Định lý stone weierstrass và ứng dụng

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TOÁN Đề tài: – WEIERSTRASS Giáo viên hướng dẫn : TS ê Ho ng Tr Sinh viên thực : Ph n Ngu n nh ho ớp : 11ST Đ Nẵng, tháng 05 năm 2014 GVH : TS HOÀNG TR SVTH : PH N NGUY N NH HO h c lu n n c ho n th nh hướng dẫn nhiệt t nh, chu áo TS ê Ho ng Tr T i in ph p c g i i t n s u s c v t n t m c thời gi n l m kh th i với n th n th n t i kh ng nh ng lu n m c n su t tr nh h c t p T i c ng in ph p g i lời cám n ch n th nh d k nh tr ng v l ng n qu th c lớp toán 11ST trường ĐHSP Đ Nẵng c ng to n th qu th kho toán trường ĐHSP Đ Nẵng, nh ng người t m, ng viên, nhiệt t nh gi p thời gi n thực c cho t i ki n th c, qu n t i su t tr nh h c t p c ng t i Cu i c ng, t i in ph p c g i lời cám n qu n t m, gi ng ng viên, gi p n nh ng người th n, n t i su t qu ng ường h c t p v qua Đ Nẵng, tháng năm 2015 Ph n Ngu n nh ho GVH : TS HOÀNG TR SVTH : PH N NGUY N NH HO ời cám n M c l c M t s k hiệu s d ng lu n văn Ph n m u Ph n n i dung Chư ng I: M t s ki n th c chu n t ng th c ernouli Đ nh l Weierstr ss v p Không gian metric Không gian topo n c n T p m T p ng 8 T nh liên t c 9 Không gian topo 10 10 Tiên 11 tách 10 h ng gi n metric 12 12 Không gian compact 12 13 Đ t p kh vi 13 14 nh t p 15 Chư ng II: Đ nh l Stone – Weierstrass 16 Chư ng III: ng d ng c nh l Stone – Weierstrass 25 i toán 25 GVH : TS HOÀNG TR SVTH : PH N NGUY N NH HO i toán 26 i toán 27 Ph n k t lu n 29 T i liệu th m kh o 30 GVH : TS HOÀNG TR SVTH : PH N NGUY N NH HO N* : t p s tự nhiên lớn h n : iên c : ph n c M ̅ t pM : o ng c t pM t pM C(M) = {f : M  R  f liên t c} CP(M) = {f : M  R f c o h m c p p liên t c, p  N*} Cn(M) = {f : M  Rn  f liên t c} = {f : M  Rn f c o h m c p p liên t c, p  N*} GVH : TS HOÀNG TR SVTH : PH N NGUY N NH HO Trong gi i t ch, liên t c p nh l p m t kho ng i s với ch nh ác t Weierstr ss phát i u r ng: M i h m ng [ ; ] c th iv p ng h m th c th c l m t nh ng h m n gi n nh t v má t nh c th ki m tr k t qu t nh toán cho h m th c Ngu n g c c năm 1885 k t qu n c phát minh ng cách s d ng i n M rsh ll H Stone ch ng minh 1948 rl Weierstr ss v o i Weierstr ss t ng quát h t qu c i nh l ng 1937 v cg il n gi n cách nh l Stone – Weierstr ss Đ nh l Stone – Weierstr ss l m t k t qu qu n tr ng việc nghiên c u Ngo i r , is c h m liên t c kh ng gi n H usdorff nh l Stone – Weierstr ss g p m t ph n kh ng nh ng nh khác như: c i ti n thu t toán c m ng n ron nh n d ng hệ th ng phi tu n, phư ng pháp i u n n v ng, phư ng pháp l t nh nhu c u ph t i iện Đ i với n th n t i l m t sinh viên năm cu i, t i ch n Đ nh l Stone – Weierstr ss v t i lu n văn ng d ng nh m t m hi u s u h n v nh l c ng ng d ng v c ng qu n tr ng gi i t ch h m N i dung lu n văn s c chi r l m chư ng Chư ng m t nh c l i m t s ki n th c m u c gi c th theo d i d d ng h n ph n s u Chư ng h i tr nh Chư