Các dạng khác nhau của định lý haln banach và ứng dụng

Các dạng khác định lý Haln – Banach ứng dụng MỤC LỤC MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU Lý chọn đề tài 2 Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Cấu trúc khóa luận CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian vectơ, không gian định chuẩn, không gian Banach 1.2 Quan hệ thứ tự bổ đề Zorn 12 1.3 Tập lồi 14 1.4 Hàm cỡ 20 CHƯƠNG 2: MỘT SỐ DẠNG KHÁC NHAU CỦA ĐỊNH LÝ HALN – BANACH VÀ ỨNG DỤNG 22 2.1 Dạng giải tích 22 2.2 Dạng hình học 27 2.3 Lý thuyết hàm lồi liên hợp 32 KẾT LUẬN 40 Phạm Thị Thuần K34 cử nhân Toán Các dạng khác định lý Haln – Banach ứng dụng LỜI NÓI ĐẦU Lý chọn đề tài Giải tích hàm – phận quan trọng toán học đại, giải tích hàm hình thành ngành khoa học độc lập giao thời kỉ XIX XX, người ta phát tương tự sâu xa số khái niệm đại số, giải tích hình học Giải tích hàm kết hợp khái quát tư tưởng nhiều phần khác giải tích cổ điển (như tích biến phân, phép tịnh vi phân tích phân, phương trình vi phân tích phân), lý thuyết tập hợp, đại số tuyến tính hình học nhiều chiều Khái niệm quan trọng giải tích hàm khái niệm tổng quát không gian Nét tiêu biểu giải tích hàm xét không gian vô hạn chiều, gồm hàm, dãy hay đối tượng chung khác, phép tính phần tử không gian Cùng với phát triển khái niệm không gian khái niệm hàm số tổng quát hóa Đại lượng biến thiên không phụ thuộc đối số, mà phụ thuộc hàm số gọi phiến hàm Phiếm hàm hàm số xác định không gian hàm Một nguyên lý giải tích hàm nguyên lý thác triển Haln – Banach Với mong muốn nghiên cứu tìm hiểu sâu môn giải tích hàm, em mạnh dạn lựa chọn đề tài: “Các dạng khác định lý Haln – Banach ứng dụng” làm khóa luận tốt nghiệp đại học Nghiên cứu đề tài này, có thêm hiểu biết định lý Haln – Banach, dạng khác số ứng dụng Mục đích nghiên cứu Bước đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học tìm hiểu sâu nguyên lý giải tích hàm Phạm Thị Thuần K34 cử nhân Toán Các dạng khác định lý Haln – Banach ứng dụng Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu dạng khác định lý Haln – Banach ứng dụng Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý luận, phân tích, tổng hợp đánh giá Cấu trúc khóa luận Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận gồm chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương 2: Các dạng khác định lý Haln – Banach ứng dụng Phạm Thị Thuần K34 cử nhân Toán Các dạng khác định lý Haln – Banach ứng dụng CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian vectơ, không gian định chuẩn, không gian Banach 1.1.1 Không gian vectơ Định nghĩa 1.1 Cho V tập khác rỗng mà phần tử kí hiệu     ,  ,  K trường Giả sử V trang bị hai phép toán, gồm:     a) Phép cộng:  : V  V  V , ( ,  )       b) Phép nhân: : K  V  V ,  ,     thỏa mãn điều kiện (hoăc tiên đề) sau đây:          (V1)         (    ) ,  ,  ,   V          (V2) 0  V :        ,   V        (V3)   V ,  '  V :    '   '          (V4)        ,  ,   V     (V5)          ,  ,   K , α  V       (V6)          ,  K ,  ,   V     (V7)           ,    (V8) 1.   , α  V   ,   K ,   V Khi V với hai phép toán cho gọi không gian vectơ trường K hay K - không gian vectơ (gọi tắt không gian vectơ) Các phần tử V gọi vectơ, phần tử K gọi vô hướng Phép cộng “  ” gọi phép cộng vectơ, phép nhân “.” gọi nhân vectơ với vô hướng Khi K  R V gọi không gian vectơ thực Khi K  V gọi không gian vectơ phức Phạm Thị Thuần K34 cử nhân Toán Các dạng khác định lý Haln – Banach ứng dụng Một số ví dụ Ví dụ 1.1 Tập vectơ tự không gian với phép toán cộng vectơ nhân vectơ với số thực định nghĩa chương trình bậc phổ thông trung học không gian vectơ thực Ví dụ 1.2 Cho trường K n  Xét tích đề K n = { ( x1 , x2 ,, xn ) xi  R , i  1,2,, n } với hai phép toán:  x1, x2 ,, xn   ( y1, y2 ,, yn )   x1  y1, x2  y2 ,, xn  yn    x1 , x2 ,, xn     x1 ,  x2 ,,  xn  ,   K K n với hai phép toán K – không gian vectơ Ví dụ 1.3 Tập X tập khác rỗng, V K – không gian vectơ Tập  gồm tất ánh xạ  : X  V với phép toán: ( +  ) ( x ) =  ( x ) +  ( x ) (  ) ( x ) =  ( x ) với  ,   Ω ,   K K – không gian vectơ Một số tính chất Giả sử V K không gian vectơ Các tính chất sau suy từ định nghĩa không gian vectơ:  a) Vectơ nói tiên đề (V2) nhất, phần tử tập trung lập phép công gọi vectơ không   b) Với   V , phần tử  ' nói tiên đề (V3) Nó   phần tử  đối vói phép cộng V kí hiệu  c) Trong V có quy tắc giản ước chuyển vế                             Phạm Thị Thuần K34 cử nhân Toán Các dạng khác định lý Haln – Banach ứng dụng      d) Với   V ta có 0.  ,   R ta có        e) Với   R ,   V ,   =  =0       f) Với   R ,   V ta có : (  )  = (  ) = ( ) 1.1.2 Không gian định chuẩn Định nghĩa 1.2 Hàm số thực p : X  R xác định không gian tuyến tính thực X gọi nửa chuẩn X với x, y  X với   K , ta có 1) p  x  y   p  x   p  y  ; 2) p   x    p  x  Nếu p nửa chuẩn X p( x)  với x  X Thật vậy, với x  X  p  0  p  x    x    p  x   p   x   p  x  Từ định nghĩa nửa chuẩn ta suy  n  n a) p  i xi    i p( xi ) )  i 1  i 1 với 1 , , n  R b) p ( x)  p( y )  p ( x  y ) với x, y  X Một số ví dụ Ví dụ 1.4 Đối với x  R , ta có p  x   x nửa chuẩn n n Ví dụ 1.5 Với x  1 ,  ,,  n   K , p  x     j nửa chuẩn j 1 Định nghĩa 1.3 Ta gọi không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính định chuẩn) không gian tuyến tính X trường P ( P  R P  ) với ánh xạ từ X vào tập số thực R , ký hiệu đọc chuẩn, thỏa mãn tiên đề sau đây: Phạm Thị Thuần K34 cử nhân Toán Các dạng khác định lý Haln – Banach ứng dụng a) (x  X ) x  0, x   x   ; (ký hiệu phần tử không  ) b) (x  X ),(  P )  x   x ; c) (x, y  X ) x  y  x  y số x gọi chuẩn vectơ x Ta ký hiệu không gian định chuẩn X Các tiên đề a), b), c) gọi hệ tiên đề chuẩn Một số ví dụ Ví dụ 1.6 Đối với số thực x  R ta đặt x  x (1.1) Nhờ tính chất giá trị tuyệt đối số thực, công thức (1.1) cho chuẩn R Không gian định chuẩn tương ứng ký hiệu R1 Ví dụ 1.7 Cho không gian vectơ k chiều E k Trong E k  {x   x1 , x2 ,, xk  : x j  R x j C} Đối với vectơ x   x1 , x2 ,, xn   E k ta đặt n x  x (1.2) j j 1 Công thức (1.2) cho chuẩn E k Không gian định chuẩn tương ứng kí hiệu E k Ví dụ 1.8 Cho không gian vectơ  Đối với vectơ x   xn    ta đặt  x  x (1.3) n n 1 Từ công thức x  d  x,  hệ tiên đề metric suy công thức (1.3) cho chuẩn  Không gian chuẩn tương ứng ký hiệu  Định nghĩa 1.4 Dãy điểm ( xn ) không gian định chuẩn X gọi hội tụ tới điểm x  X , lim xn  x  Ký hiệu n  Phạm Thị Thuần