Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số dạng của định lý Stolz Cesàro và ứng dụng

Định lý được xuất bản lần đầu tiên trong và kể từ đó, đã được xuất bản lại trong nhiều tài liệu khác nhau có chủ đề về dãy số và chuỗi số. Định lý được xem như là phiên bản rời rạc của quy tắc L’Hopital trong giới hạn của hàm số và nó cho ta một phương pháp hữu hiệu để tính các giới hạn có dạng không xác định ∞ ∞ và 0 0 trong các bài toán tính giới hạn, đặc biệt là trong các bài toán tính giới hạn liên quan tới tổng.

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN THỊ NGA MỘT SỐ DẠNG CỦA ĐỊNH LÝ STOLZ-CESÀRO VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN THỊ NGA MỘT SỐ DẠNG CỦA ĐỊNH LÝ STOLZ-CESÀRO VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 84 60 113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Trần Văn Thắng THÁI NGUYÊN - 2018 i Mục lục MỞ ĐẦU Chương Một số dạng định lý Stolz-Cesàro 1.1 1.2 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1.1 Dãy số 1.1.2 Chuỗi số 1.1.3 Hàm số Một số dạng định lý Stolz-Cesàro 1.2.1 Một số dạng cổ điển định lý Stolz-Cesàro 1.2.2 Một số dạng mở rộng định lý Stolz-Cesàro 14 1.2.3 Một số dạng định lý Stolz-Cesàro 22 Chương Một số ứng dụng định lý Stolz-Cesàro 26 2.1 Tính giới hạn dãy số 26 2.2 Tổng lũy thừa với số mũ nguyên 46 2.3 Bài toán 11174 P P Dalyay 47 KẾT LUẬN 51 TÀI LIỆU THAM KHẢO 52 MỞ ĐẦU Các định lý Stolz-Cesàro cổ điển nhà toán học Otto Stolz (1842-1905) Ernesto Cesàro (1859- 1906) đưa Định lý đề cập tới an+1 − an an tồn giới hạn lim lim điều kiện n→∞ bn+1 − bn n→∞ bn để giới hạn Định lý xuất lần [11] kể từ đó, xuất lại nhiều tài liệu khác có chủ đề dãy số chuỗi số Định lý xem phiên rời rạc quy tắc L’Hopital giới hạn hàm số cho ta ∞ phương pháp hữu hiệu để tính giới hạn có dạng khơng xác định ∞ tốn tính giới hạn, đặc biệt tốn tính giới hạn liên quan tới tổng Gần đây, định lý sử dụng tính hệ số đa thức định nghĩa tổng lũy thừa số nguyên ([7]) nghiên cứu tính chất tuần hồn hàm số ([5]) Với ứng dụng kể trên, định lý Stolz-Cesàro ngày nhà toán học quan tâm mở rộng, phát biểu dạng khác có thêm ứng dụng mới, điển hình kết C Mortici ([8]), G Nagy ([9]) S Puspană ([10]) Luận văn tổng hợp trình bày số dạng cổ điển định lý Stolz-Cesàro; số dạng mở rộng G Nagy S Puspană; số dạng đưa C Mortici Tiếp theo, luận văn trình bày số ứng dụng định lý Stolz-Cesàro việc tính giới hạn dãy số, có tính giới hạn tổng, toán hay thường xuất đề thi toán dành cho học sinh sinh viên Một ứng dụng khác định lý Stolz-Cesàro tính tổng hữu hạn lũy thừa nguyên chúng tơi trình bày luận văn Cuối cùng, sử dụng dạng mở rộng định lý Stolz-Cesàro G Nagy để nghiên cứu tính chất tuần hồn hàm số tốn 11147 P P Dalyay Ngồi phần mở đầu kết luận, luận văn gồm chương: Chương Một số dạng định lý Stolz-Cesàro Phần đầu chương trình bày