Áp dụng cách tìm hình chiếu của một điểm trên một mặt phẳng vào bài toán khoảng cách trong không gia...

Áp dụng cách tìm hình chiếu của một điểm trên một mặt phẳng vào bài toán khoảng cách trong không gian thuộc chương trình Hình học 11 cho học sinh ở trường THPT Quảng Xương 4 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THA[.]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG - - SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ÁP DỤNG CÁCH TÌM HÌNH CHIẾU CỦA MỘT ĐIỂM TRÊN MỘT MẶT PHẲNG VÀO BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH TRONG KHƠNG GIAN THUỘC CHƯƠNG TRÌNH HÌNH HỌC 11 CHO HỌC SINH Ở TRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG  Người thực hiện: Lê Thị Dịu Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực: Tốn học THANH HĨA, NĂM 2018 SangKienKinhNghiem.net MỤC LỤC Trang A PHẦN MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài II Mục đích nghiên cứu III Đối tượng nghiên cứu IV Phương pháp nghiên cứu B PHẦN NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM I Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm II Thực trạng vấn đề …………………………………… III Một số toán vận dụng Bài tốn áp dụng1: Tính khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song Bài toán áp dụng 2: Tính khoảng cách hai mặt phẳng song song Bài tốn áp dụng 3: Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo …………………………………………………… IV Các tập đề nghị V.Kết nghiên cứu C.KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO……………………………………… 2 2 3 4 9 11 12 13 14 SangKienKinhNghiem.net A.MỞ ĐẦU I Lí chọn đề tài Phần tốn tính khoảng cách phần quan trọng chương trình THPT phần thiếu kỳ thi học sinh giỏi THPT Quốc Gia Để xác định khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song,khoảng cách hai đường thẳng chéo học sinh phải dựa định nghĩa, định lý quan hệ song song quan hệ vng góc Việc học sinh xác định khoảng cách nhiều lúng túng xác định khoảng cách cách tính lại rườm rà phức tạp Việc áp dụng cách tìm hình chiếu điểm mặt phẳng làm cho nhiều toán trở nên đơn giản nhiều từ chuyên đề nhỏ với kinh nghiệm mà tơi tích lũy em mở rộng tư tiếp cận số toán khác kỳ thi THPT Quốc gia 5 II Mục đích nghiên cứu Để tìm lời giải tốn tính khoảng cách khơng gian trước hết phải xác định loại khoảng cách ,qua thực tế giảng dạy rút số kinh nghiệm nhỏ việc hướng dẫn học sinh xác định loại khoảng cách Một thao tác quan trọng mà học sinh cần có tìm hình chiếu điểm mặt phẳng xác định Vì viết chủ yếu vận dụng phương pháp tìm hình chiếu điểm mặt phẳng vào tìm khoảng cách khơng gian III Đối tượng nghiên cứu Để thực đề tài này, tiến hành nghiên cứu sâu việc khai thác phương pháp tìm khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng ; với đối tượng chủ yếu học sinh lớp 11 số buổi ôn tập học sinh lớp 12 IV Phương pháp nghiên cứu Đề tài sáng kiến kinh nghiệm sử dụng phương pháp nghiên cứu sau: - Phương pháp nghiên cứu lý luận: Sử dụng phương pháp phân tích, tổng hợp để nhằm xây dựng sở lý luận cho đề tài - Phương pháp nghiên cứu thực tiễn: Sử dụng phương pháp quan sát, đánh giá thực tiễn, điều tra thơng tin - Phương pháp thống kê tốn học SangKienKinhNghiem.net B PHẦN NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM I.CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Cơ sở lí luận đề tài viết dựa sở lí thuyết quan hệ song song, quan hệ vng góc khơng gian thuộc chương trình hình học lớp 11 đặc biệt phần lí thuyết sau: 1.