K34 cử nhân Toán Các dạng khác định lý Haln – Banach ứng dụng lim xn  x hay xn  x ( n  ) n  (1.4) Tính chất a) Nếu dãy ( xn ) hội tụ tới x , dãy chuẩn  x  hội tụ tới n x Hay nói cách khác, chuẩn giá trị thực liên tục theo biến x b) Nếu dãy điểm ( xn ) hội tụ không gian định chuẩn X , dãy chuẩn tương ứng  x  bị chặn n c) Nếu dãy điểm ( xn ) hội tụ tới x , dãy điểm  yn  hội tụ đến y không gian định chuẩn X , dãy số  n  hội tụ tới số  , xn  yn  x  y  n    ,  n xn   x  n    Định nghĩa 1.5 Dãy điểm  xn  , n  1,2, không gian định chuẩn X gọi dãy Cauchy (dãy bản), với   , tồn số N    cho un  um   , với m, n  N    Mệnh đề 1.1 Trong không gian định chuẩn, dãy hội tụ dãy Cauchy Định nghĩa 1.6 Cho hai không gian tuyến tính X Y trường P ( P trường số thực trường số phức ) Ánh xạ A từ không gian X vào không gian Y gọi tuyến tính, ánh xạ A thỏa mãn điều kiện: i) (x, x '  X ) A( x  x ')  Ax  Ax ' ; ii)  x  X    P  A x   Ax Ta thường gọi ánh xạ tuyến tính toán tử tuyến tính Khi toán tử A thỏa mãn điều kiện i) A gọi toán tử cộng tính, toán tử A thỏa mãn điều kiện ii) A gọi toán tử Khi Y  P toán tử tuyến tính A thường gọi phiếm hàm tuyến tính Phạm Thị Thuần K34 cử nhân Toán Các dạng khác định lý Haln – Banach ứng dụng Định nghĩa 1.7 Cho X không gian tuyến tính định chuẩn Không gian đối ngẫu, kí hiệu X * , không gian tất hàm tuyến tính bị chặn X : f : X  K tuyến tính, f X*  sup f  x    x X 1 X định nghĩa chuẩn X * , gọi chuẩn, với * x  X , f  x  f X* x X Bổ đề 1.1 Cho A toán tử tuyến tính từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y Ba mệnh đề sau tương đương: 1) A liên tục; 2) A liên tục điểm x0 thuộc X ; 3) A bị chặn Chứng minh 1)  2) Giả sử toán tử A liên tục Theo định nghĩa, toán tử A liên tục điểm x  A , toán tử A liên tục điểm x0  X 2)  3) Giả sử toán tử A liên tục điểm x0  X , toán tử A không bị chặn Khi (n  * )(xn  X ) Axn  n xn Hiển nhiên xn   , đặt yn  xn , n xn yn   n   suy yn  x0  x0 yn   (n  ) , nghĩa n ( n  ) Theo giả thiết, ta có A( yn  x0 )  Ax0  (n  ) suy Ayn  ( n  )  x Nhưng Ayn  A  n  n xn  Axn    n x n  Điều mâu thuẫn với chứng minh Phạm Thị Thuần K34 cử nhân Toán Các dạng khác định lý Haln – Banach ứng dụng Vì toán tử A liên tục điểm x0  X bị chặn 3)  1) Giả sử toán tử A bị chặn Theo định nghĩa C  (*) Ax  C x , x  X Lấy điểm x  X dãy điểm tùy ý ( xn )  X hội tụ tới x Nhờ hệ thức (*) Axn  Ax  A( xn  x)  C xn  x  ( n  ) Do A liên tục điểm x Suy A liên tục Bổ đề chứng minh 1.1.3 Không gian Banach Định nghĩa 1.8 Không gian định chuẩn X gọi không gian Banach dãy Cauchy không gian hội tụ Nhận xét : - Trong không gian Banach, dãy hội tụ dãy Cauchy - Không gian Banach không gian định chuẩn đầy Ví dụ 1.9 Cho   a  b   Khi đó, X  C  a, b không gian Banach thực, với chuẩn u  max u ( x) (1.5) a  x b Sự hội tụ un  u n   X tương đương với un  u  max un ( x)  u ( x)  n   a  x b Nghĩa là, dãy (un ) , n  1,2, hàm số liên tục un :  a, b   R liên tục  a, b  đến hàm số liên tục u :  a, b   R , n  1,2, Thật vậy, trước hết ta chuẩn Phạm Thị Thuần 10 K34 cử nhân Toán Các dạng khác định lý Haln – Banach ứng dụng Định lý chứng minh Định lý 2.4 Với x0  X , tồn f  X * cho f  x0   x0 X f  x0 X* X Chứng minh Cho Y  K x0   