số khái niệm phục vụ cho mục sau luận văn Tiếp theo, chúng tơi trình bày dạng cổ điển, số dạng mở rộng định lý Stolz-Cesàro Chương Một số ứng dụng định lý Stolz-Cesàro Chương tìm hiểu số ứng dụng định lý Stolz-Cesàro việc tính giới hạn dãy số, tính tổng lũy thừa số nguyên nghiên cứu tính chất tuần hồn hàm số tốn 11147 P P Dalyay Luận văn hồn thành trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên Lời tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo TS Trần Văn Thắng Thầy dành nhiều thời gian hướng dẫn giải đáp thắc mắc suốt q trình làm luận văn Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Tác giả xin chân thành cảm ơn tồn thể thầy Khoa Toán Tin, trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên tận tình hướng dẫn, truyền đạt kiến thức suốt thời gian theo học, thực hoàn thành luận văn Xin cảm ơn bạn bè, đồng nghiệp trường THPT Tiên Du số gia đình thân yêu tạo điều kiện thời gian ln ủng hộ tơi suốt q trình học tập Thái Nguyên, tháng 05 năm 2018 Người viết luận văn Nguyễn Thị Nga Chương Một số dạng định lý Stolz-Cesàro Chương trình bày số kiến thức bản, dạng cổ điển số dạng mở rộng định lý Stolz-Cesàro 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1.1 Dãy số Định nghĩa 1.1.1 Dãy số hàm số từ N vào tập hợp số (N, Q, R) Các số hạng dãy số thường ký hiệu un , , xn , yn Dãy số ký hiệu {un }, {vn }, {xn }, {yn } Nhận xét 1.1.2 Vì dãy số trường hợp đặc biệt hàm số nên có tính chất hàm số Định nghĩa 1.1.3 (i) Dãy số {xn } gọi dãy giảm xn+1 ≤ xn với n ∈ N∗ (ii) Dãy số {xn } gọi dãy tăng xn+1 ≥ xn với n ∈ N∗ (iii) Dãy số {xn } gọi dãy giảm ngặt xn+1 < xn với n ∈ N∗ (vi) Dãy số {xn } gọi dãy tăng ngặt xn+1 > xn với n ∈ N∗ Dãy số tăng dãy số giảm gọi chung dãy đơn điệu Định nghĩa 1.1.4 Dãy số {xn } gọi bị chặn tồn số thực M cho xn ≤ M với n Dãy số {xn } gọi bị chặn tồn số thực m cho xn ≥ m với n Một dãy số vừa bị chặn trên, vừa bị chặn gọi dãy bị chặn Định nghĩa 1.1.5 (i) Ta nói dãy số {xn } có giới hạn hữu hạn a n dần đến vô với > 0, tồn số tự nhiên N0 (phụ thuộc vào dãy số {xn } ) cho với n > N0 ta có |xn − a| nhỏ Ta viết lim xn = a ⇔ > 0, ∃N0 ∈ N : ∀n > N0 , |xn − a| < n→∞ (ii) Dãy số {xn } dần đến dương vô n dần đến vô với số thực dương M lớn tuỳ ý, tồn số tự nhiên N0 (phụ thuộc vào dãy số {xn } M ) cho với n > N0 ta có |xn | lớn M Ta viết lim xn = +∞ ⇔ ∀M > 0, ∃N0 ∈ N : ∀n > N0 , |xn | > M n→∞ (iii) Dãy số có giới hạn hữu hạn gọi dãy hội tụ Dãy số khơng có giới hạn dần đến vô n dần đến vô gọi dãy phân kỳ Giả sử {xn } dãy bị chặn Với n ta đặt un = sup{xn+1 , xn+2 , } = sup xn+k , k=1,2, = inf{xn+1 , xn+2 , } = inf xn+k k=1,2, Dễ thấy un đơn điệu giảm bị chặn dưới, nên tồn giới hạn Giới hạn gọi giới hạn dãy {xn } ký hiệu lim sup xn n→∞ Tương tự, dãy {vn } dãy tăng bị chặn trên, nên tồn giới hạn Giới hạn gọi giới hạn dãy {xn } ký hiệu lim inf xn n→∞ Định lý 1.1.6 Điều kiện cần đủ để dãy hội tụ giới hạn giới hạn dãy Định lý 1.1.7 (Sự hội tụ dãy đơn điệu) Dãy số tăng bị chặn hội tụ Dãy số giảm bị chặn hội tụ Định lý 1.1.8 Nếu {xn }, {yn } dãy hội tụ có giới hạn tương xn ứng a, b dãy số {xn + yn }, {xn − yn }, {xn yn }, hội yn a tụ có giới hạn tương ứng a + b, a − b, ab (trong trường hợp b dãy số thương, ta giả sử yn b khác không) Định lý 1.1.9 Giả sử an ≤ bn ∀n ≥ N0 , N0 ∈ N lim an = a, n→∞ lim bn = b Khi đó, ta có a ≤ b n→∞ Định lý 1.1.10 (Nguyên lý kẹp) Giả sử lim an = lim bn = a n→∞ n→∞ an ≤ zn ≤ bn với n ∈ N Khi đó, ta có lim zn = a n→∞ 1.1.2 Chuỗi số Định nghĩa 1.1.11 Cho dãy số u1 ; u2 ; ; un ; Khi gọi tổng vơ hạn u1 + u2 + + un + ∞ un un số hạng tổng quát; sn = u1 + u2 + chuỗi số ký hiệu n=1 + un gọi tổng riêng thứ n chuỗi số; rn = un+1 + un+2 + gọi phần dư thứ n Nếu lim sn = s (hữu hạn) chuỗi gọi n→∞ hội tụ s tổng chuỗi Nếu sn không dần tới giá trị hữu hạn chuỗi gọi phân kỳ ∞ un hội tụ lim un = Định lý 1.1.12 Chuỗi số n=1 n→∞ ∞ un gọi chuỗi số dương un > với n ∈ N Chuỗi số n=1 ∞ un Định lý 1.1.13 (Tiêu chuẩn so sánh) Cho chuỗi số dương n=1 ∞ ∞ un ≤ với ∀n ≥ n0 (n0 ∈ N ) từ hội tụ n=1 ∞ n=1 ∞ n=1 ∞ un từ phân kỳ hội tụ suy n=1 un suy phân kỳ n=1 Định lý 1.1.14 (Tiêu chuẩn tương đương) Cho hai chuỗi số dương ∞ ∞ un lim un = k Khi đó, ta có: n→∞ n=1 n=1 Nếu (0 < k < +∞) hai chuỗi cho hội tụ phân kỳ ∞ Nếu k = từ hội tụ ∞ suy hội tụ n=1 un n=1 ∞ Nếu k = +∞ từ phân kỳ , ta suy phân kỳ n=1 ∞ un n=1 1.1.3 Hàm số Cho hàm số thực f (x) xác định miền R Định nghĩa 1.1.15 Cho hàm số y = f (x) có tập xác định D (a; b) khoảng D Hàm số gọi hàm số đồng biến khoảng (a; b) x1 , x2 ∈ (a; b) : x1 ≤ x2 ⇒ f (x1 ) ≤ f (x2 ) Hàm số nghịch biến khoảng (a; b) x1 , x2 ∈ (a; b) : x1 ≤ x2 ⇒ f (x1 ) ≥ f (x2 ) Hàm số đồng biến nghịch biến khoảng (a; b) gọi đơn điệu khoảng (a; b) Định nghĩa 1.1.16 Cho hàm số y = f (x) xác định lân cận a (có thể trừ điểm a) Số thực l hữu hạn gọi giới hạn hàm số f (x) x → a nếu: ∀ > 0, ∃δ > : < |x − a| < δ ⇒ |f (x) − l| < Định nghĩa 1.1.17 Cho hàm số y = f (x) xác định lân cận a (có thể trừ điểm a) Số thực l hữu hạn gọi giới hạn trái (phải) hàm số f (x) x → a nếu: ∀ > 0, ∃δ > : −δ < x − a < 0(0 < x − a < δ) ⇒ |f (x) − l| < Định nghĩa 1.1.18 Cho hàm số y = f (x) xác định lân cận x0 Khi hàm f (x) gọi liên tục x0 lim f (x) = f (x0 ) x→x0 Định nghĩa 1.1.19 Hàm số y = f (x) gọi liên tục trái (phải) x0 hàm f (x) xác định lân cận trái (phải) x0 (kể x0 ) lim f (x) = f (x0 )( lim+ f (x) = f (x0 )) x→x− x→x0 Định nghĩa 1.1.20 Hàm f (x) gọi liên tục khoảng (a; b) f (x) liên tục x thuộc khoảng (a; b) Hàm f (x) gọi liên tục [a; b] f (x) liên tục khoảng (a; b), liên tục phải x = a liên tục trái x = b Định nghĩa 1.1.21 Hàm f (x) gọi liên tục D với ε > tồn δ > cho với x, y ∈ D thỏa mãn |x − y| < δ ta có |f (x) − f (y)| < ε Định lý 1.1.22 Hàm f (x) liên tục tập compact D liên tục tập D Một hệ suy từ định lý Hệ 1.1.23 Mọi hàm liên tục tuần hoàn R liên tục Định lý 1.1.24 (Định lý giá trị trung gian) Cho f (x) hàm số liên tục [a; b], f (a) = f (b) Khi f (x) đạt giá trị trung gian f (a) f (b) [a; b] Định nghĩa 1.1.25 Hàm f (x) gọi tuần hoàn với chu kỳ T > miền D x ± T ∈ D với x ∈ D f (x ± T ) = f (x), ∀x ∈ D 39 Bài toán 2.1.15 Cho dãy số (un ) xác định < u1 < ∗ un+1 (1 + un ) = un − u2013 n , với n ∈ N Tính lim nun n→∞ Lời giải Ta có un+1 (1 + un ) = un − u2013 n ⇔ un+1 un − u2013 n = + un (2.3) Do u1 ∈ (0; 1) nên từ (2.3) dễ dàng chứng minh un ∈ (0; 1) với n ∈ N∗ Lại có un+1 − u1 = un − u2013 −u2013 − u2n n n − un = với n ∈ N∗ nên a = 0, hay lim un = n→∞ Xét hiệu un+1 − 1 + un 1 + u2011 n = − = 2013 un un − un un − u2012 n suy lim n→∞ un+1 1 + u2011 n − = lim =1 n→∞ − u2012 un n =1⇒ n→∞ nun từ theo Định lí trung bình cộng Stolz-Cesàro, ta có lim lim nun = n→∞ Sau đây, cập đến toán liên quan đến việc xác định uβn số β cho dãy có giới hạn hữu hạn khác n Bài toán 2.1.16 (Vietnam Team Selection Test 1993) Dãy số {an } xác định a1 = an+1 = an + √ , n = 1, 2, Hãy tìm tất số an β an thực β để dãy số có giới hạn hữu hạn khác n 40 Lời giải Dễ dàng chứng minh an → +∞ Xét hiệu 3/2 (an+1 ) a3/2 n − = an + √ an = 2/3 3/2 − a3/2 n 3/2 + x1/3 n − xn xn (1 + xn )3/2 − = xn (1 + xn )3 − = xn (1 + xn )3/2 + x2n + 3xn + 3 = → (1 + xn )3/2 + xn = 3/2 an 3/2 aβ an = Từ n = n→∞ n n Theo Định lý trung bình cộng Stolz-Cesàro lim 3/2 an β−3/2 an với ý lim an = +∞ ta có kết luận sau: n→∞ n aβn = +∞ Nếu mà β > lim n→∞ n aβn Nếu mà β < lim = n→∞ n Như giá trị thoả mãn toán β = 3/2 Nhận xét 2.1.17 Với dãy số un+1 = un + ubn điều kiện để dãy aβn có giới hạn hữu hạn khác β = − b Trong toán n b = −1/2 nên ta tìm β = 3/2 Ta xét thêm toán sau Bài toán 2.1.18 Cho dãy (un ) xác định số hạng đầu u1 = công thức un+1 = un + 2012 √ với n ∈ N∗ Tìm tất số thực β un β un có giới hạn hữu hạn khác cho dãy số n Lời giải Trong toán này, b = −1/2012 nên ta tìm β = + 1/2012 = 2013 2012 Sau chi tiết lời giải: Ta có u2012 n+1 = (un + √ 2012 un )2012 41 2012 = u2012 n k C2012 (un )2012−k + √ 2012 k=1 > k un u2012 + 2012 n 2012 Do un ≥ 1, với n ∈ N∗ ta có u2012 + 2012 với n ∈ N∗ n+1 > un Áp dụng đánh giá liên tiếp ta u2012 > u2012 + 2012n = 2012n + 1, n suy un > √ 2012 2012n + Điều cho ta khẳng định lim un = +∞ n→∞ Xét hiệu 2013 2012 2013 2012 un+1 − un = un + 2012 √ 2013 = un2012 + 2013 2012 un 2013 2013 − un2012 2013 − un2012 un2012 = 1+ 2013 2012 2013 2012 −1 : un 2013 2012 un Đặt xn = 2013 2012 ⇒ lim xn = n→∞ un Do 2013 2013 2012 2013 2012 lim (un+1 − un n→∞ (1 + xn ) 2012 − ) = lim n→∞ xn 2013 (1 + x) 2012 − = lim x→0 x 2013 = f (0) = , 2012 2013 ´ (áp dụng quy tắc LHopital với f (x) = (1 + x) 2012 ) Theo Định lí trung