑥→𝑥𝑥0 lời chưa mô tả ý nghĩa khái niệm giới hạn hàm số điểm Kết cho thấy SV lúng túng đề cập đến định nghĩa giới hạn hàm số có biểu chướng ngại tri thức luận mà Lê Thái Bảo Thiên Trung (2017) (Le, 2017) Đối với câu hỏi câu hỏi 3, khơng có SV thành cơng việc chứng minh giới hạn định nghĩa ε-δ Tất SV thất bại việc ước lượng δ Ở câu hỏi 2, có 3/23 SV khơng có câu trả lời, SV cịn lại có đáp án khơng xác đầy đủ Hầu khơng có SV chọn giá trị δ theo ε xác chặt chẽ Câu trả lời SV S2 cho câu 2: Câu trả lời S2 chưa tự gán |𝑥𝑥 − 3| < 𝛿𝛿 mà không chọn giá trị δ theo ε S2 hiểu sai nghĩa khái niệm giới hạn hàm số điểm dẫn đến chứng minh sai Ở câu hỏi 3, có 9/23 SV khơng có câu trả lời cho câu hỏi khơng có SV chọn giá trị δ đủ chặt chẽ đáp án Câu trả lời SV S3 cho câu 3: 253 Tập 19, Số (2022): 251-265 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM S3 hiểu sai nghĩa khái niệm giới hạn hàm số điểm, không chọn giá trị δ theo ε mà lại chọn giá trị ε Kết khảo sát cho thấy tồn khó khăn sau SV: - Khơng nhớ định nghĩa giới hạn hàm số theo ngôn ngữ ε-δ; - Không hiểu nghĩa khái niệm giới hạn hàm số điểm; - Không ước lượng δ theo ε để chứng minh giới hạn hàm số 1.2 Sự cần thiết phân tích tri thức luận Việc xác định khó khăn, sai lầm SV học Tốn nguồn gốc chúng ln nhiệm vụ đặt nhà nghiên cứu nước, đặc biệt nhà nghiên cứu người Pháp trước đưa giải pháp giúp SV loại bỏ sai lầm Theo Brousseau: “Sai lầm hậu không biết, không chắn, ngẫu nhiên, cách nghĩ người theo chủ nghĩa kinh nghiệm chủ nghĩa hành vi, mà cịn hậu kiến thức có từ trước, có ích việc học trước kia, lại sai, đơn giản khơng cịn phù hợp việc lĩnh hội tri thức Những sai lầm thuộc loại thất thường hay khơng dự đốn Chúng tạo thành chướng ngại Trong hoạt động giáo viên hoạt động học sinh, sai lầm góp phần xây dựng nên nghĩa kiến thức thu nhận chủ thể này.” (Brousseau, 1983, p.171) Brousseau phân biệt chướng ngại tùy theo nguồn gốc chúng, ơng định nghĩa chướng ngại tri thức luận chướng ngại gắn liền với lịch sử phát triển tri thức mà việc vượt qua đóng vai trị định q trình xây dựng kiến thức chủ thể Trong học tập, việc vượt qua chướng ngại tri thức luận điều tránh khỏi, yếu tố cấu thành nên kiến thức Để nghiên cứu chướng ngại tri thức luận, Brousseau đề nghị tiến trình sau : - Xác định sai lầm thường xuyên tái diễn, chứng tỏ chúng nhóm lại quanh quan niệm - Nghiên cứu xem có tồn hay khơng chướng ngại lịch sử xây dựng khái niệm toán học - Đối chiếu chướng ngại lịch sử với chướng ngại học tập để thiết lập đặc trưng khoa học luận chướng ngại 1.3 Nghiêm ngặt hóa giải tích Theo Kleiner (2012), nhìn lại 2500 năm sử dụng chứng minh toán học, không tiêu chuẩn nghiêm ngặt thay đổi mà cịn có cơng cụ tốn học sử dụng để thiết lập nghiêm ngặt Do đó, Hi Lạp cổ đại, định lí khơng phải tính chất thiết lập hình học hóa Vào thời Trung cổ Phục Hưng, hình học tiếp tục người định cuối nghiêm ngặt toán học đại số Trực giác không gian nhà tốn học xuất hiện, có lẽ đáng tin cậy so với hiểu biết họ số – di sản thừa kế hậu “cuộc 254 Nguyễn Ái Quốc Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM khủng hoảng tính vơ ước” Hi Lạp cổ đại Giải tích kỉ XVII đặc biệt kỉ XVIII khơng cịn dễ dàng chứng minh thuật ngữ hình học, đại số trở thành cơng cụ chứng minh Có kết hợp đại số hình học tác phẩm Cauchy Với Weierstrass Dedekind nửa phần sau kỉ XIX, số học thay hình học hay đại số trở thành ngơn ngữ tốn học nghiêm ngặt (p.163-164) Theo Jahnke (2016), kỉ XIX thường gọi thời kì nghiêm ngặt tốn học Đây mơ tả đặc điểm xác theo nghĩa giải tích thiết lập tảng mà nhận thỏa đáng Sự nghiêm ngặt hóa khơng vấn đề làm rõ vài khái niệm thay đổi chứng minh vài định lí bản; mà cịn xâm nhập hầu hết lĩnh vực giải