x0 ,   K  , K trường, g : Y  K xác định g  tx0   t x0 X Khi g Y*  sup g  tx0   sup t x0 tx0 tx0 1 X 1 X Đẳng thức cuối xét trường hợp t   x0 X X x0 X Ta mở rộng g đến f  X * cho f X*  x0 X việc áp dụng định lý 2.3 Định lý chứng minh Định lý 2.5 Với x  X x X  sup f X* f ,x 1  max f , x f X* 1 Chứng minh Cố định x0  xét g  f0 với f xác định định lý 2.4 x0 Khi sup f Phạm Thị Thuần 1 X* f ,x  f  x0   x0 x0 X 26 X , K34 cử nhân Toán Các dạng khác định lý Haln – Banach ứng dụng f  x0   x0 Nhưng f ,x  f X* x X , từ x g X X X*  sup f  f ,x 1 X* Vậy đẳng thức thứ chứng minh Đẳng thức thứ hai, ta lưu ý cận đạt g  f0 x0 X Vì f tồn định lý 2.4 nên cận trở thành lớn Định lý chứng minh Hệ 2.1 x   f  X * , f  x   2.2 Dạng hình học Trong mục này, ta nghiên cứu dạng định lý Haln – Banach tách tập lồi siêu phẳng Với mục đích trên, ta giả sử X không gian tuyến tính định chuẩn thực 2.2.1 Tách điểm tập lồi * Bổ đề Cho tập C lồi, mở C  X , khác rỗng x0 điểm cho x0  C Khi đó, tồn phiếm hàm tuyến tính bị chặn f cho f ( x)  f ( x0 ) , x  C Chứng minh Sai khác phép tịnh tiến ta giả sử  C Hàm g : Rx0  R xác định g (tx0 )  t Sau đó, áp dụng dạng thực định lý Haln – Banach g p hàm cỡ C Muốn vậy, ta cần kiểm tra g  p Rx0 Nếu t  p(tx0 )  tp( x0 )  t  g (tx0 ) p( x)  với x  C (tính chất mệnh đề 1.4) Phạm Thị Thuần 27 K34 cử nhân Toán Các dạng khác định lý Haln – Banach ứng dụng Trái lại, t  g (tx0 )  t   p (tx0 ) Vậy g  p Rx0 Từ định lý Haln – Banach, ta có phiếm hàm tuyến tính f cho f  g Rx0 f  p X Với x0 f ( x0 )  g ( x0 )  Nhưng, với x  C f ( x)  p ( x)  (theo tính chất mệnh đề 1.4) Theo tính chất mệnh đề tương tự, p bị chặn f tuyến tính bị chặn p X * Suy f tách x0 C Bổ đề chứng minh Định lý 2.6 (Định lý Haln – Banach Dạng hình học thứ nhất) Cho A, B  X tập lồi, rời khác rỗng, A mở Khi đó, tồn siêu phẳng đóng tách A B Chứng minh Theo bổ đề trước với C  A  B   yB A  y , ta dễ dàng chứng minh C lồi Từ A mở ta có C mở (hợp tập mở) Cuối  C , không AB   Theo Bổ đề trên, f  X * cho f  x   , x  C (vì f tuyến tính nên f    ) Như với x  A, y  B, f  x  y  Do theo tính chất tuyến tính f , ta có f  x   f  y  với x  A , y  B Nên sup f  x   inf f  y  yB xA Vì   R cho f  x     f  y  , x  A , y  B Do đó, siêu phẳng  f    tách A B Định lý chứng minh Phạm Thị Thuần 28 K34 cử nhân Toán Các dạng khác định lý Haln – Banach ứng dụng Định lý 2.7 (Định lý Haln – Banach Dạng hình học thứ 2) Cho A, B   lồi, rời với A đóng, B compact Khi đó, tồn siêu phẳng đóng tách ngặt A B Chứng minh Nhận xét với   đủ nhỏ tập A  A  B  0,   , B  B  B  0,   rời Thật vậy, nhận xét không xn  A , yn  B cho xn  yn X  Khi đó, từ B compact, tồn dãy y  nk kZ cho ynk  l , suy xnk  l Vì A đóng, nên l  A , l  A  B (Mâu thuẫn với A, B rời nhau) Do từ dạng hình học thứ định lý Haln – Banach, tồn f  X * , f    R cho x  A , y  B , f  x     f  y  Vậy với x  A , y  B z  B  0,1 ta có f  x   z     f  y   z  Do đó, cách chọn z thích hợp, ta có f  x      f f  y     f X* X* , , x  A , y  B Vậy, f tách ngặt A B Định lý chứng minh Hệ 2.2 Cho Y  X không gian X cho Y  X Khi đó,  f  X * cho f  f  y   0, y  Y Chú ý Cách phát biểu khác Hệ 2.2 Y  X không gian trù mật  f  X * , f  Y suy f  (trên X ) Phạm Thị