ng ch ng minh r m ts ng d ng nh l Stone – Weierstrass nh l Stone – Weierstr ss gi i t ch h m GVH : TS HOÀNG TR SVTH : PH N NGUY N NH HO hi Cho , Với ,t c : u = r n u v ch n u Với =0 ,t c : u = r n u v ch n u =0 N u c th p l m t t p comp ct c u i Rn, th m i h m liên t c X th c Không gian metric Cho X l m t t p M t metric X l m t h m d: X X R th m n t nh ch t:  Với m i , thu c X,  Với m i , thu c X, GVH : TS HOÀNG TR SVTH : PH N NGUY N NH HO  Với m i , , thu c X, Không gian metric X = (X,d l m t t p X c ng với m t metric d n Cho X l m t kh ng gi n metric Với m i thu c X v s –l nc nc k nh i m { , t g i B(a, }l th ng thường người t g i l qu c u m t m án T p M g i l m n u với m i thu c M, t n t i cho M Không gian topo Cho X l m t t p M t h n u th t p c X g i l m t topo X m n i u kiện:  Xv  H pt  Gi o c thu c t p thu c l thu c h u h n t p thu c l thu c M t t p X c ng m t topo X g i l m t kh ng gi n topo (X, Các ph n t c Cho (X, c kh ng gi n topo g i l i m l m t kh ng gi n topo T p G thu c cg il t pm X T p c Xg il t p ng n u X \ l t pm Với m i kh ng gi n metric X,d , h t p m theo metric d l m t topo X Topo n g i l topo sinh i metric d lu n c coi l kh ng gi n topo với topo sinh h ng gi n metric X i metric GVH : TS HOÀNG TR SVTH : PH N NGUY N NH HO Cho X l m t kh ng gi n topo T p U c  i m thu c X n u t n t i t p m G s o cho  Cho t p c nUc Đi m thu c X g i l  s o cho g i l ph n c Xg il m tl nc nc i m c T p t t c i m c Mn ut nt il n o M k hiệu l M v M o T p M m n u v ch n u M  M Cho X l m t kh ng gi n topo T p c Xg il ng n u X \ l t pm Với m i t p M c o ng c o M l t p M  X \ (X \ M) r ng M  {x  X : U  M   với m i l n c n U c th T pM } ng n u v ch n u M  M T g i iên c m il nc nUc { Ml t p với } Cho t p M, N c ̅̅̅ X, t g i X T p M g i l tr m t t p N n u Không gian topo X g i l kh l n u X c m t t p tr m t, t c l t n t i = d1, d2, , dn, }  X với ̅ m c GVH : TS HOÀNG TR SVTH : PH N NGUY N NH HO Cho X l kh ng gi n metric v t p M c i m thu c X n} X T g i kho ng cách t d(x, y) n M l s d(x,M) = inf yM X g i l h i t n thu c X n u d , n)  hiệu l lim xn = x Trong kh ng gi n metric, t c ̅ { } { } { } Cho X v Y l h i kh ng gi n topo v ánh liên t c t i thu c X n u m i l n c n V c f nh fg il Y t n t i l n c n U X s o cho f(U)  V c nh f g i l liên t c n u n liên t c với m i thu c X nh fg il ng ph i n u f song ánh,c h i ánh f v f–1 u liên t c Cho X, Y, Z l kh ng gi n topo v ánh hi f liên t c t i , g liên t c t i f liên t c th th liên t c t i T n ufv g liên t c 1: Cho X,Y l kh ng gi n topo v ánh hi i u kiện s u tư ng ng: a) f liên t c b) f(A)  f(A) với m i A  X c) f -1 d) f -1 ng với m i t p ng A  Y m với m i t p m A  Y 10 GVH : TS HOÀNG TR SVTH : PH N NGUY N NH HO – WEIERSTRASS Cho T l m t kh ng gi n topo comp ct v C(T) = {f : T  R f liên t c } Cho A  C T th : (i) x, y  A, ,   R x + y  A (ii) x, y  A  x y  A (iii) 1A (iv) t1 ; t2  T, t1  t2  x  A: x(t1)  x(t2) N i cách khác, l m t i s c C T m ch h m h ng v tách i m T S - Weierstrass: Nếu A mộ ốc C( ) mà c ứa àm ằ g ác ểm ê T, f  C(T)  > g  A cho: Sup f (t)  g(t)   tT Ch ng minh: hiệu ‖ ‖ Bổ đề 1: Cho t0  0, V  à có í mộ { } c K ó, có c V c ấ au:  > 0, x  A: (1)  x(t)  1, t  T (2) x(t) < , t  V (3) x(t) > - , t  T \ U Ch ng minh: t  T \ U  t  t0  gt  A : gt(t) gt(t0) Đ t ht(t) = gt(t) - gt(t0) 17 GVH : TS HOÀNG TR SVTH : PH N NGUY N NH HO  ht  A ht(t)  Đ t pt = h t h 2t Đ t U t = s  T  pt(s) > 0} Vì pt(t) >  t  U(t) Ngồi ra: s0  U(t)  pt(s0) >  < pt(s0) < 1 Đ t W = p t (0, 2)  W l t p m v pt liên t c x  W  pt(x)  (0, 2)  pt(x) >  x  U(t)  o  ,U t l m tl nc nc  T \ U  Ta có:   T \ U t U(t) tT\U compact (vì T \ U  {U(t)}t  T\U l m t ph m c t p comp ct T \ U m  T n t i t1, t2, , t,}  T \ U : k 1 Đ tp= ng U(t K ) T\U ∑ { Ngo i r : p liên t c T \ U nên   (0, 1): p(s)  , s  T \ U 18 GVH : TS HOÀNG TR SVTH : PH N NGUY N NH HO Đ t V = t  T  p(t) < Vì P(t0) = <  }  nên t0  V M t khác, x  W,s0  V  p(s0) <   -1 < p(s0) <  Đ t W1 = p-1(-1;  )  W1 m x  W1  p(x)  (-1;   )  p(x) <  x  V 2  W1  V o Vl m tl nc nc t0 ) T s ch ng minh VUT\V T\U Th t v , x  T \ U  p(x)   xT\V Đ t k =   +  k - =  1     k  1  k  k-1  < k   + < (vì  < 1)   k    t  T, xét dãy hàm { } c cho i c ng th c qn(t) = [1 - pn(t)]k 19 GVH : TS HOÀNG TR SVTH : PH N NGUY N NH HO q n  A     qn   q (t )   n t  V, áp d ng t ng th c ernouli:  k  qn(t)    kp(t)       n n (1) Cho n  , tr th nh limq n (t)  n    0, N1  N*, n  N*, n  N1, qn(t)  T l i c : t  T \ U  p(t)   N u p t = th qn(t) = 0, n  N* N u p t < th lnqn(t) = knln(1 - pn(t))  kn[-pn(t)]  lnqn(t)  -[k(p(t)]n  -(k)n  (k )  qn(t)  e , n  N* n (2) Cho n  , tr th nh limq n (t)  T trường h p trên, t c : limq n (t)  , t  T \ U :  > , N2  N*, n  N*, n  N2, qn(t)  o Đ tN=m N1, N2} + q N (t)  1, t  V  N  N1   N  N q N (t)  0, t  T \ U  Đ t = 1- qN 0  x(t)  1, t  T    x(t)   , t  V  x(t)    , t  T \ U  Bổ đề 2: Cho A B p ó g au g 20 GVH : TS HOÀNG TR SVTH : PH N NGUY N NH HO ó,   (0, 1), x  A cho: K (1)  x(t)  1, t  T (2) x(t) < , t  A (3) x(t) > - , T  B Ch ng minh: Đ tU=T\BUm v U t  , U l m t l n c n c Theo A t 1, c l n c n V t c t, V(t)  th t nh ch t,   (0,1), x  A mà (1)  x(s)  1, s  T (2) x(s) < , s  V(t) (3) x(s) > - , s  T \ U Ta có: A  V(t) tA  {V(t)}tA l m t ph m c  {t1, t2, , tm}  A, t p comp ct m V(t k )k 1 l m t ph m c m  k 1 V(t k ) k  1, 2, A , m}, ng với l n c n V tk c tk, có hàm xk  A mà  0  x k (s)  1, s  T     x k (s)  ,s  V(t k ) m     x k (s)   m ,  s  T \ U  B Đ t = x2 xk 21 GVH : TS HOÀNG TR SVTH : PH N NGUY N NH HO x  A 0  x   m m    Suy ra:  x(s)      , s  V(t k ) m k 1 m  m    x(s)  1     , s  B   m Tr l i ch ng minh nh l : Cho f  C(T)  > C ứ g m ằ g: g  A: f (t)  g(t) < , t  T Ch ng minh: '  (0, , t =f t + f  t  F  A