tích thay đổi thành ngành học mà học trường trung học trường đại học Phong trào hướng tới nghiêm ngặt chí coi q trình sáng tạo Nó tạo tồn lĩnh vực tốn học, đặc biệt tảng vững giải tích liên quan đến khái niệm hoàn toàn tính liên tục điểm liên tục đều, tính compac, tính đầy đủ… (p.155) Theo Jahnke (2016), nghiêm ngặt hóa giải tích chia thành hai giai đoạn: thời kì Pháp Cauchy thống trị thời kì Đức Weierstrass thống trị Điều phản ánh tranh chung toán học kỉ XIX, Pháp nước dẫn đầu tốn học nửa kỉ đầu Đức dẫn đầu nửa kỉ sau (p.156) Nền tảng nghiêm ngặt thể qua tác phẩm Cauchy, Bolzano Weierstrass Các đặc điểm yếu là: - Sự xuất khái niệm giới hạn trở thành tảng Giải tích; - Vai trị quan trọng bất đẳng thức định nghĩa chứng minh; - Xác định tính đắn kết Giải tích phải xét đến miền xác định hàm số - Để có tảng logic Giải tích phải hiểu rõ chất hệ thống số thực dựa số học quan niệm hình học liên tục số thực (Kleiner, 2001, p 159) 1.4 Số học hóa giải tích “Số học hóa giải tích” đề cập đến đồng thời tên nhà toán học Cauchy, Weierstrass, Cantor, Dedekind, Dirichlet, Abel Bolzano Tiến trình số học hóa cho thấy cần thiết phải đưa nghiêm ngặt giải tích để vượt qua giới hạn trực quan phương pháp chứng minh nhà hình học (Gauthier, 2010, p.5) Theo Jahnke (2016), vào kỉ XVIII, số nhà toán học cố gắng đặt móng giải tích dựa đại số thay cho hình học Cách tiếp cận phần lớn bị từ chối kỉ XIX Thay vào đó, số tự nhiên số học cung cấp tảng vững chắc, khoảng năm 1870, “Số học hóa” trở thành hiệu Các số thực số phức xây dựng từ số hữu tỉ, số hữu tỉ xây dựng từ số tự nhiên, giải tích dựa trực tiếp cách xây dựng cách hồn tồn bỏ qua hình học Mặc dù, 255 Tập 19, Số (2022): 251-265 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Pasch, Peano, Pieri Hilbert lúc đưa tảng tiên đề vững hình học, hình học khơng lấy lại vai trị sở giải tích (p.156) Theo Lakorff Núñez (2000, p.262) Ueno (2003, p.71), cụm từ “Số học hóa Giải tích” đề cập đến nỗ lực nhà toán học kỉ XIX để tạo “lí thuyết số thực sử dụng kiến tạo lí thuyết tập hợp, số tự nhiên” Những nỗ lực diễn khoảng thời gian 50 năm, với kết sau: - Thiết lập khái niệm liên quan đến giới hạn; - Rút định lí liên quan đến khái niệm đó; - Tạo lí thuyết số thực Số học hóa Giải tích sở quan trọng cho việc xuất định nghĩa giới hạn hàm số Weierstrass “Thuật ngữ “Số học hóa” (Arithmetization) sử dụng vào kỉ XIX mô tả chung chương trình khác cung cấp tảng phi hình học cho Giải tích hay lĩnh vực tốn học khác Các chương trình bao gồm kiến tạo tính liên tục số thực từ (các tập hợp vô hạn, hay dãy) số hữu tỉ, làm rõ khái niệm hàm số, giới hạn, v.v.” (Petri & Schappacher, 2007, p.343) Hai chủ đề nghiên cứu Weierstrass “Số học hóa Giải tích” chuỗi lũy thừa với chuỗi hàm Chương trình “Số học hóa giải tích” (Arithmetisierung der Analyse) Weierstrass chương trình để tách Giải tích khỏi Hình học cung cấp cho tảng giải tích vững Cung cấp sở logic cho số thực, hàm số giải tích giai đoạn cần thiết trình phát triển Giải tích Weierstrass người dẫn đầu phong trào giảng báo ơng “Ơng khơng mang đến tiêu chuẩn nghiêm ngặt cho toán học ơng, mà cịn cố gắng làm điều tương tự với phần lớn giải tích tốn học” (Pinkus, 2000, p.3) Theo Jahnke (2016), đến cuối kỉ XIX, lúc với xu hướng ngày tăng nghiêm ngặt giải tích số học hóa tốn học, Klein (Klein, 1895) gọi, tiếp cận số học Weierstrass lí thuyết hàm giải tích trở thành ưu cụm từ “Funktionenlehre” Đức trở thành gần đồng nghĩa với lí thuyết hàm giải tích theo nguyên tắc Weierstrass (p.255) Nội dung 2.1 Một phân tích tri thức luận hình thành định nghĩa giới hạn hàm số điểm Weierstrass Theo Sinkevich (2016), kí hiệu ε δ lần Cauchy giới thiệu năm 1823, khơng có mối quan hệ phụ thuộc δ ε Cauchy xác định cụ thể Cho đến năm 1861, phương pháp epsilon-delta trình bày đầy đủ định nghĩa giới hạn hàm số Weierstrass (p.183) Tổng quan lịch sử hình thành giới hạn từ thời Cổ đại đến kỉ XVII 256 Nguyễn Ái Quốc Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Trong giai đoạn này, tốn hình học tính độ dài, tính diện tích, thể tích vật thể giới hạn đường cong nhà toán học né tránh vấn đề vô hạn sử dụng “phương pháp vét cạn” Phương pháp vét cạn loại suy tính vơ hạn cách nhờ vào số suy luận kéo theo số hữu hạn bước thao tác Để thực được, nhà toán học phải chọn số thực tùy ý giải tốn với số thực này, cuối giải toán theo cách tương tự cho số thực bé tùy ý Phương pháp chứa đựng ngầm ẩn tư tưởng chuyển qua giới hạn Xuất phát từ phương pháp vét cạn, việc tính tổng vơ hạn chuỗi phát triển mạnh vào kỉ XVII tạo mầm mống cho nảy sinh khái niệm giới hạn Nhưng giai đoạn này, nhà toán học quan tâm nhiều đến việc tính tổng chuỗi suy nghĩ hội tụ hay phân kì chuỗi Khái niệm giới hạn công cụ ngầm ẩn để giải toán, chưa phải đối tượng nghiên cứu Từ sau kỉ XVII, Giải tích tốn học phát triển mạnh mẽ thơng qua tốn tiếp tuyến đường cong, phát triển vơ bé, khơng có dấu vết định nghĩa giới hạn chặt chẽ ta biết ngày Các nhà toán học làm việc dựa trực quan mà khơng tìm kiếm tính xác; kết tính dựa phương pháp xác Các đóng góp nhà toán học đánh dấu phát triển giới hạn Bonaventura Francesco Cavalieri (1598-1647) Năm 1635, Cavalieri cơng bố cơng trình tiếng nhất, Geometria indivisibilis continuorum nova Cơng trình kết hợp phương pháp Archimedes thuyết Kepler việc tính diện tích thể tích Trong nghiên cứu mình, Cavalieri mơ tả “Phương pháp chia tách được”, (Method of Indivisibles) liên quan đến việc chia hình hình học thành phần nhỏ hơn, ông không sử dụng hình tam giác nhà tốn học trước làm (Nevalainen, 2002, p.5) Cavalieri hình dung diện tích bao gồm số khơng xác định đường thẳng song song thể tích bao gồm số không xác định tiết diện phẳng Ông gọi đường thẳng mặt phẳng chia tách (Nevalainen, 2002, p.6) Phần lớn cơng trình Cavalieri liên quan đến Hình học giải tích Giải tích, mà hai lĩnh vực chưa phát triển hồn tồn vào lúc Ơng khơng có kiến thức hình thức giới hạn, phương pháp ông cho thấy việc hiểu rõ khái niệm Khi có thể, Cavalieri thực tránh ý tưởng vô lớn vơ bé, thiếu nghiêm ngặt nghiên cứu ông Mặc dù, tránh né vô hạn Cavalieri đánh dấu phát triển giới hạn, chủ đề tương đồng với vô hạn (Nevalainen, 2002, p.7) Pierre de Fermat (1601-1665) 257 Tập 19, Số (2022): 251-265 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Pierre de Fermat nhà toán học người Pháp thể kỉ XVII, ghi dấu cho đóng góp khái niệm giới hạn, lúc giải tích giới hạn chưa định nghĩa Fermat ghi nhận với nhiều bước tiến hình học giải tích Bằng cách sử dụng hình học giải tích, ơng tìm phương trình đường cong tương tự xây dựng nhiều đường cong Khi nghiên cứu đường cong này, Fermat khảo sát điểm cực đại điểm cực tiểu, từ áp dụng cho tiến trình lân cận Fermat trở nên tị mị “bài tốn tiếp tuyến” Ơng nhận ơng áp dụng kĩ thuật cho việc tìm điểm cực đại điểm cực tiểu việc tìm tiếp tuyến đường cong Fermat phát triển q trình để tìm diện tích miền nằm phía đường cong Tuy nhiên, ông hiểu làm để phân hoạch khoảng để tìm diện tích, ơng chưa có kết nối điều với tiếp tuyến đường cong, điều dẫn đến định lí giải tích mà Newton Leibniz nhận (Nevalainen, 2002, p.7-8) Fermat sử dụng “tiến trình giới hạn” sở thơng thường Về sau tiến trình lân cận ơng chứng minh áp dụng xem xét đến định nghĩa hình thức giới hạn, hàng trăm năm (Nevalainen, 2002, p.10) Isaac Newton (1642-1727) Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716) Newton phát triển giải tích ơng dựa khái niệm