DĐề tài Một số dạng thức của định lý Paley Wiener trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản về không gian các hàm suy rộng, phép biến đổi fourier của hàm suy rộng; đề cập đến mối quan hệ giữa dáng điệu tăng của dãy; các đề cập định lý Paley - Wiener phức và mở rộng của hàm nguyên trên Cd.
Trang 1BO GIAO DUC VA DAO TAO DAI HOC HUE
TRUONG DAI HOC SU PHAM
NGUYEN VAN BAO
MOT SO DANG THUC CUA DINH Li PALEY-
WIENER
Chuyờn ngành: TỐN GIẢI TÍCH
Mó số: 60.46.01.02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS Lấ VIẾT NGƯ
Trang 2LOI CAM DOAN
Toi xin cam doan day IA cong trinh nghiờn cứu
của riờng tụi, cỏc số liệu và kết quả nghiờn cứu
ghỉ trong Luận văn là trung thực
Trang 3LOI CAM ON
Lời đầu, xin gửi đến PGS.TS Lờ Viết Ngư lời cảm ơn sõu sắc tờ sự tận tỡnh
giỳp đỡ của thầu đối với tụi trong suốt quỏ trỡnh Thầu giảng dạy tại lớp Cao học K23 uà nhất là trong quỏ trỡnh tụi hoàn thành Luận uăn này
Tụi cũng zin chõn thành cảm ơn tất cả quý thầu, cụ khoa Toỏn của Trường Dai hoc Sư phạm Huế đó tận tỡnh giảng dạy à truyền đạt những kiến thức bổ
ớch trong suốt khúa học tại Trường Dại học Sư phạm Huế
Chõn thành cảm ơn cỏc Anh, Chị học uiờn Cao học khúa 23, đặc biệt là cỏc
Anh, Chị chuyờn ngành Toỏn giải tớch uà cũng như tất cả bạn bố của tụi đó luụn
hỗ trợ tụi suốt quỏ trỡnh tụi học tập
Cuối cựng tụi zin cảm ơn Bồ, Mẹ tà toàn thể gia đỡnh tụi-những người đó
động uiờn tụi rắt nhiều uà cũng là động lực giỳp tụi hoàn thành Luận uăn này
Mac dự đó cụ gắng hết sức nhưng Luận uăn sẽ khụng trỏnh khỏi những thiếu sút Tồi rit mong cdc thầu cụ giỏo cựng cỏc bạn đỏnh giỏ, gúp ý để Luận uăn
được hoàn chỉnh hơn
Nguyễn Văn Bạo
Trang 4Muc luc
Trang phu bia i
Lời cam đoan ii
Lời cảm ơn iii
Mục lục 1
Lời mở đầu 2
1 Cỏc kiến thức liờn quan 4
1.1 Khụng gian hàm suy rộng + 4
111 Khụng gian hàm cơ bản D(9) ơ 4
112 Khụng gian ham suy rong D'(Q) 2.2 ee 5
1.13 Khụng gian hàm suy rộng tăng chậm S(E") ù 1.14 Đạo hàm của hàm suy rộng 10 1.1.5 _ Tớch chập của hàm suy rộng bee Lo 13 1.2 Phộp biến đổi Fourier trong khụng gian cỏc hàm suy rộng 16 1.2.1 Biến đổi Fourier trong SŒ#") 16 1.2.2 Biến đổi Fourier trong (R") 19
1.2.3 Biến đổi Fourier của tớch chập 20
1.24 Cỏc định lý Paley-Wiener 21
1.2.5 Dinh ly Plancherel 22
2 Cỏc định lý Paley- Wiener thực 24
Trang 5LOI MG DAU
Hàm suy rộng xuất hiện lần đầu trong thập kỷ thứ hai của thế kỷ 20
trong cỏc cụng trỡnh của P.A.M Dirae về cơ học lượng tử Lý thuyết toỏn học của
hàm suy rộng được S.L.Sobolev đặt cơ sở để giải bài toỏn Cauchy cho phương, trỡnh hypebolie(1936) và đến năm 1945 L.Schwartz đó xõy dựng một cỏch hệ
thống cho lý thuyết hàm suy rộng Ngày nay, lý thuyết hàm suy rộng đó đạt
được những thành tựu to lớn và trở thành cụng cụ đắc lực cho cỏc nhà vật lý và toỏn học, gúp phần mở rộng khả năng phõn tớch toỏn học cổ điển Hiện nay cỏc
nhà toỏn học đang rất quan tõm đến việc nghiờn cứu đầy đủ hơn về hàm suy
rộng và những ứng dụng của nú Đặc biệt là ứng dụng của định lý Paley-Wiener để khảo sỏt cỏc tớnh chất cũng như đặc trưng của khụng gian hàm Œ”*%(T) và khụng gian Sobolev #""(R) = W'?(R)
Phộp biến đổi Fourier ra đời vào năm 1807, là một trong lớp những phộp biến đổi tớch phõn rộng rói nhất Joseph Fourier (1768-1830) là một nhà toỏn học và vật lý người Phỏp, ễng được biết đến với thiết lập chuỗi Fourier và những ứng dụng trong nhiệt học Điều này là một minh chứng cho sự gắn kết giữa phộp biến đổi Fourier với những ngành khoa học khỏc ngay từ thửa ban đầu Nghiờn
cứu cỏc tớnh chất của hàm số thụng qua ảnh Fourier, mà trường hợp riờng là
qua giỏ của ảnh Fourier (gọi là phổ), là vấn đề luụn được cỏc nhà toỏn học quan tõm bởi lẽ phộp biến đổi Fourier là một trong những cụng cụ mạnh nhất để giải
quyết nhiều vấn đề khú trong giải tớch hàm, phương trỡnh đạo hàm riờng, lý
thuyết hàm suy rộng Cú thể kể đến nhiều cụng trỡnh nghiờn cứu trong lĩnh vực này của cỏc nhà toỏn học lớn như S.Nẹ Bernstein, L Schwartz, E Stein Khi
nghiờn cứu về tớnh chất của hàm số thụng qua giới hạn của ảnh Fourier thỡ một
bài toỏn lớn được đặt ra là điều kiện cần và đủ đối với hàm số đú để ảnh Fourier
là hàm suy rộng cú giỏ chứa trong tập K cho trước Bài toỏn này được rất nhiều
nhà toỏn học quan tam, trong d6 R Paley, N Wiener, L Schwartz, E.M Stein Va duge tra Idi bội R Paley va N Wiener Cy thộ la từ năm 1934, R Paley,
ẹ Wiener đó tỡm được điều kiện cần và đủ
hột hàm nguyờn dạng mũ cú ảnh Fourier là một hàm số thuộc 3(#) với giỏ nằm trong đoạn [-a, a]
Trang 6trờn đường thẳng thực với giỏ trong một khoảng đối xứng Vỡ cỏc hàm nguyờn kiểu mũ cú hạn chế của nú trờn đường thẳng thực là cỏc hàm thuộc Z3 Những
kết quả như vậy đó được chứng minh trờn nhiều cụng trỡnh khỏc nhau Từ năm
2000 trở đi cỏc phương phỏp của Hà Huy Bảng, Vũ Kim Tuần, N.B Andersen, M de Jeu với hướng tiếp cận đơn giản được dựng để tỡm cỏc định lý loại Paley-Wiener thực cho một số phộp biến đổi tớch phõn
Vỡ vai trũ quan trọng của nú nờn hiện nay vẫn đang được nhiều nhà toỏn học