Thuần 29 K34 cử nhân Toán Các dạng khác định lý Haln – Banach ứng dụng Chứng minh Giả sử Y  X , x0  X ‚ Y , Y đóng lồi, {x0 } lồi compact Vậy theo dạng hình học thứ định lý Haln – Banach,  f  X * , f  cho f  x   f  x0  , x  Y Với t  R , tf  x   f  tx   f  x0  , với x  Y , f  x   Do f  Y f  Kết thúc chứng minh 2.2.2 Ứng dụng (định lý Krein – Milman) Định lý 2.8 (Krein – Milman) Cho K tập compact lồi X Khi đó, K bao lồi đóng điểm cực biên Chú ý Nếu X không gian định chuẩn X * tách điểm (với x, y  X cho x  y , f  X * cho f  x   f  y  ) Chứng minh Cho P tập tất tập cực biên K Ta sử dụng tính chất sau:  Giao phần tử P thuộc P  ;  Cho S  P f  X * Khi xác định S f   x  S : f  x   max S f  , S f  P Để thấy điều này, cho tx  1  t  y  S f  S , f  tx  1  t  y   max S f Vì S cực biên, x, y  S Vậy tf  x   1  t  f  y   max S f (2.1) Nếu f  x   max S f f  y   max S f , ( x y  S f ), Phạm Thị Thuần 30 K34 cử nhân Toán Các dạng khác định lý Haln – Banach ứng dụng ta có tf  x   1  t  f  y   max S f Mâu thuẫn với đẳng thức (2.1) Vì thế, f ( x)  f ( y )  max f , điều có nghĩa x, y  S f , S f cực S biên Bây giờ, cho S  P , P ' tập tất tập cực biên S Theo định lý cực đại Haussdorff tồn phần tử lớn nhất, thứ tự toàn phần tập gọi Ω  P ' Cho M  T T , M tập cực biên Giả sử M  P ' , M f  M định Ω nghĩa M Suy f  X * , x  M , f  x   max xM f  x   số, với f số M , với X * điểm phân hoạch, M đơn Do đó, với S  P , S chứa điểm cực biên Cho H bao lồi tập điểm cực biên K Ta cần chứng minh H  K , S  P , S H   Hiển nhiên, H  K Mặt khác, giả sử x0  K ‚ H Khi đó,  x0  compact H đóng Theo dạng hình học thứ định lý Haln – Banach, tồn f  X * cho f  x   f  x0  , x  H Vì thế, ta xét tập K f   x  K : f  x   max K f  , ta thấy K f  H   , từ x  H , f  x   f  x0   max K f Nhưng K f tập điểm cực biên giao với H Đây rút ngắn, K  H Vậy K  H Định lý chứng minh Phạm Thị Thuần 31 K34 cử nhân Toán Các dạng khác định lý Haln – Banach ứng dụng 2.3 Lý thuyết hàm lồi liên hợp Cho X không gian tôpô, xét hàm  : X  ( ; ] Tập xác định  định nghĩa: D     x  X :   x    Trên đồ thị  định nghĩa: epi     x,    X  R :   x    2.3.1 Các định nghĩa Ta nói hàm  : X  ( ; ] nửa liên tục   R , tập  x :   x    đóng, tương đương epi   đóng Hay vậy,  nửa liên tục Nếu x  D   ,   , tồn lân cận V x cho y V suy f  y   f  x    Mệnh đề 2.1 - Nếu  nửa liên tục dưới, xn  x   x   liminf n   xn  - Cận hàm nửa liên tục liên tục (   x   supi i  x  nửa liên tục i  x  nửa liên tục dưới.) Định nghĩa 2.1 Cho X không gian định chuẩn,  : X  ( ; ] ta định nghĩa hàm liên hợp hàm   * : X *  (; ]  *  f   sup xD   f , x    x   , (điều kiện  *   ) Chú ý - x  D ( ) , f  f , x    x  hàm afin liên tục lồi - Cận hàm afin nửa liên tục lồi,  * lồi nửa liên tục Phạm Thị Thuần 32 K34 cử nhân Toán Các dạng khác định lý Haln – Banach ứng dụng 2.3.2 Các định lý Định lý 2.9 Nếu  lồi, nửa liên tục    ,  *   Chứng minh Ta có epi ( ) đóng, lồi, chọn ( x0 , 0 )  epi ( ) Việc chọn đắn    , xét điểm  x0 , 0  epi ( ) Mặt khác, chọn 0   ( x ),{( x0 , 0 )} compact lồi Áp dụng dạng hình học thứ định lý Haln – Banach X  R tập epi ( ) , tồn phiếm hàm tuyến tính  X  R  cho   x,    epi   , Λ  x,      Λ  x0 , 0  Ta viết Λ  x,    f  x   