F(t)   F  Đ tn=   +2  '  n> ' N* F +  (n - 1)'  F ' k  0, 1, , n}, nh nghĩ t p Ak = {t  T  F(t)  (k - k, Bk s u: )'} Bk = {t  T  F(t)  (k +  Ak ' )'} ng Th t v : T \ Ak = {t  T  F(t) > (k Đ tW= -1 ((k - )'} )' ; (n - 1)')  W  T \ Ak 22 GVH : TS HOÀNG TR SVTH : PH N NGUY N NH HO  Ak ng  Tư ng tự  Hi n nhiên ng k k  Bk =  T s ch ng minh  = A0  A1   An = T Th t v : A0 = {t  T  F(t)  ' }=  t  Ak  F(t)  (k - 1 )'  (k + - )' 3  t  Ak+1  Ak  Ak+1, k  {1, 2, , n-1} An = {t  T  F(t)  (n - )'} = T Th t v , t  T  F(t)  (n - 1)'  (n - )'  t An  An = T  giờ, t ch ng minh :  = Bn  Bn-1   B2  B1  B0 = T + Bn = {t  T  F(t)  (n + (Vì F(t)  (n - 1)' < (n + + Bk )'} =  )', n  T) Bk+1, k  {0, 1, , n - 1} + B0 = {t  T  F(t)  k  0, 1, , n }, theo ' }=T 2, t c m t h m k  với 23 GVH : TS HOÀNG TR SVTH : PH N NGUY N NH HO  0  x k    ' A  k x k  n   ' B  k  x k   n n Đ t G =  ' xk  A k 0 t0  T  j  {1, 2, , n}: t0  Aj \ Aj-1  1  F(t )  j   '  t  A  j         t  A j1 F(t )   j    '     3    4  1  1   j    '  F(t )   j    '   j    '  3  3  3 l  j  Al Aj  x l (t o )  (I) t0 ' , l  j n i c : t0  Aj-1  t0  T \ Aj-1 = {t  T  f(t) >  j   '}  Mà Bj-2 3 T \ Aj-1 Vì t  T \ Aj-1  f(t) >  j   '  f(t) >  j   '  3  3  t  Bj-2 o : t0  Bj-2 m  j - 2, Bm Bj-2  t0  xm(t0) > - ' , m  j - n 24 GVH : TS HOÀNG TR SVTH : PH N NGUY N NH HO o : j1 n k 0 k j G(t0) =  '  x k (t )   '  x k (t ) ' (n - j + 1)  'j + '2 n  ' j + ' = '( j + ') < '  j    3 Ngoài ra: j G(t0)   '  x k (t ) k 0 > '(j - 1)(1 -  '2 ' ) = (j - 1)' - (j - 1) n n > (j - 1)' - '2 > (j - 1)' o T ' =  j   '  3 :  j   ' < G(t0) <  j   '   3 3 (II) I , II su r :  1  4 F(t )  G(t )   j    '  j    '  2 '  3  3 Đ tg t =G t + f    f (t )  g(t )  2 ' N u   > 2'  f (t )  g(t )  2 ' N u< < 3 ' =   f (t )  g(t )   Đ nh l ho n to n c ch ng minh 25 GVH : TS HOÀNG TR SVTH : PH N NGUY N NH HO – WEIERSTRASS Bài toán 1: M l m t kh ng gi n t p kh vi comp ct C(M) = {f : M  R  f liên t c} Ch ng minh r ng: f  C(M),  > 0, g: M  R  CP(M): Sup f (x)  g(x)   xM với CP(M) = {f : M  R f c C ứ gm o h m c p p liên t c, p  N*}) : T s ch ng minh CP M l m t i s c C M ch h m h ng, tách i m M Th t v , p, q  CP M , hi n nhiên p + q  CP(M) ; pq  CP(M)  CP(M) x0, y0  M, t n t i l n c n U m ch T nt i cho U  M y0  U ng phôi : U  V V m Rn) Đ t = (x0)  V  r > 0, B(a, r)  V X t h m s : Rn  R cho  x 11  (x) = Ce 0 n u 0)    Cp (Rn ) Đ t r(x) = rn x   r r  Cp (Rn ) Supp r  B(0, r) Đ t (x) = r(x - a) 26 GVH : TS HOÀNG TR SVTH : PH N NGUY N NH HO  Supp   B(a, r)   Cp (Rn )  ((x0))  Đ t f =    f: U  R { Đ t  g  Cp (M) g(x )  f(x )   g(x0)  g(y0) g(y )   Mà  Bài toán 2: M l m t kh ng gi n t p kh vi comp ct Cn(M) = {f : M  Rn  f liên t c} Ch ng minh r ng: p f  Cn(M),  > 0, g: M  Rn  C n (M) : Sup f (x)  g(x)   xM với ‖ ‖ ) C ứ gm : Gi s f = f1(x) , f2(x) , , fn(x)) với fk: M  R liên t c  >   0 n Với m i fk, t n t i