quan tõm nghiờn cứu Việc tỡm hiểu cỏc kết quả nghiờn cứu này giỳp chỳng ta
hiểu rừ hơn về Định lý Paley -Wiener Chớnh vỡ vậy chỳng tụi chọn đề tài này làm đề tài luận văn thạc sĩ chuyờn ngành Giải tớch của mỡnh
dung của luận văn gồm 3 chương:
+ Chương 1: Trỡnh bày một số khỏi niệm và kết quả cơ bản về khụng gian cỏc hàm suy rộng, phộp biến đổi Fourier của hàm suy rộng
-+ Chương 2: Đề cập đến mối quan hệ giữa đỏng điệu tăng của dóy {P(9)"ƒ}2
trờn RR“ và supremum của |P(ĂA)| trờn giỏ của Z/
+ Chương 3: Là cỏc định lý Paley-Wiener phức và mở rộng của hàm nguyờn
trờn C4,
“Tuy đó cú nhiều cố gắng nhưng những thiếu sút là khú trỏnh khỏi nờn chỳng,
Trang 7CHUONG 1 Cỏc kiến thức liờn quan Trong chương số khỏi niệm và kết quả cơ bản về khụng, y trỡnh bày mớ
gian cỏc hàm suy rộng, phộp biến đổi Fourier của hàm suy rộng để làm cơ sở cho việc nghiờn cứu cỏc phần tiếp theo của luận văn
1.1 Khụng gian hàm suy rộng
1.1.1 Khụng gian hàm cơ bản ?(0)
lh nghĩa 1.1.1 Cho @ la tap mộ trong R", khong gian cdc ham ea bin D() ý {2;}=Ă là
là khụng gian gồm cỏc hàm ¿ € C?°(O) với khỏi niệm hội tụ sau:
day trong Cÿ°(9) được gọi là hội tụ đến hàm ¿ € CĐ°(0) nếu: a Cú một tập compaet K CQ ma suppy; C ẹ, j = 1,9 b lim sup,co | D*yj(x7) — Dđy(x) |= 0,Ơa € 2} Trong đú, suppe là giỏ của jose ham ¿, suppe = {z € Gie(z) # 0} €?*() gồm cỏc hàm khả vi liờn tục vụ hạn cú giỏ compaet 9U = Tỡ*Dệ? Dạ",Đ?? = = =: 5 j=1L9, (ai.ag, aạ) € Z2} Kớ hiệu ¿=é_ lim yg) jae
Rừ rang nộu 2 CQ thi DQ) C D(Ms)
‘Vi dụ 1.1.1 Ham co ban trong R"
Com Yr <1
lz) =
Trang 8Nhan xột 1.1.1
1 Nộu y= D~ lim ; thi suppp c K Jjơm
3 Khỏi niệm hội tụ trờn (9) là tương thớch với cấu trỳc tuyến tớnh trờn
?(Q) nghĩa là, nếu: A, „ € C, ợụ, ứ¿.Ê € D(9) k = 1,2, và D_ im Ye =
yD fim ve = thi D lim (Ape + wx) = Ap + we
3 Hơn thế, ta cũn cú thể chứng minh nếu ỉ € C(O), va y = D_ lim g; thi
By =D_ lim By; jơ 7
Định nghĩa 1.1.2 Dóy {¿/}?, được gọi là một dóy cauchy trong (9) nếu: ù) Cú một tap compact K CR" mA suppp; C K,j = 1,2,-
ii) Jim supzex | D*p;(x) — D*yx(z) |= 0.Va € Zh jkos
Cho yx € D(Q),k = 1, chuỗi hỡnh thite OP, ye duge goi la hội tụ trong,
(9) nếu dóy cỏc tổng riờng {52/_, g;}Ê_Ă- hội tụ trong ?(â)
Mệnh dộ 1.1.1 (/3], MD 1.4) Khong gian D(Q) là đầy đủ
1.12 Khụng gian hàm suy rộng ?(Q)
nghĩa 1.1.3 Ta núi ƒ là một hàm suy rộng trong â nếu ƒ là một phiếm
hàm tuyến tớnh liờn tục trờn D(Q) Tập hợp tất cả cỏc hàm suy rộng trong â
lập thành khụng gian cỏc hàm suy rộng ?⁄(â)
Hàm suy rộng ƒ € (0) tỏc động lờn mỗi ¿ € é(â) được viết là (ƒ, ) Vớ dụ 1.1.2
1 Mỗi ƒ € LẬ (9) được coi là một hàm suy rộng
Trang 93 Hàm suy rộng ƒ là một phiếm hàm liờn tục trờn D(Q) nộu yg, => ¿ khi
k ~ co trong (9) thi (f,yx) > (ƒ/.e) khi k + oo Hai ham suy rộng f.g € DO) duge goi là bằng nhau nếu: ức lg.c).Vẹ € D(Q) 4 Số 0 là hàm suy rộng xỏc định như sau: (0,z) =0,Ve € D(9) 5 Hàm suy rộng ƒ # 0 tại x nghĩa là với mọi lõn cận mở U C â của x đều cú một hàm ¿ € C?°(9) mà (ƒ,z) # 0
Định nghĩa 1.1.4 Cho ƒ¿, / € D(@),k = 1,2 ta noi day {f,}2, hoi tu dộn
ƒ trong Đ!(Q) khi k tiến ra vụ cựng nếu:
jim (Sine) = (fe) Ve € D(Q), Khi dộ: D’_ im fe=fe Nhan xột 1.1.3 Với A, EC fer 9s f.g € DO), k= 1,2, VAD him ƒy = ƒ, D’ jim ge = ứ thỡ T- Tim (Afi + Hg) = AF + H9-
Day {fi}, duge goi IA day cauchy trong D/() nộu voi mdi y € D(Q) day
{ (fio) }@2 Ia day cauchy trong C
Bổ đề 1.1.1 (/3/, BD 1.8) Cho day {y}%2, trong D(Q) mà D_ jim ge = 0 ve
{fe}, la day cauchy trong D'(Q) khi db:
dim (fa eh) = 0
Dinh ly 1.1.1 (/3), DL 1.7) Khụng gian D(Q) là khụng gian đủ
Ching minh Lay {fe}, la diy cauchy trong (9) Ta phải chứng minh cú một hàm suy rộng ƒ € Đ(9) mà ƒ =_ lim ƒ¿
Do {fx}, 1a day cauchy trong Đ(9) nờn với mỗi ¿ € D(Q) dóy {(ƒ:.Ê)}ƒâ;
la day cauchy trong C Do dộ tộn tại một phần tử kớ hiệu :(ƒ,¿) e C mà:
im (Sie #) = (fe)
Trang 10Rừ ràng, kớ hiệu : ƒ : ¿ r> (ƒ.z) là phiộm ham tuyộn tinh tit D(Q) vao C
Ta sẽ chứng mỡnh f là liờn tục Khi đú :ƒ =7 lim fi
“Ta chứng mỡnh bằng phản chứng Giả sử cú một dóy {z¿}Ÿ2Ă trong Đ(O) mà
D im ve =0, nhưng (ƒ,z¿) ~ 0 khi & -› œ, nghĩa là cú một số e>( và một
dóy con, để đơn giản kớ hiệu ta cú thể giả sử :
foeH)| = Jima Kfiseu)] > k= 1,2,
Do đú, với mỗi k cú một số i¿ sao cho: |(ƒf,,.¿¿)| > c Đặt ƒ‡ = fi, C6:
i) U/J#¿ là dóy cauchy trong D'(Q) li) D- jim ye =0
iii) | eél>ek=1,8,
Mà theo bổ đề 1.1.1 ta cú im LỨ.Êx)| = 0 nờn xảy ra điều mõu thuẫn Do đú,
điều giả sử sai hay ƒ liờn tục a
1.1.3 Khụng gian hàm suy rộng tăng chậm S'(R")
Định nghĩa 1.1.5 Khụng gian cỏc hàm giảm nhanh S(R") là khụng gian gồm tất cả cỏc hàm ¿ € C%(R") mà z^é¿(z) bị chặn trong R" với mọi a, ở € Z},z €
TR" Khụng gian S(R") được trang bị với họ chuẩn: lLzlla.2 supzesô |z2DS(z)| với a,đ € Z trong đú zđ = zệ!.r?* rp*
Vớ dụ 1.1.3 Hàm ¿(z) = z”"e"? thuộc vào S(R) với mọi m € Z¿ Nhận xột 1.1.4
1 Ham g € C*(R") là hàm giảm nhanh, nghĩa là với m a,8€ Z„ cú
|z*Dg(z)| < Ca„a.Vz € R"
khi và chỉ khi:
(a) Với mỗi m Z¿, 8 e Z cú (1 + |z|lấ)"|D3¿(z)| < Cm,a,Vz € lR"