bình Stolz-Cesàro suy 2013 un2012 2013 lim = n→∞ n 2012 Ta viết lại 2013 uβn un2012 β− 2013 = · un 2012 n n 42 từ suy  0 uβn  2013 lim = n→∞ n   2012 +∞ uβn Vậy dãy số n β < β = β > 2013 2012 2013 2012 2013 2012 có giới hạn hữu hạn khác β = 2013 2012 Ta xét toán tổng quát với dãy un+1 = un + uan1 + uan2 + + uank Bài toán 2.1.19 Cho dãy số {xn } xác định x0 = xn+1 = xn + √ + , n = 0, 1, 2, √ xn xn xn có giới hạn hữu hạn Tìm tất số thực m cho dãy số nm khác Lời giải xn nm Ta thấy dãy 1/m xn n có giới hạn hữu hạn khác Dễ thấy lim(xn ) = +∞ Xét 5/4 xn+1 Đặt yn = 5/4 xn+1 có giới hạn hữu hạn khác dãy − x5/4 n 5/4 − x5/4 n = xn + 1/3 xn + 1/4 xn : xn = 4/5 yn 5/4 + 3yn4/15 16/15 + 3yn = + 4yn1/5 5/4 + 4yn − −1 yn (zn + 1) − = yn tn zn + 5zn4 + 10zn3 + 10zn2 + 5zn = yn tn yn 5/4 − x5/4 n 43 1/15 zn5 /yn + 5zn4 /yn + 10zn3 /yn + 10zn2 /yn + 5(3yn + 4) 20 = → =5 (1 + zn )15/4 + (1 + zn )10/4 + (1 + zn )5/4 + 16/15 +4yn , tn = (1+zn )15/4 +(1+zn )10/4 +(1+zn )5/4 +1 5/4 xn Theo Định lí trung bình cộng Stolz-Cesàro, ta có lim = n 1/m 5/4 xn 1/m−5/4 = xnn xn Từ ta có kết luận n 1/m xn Nếu > lim = +∞ m n Trong zn = 3yn 1/m xn < lim = Nếu m n Như phải có = ⇔ m = giá trị thoả m mãn toán Nhận xét 2.1.20 Ta thấy a1 = −1 −1 , a2 = số m cần tìm thoả mãn = − max {a1 , a2 } = − m −1 = ⇒m= Xem với dãy số xác định un+1 = un +uan1 +uan2 + +uank điều kiện aβn để dãy có giới hạn hữu hạn khác β = − max {a1 , a2 , , ak } n Ta xét thêm toán sau Bài tốn 2.1.21 (Tạp chí Tốn học Tuổi trẻ số 434) Cho dãy số {xn } xác định x1 > cho trước xn+1 = xn + 2012 + + + + 2012 , n = 1, 2, xn xn xn xn Tìm tất số thực α cho dãy {n.xαn } có giới hạn hữu hạn khác Lời giải Dãy {n.xαn } có giới hạn hữu hạn khác dãy x−α n có giới hạn hữu hạn khác Như α thoả mãn n −α = − max {−1, −2, , −2012} = ⇒ α = −2 44 Ta thấy rõ qua lời giải chi tiết sau: Dễ thấy lim xn = +∞ nên đặt yn = lim yn = Xét xn x2n+1 − x2n 2012 = xn + + + + 2012 − x2n xn xn xn 2 2012 2012 = 2xn + + + + 2012 + + + 2012 xn x2n xn xn x2n xn 2011 = + 2(2yn + 3yn + + 2012yn ) + (yn + 2yn + + 2012yn2012 ) → Theo Định lí trung bình cộng Stolz-Cesàro lim x2n = Điều n x−α x2n −α−2 n với = xn cho ta kết luận n n x−α Nếu mà α > −2 lim n = +∞ n x−α Nếu α < −2 lim n = n Như α = −2 đáp số toán Các toán cho ta thấy ứng dụng mở rộng Puspană Bài toán 2.1.22 Nếu {xn } {un } hai dãy số thực cho {un } dãy số dương lim un = u ∈ (1, +∞) dãy {xn } hội tụ n→∞ dãy {un xn+1 − xn } hội tụ, ta có lim xn = n→∞ lim (un xn+1 − xn ) u − n→∞ Lời giải Đặt an = u1 u2 un−1 xn bn = u1 u2 un−1 Khi đó, ta có xn = an bn un xn+1 − xn = an+1 − an bn+1 − bn Ngoài ra, {un } dãy số dương lim un = u ∈ (1, +∞) nên {bn } n→∞ bn dãy số đơn điệu tăng ngặt, không bị chặn lim = = n→∞ bn+1 u Giả sử dãy {un xn+1 − xn } có giới hạn, áp dụng Định lý 1.2.1 hai dãy an bn ta {xn } có giới hạn Ngược lại, {xn } có giới hạn 45 theo Định lý 1.2.9 dãy {un xn+1 − xn } có giới hạn un xn+1 − xn = lim (un xn+1 − xn ) n→∞ un − u − n→∞ lim xn = lim n→∞ Bài toán 2.1.23 Cho {xn } {un } hai dãy số thực thỏa mãn biểu thức giới hạn lim un = u, |u| > Nếu dãy {un xn+1 − xn } hội tụ dãy n→∞ {xn } hội tụ, ta có lim xn = n→∞ lim (un xn+1 − xn ) u − n→∞ Lời giải Đặt an = u1 u2 un−1 xn bn = u1 u2 un−1 Khi đó, ta có xn = an bn un xn+1 − xn = an+1 − an bn+1 − bn Do lim un = u, |u| > nên {|bn |} dãy số đơn điệu tăng ngặt, không n→∞ |bn+1 − bn | bị chặn Giả sử dãy {un xn+1 − xn } hội |bn+1 | − |bn | tụ, áp dụng Hệ 1.2.18 hai dãy an bn ta {xn } hội tụ bị chặn và un xn+1 − xn = lim (un xn+1 − xn ) n→∞ un − u − n→∞ lim xn = lim n→∞ Bài toán 2.1.24 Cho {xn } {un } hai dãy số thực cho {xn } bị chặn lim un = u, |u| < Nếu dãy {un xn+1 − xn } hội tụ dãy {xn } n→∞ hội tụ, ta có lim xn = n→∞ lim (un xn+1 − xn ) u − n→∞ Lời giải Đặt an = u1 u2 un−1 xn bn = u1 u2 un−1 Khi đó, ta có xn = an bn un xn+1 − xn = an+1 − an bn+1 − bn Do lim un = u, |u| < 1, {xn } bị chặn nên lim an = lim bn = 0, {|bn |} n→∞ giảm ngặt n→∞ |bn+1 − bn | |bn+1 | − |bn | n→∞ bị chặn Giả sử dãy {un xn+1 − xn } hội tụ, 46 áp dụng Hệ 1.2.21 hai dãy an bn ta {xn } hội tụ un xn+1 − xn = lim (un xn+1 − xn ) n→∞ un − u − n→∞ lim xn = lim n→∞ 2.2 Tổng lũy thừa với số mũ nguyên Từ nhiều năm trước ta biết tổng lũy thừa số nguyên dạng n ik đa thức bậc k + theo biến n với hệ số hữu tỷ Sk (n) = i=1 Ví dụ, ta biết + + + n = 21 n2 + 21 n 12 + 22 + + n2 = 31 n3 + 12 n2 + 61 n 13 + 23 + + n3 = 14 n4 + 21 n3 + 41 n2 Để có kết thường sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh Bằng cách chưa xây dựng phương n pháp tổng quát để tính Sk (n) = ik với k nguyên dương i=1 Trong phần này, ta trình bày ứng dụng định lý Stolz-Cesàro vào xác định hệ số đa thức Sk (n) Giả sử Sk (n) = 1k + 2k + + nk = ck+1 nk+1 + ck nk + + c1 n + c0 c0 = Để tính ck+1 , ta chia biểu thức cho nk+1 : 1k + 2k + + nk − ck nk − − c1 n n→∞ nk+1 ck+1 = lim Lấy giới hạn hai vế ta thu ck+1 1k + 2k + + nk = lim n→∞ nk+1 Áp dụng Định lý Stolz-Cesàro 1.2.1 ta có ck+1 nk = lim k+1 = n→∞ n − (n − 1)k+1 k+1 (2.4) 47 Với j = 1, 2, , k, Sk (n) − ck+1 nk+1 − ck nk − − cj+1 nj+1 − cj−1 nj−1 − c1 n − c0 cj = nj với n Cho n → +∞ ta Sk (n) − ck+1 nk+1 − ck nk − − cj+1 nj+1 n→∞ nj cj = lim Áp dụng Định lý Stolz-Cesàro 1.2.1 ta có cj = lim nk −ck+1 (nk+1 −(n−1)k+1 )−ck (nk −(n−1)k )− −cj+1 (nj+1 −(n−1)j+1 ) nj − (n − 1)j n→∞ (2.5) Bậc cao mẫu số jnj−1 Ta biết giới hạn tồn tại, đó, tất số hạng có bậc cao j − tử số phải triệt tiêu, tất số hạng có bậc nhỏ không ảnh hưởng đến giới hạn Mở rộng số hạng tử số rút gọn, ta thấy số hạng bậc (j − 1) j−1 j−1 nj−1 + (−1)k−j−1 ck Ckj−1 + + cj+1 Cj+1 (−1)k−j ck+1 Ck+1 Điều với (2.5) ta j−1 j−1 + (−1)k−j−1 ck Ckj−1 + + cj+1 Cj+1 (−1)k−j ck+1 Ck+1 cj = j (2.6) Bây