Đường thẳng vng góc với mặt phẳng: Định nghĩa: Đường thẳng d gọi vng góc với mặt phẳng (P) vng góc với đường thẳng a nằm mặt phẳng (P) Định lí: Nếu đường thẳng vng góc với hai đường thẳng cắt thuộc mặt phẳng vng góc với mặt phẳng 1 Mặt phẳng vng góc với mặt phẳng Định nghĩa: Hai mặt phẳng gọi vng góc với góc hai mặt phẳng góc vng Định lí: Điều kiện cần đủ để hai mặt phẳng vng góc mặt phẳng chứa đường thẳng vng góc với mặt phẳng Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng vng góc với đường thẳng mặt phẳng vng góc với giao tuyến vng góc với mặt phẳng 1 Hệ cho cách tìm hình chiếu điểm O lên phẳng (P) sau: Bước : Xác định mặt phẳng (Q) chứa O mà (P)  (Q)   Bước : Trong mặt phẳng (Q) kẻ OH  Δ Theo định lí OH  (P)  H hình chiếu vng góc O (P) Khoảng cách từ O đến mặt phẳng (P): Định nghĩa: Nếu H hình chiếu vng góc O lên mặt phẳng (P) độ dài OH khoảng cách từ O đến mặt phẳng (P) 1 Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song: Khi a // (P) khoảng cách a (P) khoảng cách từ điểm A a đến mặt phẳng (P) 1 Khoảng cách hai mặt phẳng song song: Nếu (P) // (Q) khoảng cách (P) (Q) khoảng cách từ điểm A a đến mặt phẳng (Q) 1 Khoảng cách hai đường thẳng chéo a b: Định nghĩa: Khoảng cách hai đường thẳng chéo a b độ dài đoạn vng góc chung a b Ngoài ra, khoảng cách hai đường thẳng chéo a b cịn tính bằng: + Khoảng cách hai đường thẳng mặt phẳng song song với đường thẳng ,chứa đường thẳng cịn lại SangKienKinhNghiem.net + Khoảng cách hai mặt phẳng song song chứa hai đường thẳng 1 II THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ Qua thời gian giảng dạy trường THPT Quảng Xương 4, tiếp cận với học sinh, nắm bắt khả học sinh, tơi thấy nhiều em cịn lúng túng, thao tác chậm làm toán khoảng cách, đặc biệt tốn khơng cịn tốn thao tác tư hình học lại chậm Tôi cố gắng đọc tài liệu, sách báo, tìm hiểu đề kỳ thi kinh nghiệm thân, nghiên cứu sâu vào vấn đề để biên soạn hệ thống mảng tính khoảng cách cho học sinh khối 11, 12 nhằm mục đích tạo điều kiện phù hợp với học sinh từ yếu đến trung bình, khá, giỏi III MỘT SỐ BÀI TỐN VẬN DỤNG Bài tốn bản: (Tìm khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (P) ) (A  (P)) Cho hình chóp S ABC có SA  (ABC) ,  ABC vng A; AB = a, AC = b, SA = c Tính khoảng cách từ A đến mp (SBC) ? 6 Phân tích: Trước tiên tơi hướng dẫn học sinh xác định khoảng cách từ A đến mp (SBC) : Trong(ABC) kẻ AM  BC (M  BC).Trong (SAM) kẻ AH  SM ( H  SM) Ta có: BC  AM    BC  (SAM ) BC  SA  Khi mặt phẳng (SAM) đóng vai trị mặt phẳng (Q) mặt phẳng (SBC) đóng vai trò mặt phẳng (P) mục kiến thức Giải: Trong(ABC) kẻ AM  BC (M  BC) Trong (SAM) kẻ AH  SM ( H  SM) Ta có: BC  AM    BC  (SAM ) BC  SA  SangKienKinhNghiem.net Khi mặt phẳng (SAM) => BC  AH mà AH  SM => AH  (SBC) Tính AH = ?  