(b) Hay với mỗi m € Z¿ cú (1+ |z|ẩ)" 3) |D3g(z)| < Cạ.Vz € R" lót<m
3 Khỏi niệm hội tụ trong S(R*) là phự hợp với cầu trỳc tuyến tớnh trờn S(R"), nghĩa là với mỗi A,w € C,Êy,0¿,,U € S(R"),k = 1,2, nếu Sim ye = Ê,
S- Jim ty = 0 thỡ 8- Jim (Age + py) = Ap + we,
Trang 113 Tap CX (R") lA tri mat trong S(R") 4 Cho yx, y € D(R"), k= cú phộp nhỳng liờn tục Đ(R") = 8(R") 2 VAD lim ứy = th Đ- im ợy = ứ Do đú, ta
lý 1.1.2 (3, ĐL 1.15) Khụng gian S(R*") là khụng gian đầu đủ
Định nghĩa 1.1.6 Cho hàm suy rộng ƒ € Đ⁄(R") Hàm suy rộng f được gọi là
hàm suy rộng tăng chậm nếu tồn tại một số C > 0 và một số tự nhiờn m sao cho: \(F.9)| < Œsupzes-(1 + lle|2)" 3 ` |D°z(z)|.Ve € DR) lai<m “Tập hợp tắt cả cỏc hàm suy rộng tăng chậm là khụng gian cỏc hàm suy rộng tang cham S'(R") Vi dụ 1.1.4 Tren R, f(x) = Deos(e*") cham ~2re** sin(e*) Ia ham suy rộng tăng Định ly 1.1.3 (/3], DL 1.16)
a Cho hàm suy rộng tăng chậm ƒ e S'(R") Khi đú ta cú thể thỏc triển ƒ thành
phiếm hàm tuyến tớnh liờn tục từ S(R") uào C
b Với mỗi phiếm hàm tuyến tớnh liờn tục ƒ : S(R*") —> C đều cú thu hẹp trờn
D(R") la một hàm suy rộng tăng chậm Định nghĩa 1.1.7 Cho ƒ, ƒ € S(#"),š = 1,
ƒ trong đ(R*) khi k tiến ra vụ cựng nết
a Cú một số tự nhiờn m và một số C >0 sao cho: ta núi dóy {/4}ÊĂ hội tụ đến lỨi.2)| < Csapzcae(1+ lz|P)/” 3” |Dđz(z)|,Vứ € CR") lalem b Dõy {/¿}ÿ¿ hội tụ đến ƒ trong Đ(R") Khi đú: St flim fi =f
nghĩa 1.1.8 Cho K CQ, f € D'(Q) Ta ndi ham suy rong ƒ cú cắp hữu
hạn trờn K nếu cú một số nguyờn khụng õm & và một số đương C sao cho
Wis SCS sap,c |DđZ(2)|,Ve € CỹP(W),suppe CK (11)
Trang 12Số nguyờn khụng õm k nhộ nhat trong cỏc số nguyờn khụng õm mà ta cú
trong bất đẳng thức (1.1) được gọi là cấp của hàm suy rộng ƒ trờn
Nếu khụng cú một số nguyờn khụng õm # nào để cú (1.1) với số đương nào
đú, thỡ ta núi rằng, hàm suy rộng ƒ cú cấp vụ hạn trờn tập K
Vớ dụ 1.1.5 Mọi hàm suy rộng ƒ € Z*(9) đều cú cắp 0 Nhận xột 1.1.5
Với À,w € € ƒy g., ƒ,g € Šf(R"),k = 1,2, và
St kim fe=f.S jim 9 = 9 thi:
SE lim (fu + He) = Àƒ + ng
Định nghĩa 1.1.9 Khụng gian tụpụ đối ngẫu S' của khụng gian Schwartz S được gọi là khụng gian của những hàm suy rộng điều hũa
Bồ đề 1.1.2 (/3), BD 1.19)
Cho fi : S(R") + C,k = 1,2, la cde phiếm hàm tuyến tớnh liờn tục sao cho dóy { (fee) }%21 la day cauchy trong C, uới mỗi g € S(R"), day {p,}72, trong S(R")
sao cho: S_ jim yy =0, khi do:
jim Sie PK) = 0
Định ly 1.1.4 (/3], DL 1.17) Khong gian S'(R") la khong gian diy di Chứng mỡnh Lay {(f,)}#2, la day cauchy trong S’(R") nghia là:
Ă Cú một số tự nhiờn m và một số dương C sao cho:
lỨ.Ê)| < Csup,eae(1 + lzl#)" 3) |D°g(z)|,Vứ € Cÿ(R"),k = 1,3, liếm
ii Dóy {//]Ê; là cauchy trong ⁄(R")
Do ?(R") là khụng gian đầy đủ nờn cú một hàm suy rộng f € D/(R") sao cho :
đ lim fy =f ke
Ta chỉ cũn phải chứng minh ƒ € đS⁄(R") hay cú một số tự nhiờn m và một số
dương C sao cho:
Trang 13Mf Ơ)1 S$ Csupzema(1 + [lell?)™ 3” |D°z(2)|.ve Cứ(R")
Dinh ly 1.1.5 (/3], DL 1.18) Cho fy € S'(R"),k diy Cauchy trong S'(R") khi va chỉ khi uới mỗi € S(
day Cauchy trong C
1.1.4 Đạo hàm của hàm suy rộng
Định nghĩa 1.1.10 Dạo hàm suy rộng cấp œ € ẹ" của hàm suy rộng ƒ, kớ hiệu là D*ƒ, là một hàm số cho bởi D*ƒ : ĐA) 3 g— (D*ƒ,ứ) := (U)"è (/,ỉ*g) e K Trong đú (D°/.e) là tỏc động của hàm ỉ*/ lờn hàm ¿ € ?(â) Nếu a € N thỡ ta kớ hiệu é°ƒ = f Mệnh đề 1.1.2 (/3], muc 1.2.3) Dao ham suy rong D^%ƒ cấp a của ham suy rộng ƒ là một hàm suy rộng, nghĩa là hàm số D°ƒ:D(9) 3 Ê—+ (D*ƒ,Ê) := (—U)*è (fy) € K
là một phiến hàm tuyến tớnh liờn tục
Mệnh đề 1.1.3 (/11), DL 2.7) Cho diy (ux), C D(Q) va ham suy rong u,v € DQ) khi dộ:
1 D*(u+v) = Dđut Dv;
2 Dđ(av) = aDđu vdi moi a € K;
3 Dđt8u = D*(Du) = D3(D%u);
4 Nếu uy = u trong D'(Q) thỡ D%uy > Dđu trong D'(Q)
Trang 14Vi du 1.1.6 1 Lay 2 = (0:2), xột ham s6 0<z<l u(z) l<r<2
“Ta cú w là một hàm khả tớch trờn Q, cú đạo hàm cổ điển trờn cỏc khoảng (0; 1)
với (1:3) với w"(z) = 1 với z € (0:1), và w“(z) = 0 với z € (1:9), nhưng w khụng cú đạo hàm (cổ điển) tại z = 1, hay núi cỏch khỏc w khụng cú đạo hàm trờn 9 Bõy giờ ta sẽ đi tỡm đạo hàm suy rộng cắp 1 của u trờn 9 Xột hàm số { 0<z<l1 v(z) 0 1<z<2 thỡ ứ cũng là hàm khả tớch trờn Q, với mọi ¿ € Cứ, ta cú (Diu) = ~ ue) =~ [ue)e(e) dr 1 2 =f 2a) de— f oe)de 1 = =(Le() = 0-Â(0)) + j #(z) đz = (c2) = z()) 1 =f ole)dr 1 2 = Joa) (2) de + J o(2).o(e) de 2 = | rứ)cẫ)dz = (rg), do đồ D%u = 2 Lay â = (0:2), xột hàm số [ 0<z<l u(z) = 2 1<z<2
thỡ w là hàm khả tớch trờn 9, và (z) = 1 với z € (0; 1), va w(x) = 0 vGi x € (1:2)
tất nhiờn w khụng cú đạo hàm trờn 9 Hơn nữa, khụng tồn tại đạo hàm suy rộng cấp 1 của u trờn â Thật vậy nếu tồn tại ỉ' thỡ tương tự như vớ dụ trờn ta cú