vi phân (fluxion) vào khoảng 1665-1666 Ngay từ đầu, ông khám phá yếu tố liên quan đến tính nghiêm ngặt Quan niệm Newton giải tích sử dụng khái niệm “vơ bé” (infinitesimal), giá trị lớn nhỏ đại lượng nào, làm sở cho phương pháp xác định tiếp tuyến ông Tuy nhiên, việc sử dụng khái niệm tạo kết nói chung xác, dẫn đến khó khăn nghiêm ngặt Newton tập trung vào mà ông gọi “tỉ lệ trước tỉ lệ cuối cùng” “tỉ lệ tỉ lệ sau”, tỉ lệ vơ bé xuất phát từ công thức sử dụng để tìm độ dốc (hệ số góc) đường tiếp tuyến Công thức sử dụng giống công thức sử dụng ngày Trong sở cho giải tích nghiêm ngặt vơ bé, Newton để lại mơ hồ ơng muốn nói xác tỉ lệ Do quan niệm Newton giải tích thiên mặt hình học nhiều hơn, nên quan điểm ông giới hạn “bị chặn với trực giác hình học khiến ơng đưa phát biểu mơ hồ khơng xác” (Boyer, 1949, p.197) Sự mơ hồ cơng trình Newton dẫn đến nhiều tranh luận người kế thừa ơng ý nghĩa thực Cuối cùng, ấn phẩm năm 1704 mình, Newton lưu ý “các sai số không coi thường toán học, nhỏ nào” (Boyer, 1949, p.201) Do đó, mơ hồ cịn sót lại, Newton thực nỗ lực có ý thức để làm cho nghiên cứu nghiêm ngặt chất Mặc dù, Newton Leibniz thực nghiên cứu độc lập với ý tưởng họ gần giống Mỗi xây dựng giải tích họ dựa tỉ số tích vơ bé; Newton gọi đại lượng “fluxions” (vi phân), 258 Nguyễn Ái Quốc Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Leibniz gọi chúng “differentials” (phép tính vi phân) Cả hai sử dụng lí thuyết vơ bé việc phát triển tốn giải tích (Kline, 1972, p.279) Mặc dù, Leibniz cung cấp nhiều kí hiệu hữu ích nhiều kết cho giải tích, so với Newton nghiên cứu ơng thiếu nghiêm ngặt Nghiên cứu Liebniz dựa đại lượng vô bé, cho thật hữu ích xem xét đại lượng nhỏ vô cho tỉ số chúng tìm kiếm khơng coi khơng Leibniz biến đại lượng vô bé thành khái niệm phép tính vi phân ơng (Adams, 2013, p.47) Leonhard Euler (1707-1783) Giải tích Newton Leibniz giải tích biến số hàm số Một bước đột phá lớn Euler thực vào khoảng kỉ XVIII cách biến khái niệm hàm số thành trung tâm mà giải tích xoay quanh (Kleiner, 2001) Khơng giống Leibniz giải thích thương số dy/dx thương vi phân, Euler giải thích thương số không 0/0 (Boyer, 1949, p.269) Thương số 0/0 vơ nghĩa bối cảnh tốn học phép chia cho số không phép Tuy nhiên, quan niệm phù hợp với quan điểm Wallis, John Bernoulli Fontenelle, người quan niệm nhỏ vô nghịch đảo vơ lớn Do đó, chúng đại diện cho vô bé a/∞ = vô lớn 1/0 = ∞ (Boyer, 1949, p.245) Mặc dù ngày nay, điều khơng có ý nghĩa gì, lúc chúng có ý nghĩa tạo mối liên quan khái niệm “vô bé” “vô lớn” Jean le Rond d'Alembert (1717-1783) “D’Alembert nhận khái niệm giới hạn quan trọng giải tích đạo hàm cần có hiểu biết khái niệm giới hạn” (Kline, 1972; Hollingdale, 1989) D’Alembert khẳng định giới hạn thứ vượt Giới hạn đạt Bây biết giới hạn hàm số liên tục đạt D’Alembert đưa định nghĩa giới hạn sau giới hạn D’Alembert số: Một đại lượng cho giới hạn đại lượng khác đại lượng thứ hai tiến gần đến đại lượng thứ đại lượng cho trước, nhiên nhỏ, đại lượng thứ hai khơng vượt đại lượng mà tiến gần đến, khác biệt đại lượng với giới hạn khơng thể gán Khơng đại lượng khơng vượt q giới hạn nó, mà cịn khơng thể thực đạt (Hollingdale, 1989, p.305) Bernard Bolzano (1781-1848) Khơng giống Euler giải thích dy/dx tỉ số số 0, Bolzano quan niệm kí hiệu dy/dx khơng giải thích tỉ số thương số số khơng mà kí hiệu cho hàm (Boyer, 1949, p.269) Ông nói thêm hàm rút gọn thành 0/0, khơng có giá trị xác định điểm Tuy nhiên, có giá trị 259 Tập 19, Số (2022): 251-265 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM giới hạn hàm liên tục điểm Giải thích Bolzano cịn có giá trị đến ngày Giá trị giới hạn tồn hàm số không xác định Nhưng giá trị hàm số khơng tồn điểm