SAM vuông A, AH đường cao 1 1 1 1  2  2   2 2 2 2 AH SA AM SA AB AC a b c abc => AH = b c  a c  a 2b Sau làm song tập ý cho học sinh trường hợp  ABC vuông B (hoặc C) H  AB (hoặc H  SC) Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, tâm O Cạnh bên SA vng góc với đáy , SA= a Tính khoảng cách: a Từ A đến mp (SBD) b Từ O đến mp (SCD) 7 Phân tích: Từ hình vẽ giả thiết tốn học sinh khó phát hình chiếu A lên mp(SBD) Nhưng thực theo bước tìm hình hiếu nêu giải khơng cịn khó khăn Chẳng hạn: Câua: Tơi ý cho học sinh mp(SBD) đóng vai trị mp (SBC) , điểm O đóng vai trị điểm M tốn Câub: khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SCD) phần hai khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) ,sau quay trở lại mơ hình tốn Giải: S H J K A D I O B C a Theo giả thiết : BD  (SAC)   (SAC)  (SBD) BD  (SBD) Lại có : (SAC)  (SBD) = SO Trong mp (SAO) kẻ AH  SO Từ (1), (2) (3) ta có : AH  (SBD)  H hình chiếu vng góc A lên (SBD) (1) (2) (3) SangKienKinhNghiem.net Vậy AH khoảng cách từ A đến (SBD) Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông SAO 1 1      Ta có : 2 2a AH SA AO 2a a a 10  AH = b Khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SCD): Cách 1:khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SCD) phần hai khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) ,sau quay trở lại mơ hình tốn Cách 2: Tơi hướng dẫn học sinh chọn mặt phẳng chứa O vng góc với mp(SCD) (OIJ) I, J trung điểm CD, SC Ta có : (SCD)  (OIJ)   (SCD)  (OIJ)  IJ   OK  (SCD) Trong mp(OIJ) kỴ OK  IJ   K hình chiếu O lên mp(SCD)  OK khoảng cách từ O đến mp(SCD) Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng SAO OIJ ta có: 1 a = + =  OK  OK OI OJ a2 Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD, ABCD hình vng cạnh a; SD = 3a hình chiếu vng góc S (ABCD) trung điểm AB Tính khoảng cách từ A đến mp(SBD) (Đề khối A – 2014) 9 Phân tích: Gọi H trung điểm AB Suy SH (ABCD) Ta có d(A,(SBD))=2d(H,(SBD)) Mơ hình tính khoảng cách giống tốn SangKienKinhNghiem.net Giải: Gọi H trung điểm AB Suy SH  (ABCD) SH  SD  HD  9a 5a  a 4 Gọi K, E hình chiếu vng góc H BD SK Ta có BD  HK BD  SH nên BD  (SHK)  BD  HE mà HE  SK  HE(SBD) Ta có HK= HB.45 = a 1 a = 2 =  HE  2 HE HS HK a  d(A,(SBD)) = 2d(H,(SBD)) = 2HE = Bài toán áp dụng1: Tính khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD, ABCD hình vng cạnh a tất cạnh bên a.Tính khoảng cách AB mp(SCD) 8 Phân tích: Do AB // CD    AB// (SCD) CD  (SCD)   d(AB,(SCD)) = d(A,(SCD)) = 2d(O,(SCD)) Mơ hình tính khoảng cách tốn giống tốn mp(SCD) đóng vai trị mp (SBC) điểm O đóng vai trị điểm A Giải: Do AB // CD    AB// (SCD) CD  (SCD)  Ta có d(AB,(SCD)) = d(A,(SCD)) = 2.d(O,(SCD)) SangKienKinhNghiem.net Ta có SBD  CBD(c.c.c)  SO  OC  a 2 Gọi M H hình chiếu vng góc O CD SM 1    2 2 OH OM OS a  d(AB,(SCD)) = d(A,(SCD)) = OH = a Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD nửa lục giác nội tiếp đường trịn đường kính AD có SA vng góc với đáy, SA = a Tính khoảng cách đường thẳng AD mp(SBC) 5 S A H E D B C Phân tích: Ta có: AD // BC  AD // (SBC)  d(AD,(SBC)) = d(A,(SBC)) Như mơ hình tốn quay mơ hình trong toán Giải: Trong mp (ABCD) kỴ AE  BC    (SAE)  BC (1) Theo gi¶ thiÕt : SA  (ABCD)  SA  BC  Mà BC  (SBC) (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã (SBC)  (SAE)   Mµ (SBC)  (SAE)  SE   AH  (SBC)  Trong (SAE) kỴ AH  SE   H hình chiếu A lên mp(SBC)  AH khoảng cách từ A đến mp(SBC) Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng SAE ta có: 1   AH SA AE Vì góc ABC  120  ABE  60 a Trong tam giác vng AEB ta có : AE = AB.sin60o = SangKienKinhNghiem.net 1 = + = 2 6a AH (a 6) a 3       6a a  AH   AH  Bài tốn áp dụng2: Tính khoảng cách hai