Trang 15D'u =v 1a mot ham kha tich trờn 9 và với mọi ứ € Cj°(9), ta cú 2 2 (D'u, 9) = ~ [se = fr (x) de Š a meg f v(0).(a) dz = = f u(x) (a) dz : 0 a 1 2 =~ ƒz.Êt(z) dr — 2 ƒ g(z) dr a 1 1 = fe) a dr + (1) Lay day hàm (¿z;)¿ C Cÿ°(ể) thỏa món 0< ứx <1,2k(1) = 1,gk(z) +0 (#1) Khi đú ta cú ; 1 1 = Jim u(t) = Jim ( J x(t) de | ex(z)dr,) = 0 : : mõu thuẫn này chứng tỏ khong ton tai D'u Vớ dụ 1.1.7 1 Ham khả vi thụng thường: Cho ƒ e C*(@), khi đú với mọi ¿ € D(O), Ap dung cụng thức tớch phõn từng phần ta cú (P'7.ứ) =~,ứ) =~ J $(2).p"(a) Ỷ de = J eG)-f'Œ)dz = (2), 4 suy ra D!ƒ = ƒ'= ỉ!ƒ Hơn nữa, nếu ƒ € C*(Q) thỡ D*ƒ = f* = ak f
2 Hàm Heaviside: Với mọi ¿ € (R), ta cú đa) ox = (He) = J (e) dz = (0) = (8.2) 3 suy ra H! = 6
3 Với mỗi hàm ƒ € C(R) thỡ ƒ.W là một hàm khả tớch địa phương (H là hàm Heaviside), và do đú là một hàm suy rộng Với mỗi ¿ € é(R), ta cú
bos
Trang 16" =/(0)e(0)+ ƒ fứ)e(ứ)dz 3 = $(0) (6.9) + ƒ H(2)f' ela) dr = (f(0)5 + HLS',9) suy ra (fH)! = f(0)6 + fH 1.1.5 Tớch chập của hàm suy rộng Định nghĩa 1.1.11 Cho f(x) va ứ(z) là cỏc hàm số xỏc định trờn R" Ký hiệu Ư+z)œ)= [ J= 90g04, vỏ z € Rh &
Nếu tớch phõn vế phải tồn tại thỡ (ƒ * ứ) (z) là một hàm xỏc định trộn R" va
được gọi là tớch chập của hai hàm /(z) và ứ(z)
Trang 17Nhận xột 1.1.6 Nếu ƒ là hàm số liờn tục trờn IR" và ứ là hàm khả tớch địa phương cú giỏ compact thi ƒ s ứ xỏc định Định nghĩa 1.1.12 (Tớch chập của hàm suy rộng thuộc D' tà D) Cho f € D(R") va g(x) € Đ(R") ta xỏc định tớch chap (f * ¿)(z) là một hàm số trờn R" theo cong thức
(f *)(@) = (ƒ(w).e(z — y)) Wa € RE
Chỳ ý 1.1.1 Với mỗi z cố định thỡ ¿(z — y) € P(R;)
Định lý 1.1.8 Nếu f € D(R") vd g(x) € D(R") thi (f + g)(x) € C*(R") hơn
nila supp(f * g)Csuppf +suppg
Ching minh Ta sit dung kột qua A d6ng, B compact thi A+B dộng va nộu A,B compact thi A+ B Ia compact
Dat
h(
=ƒ*g() = (f(w)-e(z ~ 9))-
Nếu {z¿} là dóy hội tụ về z thỡ hiển nhiờn ủ(zÊ) = (ƒ(w).e(zx — 9)) hội tụ về
h(x) = (f(y), (2 — y)) Hay núi cỏch khỏc, h(z) là hàm liờn tục
Kớ hiệu, (ei.ea en) với e; là vộc tơ đơn vị trờn zĂ Xột
tim Mt!) = inn (ro #ứ + le — y) = gứ = ")
l0 150 T
pla + le;
= (sof @e A = ee
= (1.2)
Điều này chứng tỏ tồn tại đạo hàm riờng 74 Làm tương tự ta chứng mỡnh
được rằng h(x) € Cđ(R") Ta chỳ ý rằng, với mỗi z cố định, nếu
supp/ f\ supp Ê(z = 1)
hỡ h(z) = ƒ *ứ(z) = (f(w).z(z — w)) =0 Do đú nếu h(x) 40 thi tdn tai y esuppf
sao cho z — esuppe Hay núi cỏch khỏc ta cú
supp(f *g) C suppf+suppg
Trang 18Hệ quả 1.1.1 Nếu ƒ €?' mà suppƒ compact thi vdi moi y € D’(R") ta sộ cú f+g€D(R")
Dinh nghia 1.1.13 (Tich chap ciia ham suy rong)
ù) Giả sử f.g € D’, suppg compact Khi dộ tich chap f * g 1A mot ham suy rong xỏc định theo cụng thức
(f #99) = (f.9* 9)
ý, ƒ là hàm suy rộng cú gid compact Xột a(x) € Cx
ii) Nếu ứ là hàm suy rộng tựy
Trang 19hàm suy rộng Mặt khỏc (D°(f *9).~) = (fF *9.(—1)"D%y) = (-1)* (f ô9, D%9) = (CUđ(.gxDé°z) = (-1)*(f, D°(g* 9) = (D*f.g*y) = (D*f*9.9) Tương tự ta cũng cú D%(ƒ xg) = Dđƒ*g= ƒ x D°g Vớ dụ 1.1.8 (Cỏc trường hợp riờng) 1 ƒ€Đ ta cú ƒ*ổ= ƒ và (ð,e) = e(0)) Vp € DR"): 5# p= e(z) Thật vay (f +5.) = (f,6* 9) = (f.9)- Tuong tu D°(f +5) = D°f +5 = D°f 2 P(D) là toỏn tit vi phan tuyến tớnh với hệ số hằng & Gia sit w(x) là nghiệm cơ
bản của toỏn tử vi phõn P(é)z = ổ Khi đú nghiệm của phương trỡnh P(é)u = f được xỏc định u = f +w That vay: P(D)u = P(D)(ƒ * œ) (P(Đ)¿+ f) =ụ+ ƒ = ƒ 12 Phộp biến đổi Fourier trong khụng gian cỏc hàm suy rộng
1.2.1 Biến đổi Fourier trong S(R")
Trang 20Trong đú : € S(R*), (6 Š 525.8 = (21, 22, Tn) ER", = €=(@;&
Định lý 1.2.1 Phộp biến đổi Fourier # là một ỏnh zạ
+n), dx = đưi, dưa, đưa F: S(R") > S(R") va Dye) = #eœ) = —Djo) Chứng mỡnh Lấy ¿ € S(R"), ta phải chứng minh ¿(€) € S Ta cú AO = gap [tote Mặt khie f e~“â9(—x)"p(x)de hoi tu dộu trong R" Do dộ, khi lấy đạo hàm tới # cấp k ta cú tồn tại Hơn thế (=z)*z(z) = D%@(€) và z;z() = =D;¿($) Mặt khỏc từ cụng thức
D3) = aa aap | Oa) oleae Fs
Trang 21Hệ quả 1.2.1 Nếu (x) =e“ Biến đổi Fourier của hàm c(z) là:
2/6 = (V2) ô-}!4”,
Nhận xột 1.2.1
Nếu P(D) là toỏn tử vi phõn với hệ số hằng và xột phương trỡnh vi phõn P(D)w = ƒ Lấy biến đổi Fourier cả hai vế, ta cú
P(€)ủ(€) = ƒ(€)
Nếu P() #0 thỡ ủ(€) = Tang:
Định lý 1.2.2 Cho ¿ € S(R*) sà ¿(€) là phộp biến đổi Fourier của nú Khi đú cụng thức biến đổi ngược Fourier đỳng 1 (x) = ny Jaw cŒ92()dÊ € S Hon thộ, F là một đẳng cầu Chứng mỡnh Ta cú nhận xột với g(r), v(x) € S(R") thỡ tớch phõn ƒ ƒ #(0)0(âe 1 *9quỏc Re Re
là hội tụ tuyệt đối Do đú, ta cú thể thay đổi thứ tự tớch phõn trong tớch phõn
Trang 22Khi đú, fers (Â) #(z + y)dy = fers ()Ê(z + =t)="dt [90602 i = [eo (a + et)dt K
với mọi ¿, € $ Hai về trờn hội tụ đều, cho z dần tới 0, ta cú 0 fe pteac= oe) f Hoa ế zs -ấ#F, ta cú zữ) = an [_ =92(0& Mệnh đề 1.2.1 Với mọi ¿€ S(R") fa cú:
1 e'Œ)c(z)(€) = ộ(€ — h), với €,h € R",e € S(R") 3 ờ(œ — h)(€) = e"'*92(Ê), uới Ê,h € R", € S(R")
3 ð(tz)(€) =F" G(G), vdi t > 0,€ € R”",ứ € S(R")
4 (—€) = #(€) = ấ(—z), tới mọi z,€ € R"
1.2.2 Biến đổi Fourier trong S’(R")
Định nghĩa 1.2.2 Cho ¿ € S/(R") Biến đổi Fourier của hàm suy rộng f kớ hiệu là Z/ƒ hay ƒ là hàm suy rộng tăng chậm xỏc định bởi:
(27 â) = (J.7e).ứ e S(R") (1.6) và phộp biến đổi ngược kớ hiệu là #~'ƒ hay 7 được xỏc định bởi :
(fe) = (fe) 9 € S(R") (17)
