Định lý Lax-Milgram và ứng dụng

LỜI CẢM ƠN Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS. TS. Nguyễn Năng Tâm người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành khóa luận này. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng sau đại học, các thầy cô giáo trong Khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập. Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành khoá luận. Hà Nội, ngày 12 tháng 12 năm 2011 Lê Thu Phương LỜI CAM ĐOAN Dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Nguyễn Năng Tâm luận văn thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Định lý Lax-Milgram và ứng dụng” được hoàn thành bởi chính sự nhận thức của bản thân, không trùng với bất cứ luận văn nào khác. Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với lòng trân trọng và biết ơn. Một số kết quả tác giả đã đưa ra dựa trên những thành tựu khoa học này. Hà Nội, ngày 12 tháng 12 năm 2011 Lê Thu Phương Mục lục Bảng ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v Lời mở đầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị. . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1. Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2. Không gian Hilbert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3. Không gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Chương 2. Định lý Lax-Milgram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.1. Bài toán biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.1.1. Bài toán biến phân đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.1.2. Bài toán biến phân không đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2. Định lý Lax-Milgram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.3. Định lý Lax-Milgram mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3.1. Định lý Lax-Milgram trên không gian Banach phản xạ . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3.2. Định lý Lax-Milgram trên không gian Banach. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Chương 3. Một số ứng dụng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.1. Ứng dụng trong phương trình vi phân thường 37 3.2. Ứng dụng trong phương trình đạo hàm riêng . 42 iii iv 3.3. Ứng dụng trong bất đẳng thức biến phân và bài toán tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Tài liệu tham khảo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 v BẢNG KÝ HIỆU R đường thẳng thực R n không gian Euclid n - chiều ∇ toán tử gradient f : X → Y ánh xạ từ X vào Y . V chuẩn trong không gian V inf f cận dưới đúng của ánh xạ f sup f cận trên đúng của ánh xạ f min f giá trị nhỏ nhất của ánh xạ f max f giá trị lớn nhất của ánh xạ f ker f hạt nhân, hạch của ánh xạ f cl Ω bao đóng của tập Ω cl yếu ∗ Ω bao đóng yếu ∗ của tập Ω div F divergence, phân tán của hàm vector F ν vector chỉ phương ngoài x ∗ , x ảnh của toán tử x ∗ tại điểm x ∂u ∂x i đạo hàm riêng của hàm u theo biến x i (x, y) gọi là tích vô hướng của hai nhân tử x và y  chứng minh hoàn thành LỜI MỞ ĐẦU Các bài toán biến phân đã xuất hiện từ rất lâu, thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học nổi tiếng của các thế kỷ XVII – XIX và có ảnh hưởng rất lớn đối với sự phát triển của Giải