áp dụng (2.4) (2.6) ta tính truy hồi ck+1 , ck , , c0 Ví dụ, k ck+1 ck ck−1 1 1 2 1 Sk (n) n 2n + 2n 3n + 2n + 6n n Như vậy, có cơng thức truy hồi tính tổng Sk (n) = ik i=1 với k nguyên dương 2.3 Bài toán 11174 P P Dalyay Trong phần này, chúng tơi trình bày lại lời giải E J Ionascu cho toán 11174 Bài toán đưa P P Dalyay [5] E 48 J Ionascu sử dụng định lý Stolz-Cesàro lời giải ([6]) Sau đây, phát biểu bài toán 11174 Bài toán 11174 Cho f g hàm liên tục, khác hằng, ánh xạ R vào R thỏa mãn điều kiện sau: f tuần hoàn Tồn dãy {xn }n≥1 cho lim xn = ∞ lim n→∞ n→∞ g(xn ) = ∞ xn f ◦ g khác R Kiểm tra tính tuần hoàn h = f ◦ g Để giải toán trên, E J Ionascu chứng minh định lý sau Định lý 2.3.1 Cho f g hàm liên tục khác hằng, từ R vào R thỏa mãn điều sau: (i) f tuần hoàn (ii) Tồn dãy {xn }n≥1 {yn }n≥1 cho inf |xn − yn | > lim n n→∞ g(xn ) − g(yn ) = ∞ xn − yn Dưới giả thiết hàm h = f ◦ g khơng thể tuần hồn Chứng minh Để chứng minh h = f ◦ g tuần hoàn, áp dụng hệ 1.1.23, ta chứng minh h không liên tục Ta bắt đầu với f g thỏa mãn (i) (ii) định lý Bởi g liên tục theo tính chất (ii) ta thấy đoạn In := g([xn , yn ]) (hoặc In := g([yn , xn ])), với n đủ lớn, phải đoạn có độ dài lớn chu kỳ tuần hồn T f Do miền giá trị f với miền giá trị h = f ◦ g Vì f khác nên h khác Cho nên, ta chọn α β cho f (g(α)) = f (g(β)) đặt ε0 = |f (g(α)) − f (g(β))| > Ta muốn định nghĩa hàm liên tục không thỏa mãn với ε0 Ta cố định n ∈ N đủ lớn để đảm bảo |In | > 2T ký hiệu #(g(α)) số giá trị nguyên k cho g(α) + kT thuộc In Khi đó, dễ thấy #(g(α)) > |g(xn ) − g(yn )| − > T 49 Tương tự, ký hiệu #g(β) số số nguyên k cho g(β) + kT thuộc In |g(xn ) − g(yn )| Một lần nữa, ta có #(g(β)) > − > T Rõ ràng giá trị g(α) + kT (k ∈ Z) xen kẽ với giá trị g(β) + kT (k ∈ Z) Do g liên tục, áp dụng liên tiếp Định lý giá trị trung gian 1.1.24, ta tìm hai dãy uk vk khoảng [xn , yn ] (hoặc [yn , xn ]) tăng xen kẽ cho g(uk ) = g(α) + lk T g(vk ) = g(β) + sk T với lk , sk ∈ Z Số đoạn có dạng [uk , vk ) (hoặc [vk , uk ), [vk , uk+1 ),v.v ) M := min{2(#(g(α) − 1)), 2(#(g(β) − 1))} ≥ Các đoạn tạo thành phân hoạch đoạn Jn := [xn , yn ] (hoặc Jn := [yn , xn ]) có độ dài |xn − yn | Suy |xn − yn | đoạn có độ dài nhỏ M Ta ký hiệu đoạn [ζn , ηn ] ý |ζn −ηn | ≤ |xn − yn | |xn − yn | < |g(x )−g(y )| = M n T n −4 |g(xn )−g(yn )| T |xn −yn | − |xn −yn | → n → ∞, (2.7) |f (g(ζn )) − f (g(ηn ))| = ε0 Với δ > tùy ý cố định, ta chọn n cho |ζn − ηn | < δ Do có (2.7) nên ta chọn n Với n này, ta có |h(ζn ) − h(ηn )| ≥ ε0 , điều chứng minh h không liên tục Sau đây, lời giải Bài toán 11174 Trong lời giải sử dụng mở rộng G Nagy Định lý 2.3.1 Giả sử f, g {xn } thỏa mãn điều kiện 1-3 Bài toán 11174 Ta tìm dãy {xnk } xn cho xnk+1 − xnk ≥ với k g(xnk ) g(xnk ) lim = ∞ lim = −∞ Khơng giảm tính tổng qt, k→∞ xnk k→∞ xnk ta giả sử xảy trường hợp trường hợp