Sự tương thớch với định nghĩa trờn “!*) Khi đú với mọi ¿ € S'(") Z(P(0)z)\(A) = PUA)F~A) (AER) - (18)
Vỡ vậy
Trang 23Vớ dụ 1.2.1 Biến đổi Fourier của hàm Dirac :
õ=(2z)*Ỳ Mệnh đề 1.2.2 C6:
1 Ệ ƒ là cỏc ỏnh xạ liờn tục trờn S'(R")
ƒ=è., ƒ€ S(R*) Suy ra phộp biến đổi # là đẳng cấu tuyến tớnh liờn
Trang 241.2.4 Cac định lý Paley-Wiener
Cho 9 € CX(R")suppy C Ba(0), biến đổi Fourier Fy cita ham ¿ là một hàm giim nhanh, do G(R") c $(R") Hon nia ta con c6 thể thỏc triộn Fy len C*
Fe: 6-—+ FeO) = (2x)? / eNO ox) de
Br(0)
Vi (2,6) = Dy tee = Dy teke + EDEL y Tem = Ge + ine Dễ thy Fp(Â) là hàm khả vi vụ hạn trờn C°, ngoài ra ta cú: 6°) = @ay-* fe (id) ple) de IIzll ~ Aứ)7† [ ỏ*)79(-ĂP)"e(z)dz lial
nờn |(đ#g(C)| < Ce*!"l, do đú với mdi N > 0 đều cú một số Cy > 0 sao cho
[FeO < ew + [Ci Neve ec" — (4.1)
'Tương tự ta cú: |Dđỉ¿(Q| = |J#z*z(Q)| < C.Rl°leFll#€lyc e Œ nờn Z#¿(€) là hàm
giải tớch tren C
Định lý Paley- Wiener sẽ chứng mỡnh bắt đẳng thức (4.1) là điều kiện cần và đủ để một hàm giải tớch trờn C° là biến đổi Fourier của một hàm khả vi vụ
hạn cú giỏ compact trờn Rầ",
Định lý 1.2.3 (/9J DL 2.11) Cho ỳ : Ch — C là hàm giải tớch Khi đú, điều
kiện cần à đủ để cú một số R > 0 một hàm ợ e Cặ (R") suppe C ẩn(0) sao cho U(C = ỞZe(Q là tồn tại số R > 0, uới mỗi N > 0 đều cú một số Cy >0 sao cho
lớ(â| < €x(1+ || II)" XeRl#€l,v eC" — (42)
Chứng mỡnh Diều kiờn cần đó được chứng minh ở trờn Ta chỉ cũn phải chứng,
minh điều kiện đủ Từ bất đẳng thức (4.2) tớch phõn g(z) = (2z) Ÿ_ ƒ_ e“đ9(Ê) dc
€eR"
là xỏc định với mọi z, đồng thời nú là hàm khả vi theo x, do Â*e"4)y(Â) 1A ham cú tớch phõn trờn E hội tụ đều theo z Với mỗi „ € R", do hàm e~!#đ/(C) là
hàm giải tớch trờn C° nờn nú giải tớch theo từng biến Khi đú ta cú g(z) = (0x) Ÿ [ el“đu(€) ec d€
Trang 25=@n)~Ÿ ƒ cl6*E?356)0(6,6, €,)d€ ceRn =(0n)71 [ cứte+nGtEj?16)0(,6, eee 6g, nbn) dE =(2n)-F fell &Mu(€ + in) de eRe vỡ vậy, từ bất đẳng thức (4.2) ta cú được (€ + in) € 12(R*), do đú từ ( [3] mệnh đề 2.9, phần (ii) ) ta cũng cú được: TolE + in) = 2x)" ƒ c-reer / eH C+ in) ded eRe cee = (2n)-" J c9 J OU (C + in) dC, de eR" eRe = FF WE + in)))() = VE + in) và |e(z)| < CueRlmlrœ% ff (1+ |g |) hdg maf (1 + {EI "hag hoi tu, eRe geRe và nếu ||z|| > Roy = be thỡ lim, soe lial“) = lim, ,o+ € #(z) =0, ||z|| >0 do đú ợ € Cặt(Rằ), supp C Ba (0) a 1.2.5 Định lý Plancherel
Định lý 1.2.4 Phộp biến đổi Fourier trong L?(R") la một toỏn tử Unitary Chứng mỡnh Gọi L = {ƒ € LI(R") : ƒ € LI(R")}
“Trước hết ta chứng minh Z trự mật trong !(R")U /P(R"),1 < p< œ và {ð:g€ L} =L Ta c6 LC L*(R") UL'(R") do dộ voi mội f € L ta đều cú scorer <i A suy ra LC J#(R") Bõy giờ ta xột dóy / + ợ, trong đú g,(z) = e~"z(#), ta chứng minh được freeek
và ta cú : (ƒ * Êe)(œ) — ƒ(è Ỷ ƒ(~Ê)e‹() đt -f F(x)ye(t) dt
= J (f(e~t) ~ f(a) pelt) dt Bs
Trang 26< ƒ Œ lfŒ~t)~ ƒ(œ)Pdz)°lg(y)|dy Điều này suy ra: ƒ * ge + f theo chuan || j,, hay 7 trự mật trong 7” ngoài ra [Weran [THRU TH A ¿ Do đú G:9€L}=L Khi đú wy: L! + 12, u(f) = ƒ là phộp đẳng cự Cho nờn tồn tại một mở rộng # của ỳ trờn /2(R") là phộp đẳng cự Gọi Ê : 12(R°) —› 12(R"),Ê(/(z)) = #(/(—z)), thỡ Ê cũng là phộp đẳng cự và LoF =i, la song Anh, hay F là toỏn tử Unitary
Bay giờ ta phải chứng tỏ # chớnh là phộp biến đổi Fourier trong 72(R") U
L'(R") Thật vậy với ƒ € 1?(R") U LI(R").g€ L ta cú
{0eiiBia = 0 = 1.8m = [1608814
¿ ¿
Vậy #ƒ = ƒ, với mọi ƒ € L2(R") Qo
Tit dinh ly trờn ta cú một hệ quả rất quan trong sau đõy gọi là cụng thức
Parsseval
Hệ quả 1.2.2 Gid sit f(t),9(t) la hai ham thuge L2(R") va Ff, Fg la hai phộp
Trang 27CHUONG 2
Cac dinh ly Paley- Wiener thuc
2.1 Định lý Paley-Wiener cho cỏc hàm Schawrtz
Cho ƒ là hàm suy rộng điều hũa, đo được trờn IR2 và P là một đa thức Với ƒ
thuộc cỏc lớp khỏc nhau, trong phần này chỳng ta đề cập đến mối quan hệ giữa
dỏng điệu tăng của dóy {P()*/}Z2¿ trờn R# và supremum của |P(ĂA)| trờn giỏ
của #/ Kớ hiệu cho cỏc đại lượng này được giới thiệu trong định nghĩa sau:
h nghĩa 2.1.1 Cho 7 là một hàm suy rộng trờn R# và ? là đa thức khi d6 ta ki higu: R(P,T) = sup{P(iA) : 4 € suppT} € Ryo U {oo} trong đú quy ước R(P.T) = 0 nếu T = 0 Phat biộu thong thudng sộ la R(P.Ff) < R voi R>0 nào đú hay một cỏch tương đương ta cú supp#ƒ C {A € R“; |P(/A)| < R} Ta
cũng sẽ đề cập đến việc xõy dựng lại suppỉƒ
Kết quả đầu tiờn trong phần này là định lý Play-wiener thực cho cỏc hàm Schawrtz Cỏc kết quả tương ứng cho cỏc hàm suy rộng điều hũa ở dạng tổng quỏt nằm trong mệnh đề 2.2.1, mệnh đề 2.2.2 và định lớ 2.2.1
Trang 28IP(ð)"ƒ(z)| < CnXR*(1 + |x|)
(c) RIP, FP) SR
Chứng minh Đầu tiờn ta chứng mỡnh (a) => (e) Giả thiết rằng |P(iAo)l > Rẹ+Ê
với Xo € IR# và e > 0 Kết quả này cú được khi ta chỉ ra rằng #ƒ(Ao) = 0 với
IF/(A)| = FF )22P(Ag)" [eon de
Do đú Yn € ẹ đủ lớn (sao cho (n) Ê0)
IFf(0)| < gmymhmer ,[ + l3)" + |r)*1((0)9/)/)14z
< Cú(n)~!|P(iAa)|T", với hằng số dương Ở nào đú Vỡ vậy
IE/(0)|< Cimsnp(60s)"'|P(A)đ) < Chmynp CC SE”
Trang 29với mọi k trong phộp lấy tổng, suy ra P(¿A)"~ẩ là xỏc định Diều này dẫn đến