Như vậy, nghiêm ngặt hóa giải tích chương trình số học hóa giải tích bước tiến quan trọng, thay đổi quan niệm giải tích từ quan niệm hình học sang quan niệm đại số vào kỉ XVIII Đến kỉ XIX, quan niệm số học đặt móng cho định nghĩa khái niệm trở nên chặt chẽ Augustin – Louis Cauchy (1789-1857) Cauchy chọn vài khái niệm giới hạn, tính liên tục, hội tụ, đạo hàm xác định khái niệm giới hạn trung tâm tất khái niệm (Kleiner, 2001, p.161) Định nghĩa khái niệm giới hạn Cauchy sau: Khi giá trị liên tiếp gán cho biến số tiến gần vô hạn đến giá trị cố định, cuối khác với giá trị nhỏ theo mong muốn, giá trị cố định gọi giới hạn tất giá trị khác (Kleiner, 2001, p.161) Mặc dù, Cauchy nói giới hạn biến thay giới hạn hàm, nhiên, ơng khơng cam kết nói điều xảy biến tiến dần đến giới hạn Có vẻ Cauchy muốn nói dãy tạo ra, số hạng dãy sinh trở nên lúc nhỏ giá trị số chúng gần với Vì mức giảm khơng xác định, điều có nghĩa chúng khơng khơng Cauchy người trình bày phương pháp xử lí cẩn thận có hệ thống chuỗi hội tụ Cauchy đưa định nghĩa sau: “Một chuỗi hội tụ tăng giá trị n, tổng sn n số hạng tiến gần đến giới hạn s, gọi tổng chuỗi.” (Boyer 1968, p.458) Định nghĩa cho giới hạn chuỗi hội tụ Cauchy chứng minh điều kiện cần đủ để chuỗi vô hạn hội tụ là: “Đối với giá trị p cho, độ lớn hiệu 𝑠𝑠𝑛𝑛 𝑠𝑠𝑛𝑛+𝑝𝑝 tiến phía n tăng vơ hạn.” (Boyer, 1968, p.458) Định nghĩa tương tự định nghĩa khơng hình thức giới hạn sử dụng ngày Như vậy, nhà toán học quen với việc lấy tảng nghiêm ngặt hóa giải tích tổng thể hoàn chỉnh Tuy nhiên, tác phẩm Cauchy, dấu vết thực cịn sót lại từ nguồn gốc nghiêm ngặt hóa giải tích phép tính gần kí hiệu epsilon Cauchy không sử dụng ngôn ngữ epsilon – delta chứng minh chí cơng trình sau kí hiệu delta khơng phụ thuộc vào kí hiệu epsilon định nghĩa giới hạn xác hóa Weierstrass Karl Weierstrass (1815-1897) Mặc dù, Bolzano người ủng hộ cho nghiêm ngặt, nhà toán học người Đức Weierstrass (1815-1897) người xây dựng định nghĩa tĩnh giới hạn sử dụng ngày nay, giới hạn L hàm 𝑓𝑓(𝑥𝑥) điểm 𝑥𝑥0 cách đưa định nghĩa rõ ràng xác ngày (Boyer, 1949, p.287) 260 Nguyễn Ái Quốc Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Weierstrass mang lại xác cho giải tích ngày Ơng cho để đặt giải tích tảng vững chắc, trước tiên hệ thống số thực phải nghiêm ngặt hóa sau khái niệm giải tích rút từ hệ thống số Do đó, giải tích thiết lập tảng hệ thống số thực Weierstrass trình bày lại định nghĩa ban đầu Cauchy giới hạn theo số học nghiêm ngặt, sử dụng giá trị tuyệt đối bất đẳng thức, đưa định nghĩa theo epsilon – delta sử dụng ngày mơn giải tích Weierstrass ghi nhận tạo giới hạn tĩnh độc lập với thời gian, cung cấp định nghĩa epsilon – delta hình thức: “ lim 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝐿𝐿 ⟺ ∀ℇ > 0, ∃𝛿𝛿 > 0, < |𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0 | < 𝛿𝛿 ⟹ |𝑓𝑓(𝑥𝑥) − 𝐿𝐿| < 𝑥𝑥→𝑥𝑥0 𝜀𝜀” (Dunham, 2008, p.130) Định nghĩa phát biểu số L gọi giới hạn hàm số 𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥0 , nếu, cho trước số epsilon ε nhỏ tùy ý, tìm số delta δ khác cho với giá trị x sai khác với 𝑥𝑥0 nhỏ δ lớn 0, giá trị 𝑓𝑓(𝑥𝑥) sai khác với L nhỏ ε Định nghĩa giới hạn này, ngày gọi định nghĩa epsilon – delta giới hạn hàm số, xem công thức giải tích chặt chẽ Định nghĩa loại bỏ thuật ngữ bé, vô bé, x tiến gần gần mong muốn, câu hỏi liệu biến tiến gần đến giới hạn đạt giới hạn hay khơng Định nghĩa xác giới hạn không liên quan đến ý tưởng tiếp cận, mà trạng thái tĩnh Ngoài ra, Weierstrass cung cấp cho kí hiệu 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑥𝑥→𝑥𝑥0 để thể “giới hạn x tiến gần 𝑥𝑥0 ”, báo năm 1841, Weierstrass viết “lim” (Burton, 2007, p.619) Như vậy, kết phân tích tri thức luận cho thấy