k  với f  X * k  R đó,  tuyến tính Như với x ,     x  , ta có f  x   k     f  x0   k 0 Đặc biệt với     x  , x  D   , ta có f  x   k  x     f  x0   k 0 (2.2) Ta xét dấu k Tại x0 , f  x0   k  x0   f  x0   k 0 , suy k  , ( x0 , 0 ) ta chọn cho   x0   0 Do đó, ta chia vế đẳng thức (2.2) cho k f  x0  f  x    x   0 k k suy  f  x f ( x0 )   ( x)    0 , x  D   k k vế trái tuyến tính theo x Vậy ta có cận trên x f  x0   f  x  sup      x    0 k k x   Phạm Thị Thuần 33 K34 cử nhân Toán Các dạng khác định lý Haln – Banach ứng dụng   f       k  k *   suy Định lý chứng minh Định nghĩa 2.2 Ánh xạ song liên hợp  , kí hiệu  ** , xác định bởi:  ** : X  (; ] ,  **  x   sup  f , x   *  f   f D   * Hàm lồi nửa liên tục Ta có sơ đồ sau:  *  lồi  ** lồi nửa liên tục  nửa liên tục Định lý 2.10 (Fenchel – Moreau) Nếu  lồi, nửa liên tục    ,  **   Chứng minh Trước hết, ta  **   Thật vậy, Từ định nghĩa  * , x  X , f  X * : f , x    x    *  f  (2.3) Từ (2.3) ta suy với x  X , sup  f , x   *  f      x  , f X *  **  x     x  Giả sử x0 cho  **  x0     x0  Khi đó, epi ( ) nằm “ở trên”  x ,  x  Nói khác, ta cần sử dụng định lý Haln – Banach để tách ** 0 epi ( )  x , **  x0   Do đó, tồn f  X * , k  R ,   R cho x  D       x  f  x   k     f  x0   k **  x0  Phạm Thị Thuần 34 (2.4) K34 cử nhân Toán Các dạng khác định lý Haln – Banach ứng dụng Ở ta sử dụng phương pháp tương tự Định lý 2.9 tách toán tử cho định lý Haln – Banach thành f k , ta kết luận k  , không ta cho    dẫn tới mâu thuẫn Như vậy, trước hết giả sử  ( x)  Áp dụng hệ thức bất đẳng thức (2.4) với     x  , ta có f  x   k  x    Vì thế, với   f ( x)  (k   ) ( x)     f ( x)    ( x)  , x k  k  suy  f  x   sup      x    k  xD   k       k   f   *    k  Ta thấy  **  x0   sup  f , x0   *  f   f X * f f   , x0   *    k   k   f    , x0  k  k    suy  k    **  x0    f , x0   Cho   , thấy f  x0   k **  x0    Điều mâu thuẫn với   f  x0   k **  x0  bất đẳng thức (2.4) Vì với   0,  **   Bây giờ, ta xét với  f  D  *  Định nghĩa hàm   x     x   f , x   *  f0  Cố định x ,  *  f   sup  f , y    y    f  x     x  y Phạm Thị Thuần 35 K34 cử nhân Toán Các dạng khác định lý Haln – Banach ứng dụng Từ x tùy ý, nên suy   Do ta áp dụng kết thu để thấy    ** Nhưng  ** ( f )  sup[ f , x   ( x )] x  sup  f , x  f , x    x     f   x  sup  f  f , x    x     *  f  x   *  f  f0    *  f0  Vậy,  ** ( x)  sup[ f , x   * ( f )] f  sup  f , x   *  f  f    *  f  f  sup  f  f , x   *  f  f    f , x   *  f  f  sup  g , x   *  g    f , x   * f   **  x    *  f   f , x g Ở đây, ta sử dụng kiện f độc lập với cận cho f Đặt thứ liên hệ với nhau, từ  **   , ta có  **   Định lý chứng minh Ví dụ Nói   x   x ,  hàm lồi nửa liên tục từ X đến R ,  *  f   sup  f , x  x  xX  Nếu f  , f , x  x  *  f    *  f   (từ ta có x  cận nhỏ 0)  Nếu f  x cho f  x   1    x , f  x  x   x Nếu ta xét trường hợp nx với n   ta thấy  * ( f )   Phạm Thị Thuần 36 K34 cử nhân Toán Các dạng khác định lý Haln – Banach ứng dụng Điều có nghĩa  **  x   sup  f , x   *  f    sup  f , x   x    x  f 1 f D   * Định lý 2.11 (Fenchel – Rockafellar) Giả sử  , hai hàm lồi x0  X cho  ( x0 )   ,   x0     liên tục x0 Khi inf   x     x    sup   *   f   *  f   xX f X * = max*   * ( f )  * ( f )  f X Để chứng minh định lý Fenchel – Rockafellar, ta cần bổ đề sau: * Bổ đề Giả sử C  E tập lồi đóng int C tập lồi Nếu int C   C  int C Chứng minh định lý Đặt a  inf{  ( x)   ( x)} , b  sup{ * ( f )   * ( f )} X f X * Dễ dàng kiểm tra b  a Ngược lại, ta có a  R a   Nếu a   kết luận hiển nhiên Vì giả sử a  R Ta ký hiệu C  epi Rõ ràng int C    liên tục x0 Chúng ta áp dụng dạng hình học thứ định lý Haln – Banach, với A  int C B  { x,    X  R,   a   ( x )} A B tập lồi, khác  chúng rời nhau,  x,    A với    ( x)  a   ( x)  x,   B  Do tồn siêu phẳng đóng H tách A B theo nghĩa rộng Vì H tách A B theo nghĩa rộng Vậy A  C theo Bổ đề Phạm Thị Thuần 37 K34 cử nhân Toán Các dạng khác định lý Haln – Banach ứng dụng Do tồn f  X * , K  R   R cho siêu phẳng H có phương trình      X  R , :    x,     f , x  k  tách C B theo nghĩa rộng Chúng ta có: f , x  k      x,    C f , x  k      x,    B Bằng cách chọn x  x    , thấy k  , ta chứng minh k  Nhắc lại   với f  k  Nếu k  ta có f , x   , x  D ( ) f , x   , x  D( ) Do đó, với   đủ nhỏ, B ( x ,  )  D( ) , ta có f , x0   z   , z  B  0,1 Suy f , x0     f Hơn nữa, f , x0   x0  D( ) Vì f  Điều vô lý, nên k  Ta có    *  *   f k    k  f    a k k suy Phạm Thị Thuần 38 K34 cử nhân Toán Các dạng khác định lý Haln – Banach ứng dụng  f  *    k  * f        a  k Theo định nghĩa b ta có:  f  f   *      *    b  k k Ta kết luận :  f a  b   *    k  * f       k Định lý chứng minh Phạm Thị Thuần 39 K34 cử nhân Toán Các dạng khác định lý Haln – Banach ứng dụng KẾT LUẬN Trên khóa luận tốt nghiệp Đại học em “Các dạng khác định lý Haln – Banach ứng dụng” Khóa luận trình bày cách sơ lược dạng khác định lý Haln – Banach ứng dụng Mặc dù có nhiều cố gắng song khóa luận không tránh khỏi hạn chế Em mong nhận nhiều ý kiến quý báu thầy cô giáo bạn sinh viên để khóa luận tốt nghiệp em hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Phạm Thị Thuần 40 K34 cử nhân Toán [...]... theo định nghĩa của p  x  ta thấy rằng: p x  1  1 1  Trái lại, nếu p  x   1 , khi đó   1 sao cho Vậy  x  x   C  1    0  C vì C lồi Do đó x  C Mệnh đề được chứng minh Phạm Thị Thuần 21 K34 cử nhân Toán Các dạng khác nhau của định lý Haln – Banach và ứng dụng CHƯƠNG 2: MỘT SỐ DẠNG KHÁC NHAU CỦA ĐỊNH LÝ HALN – BANACH VÀ ỨNG DỤNG 2.1 Dạng giải tích 2.1.1 Những định lý mở rộng của các. .. chuẩn của giả thiết trong định lý Haln – Banach và f  p trong Y Ta có thể mở rộng g Y*  f Y* X* đến g với g  x  p x  f Y* x X , do đó Mặt khác, nếu mỗi g f y  Y  X , thỏa mãn y Y  1 ta thấy rằng  g  y   f  y  (theo định lý Haln – Banach) , do đó g Phạm Thị Thuần 25 X*  f Y* K34 cử nhân Toán Các dạng khác nhau của định lý Haln – Banach và ứng dụng Định lý được chứng minh Định lý 2.4...  