với k chạy trong tộng, n > N va \ € sup Ff, l I9$P(A)"| < R(P,#/)"=*s# S”|ni„0)P(AJ*^! oS k < RtaXS” Rˆ*(n¿0)P(AJFTI mĩ
và dựng kết quả này trong (2.3) ta chỉ ra rằng (2.2) đỳng với supremum với
n> N diộu nay suy ra (2.2)
Để hoàn thành chứng minh ta chỉ chứng minh (c) —> (0), ta chọn một cơ sở
1i của IR#, Khi đú tồn tại
> 0 sao cho |x| < Cmax; |uj.z|, với mọi z € R4
Do đú |z|Y < €Ÿ S27, lu.z(Ÿ Dựng điều này và ỏp dụng (22) cho ; ta suy ra (2.1) đỳng
Cuối cựng để suy (b) => (a) ta chỉ việc chọn đ(n) = R~"n=4~1, a
Ta sộ nghiộn citu tru’ng hop L?, ta cần mệnh đề quan trọng sau Mệnh đề 2.1.1 (|7) Cho P là da thức tà 1 <p< œ Giả sử P(0)"ƒ € LP(R9), tới mọi n € ẹ* Khi đú trờn tập cỏc số thực dương mở rộng lminf||P(ỉ)°/ ||” > R(P.Z/) — 4) Chứng mỡnh Cụ định Ao € SuppZƒ Ta cú thể giả sẽ chứng minh ring rằng P(/Ao) Z 0 Chỳng ta
Tim inf || PO)"F lp!" > |P(o)| =e- (35) ( với e cố định dương nào đú) sao cho 0 < 2e < |P(ĂA)|
Để cú được điều này chọn bắt kỡ cố định, ý € Cœ(R*) sao cho (Zƒ, 1) # 0,
và
Supp C {A €R#: |P(iAg)| — e < |P(A)| < |PÀ)| +} (26)
Trang 30trong đú A Ia Laplacian Khi khai triộn (1 — A)“ {P(iA)-"u(A)}, ta cú thể viết nú như là một tổng hữu hạn
2 c.2(D?(P(ĂA)*"))(D20),
số
với cỏc hằng số cạ„z và 0%, éấ là cỏc đạo hàm riờng bậc |al,|đ| < 2A Cỏc hệ số và toỏn tử vi phõn khụng phụ thuộc vào n
Cho n > 2M Ding quy nạp theo |a|, ta thấy rằng nếu P(ĂA) # 0 thỡ Dđ(P(ĂA)~") = Tel n(n +1) (n + 1)Py,a(A)P((A)~"=k
= P(A) Dlg n(n $ 1) (n + k = 1) Pha(A)P(a)el-*,
trong đú P¿„ là cỏc đa thức độc lập với ứ Với mọi œ trong khai triển ta cú
lai < 2Ä, do đú với mỗi a tồn tại một số Cạ sao cho
|Dđ(P(A)=")| < Can? ((P(1Aa)|
với mọi n > 2M, và với moi \ € Supp Do đú tồn tại một hằng số dương Œ sao
cho
lq = A)JP(A)“"6(A))| < Cin# (|P(Aa)| = e)
với moi n > 2M va vội mọi A € R“ Dựng điều này trong (2.7), ta suy ra rằng,
tồn tại mot hing sộ C2 sao cho
|q + lz#)M#ua(z) < CạnđM(|P(ĂAa)| = e)~",
với mọi n > 2M va moi x e 8“ Từ đõy ta suy ra rằng tồn tại một hằng số
sao cho
|| Fuin lly < Can? (|P(iA0)| = e)é",
với mọi „ > 2M Khi dộ vi (Ff.Ơ) = (FF PU)", (POAN" FF Un = (F(P(A)" A) Un (PO)"F Fe
và theo cụng thức (1.6) và (1.8) (ở trang 19, trong phần biến đổi Fourier trong S!(R")) ta dựng giả thiết P(ỉ)"ƒ € 1P(R*), với moi n € ẹ* và bắt đẳng thức
Holder's ta được
(Ff.W) < || PO)"F |p || FUn |] < Can? (|P(Ho)| — €)" || (PO) lpằ
Trang 31Định lý 2.1.2 ([7]) Cho P là một đa thức, 1 < p < co, wa f € S(R*) Khi do
trờn tập cỏc số thực dương mở rộng
stim || PONS yl" = RPT) (28)
Chitng minh Theo mộnh dộ 2.1.1 ta chi can chttng minh rằng trờn tập số thực
đương mở rong
limsup || P(A)" lly!" < RP, Ff), (29)
và ta cú thể giả sử rằng 0 < #(P,#ƒ) < œ Ta cú định A € ẹ, sao cho (1+|z|)~M €
1?(R9) Từ định lý 2.1.1 ta thấy rằng tồn tại một hằng số dương C sao cho
II + lz)*!.P(ỉ)*/ loc S Cn! RP FF)",
với n € ẹ, suy ra rằng,
ILP(ỉ)"/ll, < II + II) Up IL + [2X POY" lac S Cn R(PL FF)",
với C' là một hằng số dương mới a
Hệ quả thứ hai là việc kết hợp mệnh đề 2.1.1 và định lý 2.1.1 là đỳng cho một lớp hàm 77 cú sự trựng lặp với định lý 2.1.2 phớa trước nhưng khụng chứa những trường hợp khỏc như một trường hợp đặc biệt
ịnh lý 2.1.3 ((7]) Cho P là một đa thức, 1 < p< s Giả sử P(0)"ƒ e LP(R“)
tới mọi n € ẹ* Giả sử thờm rằng hoặc #ƒ cú giỏ compaet hoặc tập {A € IRf: |P(id)| < R} cú giỏ compaet uúi mọi R > 0 Khi đú trờn tập số thực dương mở:
rộng
slim ||P()9/ll/" = RŒP.?) (210)
Chứng mỡnh Từ mệnh đề 2.1.1 ta cú
liming || POY"F I" > RFD, (11)
“Theo trường hợp đầu tiờn gid thiột ring Ff c6 gid compact Cộ dinh z > 0 Ta sẽ chứng minh rằng,
Trang 32Để kết thỳc điều này ta chon u € S(R) sao cho Fu = 1 trờn suppFf, va
|P(A)| < R(P.#ƒ) + e, với mọi A € supp#u Dặc biệt, R(P,#u) < R(P.#ƒ) + s ‘Theo tinh compact cita suppFf, điều này là cú thể vỡ #(ƒ ôu) = #/.ệu = Zƒ, ta
thấy rằng ƒ + = ƒ, do đú
II P(ỉ)°/ ly = II P(ỉ)*(/ * 9) llp = || ƒ * P(ỉ)*# |; < lL/ llp |I.P(ỉ)*#|li -
Khi đú như là một hệ quả của định lý 2.1.2 (hoặc chứng minh kết quả này là một hệ quả của định lý 2.1.1 ta cú
lim sup || P(ỉ)"Ê li" < limsup||P(6)"0 ||" < R(P.8ỳ) < R(P.3/) + no nơ%
Đối với trường hợp thứ hai, giả sử rằng tập {A € R“: (P(¿A)| < R} là compaet mới mọi R>0 Nếu R(P,#ƒ) < , thỡ #ƒ cú giỏ compact và kết quả cú được từ trường hợp thứ nhất
Nếu ủ(P,3/) = s kết quả cú được từ mệnh đề 2.1.1
Đặc biệt nếu ta giả sử rằng A"ƒ € 1"(R*), với mọi ứ € ẹ*,và 0 < R < œ thỡ
lim || A"f li < R, nếu và chỉ nếu, #ƒ cú giỏ nằm trong hỡnh cầu bỏn kớnh R
bao quanh 0
Với p= 2 ta cú thộ bộ gid thiột compact trong định lớ 2.1.3 bằng cỏch dựng
định lý Plancherel a
Dinh lý 2.1.4 ({7]) Cho P là một đa thức, uà giả sử P(0)"ƒ L2(R“) uới mọi
n€Nẹ* Khi đú trờn tập số thực dương mở rộng
lim, || POY" Fla” = RPS) Chứng mỡnh Theo mệnh đề 2.1.1 ta chỉ cần chứng minh limsup |Í P(ỉ)"ƒ lỆ” < R(P.Zƒ) (2-13) Ta gid sử R(P.#ƒ) < se Với mỗi Ă € S(R*), ta cú (P()*/.0) = (Pe” fe 3910) = ((P(0))"ƒ.3~10) = (P(A)"#ƒ,3—!