tích toán học. Nhưng phải đến thế kỷ XX bài toán biến phân mới được hình thành với tư cách là một lý thuyết toán học độc lập, với nhiều hướng nghiên cứu khác nhau. Cho tới ngày nay nghiên cứu các bài toán biến phân chủ yếu được tập trung vào ba vấn đề chính: - Nghiên cứu định tính (điều kiện cần và đủ để có nghiệm, các định lý đối ngẫu, sự tồn tại nghiệm, cấu trúc tập nghiệm, tính ổn định nghiệm, độ nhạy nghiệm, . . . ); - Nghiên cứu định lượng (xây dựng các thuật toán tìm nghiệm thỏa mãn các tiêu chuẩn cho trước, xác định tập nghiệm, . . . ); - Ứng dụng (giải quyết các bài toán về kinh tế, bất đẳng thức biến phân, bài toán cân bằng, phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng,. . . ). Một trong những vấn đề quan trọng của bài toán biến phân là nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm. Đã có rất nhiều các công trình toán học nghiên cứu về vấn đề này, trong đó phải kể đến hai nhà toán học Peter D. Lax và Arthur Milgram với định lý Lax-Milgram, cho ta một điều kiện 6 7 để xác định bài toán biến phân có nghiệm duy nhất (xem [7], [13], [14]). Từ định lý Lax-Milgram đã đặt ra rất nhiều câu hỏi và hướng mở rộng khác nhau. Trong không gian Hilbert bài toán biến phân có nghiệm duy nhất. Liệu điều này còn đúng trong không gian Banach? Đã có nhiều nhà khoa học quan tâm nghiên cứu về câu hỏi này và đã chứng minh được tính duy nhất nghiệm trong không gian Banach (xem [8], [13], [14]). Khi mở rộng không gian cho định lý Lax-Milgram tính chất tuyến tính của ánh xạ a(·, ·) (xem 2.2) được giữ nguyên. E. Zeidler đã đi đầu trong việc nghiên cứu mở rộng trong trường hợp a(·, ·) là phi tuyến (xem mục 2.15 trong [19]). Ta thấy, định lý Lax-Milgram cho chúng ta một kết quả rất đẹp trong bài toán biến phân, cũng như trong phương trình toán học. Như vậy, một câu hỏi đặt ra rất tự nhiên là: Liệu có tồn tại những lớp hàm đủ rộng thỏa mãn định lý Lax-Milgram hay không? Hay có tồn tại những lớp hàm không thỏa mãn điều kiện của định lý Lax-Milgram nhưng vẫn có kết luận như thế không (chính là một cách mở rộng định lý Lax-Milgram theo hướng làm yếu điều kiện của toán tử a(·, ·))? Người đầu tiên đi theo hướng này là B. Ricceri (xem [16]), sau đó là J. Saint Raymond (xem [15]) và Nguyễn Đông Yên, Bùi Trọng Kim (xem [18]). Kết quả đạt được từ định lý Lax-Milgram và các dạng mở rộng có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực toán học khác nhau như tối ưu 8 hóa, phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng (xem [5], [6], [7], [8], [10]). Đề tài “Định lý Lax-Milgram và ứng dụng” nhằm nghiên cứu hướng mở rộng định lý Lax-Milgram từ không gian Hilbert sang không gian Banach và các ứng dụng của định lý Lax-Milgram trong phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, tối ưu hóa. Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị Chương này, ta trình bày một số kiến thức cơ bản về: không gian định chuẩn, không gian Hilbert, phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng sẽ được sử dụng trong các phần sau. Ngoài ra, trong phần này còn chứng minh một số bất đẳng thức trong không gian Sobolev nhằm giải quyết các bài toán về ứng dụng của định lý Lax-Milgram. 