mặt phẳng song song Ví dụ 5:Cho hình lập phương ABCD A' B 'C ' D ' , có cạnh a Tính khoảng cách mặt phẳng ( A' BD) ( B ' D 'C ) 5 Vậy D C O B A C' H B' D' A' Phân tích: Mặt phẳng ( A' BD) // ( B ' D 'C ) nên khoảng cách mặt phẳng ( A' BD) ( B ' D 'C ) khoảng cách từ C đến mặt phẳng ( A' BD) khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( A' BD) Như mơ hình tốn quay mơ hình tốn Giải: Gọi AC  BD  O Mặt phẳng ( A' BD) // ( B ' D 'C ) nên khoảng cách mặt phẳng ( A' BD) ( B ' D 'C ) khoảng cách từ C đến mặt phẳng ( A' BD) khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( A' BD) ' Ta có: AA  ( ABCD) AO  BD Suy BD  ( AOA' ) Kẻ AH  OA' AH  ( A' BD) Hay d ( A, ( A' BD))  AH Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng A' AO ta có: 1    2  2 '2 AH AO AA a a a a  d  AH  Bài tốn áp dụng3: Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD, ABCD hình vng cạnh a có SA vng góc với đáy, SA = a Tính khoảng cách đường thẳng AC SD 9 SangKienKinhNghiem.net Phân tích: Hai đường thẳng AC SD chéo không vuông góc với nên ta dùng cách tính khoảng cách tính khoảng cách hai đường thẳng chéo cách tính khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song Trong mặt phẳng (ABCD) kẻ Dt // AC  mp(S, Dt) // AC Trong mp (ABCD) kẻ AI  Dt ( I  Dt ).Trong mp(SAI) kẻ AE  SI ( E  SI ) Vậy khoảng cách d(AC,SD)= d(AC,(S, Dt))=d(A,(S, Dt))=AE Như mơ hình tốn quay mơ hình trong tốn Giải: Trong mặt phẳng (ABCD) kẻ Dt // AC  mp(S, Dt) // AC Vậy khoảng cách d(AC,SD)= d(AC,(S, Dt))=d(A,(S, Dt)) Trong mp (ABCD) kẻ AI  Dt ( I  Dt )  SI  Dt (định lý ba đường thẳng vng góc) Dt  (SAC)   (S, Dt)  (SAC) (1) mµ Dt  (S, Dt)  Lại có : ( S , Dt )  ( SAI )  SI (2) Trong mp(SAI): kẻ AE  SI (3) Từ (1), (2) (3) ta có: AE  (S, Dt) d(AC,SD) = d(AC,(S, Dt)) = d(A,(S, Dt)) Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông SAI ta có: 1   2 AE SA AI Từ giả thiết suy : AI = AD.sin 45 = a 2 10 SangKienKinhNghiem.net 1    2 AE a a 2 a ( ) a  AE = Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng đáy Góc SC (ABCD) 45 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách SB AC (Đề khối A-2015) 9 Do đó: Phân tích: Kẻ Bx qua B song song với AC  d(SB,AC) = d(A,(S,Bx)) Như mơ hình tốn quay mơ hình tốn Giải: Theo giả thiết suy SCA  450  SA = AC = a  V S.ABCD = a3 SA.S ABCD = Kẻ Bx qua B song song với AC  d(SB,AC) = d(A,(S,Bx)) Gọi M,H hình chiếu vng góc A Bx SM  d(SB,AC) = d(A,(S,Bx)) = AH Ta có tam giác ABM vuông cân M suy AM = a 2 1    2 2 AH SA AM 2a a 10 Vậy d(SB,AC) = AH =  IV Các tập đề nghị: Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a SA  (ABC) Đặt SA = h Tính khoảng cách từ A dến mặt phẳng (SBC) theo a h 11 SangKienKinhNghiem.net Bài 2: Hình chóp S.ABC có SA  (ABC) đáy ABC tam giác cân A AB = AC = 2a, BC = a góc tạo hai mặt phẳng (SBC) (ABC) 600 Hãy tính khoảng cách hai đường thẳng SC AB (Đề thi thử ĐH Hồng Đức 2016) Bài 3: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật tâm O ,AB = a, BC= a , tam giác SOA cân S Gọi I trung điểm AO; hình chiếu vng góc S mp (ABCD) giao điểm đường thẳng BI với cạnh AD , góc SD (ABCD) 600 Tính khoảng cách hai đường thẳng SB AC (Đề thi GV tháng trường THPT Quảng xương -2016) Bài 4: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm I có cạnh a; góc BAD 600 Gọi H trung điểm IB SH  (ABCD Góc SC (ABCD) 450 Tính d (A, (SCD) = ? Bài :Cho hình lập phương ABCD A’B’C’D’ có cạnh Gọi M, N trung điểm AB CD Tính khoảng cách hai đường thẳng A’C MN V.KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU Trong khuôn khổ viết tơi đưa ví dụ điển hình Từ ví dụ hướng dẫn giáo học sinh tìm tịi lời giải toán.Sau giải tốn, tơi hướng dẫn học sinh thay đổi cách tiếp cận toán , để đưa so sánh tính khả thi hiệu phương pháp Trong q trình tìm tịi học sinh khơng tự giác mà phấn chấn tiếp nhận kỹ giải toán dạng này, biết phân tích tốn nhiều góc độ khác Qua q trình giảng dạy ơn luyện cho lớp có trình độ tương đương vào tiết ơn tập buổi sáng vào buổi chiều để so sánh thấy kết thực nghiệm tốt nhiều so với lớp đối chứng Cụ thể tỉ lệ học sinh giỏi nâng lên, tỉ lệ học sinh yếu, trung bình giảm xuống.Cụ thể theo khối thể bảng sau: Kết Giỏi (%) Khá (%) Trung bình (%) Yếu (%) Khối lớp 11(Đối chứng ) 10 20 50 20 11(Thực nghiệm) 30 40 26 12(Đối chứng ) 15 20 50 15 12(Thực nghiệm) 35 40 22 12 SangKienKinhNghiem.net C KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ I KẾT LUẬN Trong viết áp dụng bước tìm hình chiếu điểm mặt phẳng xác định khoảng cách sau áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông để tính khoảng cách Đây khơng phải cách để giải dạng toán Từ định nghĩa loại khoảng cách không gian kết hợp giả thiết toán mà người học cần linh hoạt vận dụng phương pháp giải cho phù hợp Mặc dù cố gắng biên soạn chuyên đề tránh khỏi thiếu sót hạn chế, mong góp ý quý bạn đọc thầy cô giáo để chun đề hồn thiện hơn,có thể trở thành tài liệu cho giáo viên tham khảo kích thích hứng thú học tập, tìm tịi sáng tạo học sinh Xin chân thành cảm ơn! II KIẾN NGHỊ Trong trình giảng dạy áp dụng nội dung thiết nghĩ cần thiết phải có đổi cách dạy cách học Cần cho học sinh quy trình mơ cịn mang tính chất máy móc để học sinh tự tư tìm đường giải tốn XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 18 tháng năm 2018 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Tác giả Lê Thị Dịu 13 SangKienKinhNghiem.net TÀI LIỆU THAM KHẢO SGK Hình học 11- Trần Văn Hạo , Nguyễn Mộng Hy, Khu Quốc Anh, Nguyễn Hà Thanh, Phan Văn Viện SGK Hình học 11 nâng cao -Đồn Quỳnh, Văn Như Cương, Phạm Khắc Ban , Tạ Mẫn Sách tập Hình học 11- Nguyễn Mộng Hy, Khu Quốc Anh, Nguyễn Hà Thanh Sách giáo viên Hình học 11 – Đoàn Quỳnh, Văn Như Cương, Phạm Khắc Ban , Tạ Mẫn Các dạng toán phương pháp giải hình học 11-Nguyễn Hữu Ngọc Giải tốn hình học 11- Lê Hồng Đức, Nhóm Cự Mơn Phân dạng phương pháp giải hình học 11-Trần Đình Thi Bài tập nâng cao số chuyên đề hình học 11- Trần Văn Tấn Đề thi đại học đề thi THPT quốc gia mơn tốn từ năm 2010-2017 14 SangKienKinhNghiem.net ... định loại khoảng cách Một thao tác quan trọng mà học sinh cần có tìm hình chiếu điểm mặt phẳng xác định Vì viết chủ yếu vận dụng phương pháp tìm hình chiếu điểm mặt phẳng vào tìm khoảng cách khơng... tốn áp dụng1 : Tính khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song Bài toán áp dụng 2: Tính khoảng cách hai mặt phẳng song song Bài tốn áp dụng 3: Tính khoảng cách hai đường thẳng... Nếu H hình chiếu vng góc O lên mặt phẳng (P) độ dài OH khoảng cách từ O đến mặt phẳng (P) 1 Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song: Khi a // (P) khoảng cách a (P) khoảng cách từ điểm A