vỡ vậy ta dựng định lý Plancherel trong phần cuối cựng ta được | (PO)"f.Ơ) = | {PEM GIANT vaya
Trang 33< R(P.Z0)" & Ƒ |(#f())#~1#0)laA SRP FA" FF lio F Vly = R(P.Zƒ)"IIf allells vỡ LP(ỉ)*ƒ ll¿ = supues(s).leiI,= (P(ỉ)”/, 0), ta kết luận rằng |IP(ỉ)*ƒllạ < R(P.#?)"|I7lla và (2.13) đỳng
Nếu phộp biến đổi Fourier cita mot ham f € L”(R4) là compact thi || P(2)"f |p với đủ nhiều đa thức P giỳp ta cú thể tỡm được giỏ chinh xac cia Ff Diộu nay thể hiện trong phần (e) và (d) của định lý 2.1.5 a
Bổ đề 2.1.1 ({7]) Cho K là tập con compaet khỏc rỗng của R4 Thỡ tồn tại dóy
da thức Pạ sao cho
K= f A€R!:|P(A)| < maxaee |P(0A)|}- PEP,
“Thật vậy đõy như là một hệ quả của định lý Stone -Weierstrass (về khả năng,
xấp xỉ đều hàm liờn tục trờn tập compact bởi đa thức hay đa thức lượng giỏc) trờn tập cỏc đa thức P¿ Tuy nhiờn phụ thuộc vào tớnh chất hỡnh học của K, ta
cú thể cú cỏc thụng tin ban đầu trờn cỏc tập nhỏ hơn nhiều là đủ
Dinh ly 2.1.5 ((7]) Cho 1 < p< %, tà giả sử biến đổi Fourier #ƒ của ƒ € 1P(Rđ) cú giỏ compaet Cho K la tap compact khộc rộng ctia R4 thi
(a) P(d)f C LP(R*), vdi moi da thite P
(b) Với mội tap Py xỏc định trong K trong bổ đề 9.1.1, supp#ƒ C K nếu va chỉ Tiếu,
lim || P(0)"/ ly/" < maxyex |PCA)| tới mọi PE Py
(e) Với mỗi tập P„uuuzr xỏc định supp#ƒ như trong bổ đề 9.1.1, A € R* ở trong
suppFf, nộu va chi nộu,
[PGA)|< Mm || POY"S I"
Trang 34tới mọi P€ P„zr
(4) Cú thể xõy dựng suppZƒ như sau:
suppF f = {A € R#: |P(ĂA)| < lim „ằ || P(0)" ƒ |" vuới mọi đa thức P}
Đo (a) tà định lý 2.1.3 nờn tồn tại giới hạn hữu hạn trong (b) tà (c)
Chứng mỡnh Chọn ý € CặP, ở = 1 trờn giỏ #ƒ Nờu P là đa thức thỡ theo lớ thuyết hàm suy rộng P(ỉ)ƒ = ƒ*P(ỉ)#~*0, cú thể thấy được bằng cỏch lấy biến
đổi Fourier và dựng [ [15], DL 30.4] Vi L! tac dong lờn /? bởi tớch chập nờn
(a) đỳng Định lý 2.1.3 cho ta (b) và (e) Để
được xột trờn cỏc tập compact nờn (d) suy ra từ (â), a
ring tap tất cả cỏc đa thức luụn
2.2 Hàm suy rộng điều hũa dạng tổng quỏt
Mệnh đề 2.2.1 (/7J) Cho T là hàm suy rộng cú bậc À tới gid compact, va P là đa thức Khi đú uới mỗi R > R(P,T), thà tồn tại một hằng số Ở, sao cho, vdi
mợi n € ẹ nà z € R4,
|P(0)"#~!T(z)| < CmŸR*(1 + |x
Chứng mỡnh Dat Vạ = {A € 8“: |P(ĂA)| < R} Khi đú Vạ chứa một lõn cận mở
của supg7, đo đú ta cú thể chọn € C@(R#) sao cho = 1 trờn một lõn cận mở
Trang 35
Trong đú „ là cộc ham tron doc lap vội n va 2g va triột tiờu ngoài su bs Qka
là cỏc đa thức độc lập với n và A, và cú bậc nhiều nhất là |a| Với n > X, ta cú
thể viết với mọi A € R4, như sau PHA Yn = Tinh chất triệt tiờu của ¿„ kộo theo chuẩn supremum của hàm này bị chặn bởi in — b+ Dba A)Qua(zo)e™*P (IAS * ~1) CaRPnlSl(1 + |za|)°è,
với Ca là một hằng số Do đú tồn tại một hằng số Œ sao cho bất đẳng thức trong định lý đỳng vội moi n > N, va tang Ở lờn nếu cần thiết suy ra bất đẳng thức
đỳng với mọi ứ € ẹ a
Mộnh dộ 2.2.2 ((7]) Cho ƒ € C(R*) là hàm suy rộng điều hũa, tà giả sử tồn
tại một đa thức P, một số đương N € ẹ*, va hing số C R > 0, sao cho uới mọi
n€eẹ uàzcR+
P(A)" f(a)| < CnR*(1 + |z|)Ÿ- (2-14)
thỡ R(P.Zƒ) <R
Chỳ ý 2.2.1 Chỳ ý rằng ở đõu khụng đặt giả thiột Ff la compact
Chứng mỡnh Giả sử Àa € R“ cố định sao cho |P(iAa)| > R.+ e, với e > 0 Đặt V ={A€R?: |P(ĂA)| > R+/2},và giả sử ỳ € CỹP(R2) cú giỏ trong V Ta sẽ chứng minh rằng (Zƒ,) = 0, do đú Ao ý suppZƒ, ta cú điều phải chứng minh
Với mỗi ứ € ẹ, xột hàm ứ„(A) = 0(A)P(ĂA)—", là một hàm trơn cú giỏ compaet Nếu A € N là số nguyờn cú định, sao cho (1+ |z|?)~M € 1'(R*) như trong chứng
Trang 36|(#7.0)|=|.#(P(A)*ỳa) | =| (f, P(-O)"Fun) | =|(PO)"F Fun) | = \f P()"/()( + |rlđ)~ (1 + |zấ)#ua(z)4z| < J Cn*Rđ(1+ |zl)Š(1 + lzl#)MCn2#M(R + Đ)~"dr < Clu 2M (flay và đú là điều phải chứng minh a
Theo ching minh định lý 3.2.3 (ở chương 3), ta để ý trờn đỳng nếu (2.14) đỳng với mọi trừ một số hữu hạn n
Kết hợp mệnh đề 2.2.1 và một trường hợp đặc biệt của mệnh đề 2.2.2 ta cú
đặc trưng của hàm suy rộng với giỏ compact sau đõy
rằng mệnh đề 2.2.2 ở
Định lý 2.2.1 ((7]) Cho ƒ € C*(R2) là hàm suy rộng điều hũa, uà giả sử tập {A €R4: |P(id)| < Ro} la compact Cho P la da thite va hằng số Rạ >0 Thỡ giỏ
ctia Ff la chita trong {A € R4 : |P(id)| < Ro} nộu va chi nộu vdi mội R > Ro, ton tai hng s6 Nr € N* va Cr >0 sao cho
|P(ỉ)"ƒ(z)| < CgnŸ*ủR"(1 + |z|)Ÿ*- (3.15)
với mọi z € ẹ và z € R4, Nếu điều này đỳng thỡ uới mọi R > Rạ ta cú thể lầy Np bing bac ctia Ff trong (2.15)
Định nghia 2.2.1 Cho f € C*(R") lA ham suy rong diộu hda sao cho suppFf là compact Cho P là đa thức Khi đú ta định nghĩa &(P f) nlut 1a infimum cia
tất cả # > 0, trong đú tồn tại hằng số W € ẹ* và Œy„ > 0, sao cho voi moi
neẹvàzecR+,
|P(0)"/(z)| < CN.snŸ #*(1 + xl)
“Tương tự định lý 2.1.3 với ủ(P ƒ) thay cho im || PO)" ly", ta cú kết quả
sau:
Dinh ly 2.2.2 ({7]) Cho ƒ € C*(R*) là hàm suy rộng điều hũa, sao cho suppZ ƒ la compact Cho P la da thỳc Khi đú R(P ƒ) = R(P.Z/)
Trang 37Chứng mỡnh Theo mệnh đề 3.2.1, ẹ(P.ƒ) < R(P.#ƒ) Bất đẳng thức ngược
được suy ra từ mệnh đề 2.2.2 a
Xõy dựng lại giỏ như định lý 2.1.5 trong 7 ta cú định lý sau đõy
Dinh ly 2.2.3 ((7]) Cho f  C*(R4) la ham suy rộng điều hũa, sao cho supp#ƒ là compaet Cho K là tập con compact khỏc rỗng của R* Khi đú
(a) Với mỗi tập P, xỏc định K như trong bổ đề 2.1.1, supp#ƒ C K nếu tà chỉ
Tiểu,
R(P f) < maxyex |P(A)|
vdi moi P € Px
(b) Với mỗi tập P„uzr xỏc định supp2ƒ như trong bổ dộ 2.1.1, \ € RÂ trong suppFf, nộu va chi nộu
IPỳA)| < RP.)