lịch sử hình thành định nghĩa xuất khái niệm vô hạn vào thời Cổ đại (Thế kỉ thứ VI trước Công Nguyên) kéo dài nỗ lực nhà toán học kỉ XVIII để làm cho giải tích trở nên nghiêm ngặt đến kỉ XIX, nhà toán học Weierstrass thực “Chương trình số học hóa giải tích”, định nghĩa giới hạn theo ngôn ngữ epsilon – delta thức đời 2.2 Các kết luận rút từ phân tích lịch sử hình thành định nghĩa Weierstrass • Các quan điểm hình thành định nghĩa giới hạn hàm số theo ngôn ngữ ε -δ Theo Lê Thái Bảo Thiên Trung (2011, p.63-64), có ba quan điểm hình thành giới hạn sau: - Quan điểm “xấp xỉ x”: Nếu đại lượng x tiến giá trị a đại lượng (theo nghĩa, nhận giá trị ngày gần a) đại lượng y – đại lượng phụ thuộc x (một hàm số biến x) – tiến giá trị l Nghĩa x lúc gần a kéo theo y lúc gần l - Quan điểm “xấp xỉ 𝑓𝑓(𝑥𝑥)”: độ xấp xỉ 𝑓𝑓(𝑥𝑥) với l mà ta mong muốn định độ xấp xỉ x với a cần chọn - Quan điểm “đại số” : người ta thao tác theo quy tắc đại số giới hạn mà không đề cập đến nghĩa khái niệm giới hạn (Le, 2011) 261 Tập 19, Số (2022): 251-265 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM • Các quan niệm ảnh hưởng lên hình thành định nghĩa giới hạn hàm số theo ngôn ngữ ε -δ Từ phân tích tri thức luận mục 6.1, xác định hai quan niệm ảnh hưởng lên hình thành định nghĩa giới hạn hàm số điểm theo ngôn ngữ ε-δ sau: - Quan niệm nghiêm ngặt hóa: quan niệm manh nha từ thời cổ đại, đến kỉ XIV ảnh hưởng lên tồn tư tưởng nhà tốn học với mong muốn củng cố tảng toán học - Quan niệm số học hóa: gắn liền với quan niệm nghiêm ngặt hóa với nỗ lực nhà toán học suốt 50 năm kỉ XIX nhằm tách Giải tích khỏi Hình học • Các đặc trưng tri thức luận Từ phân tích q trình lịch sử hình thành định nghĩa giới hạn hàm số theo ngôn ngữ ε - δ dựa tài liệu tham khảo Pinkus (2000), Boyer (1969), Nevalainen (2002), Edwards (1979), Sinkevich (2016), Petri Schappacher (2007), rút hai đặc trưng tri thức luận đáng ý sau: - Đặc trưng tính nghiêm ngặt: thể xác khái niệm giới hạn hàm số; - Đặc trưng kí hiệu hóa epsilon – delta: mô tả giới hạn hàm số ngôn ngữ ε - δ; - Đặc trưng mối quan hệ phụ thuộc: delta xác định phụ thuộc theo epsilon • Chướng ngại tri thức luận Liên quan đến việc làm rõ cơng trình Cornu (1983), Sierpinska (1987) đề xuất danh sách gồm năm kiểu chướng ngại liên quan đến giới hạn: - Chướng ngại gắn liền với tính vô cực; - Chướng ngại gắn liền với hàm số: tính đơn điệu, cận nhỏ nhất, cận lớn nhất, dãy giá trị; - Chướng ngại hình học: trực giác hình học chướng ngại cho việc xây dựng định nghĩa chặt chẽ, giới hạn biên tập hợp; - Chướng ngại logic gắn liền với vấn đề tốn tử; - Chướng ngại kí hiệu; - Chướng ngại gắn liền với tính phụ thuộc delta theo epsilon: Kết thực nghiệm mục 1.1 cho thấy có sinh viên gặp ba khó khăn khơng ước lượng δ để khoảng cách từ giá trị hàm số 𝑓𝑓(𝑥𝑥) đến giới hạn L nhỏ ε, với việc xem xét δ độc lập với ε khơng nhận mối quan hệ phụ thuộc δ theo ε Mặt khác, kết phân tích tri thức luận lịch sử cho thấy định nghĩa giới hạn hàm số theo ngôn ngữ ε - δ Weierstrass cải thiện từ cơng trình nghiên cứu Bolzano, Cauchy, ông cố gắng tránh trực giác tránh đề cập đến phát biểu “một biến tiến gần đến giới hạn” gợi ý ý tưởng thời gian chuyển động, xây dựng định nghĩa khái niệm hình học (Kline, 1972, p.952) Mặc dù, Bolzano Cauchy thực nghiêm ngặt hóa 262 Nguyễn Ái Quốc Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM giải tích, định nghĩa giới hạn hàm số, hai ông mô tả epsilon delta cách ngầm ẩn phụ thuộc delta vào epsilon, xem trở ngại mong muốn nghiêm ngặt hóa khái niệm giới hạn hàm số Từ kết phân tích này, cho phép rút chướng ngại tri thức luận định nghĩa Weierstrass giới hạn hàm số chướng ngại gắn liền với tính phụ thuộc delta theo epsilon 