thứ hai suy từ trường hợp cách đổi g −g Áp dụng 50 Định lý 1.2.11 cho hai dãy {g(xnk )} {xnk }, ta có lim sup k→∞ g(xnk+1 ) − g(xnk ) = ∞ xnk+1 − xnk Điều chứng minh tồn hai dãy (ii) Định lý 2.3.1 Do đó, ta áp dụng Định lý 2.3.1 cho f g thu h = f ◦ g khơng tuần hồn 51 KẾT LUẬN Luận văn trình bày số nội dung sau: - Tổng hợp số khái niệm, định lý dãy số, hàm số chuỗi số - Trình bày số dạng cổ điển, dạng mở rộng số dạng định lý Stolz-Cesàro - Đưa số toán ứng dụng trực tiếp định lý Stolz-Cesàro việc tính giới hạn dãy số, xét hội tụ chuỗi số - Đề cập tới ứng dụng khác định lý Stolz-Cesàro như: tính tổng hữu hạn lũy thừa nguyên, sử dụng định lý Stolz-Cesàro để nghiên cứu tính chất tuần hồn hàm số tốn 11147 P P Dalyay 52 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Lê Phúc Lữ (2013), Tổng hợp toán dãy số, giới hạn đề thi học sinh giỏi tỉnh, thành phố năm học 2011-2012 số vấn đề liên quan, tổng hợp giới thiệu https://tailieu.vn/doc/tong-hop-cac-bai-toan-ve-day-so-gioihan-trong-de-thi-hsg-cac-tinh-thanh-pho-nam-hoc-2011-2012-v1759568.html [2] Nguyễn Văn Mậu (2005), Chuyên đề chọn lọc dãy số áp dụng, Nhà xuất Giáo dục [3] Nguyễn Văn Mậu, Lê Ngọc Lăng, Phạm Thế Long, Nguyễn Minh Tuấn (2006), Tuyển tập Olympic toán sinh viên toàn quốc 1993 -2005, Hà Nội [4] Kỷ yếu Olympic tốn sinh viên tồn quốc năm 2014, 2015, 2016, Hội toán học Việt Nam Tiếng Anh [5] P P Dalyay(2005), "Problem 11147", Amer Math Monthly, 112(8), pp 43-48 [6] E J Ionascu (2008), "Twin problems from the Monthly and the StolzCesàro Lemma", Crux Mathematicorum with Mathematical May-hem, 34(7), pp 424-429 53 [7] S.H Kung (2009), "Sums of integer powers via the Stolz-Cesàro theorem", Coll.Math J 40(1), pp 42-44 [8] C Mortici (2011), "New forms of Stolz-Cesàro lemma", Int J Math Educ Sci Technol 42(5), pp 692-696 [9] G Nagy, "The Stolz-Cesàro theorem", Preprint, p Manuscript available electronically at http://www.math.ksu.edu/Gnagy/snippets/Stolz-Cesàro.pdf [10] S Puspană, "Generalizations of Stolz-Cesàro Theorems", This text is available under the Creative Commons Attribution, http: //services.artofproblemsolving.com/download.php [11] O Stolz (1879), "U’ber die grenzwerte der quotienten", Math Ann 15, pp 556-559 ... Một số dạng định lý Stolz- Cesàro 1.2.1 Một số dạng cổ điển định lý Stolz- Cesàro 1.2.2 Một số dạng mở rộng định lý Stolz- Cesàro 14 1.2.3 Một số dạng định lý Stolz- Cesàro. .. 1.2 Một số dạng định lý Stolz- Cesàro Mục trình bày số dạng cổ điển, số dạng mở rộng số dạng định lý Stolz- Cesàro 1.2.1 Một số dạng cổ điển định lý Stolz- Cesàro Phần này, chúng tơi trình bày ba dạng. .. Chương Một số dạng định lý Stolz- Cesàro Chương trình bày số kiến thức bản, dạng cổ điển số dạng mở rộng định lý Stolz- Cesàro 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1.1 Dãy số Định nghĩa 1.1.1 Dãy số hàm số