tới mọi P.€ P„uyg/:
(c) Cú thể ray dựng supp#ƒ như sau
supp#ƒ = {A € R#: |P(iA)| < ẹ(P, ƒ).uới mọi đa thức P}
Ching minh Phin (a), (b) suy ra từ mệnh đề 2.2.1, (c) là một trường hợp đặc
biệt của (b) a
Trang 38CHUONG 3
Cỏc định lý Paley- Wiener phức
3.1 Dịnh lý Paley-Wiener phức
Như đó đề cập trong phần giới thiệu, cú cỏc vớ dụ trong đú chứng minh định lý Paley- Wiener phức cho phộp biến đổi tớch phõn khụng dựng dịch chuyển miền,
vỡ tớch phõn là khụng nguyờn.Trong từng trường hợp đú, cỏc kết quả trong phần
i thực Dộ
mỡnh họa điều này, ta chỉ ra cỏc phiờn bản của định lý Paley- Wiener phức cổ
hai cho ta một tiếp cận khỏc để s lý phức từ cỏc định lý
điển cho phộp biến đổi Fourier từ cỏc định lý thực trong phần hai Chiến lược là để ỏp dụng cụng thức Cauchy cho hàm nguyờn, và khai thỏc cỏc ước lượng,
thụng dụng cho ƒ trờn C2 để đạt được cận trờn của |I2Đ7 || trờn R#, với mọi
Ăcẹ và Ê€ R#“ Kết hợp điều này với một trường hợp đặc biệt của mệnh đề
2.1.1 cho ta cỏc cận trờn của max,ezu„z/ |€.z|, với mọi Ê € R4, và khi đú định lý
tỏch cơ bản trong tập lồi suy ra kết quả mong muốn liờn quan đến supp#ƒ hoặc
supp#~ƒ
Phương phỏp tiếp cận này cú thể cho ta một giải phỏp thay thế khi dịch chuyển miền khụng cũn hữu hiệu., nú dường như bị giới hạn để giỏ chứa trong
một tập đối xứng lồi compact Nhu da minh hoa trong định lý 2.1.5 ta cú thể
xõy dựng lại supp#ƒ bởi điều chỉnh || P()*/ ||„ trờn R“ cho đủ nhiều đa thức P,
viv
ta cú hi vọng suy ra trường hợp phức tổng quỏt thụng qua mệnh đề 2.1.1
bằng cỏch gọi ra nhiều đa thức hơn là cỏc đa thức thuần nhất bậc nhất
Đối với cỏc hàm, kết quả mà chỳng ta sẻ cần từ phần hai là mệnh đề 2.1.1
cho p= œ và cỏc đa thức thuần nhất bậc nhất Nếu hàm trong mệnh đề 2.1.1 là một hàm Schawrtz, thỡ ta cú thể dựng kết quả sau để cú một chứng minh đơn
.2.1
giản hơn Chỳng ta sẻ trỡnh bày nú để minh họa bằng việc suy ra định lý
Trang 39phức thụng qua cỏc kết quả thực
Bổ đề 3.1.1 ((7]) Cho P là da thức thuần nhất hệ số thực, ƒ € S(R°) tà
1<p<œ Thỡ trờn tập số thực dương mở rộng
minf||P()"/ |" > RỊP.Z/).— (81)
Chứng mỡnh Cho Ao € suppZƒ và giả sử P(ĂAo) z 0 Ta chọn và cố định e > 0, sao cho 0 < Ê < |P(ĂA)| Ta chứng minh liminf || P(ð)*ƒ|l/" > |P(Ae)|—e, (3.2) từ đú suy ra (3.1) Dịnh nghĩa với j e {0.1.2.3} YQ) =70(0770) (AeR!) khi đú dựng cụng thức (1.6), (1.8) (ở trang 19, trong phần biến đổi Fourier trong #(R")) và bất đẳng thức Hửlder's ta cú kết quả || PY" F [lp Fes lly = L(P(ỉ)*2/,Z,) | = | (FP(A)"*9 f.Ơ;) | = iS P(A)"#(P(9J//)(99;(A)4A| = ƒ |P@A)If"|3(P()7/) & #dA
> (IP(Aa)| = e)" J LP(A)||#/(A)|24A
(viP(A)|>|P@Às)I~e}
Tich phan trong dong cuối là đương vi Ag € suppFf diộu này suy ra (3.2) Dể ý
rầng cả hai giả thiết về được dựng trong việc chuyển từ dũng ba sang dũng
bốn
“Trước khi chuyển sang cỏc định lý Paley- Wiener phức, ta cần một số thuật ngữ Nếu A là tập con khỏc rỗng của R* khi đú ta định nghĩa hàm tựa[supporting function] Ha: RÂ + RÂ cia A la HA(z) = maxaeAa.z với mọi x € RY a
Trang 40f(z) = Deg anz* với |z| < so
Lớp hàm này được kớ hiệu là Z Ê 1a khong gian tuyộn tinh,
Nộu f(z) là hàm giải tớch trờn toàn mặt phẳng phức, thỡ f(z) la ham nguyờn
Vi du 3.1.1 f(z) =e7, f(z
sin(z), f(2) = cos(z) là cỏc hàm nguyờn trờn C
Định nghĩa 3.1.2 Cho 4 là một tập con của RÂ va ƒ : C2 > C Ta nội ring f
là một hàm nguyờn kiểu mũ trờn C° tương ứng với 4, nếu ƒ là nguyờn, và nếu
tồn tại hằng số Œ sao cho,
J/()| < Cef+2)- (ze C9), (3.3)
“Ta núi thộm ring f 1A mot ham nguyộn tăng nhanh trộn C4 kiộu mũ tương,
ứng với 4, nếu ƒ là nguyờn và với mọi ứ € ẹ*, tồn tai hing s6 C sao cho,
[F< Cad + [2 Me™) (2 € C4) (3.4)
Nhu da biột nộu fla ham nguyờn (3.4) thỡ dựng cụng thức Cauchy ta suy ra
cỏc đạo hàm riờng ỉ#' ƒ thỏa món cỏc ước lượng tương tự với mọi € € RineN
Do đú hạn chế của ƒ lờn R* là một hàm Schawrtz, giải thớch cho thuật ngữ này
Cỏc kết quả sau được chuyển từ phức sang miền thực trong trường hợp cỏc
hàm
B6 dộ 3.1.2 (/7]) Cho A là một tập con đối xứng, compact khỏc rỗng của R",
tà giả sử rằng ƒ là một hàm nguyờn kiểu mũ trờn C° tương ứng tới A khi đú
tới mọi € € JR4,n € ẹ, cỏc đạo hàm riờng ỉĐƒ là bị chặn trờn Rt va