gk: M  R  Cp(M) cho Sup f k (x)  g k (x)  xM Đ tg  2n = (g1(x) , g2(x), , gn(x))  Cpn (M) x  M, ta có: ‖ ‖ ‖ ‖ = 27 GVH : TS HOÀNG TR SVTH : PH N NGUY N NH HO  Sup f (x)  g(x)   xM Bài toán 3: M l m t kh ng gi n t p kh vi compact , U l m t t p m Rn, CU(M) = {f : M  U  f liên t c} Ch ng minh r ng: p f  CU(M),  > 0, g: M  U  C n (M) : Sup f (x)  g(x)   xM với ‖ ‖ C ứ gm ) : Với m i , thu c Rn, ‖ t ‖ Đ t d o  inf{d(x, y) | x  f(M),y  R \ U} n Trước tiên, t ch ng minh Đ t Su r : l t p comp ct, Với m i thu c Rn, l t p { t x  d(x, B) l m t ánh ng v A  B   } liên t c Rn Th t v , với m i , thu c Rn, thu c , t c : c: o V : x  d(x, B) l m t ánh với m i , thu c Rn liên t c Rn 28 GVH : TS HOÀNG TR SVTH : PH N NGUY N NH HO d(x, B) i c , d o  inf xA liên t c nên t n t i V xo  B v comp ct v x  d(x, B) l m t ánh o d(x, B) cho d(x o , B)  inf xA ng nên > Với m i f thu c C M , với m i dư ng, { t }  ε' n p Su r t n t i g : M  R  Cn (M): sup || f(x)  g(x) || ε' xM  || f(x)  g(x) || d, x  M  g(x)  U, x  M Gi s x o  M,g(x o )  R n \ U ‖ ‖ v l Ngo i r , Sup f (x)  g(x)   xM V : p f  C(M),  > 0, g: M  U  C n (M) : Sup f (x)  g(x)   xM 29 GVH : TS HOÀNG TR SVTH : PH N NGUY N NH HO h lu n gi i qu t c nhi u v n ch ng minh v ng d ng c v l thu t c ng cách nh l Stone – Weierstr ss, t p trung v o nh ng n i dung s u: Hệ th ng h t ki n th c ng th c, i t v kh ng gi n metric, kh ng gi n topo, Các ki n th c n l c n thi t việc theo d i kh lu n Tr nh c ng cách ch ng minh m t cách chi ti t nh l Stone – Weierstrass Đư r ng d ng v c ng qu n tr ng kh ng gi n kh vi T i t p c g ng ho n th nh lu n văn m t cách t t nh t c th , i s u ph n t ch, ch ng minh nh m gi p người c c nh n t ng quát v v n nghiên c u Tu nhiên, c th h n ch c ng n th n v thời gi n c h n, ch c ch n kh ng th tránh kh i nh ng thi u s t T i r t mong nh n c nh n t v g p ch n th nh t qu th c c ng c gi kh lu n ho n thiện h n Xin ch n th nh cám n 30 GVH : TS HOÀNG TR SVTH : PH N NGUY N NH HO [1] H.Kuhn, Ein elemantarer Beweis des Weierstrasschen Approximationssatzes, Arch Der Math (Basel) 15 (1964), 316 – 317 [2] ng Minh Đ c, Gi i t ch h m, nh u t n i h c qu c gi TP H Ch Minh [3] Đo n Qu nh, H nh h c vi ph n, nh [4] Đ u Th C p, Gi i t ch h m, nh [5] Đ u Th C p, Topo i cư ng, nh u t u t u t n giáo d c n giáo d c n giáo d c 31 ... Đ t p kh vi 13 14 nh t p 15 Chư ng II: Đ nh l Stone – Weierstrass 16 Chư ng III: ng d ng c nh l Stone – Weierstrass 25 i toán 25 GVH : TS HOÀNG TR SVTH :... cách s d ng i n M rsh ll H Stone ch ng minh 1948 rl Weierstr ss v o i Weierstr ss t ng quát h t qu c i nh l ng 1937 v cg il n gi n cách nh l Stone – Weierstr ss Đ nh l Stone – Weierstr ss l m t... theo d i d d ng h n ph n s u Chư ng h i tr nh Chư ng ch ng minh r m ts ng d ng nh l Stone – Weierstrass nh l Stone – Weierstr ss gi i t ch h m GVH : TS HOÀNG TR SVTH : PH N NGUY N NH HO hi Cho