2.3 Giả thuyết nghiên cứu Từ kết phân tích tri thức luận mục 2.1, 2.2, từ ba khó khăn xác định thực nghiệm khảo sát ban đầu SV mục 1.1: - Không nhớ định nghĩa giới hạn hàm số theo ngôn ngữ ε-δ; - Không hiểu nghĩa khái niệm giới hạn hàm số điểm; - Không ước lượng δ theo ε để chứng minh giới hạn hàm số xây dựng giả thuyết nghiên cứu H khó khăn SV lần đầu tiếp cận định nghĩa giới hạn hàm số theo ngôn ngữ epsilon-delta sau: Tồn khó khăn khơng ước lượng δ cho khoảng cách giá trị hàm số 𝑓𝑓(𝑥𝑥) giới hạn L chứng minh giới hạn hàm số sinh viên lần đầu tiếp cận định nghĩa giới hạn hàm số theo ngơn ngữ epsilon-delta có nguồn gốc từ chướng ngại tri thức luận: chướng ngại gắn liền với mối quan hệ phụ thuộc δ theo ε Kết luận Kết phân tích tri thức luận lịch sử cho thấy trình hình thành định nghĩa giới hạn hàm số điểm theo ngôn ngữ epsilon-delta chịu ảnh hưởng mạnh mẽ hai quan niệm lớn: nghiêm ngặt hóa số học hóa Định nghĩa Weierstrass thể tính chặt chẽ xác giới hạn hàm số điểm Trong hai kỉ trước, định nghĩa epsilon-delta dẫn đến tiến hiệu giải tích làm rõ ý nghĩa số khái niệm cho nhà toán học chuyên nghiệp Ngày nay, dạy học phần “Giải tích hàm biến”, SV bắt đầu học giải tích, tỏ q phức tạp khó hiểu Do đó, số nhà đào tạo sử dụng phiên trực quan nhấn mạnh “tính xấp xỉ” “tiến gần đến”, chứa đựng yếu tố phức tạp mơ hồ (Tall, 1981; Juter, 2005) Hiểu tính chặt chẽ xác định nghĩa Weierstrass ngôn ngữ epsilon-delta giúp SV có nhìn khó khăn mà họ phải đương đầu tiếp cận tri thức Chúng tiến hành thực nghiệm để kiểm chứng giả thuyết H nghiên cứu  Tuyên bố quyền lợi: Tác giả xác nhận hồn tồn khơng có xung đột quyền lợi 263 Tập 19, Số (2022): 251-265 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM TÀI LIỆU THAM KHẢO Adams, M S (2013) Students’ conceptual knowledge of limits in calculus: A two-part constructivist case study Dissertation submitted to the faculty of The University of North Carolina at Charlotte Boyer, C B (1949) The history of calculus and its conceptual development New York: Dover publications Boyer, C B (1968) A history of mathematics New York: John Wiley & Sons Boyer, C B (1969) The history of the calculus-an overview Thirty First Yearbook Washington D.C National Council of Teachers of Mathematics Brousseau, G (1983) Les obstacles epistemologiques et les problèmes en mathématiques Recherches in Didactique des Mathematiques, 4(2), 165-198 Burton, D M (2007) The History of Mathematics – An Introduction, 6th Ed., The McGraw Hill Companies, Inc Cornu, B (1983) Apprentissage de la notion de limite: Conceptions et Obstacles Doctoral Thesis, Grenoble Dunham, W (2008) The calculus gallery: Masterpieces from Newton to Lebesque New Jersey: Princeton University Press Edwards, C (1979) The historical development of the calculus New York: Springer Verlag Gauthier, Y (2010) Toward an Arithmetical Logic: The Arithmetical Foudations of Logic Birkhäuser Jahnke, H N (2016) A history of Analysis American Mathematical Society Hollingdale, S (1989) Makers of mathematics London: Penguin Group Juter, K (2005) Students' attitudes to mathematics and performance in limits of functions Mathematics Education Research Journal, 17(2), 92-110 Kline, M (1972) Mathematical thought from ancient to modern times New York: Oxford University Press Kleiner, I (2001) History of the infinitely small and infinitely large in calculus Educational Studies in Mathematics, 48, 137-174 Kleiner, I (2012) Excursions in the History of Mathematics Birkhäuser Lakorff, G & Núñez, R (2000) Where Mathematics Comes From: How the Embodied Mind Brings Mathematics into Being New York: Basic Books Le, T B T T (2011) Day va hoc khai niem gioi han ham so o truong