1.1. Không gian định chuẩn Định nghĩa 1.1. Không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính định chuẩn) là không gian tuyến tính X trên trường R cùng với một ánh xạ từ X vào tập số thực R, kí hiệu là · và đọc là chuẩn, thỏa mãn các tiên đề sau đây: 1) (∀x ∈ X) x ≥ 0, x = 0 ⇔ x = θ (ký hiệu phần tử không là θ); 2) (∀x ∈ X)(∀α ∈ R) αx = |α|x; 3) (∀x, y ∈ X) x + y ≤ x + y. Số x gọi là chuẩn của vector x. Ta ký hiệu không gian định chuẩn là (X, ·). Nếu trên X chỉ trang bị một chuẩn ta có thể ký hiệu là X 9 10 Các tiên đề 1), 2), 3) gọi là hệ tiên đề chuẩn. Định nghĩa 1.2. Dãy điểm (x n ) trong không gian định chuẩn X gọi là dãy cơ bản, nếu lim m,n→∞ x n − x m  = 0. Định nghĩa 1.3. Không gian định chuẩn X gọi là không gian Banach, nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ. Định lý 1.1 (Nguyên lý ánh xạ co). Cho không gian Banach V , một ánh xạ co T đi từ V vào chính nó, nghĩa là tồn tại một hằng số, 0  M < 1 thỏa mãn T v 1 − T v 2   M v 1 − v 2 , ∀v 1 , v 2 ∈ V. Khi đó, tồn tại duy nhất điểm u thuộc V sao cho u = T u. Định nghĩa 1.4. Cho hai không gian tuyến tính X và Y trên trường số thực R. Ánh xạ A từ không gian X vào không gian Y gọi là tuyến tính nếu ánh xạ A thỏa mãn các điều kiện: 1) (∀x, x  ∈ X)A(x + x  ) = Ax + Ax  ; 2) (∀x ∈ X)(∀α ∈ R)A(αx) = αAx. Ta thường gọi ánh xạ tuyến tính là toán tử tuyến tính. Khi toán tử A chỉ thỏa mãn điều kiện 1) thì toán tử A gọi là cộng tính, còn khi toán tử A chỉ thỏa mãn điều kiện 2) thì A gọi là toán tử thuần nhất. Khi Y = R thì toán tử tuyến tính A thường gọi là phiếm hàm tuyến tính. Định nghĩa 1.5. Cho không gian định chuẩn X và Y . Toán tử tuyến tính A từ không gian X vào không gian Y gọi là bị chặn, nếu tồn tại hằng số C > 0 sao cho [...]... cần chứng minh 2.3 Định lý Lax-Milgram mở rộng 2.3.1 Định lý Lax-Milgram trên không gian Banach phản xạ Trong phần này, ta nghiên cứu dạng mở rộng của định lý Lax-Milgram trong không gian Banach và không gian Banach phản xạ Cho X là không gian Banach phản xạ, Y là không gian Banach trên trường số thực R và các không gian đối ngẫu tương ứng là X ∗ , Y ∗ Kí 30 hiệu, < x∗ , x > là x∗ ∈ X ∗ tác động vào... , ∀x ∈ X Định nghĩa 1.6 Cho A là toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y Chuẩn của toán tử A, kí kiệu là A , được xác định bởi A = inf C > 0 Ax ≤ C x , ∀x ∈ X Định lý 1.2 (Tính chuẩn của toán tử) Cho toán tử tuyến tính A từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y Nếu toán tử A bị chặn thì: A = sup Ax x ≤1 hay Ax = sup Ax x =1 Định lý 1.3 (Tính... tính liên tục trên không gian Hilbert (V, a(·, ·)) nên áp dụng định lý Riesz suy ra tồn tại duy nhất u ∈ V sao cho a(u, v) = F (v), ∀v ∈ V Hệ quả 2.1 Bài toán biến phân đối xứng 2.1 có nghiệm duy nhất • Định lý Lax-Milgram cho dạng không đối xứng Định lý 2.3 Cho không gian Hilbert (V, (·, ·)), a(·, ·) là dạng song tuyến tính liên tục, bức trên V và phiếm hàm tuyến tính liên tục F ∈ V ∗ Khi đó, tồn tại... yếu tới điểm x ∈ X khi và chỉ khi f (xn ) → f (x) với mọi f ∈ X ∗ Định lý 1.8 Cho không gian định chuẩn X Nếu dãy điểm (xn ) ⊂ X hội tụ yếu thì dãy đó bị chặn Định lý 1.9 Dãy (fn ) ⊂ X ∗ hội tụ yếu tới f ∈ X ∗ khi và chỉ khi f (xn ) → f (x) với mọi f ∈ X ∗ Định lý 1.10 (xem [2]) Dãy (fn ) ⊂ X ∗ hội tụ yếu và X là không gian Banach, thì dãy fn bị chặn 1.2 Không gian Hilbert Định nghĩa 1.13 Cho không... đề này trong mục 2.2 26 2.2 Định lý Lax-Milgram • Định lý Lax-Milgram cho dạng đối xứng Định lý 2.2 (xem [5], [13]) Cho không gian Hilbert (V, (·, ·)), a(·, ·) là dạng song tuyến tính đối xứng liên tục, bức trên V và phiếm hàm tuyến tính liên tục F ∈ V ∗ Khi đó, tồn tại duy nhất u ∈ V sao cho a(u, v) = F (v), ∀v ∈ V (2.4) Chứng minh Theo định lý 1.14, ta có a(·, ·) là tích vô hướng trên V nên (V,... bức α 17 Định lý 1.14 Cho H là không gian Hilbert, và giả sử rằng a(·, ·) là một dạng song tuyến tính đối xứng, liên tục trên H và bức trên V ⊂ H Khi đó, (V, a(·, ·)) là một không gian Hilbert Chứng minh Vì a(·, ·) là bức nên a(·, ·) xác định trên V Đặt v V = a(v, v), ∀v ∈ V thì · V xác định một chuẩn trên V Để chứng minh định lý 1.14 ta chỉ cần chứng minh (V, · rằng dãy {vn } là dãy Cauchy trên (V,... biến phân đối xứng Tuy nhiên, trong thực tế bên cạnh các bài toán biến phân đối xứng thì có một lượng lớn các bài toán, ứng dụng với điều kiện là không đối xứng Phần chính trong chương này tập trung nghiên cứu định lý Lax-Milgram cho bài toán biến phân đối xứng, bài toán biến phân không đối xứng trong không gian Hilbert và một số hướng mở rộng trong không gian Banach 2.1 Bài toán biến phân Cho (H, (·,... nội dung định lý 2.6 mà không chứng minh tường minh Cách chứng minh trên, dưới sự hướng dẫn của thầy hướng dẫn tôi đã đưa ra dựa trên định lý 2.5 33 Định lý 2.7 (xem [8]) Cho X là không gian Banach phản xạ, Y là không gian Banach, {Xλ }λ∈Λ (Λ - tập chỉ số) là một họ các không gian con đóng của X, {Yλ }λ∈Λ là một họ tăng các không gian con đóng của Y và đặt V = Yλ Giả sử, phiếm hàm a xác định trên... a(uh , v) = F (v), ∀v ∈ Vh Định lý 2.1 cho ta kết quả về tính tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán 2.2 Định lý 2.1 Bài toán xấp xỉ Ritz - Galerkin 2.2 có nghiệm duy nhất, có nghĩa là tồn tại duy nhất uh ∈ Vh sao cho a(uh , v) = F (v), ∀v ∈ Vh 25 Chứng minh Theo giả thiết, Vh là không gian con hữu hạn chiều của V nên Vh là không gian con đóng của V Theo chứng minh của định lý 1.14 ta có (V, a(·, ·))... duy nhất một phần tử uf thuộc Vb sao cho f (v) = Au(v) = a(u, v), ∀v ∈ Vb Suy ra điều cần chứng minh Nhận xét 2.3 Trong mục 2.3 nêu các định lý mở rộng định lý LaxMilgram từ không gian Hilbert tới không gian Banach, từ dạng song tuyến tính đối xứng tới dạng song tuyến tính không đối xứng Nhưng, tất cả các định lý đó đều vẫn giữ nguyên tính chất tuyến tính của ánh xạ a(·, ·) Ta có thể mở rộng hơn trong . [8], [10]). Đề tài Định lý Lax-Milgram và ứng dụng nhằm nghiên cứu hướng mở rộng định lý Lax-Milgram từ không gian Hilbert sang không gian Banach và các ứng dụng của định lý Lax-Milgram trong. thỏa mãn định lý Lax-Milgram hay không? Hay có tồn tại những lớp hàm không thỏa mãn điều kiện của định lý Lax-Milgram nhưng vẫn có kết luận như thế không (chính là một cách mở rộng định lý Lax-Milgram. nhằm giải quyết các bài toán về ứng dụng của định lý Lax-Milgram. 1.1. Không gian định chuẩn Định nghĩa 1.1. Không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính định chuẩn) là không gian tuyến tính