x  Định lý được chứng minh 2.1.2 Những ứng dụng của định lý Haln – Banach Định lý 2.3 Cho X là không gian tuyến tính định chuẩn và f là phiếm hàm tuyến tính xác định trên không gian con Y  X với f Y f  x  sup xY , x X 1 Khi đó, f được mở rộng đến g  X * sao cho g  f trên Y và g X*  f Y* Chứng minh Sử dụng một trong hai dạng thực hoăc phức của định lý Haln – Banach (phụ thuộc vào trường... tuyến tính của f , ta có f  x   f  y  với mỗi x  A , y  B Nên sup f  x   inf f  y  yB xA Vì thế   R sao cho f  x     f  y  , x  A , y  B Do đó, siêu phẳng  f    tách A và B Định lý được chứng minh Phạm Thị Thuần 28 K34 cử nhân Toán Các dạng khác nhau của định lý Haln – Banach và ứng dụng Định lý 2.7 (Định lý Haln – Banach Dạng hình học thứ 2) Cho A, B   lồi, rời nhau với... K34 cử nhân Toán Các dạng khác nhau của định lý Haln – Banach và ứng dụng Do đó sup  Λ  x   p  x  x0    inf  p  x0  y   Λ  y   y x Từ đây, có thể chọn a để có thể mở rộng  đến h sao cho h  x  tx0   Λ  x   t.a và Λ  x   ta  p  x  tx0  Nhưng điều này mâu thuẫn với  là phần tử lớn nhất Định lý được chứng minh Định lý 2.2 (Dạng phức của định lý Haln – Banach) Cho X là... và f  y   0, y  Y Chú ý Cách phát biểu khác của Hệ quả 2.2 Y  X là không gian con trù mật  f  X * , f  0 trên Y suy ra f  0 (trên X ) Phạm Thị Thuần 29 K34 cử nhân Toán Các dạng khác nhau của định lý Haln – Banach và ứng dụng Chứng minh Giả sử Y  X , khi đó x0  X ‚ Y , Y đóng và lồi, {x0 } là lồi và compact Vậy theo dạng hình học thứ 2 của định lý Haln – Banach,  f  X * , f  0 sao... – Banach để tách ** 0 0 epi ( ) và  x , ** 0  x0   Do đó, tồn tại f  X * , k  R ,   R sao cho x  D   và     x  f  x   k     f  x0   k **  x0  Phạm Thị Thuần 34 (2.4) K34 cử nhân Toán Các dạng khác nhau của định lý Haln – Banach và ứng dụng Ở trên ta đã sử dụng phương pháp tương tự như trong Định lý 2.9 tách toán tử cho bởi định lý Haln – Banach thành f và k , và. .. D ( ) , f  f , x    x  là hàm afin do đó liên tục và lồi - Cận trên đúng của hàm afin là nửa liên tục dưới và lồi, do đó  * là lồi và nửa liên tục dưới Phạm Thị Thuần 32 K34 cử nhân Toán Các dạng khác nhau của định lý Haln – Banach và ứng dụng 2.3.2 Các định lý Định lý 2.9 Nếu  là lồi, nửa liên tục dưới và    , khi đó  *   Chứng minh Ta có epi ( ) là đóng, lồi, chọn ( x0 , 0 ) ... tính  : K  U , K là tập con lồi của U , E là tập con cực biên của K Khi đó, nghịch ảnh của E sẽ là  hoặc là một tập con cực biên của nghịch ảnh của K Phạm Thị Thuần 19 K34 cử nhân Toán Các dạng khác nhau của định lý Haln – Banach và ứng dụng 1.4 Hàm cỡ 1.4.1 Định nghĩa 1.17 Cho C là một tập con lồi, mở của X chứa gốc Ta định nghĩa hàm cỡ của C là ánh xạ p : X  R  xác định bởi: x   p  x   inf... Toán Các dạng khác nhau của định lý Haln – Banach và ứng dụng   f       k  k *   suy ra Định lý được chứng minh Định nghĩa 2.2 Ánh xạ song liên hợp của  , kí hiệu  ** , được xác định bởi:  ** : X  (; ] ,  **  x   sup  f , x   *  f   f D   * Hàm này lồi và nửa liên tục dưới Ta có sơ đồ như sau:  *  lồi  ** lồi nửa liên tục dưới  nửa liên tục dưới Định lý 2.10 ... khác định lý Haln – Banach ứng dụng CHƯƠNG 2: MỘT SỐ DẠNG KHÁC NHAU CỦA ĐỊNH LÝ HALN – BANACH VÀ ỨNG DỤNG 2.1 Dạng giải tích 2.1.1 Những định lý mở rộng phiếm hàm tuyến tính Định lý Hahn – Banach. .. dạng khác định lý Haln – Banach ứng dụng KẾT LUẬN Trên khóa luận tốt nghiệp Đại học em Các dạng khác định lý Haln – Banach ứng dụng Khóa luận trình bày cách sơ lược dạng khác định lý Haln – Banach. .. siêu phẳng  f    tách A B Định lý chứng minh Phạm Thị Thuần 28 K34 cử nhân Toán Các dạng khác định lý Haln – Banach ứng dụng Định lý 2.7 (Định lý Haln – Banach Dạng hình học thứ 2) Cho A, B