thong [Teaching and learning concept of limit of function on secondary] Journal of Science of Ho Chi Minh City University of Education, 27, 62-67 Le, T B T T (2017) Cac tinh huong tranh luan khoa hoc xoay quanh mot so chuong ngai tri thuc luan cua khai niem gioi han [Situations of scientific controversies revolve around some epistemological obstacles of the concept of limits] Actes du sixième colloque international en didactique desmathématiques Ho Chi Minh City University of Education 264 Nguyễn Ái Quốc Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Le, T B T T., & Pham, H T (2017) Day va hoc dinh nghia chinh xac ve gioi han cua ham so thong qua qua trinh mo hinh hoa toan hoc [Teaching and learning exact definition of limit of function through mathematical modelization] Journal of Science of Can Tho University, 51, 1-6 Nevalainen, L A (2002) LIMIT Highlights from over 2000 years of developments in calculus limits Honor Thesis Bemidji State University Petri B., & Schappacher N (2007) On Arithmetization In: Goldstein C., Schappacher N., Schwermer J (eds) The Shaping of Arithmetic after C F Gauss’s Disquisitiones Arithmeticae Springer, Berlin, Heidelberg Pinkus, A (2000) Weierstrass and Approximation Theory Journal of Approximation Theory 107, 1-66 Sierpinska, A (1987) Humanities students and epistemological obstacles related to limits Educational Studies in Mathematics, 18(4), 371-397 Sinkevich, G I (2016) On the history of epsilontics Antiquitates Mathematicae, 10, 183-204 Stewart, J (2016) Calculus Eighth Ed., Cengage Learning Tall, D O (1981) Comments on the difficulty and validity of various approaches to the calculus For the Learning of Mathematics, 2, 16-21 Ueno, Y (2003) Kronecker’s idea of arithmetization of mathematics Academic reports, Fac Eng Tokyo Polytech Univ, 26(1) AN EPISTEMOLOGICAL ANALYSIS OF THE FORMULATION OF WEIERSTRASS’ LIMIT DEFINITION OF A FUNCTION AT A POINT Nguyen Ai Quoc Saigon University, Vietnam Corresponding author: Nguyen Ai Quoc – Email: nguyenaq2014@gmail.com Received: June 04, 2019; Revised: September 04, 2021; Accepted: February 11, 2022 ABSTRACT This paper presents an epistemological analysis that clarifies the process of forming the Weierstrass' epsilon-delta limit definition of functions The study analyzes the origin of the concept of limit and the conditions for forming the Weierstrass limit definition of functions over the periods from Antiquity to the end of the 19th century The research results allow determining two mathematical perspectives that influenced the formulation of Weierstrass' definition, rigorization and arithmetization of analysis; and the epistemological obstacles associated with Weierstrass' definition The research results contribute to clarifying the epistemological origin of the difficulties and mistakes encountered by preservice students of Mathematics when approaching the Weierstrass' epsilon-delta limit definition of functions Keywords: arithmetization; epistemological analysis; epsilon-delta; obstacle; limit of function; rigorization 265 ... định nghĩa giới hạn hàm số theo ngôn ngữ ε-δ; - Không hiểu nghĩa khái niệm giới hạn hàm số điểm; - Không ước lượng δ theo ε để chứng minh giới hạn hàm số 1.2 Sự cần thiết phân tích tri thức luận. .. phân tích lịch sử hình thành định nghĩa Weierstrass • Các quan điểm hình thành định nghĩa giới hạn hàm số theo ngôn ngữ ε -δ Theo Lê Thái Bảo Thiên Trung (2011, p.63-64), có ba quan điểm hình thành. .. khái niệm giới hạn? ?? (Kline, 1972; Hollingdale, 1989) D’Alembert khẳng định giới hạn thứ vượt Giới hạn đạt Bây biết giới hạn hàm số liên tục đạt D’Alembert đưa định nghĩa giới hạn sau giới hạn D’Alembert