ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN THỊ NGA MỘT SỐ DẠNG CỦA ĐỊNH LÝ STOLZ CESÀRO VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN 2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN THỊ NGA MỘT SỐ DẠNG CỦA ĐỊNH LÝ STOLZ-CESÀRO VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN THỊ NGA MỘT SỐ DẠNG CỦA ĐỊNH LÝ STOLZ-CESÀRO VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 84 60 113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Trần Văn Thắng THÁI NGUYÊN - 2018 i Mục lục MỞ ĐẦU Chương Một số dạng định lý Stolz-Cesàro 1.1 1.2 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1.1 Dãy số 1.1.2 Chuỗi số 1.1.3 Hàm số Một số dạng định lý Stolz-Cesàro 1.2.1 Một số dạng cổ điển định lý Stolz-Cesàro 1.2.2 Một số dạng mở rộng định lý Stolz-Cesàro 14 1.2.3 Một số dạng định lý Stolz-Cesàro 22 Chương Một số ứng dụng định lý Stolz-Cesàro 26 2.1 Tính giới hạn dãy số 26 2.2 Tổng lũy thừa với số mũ nguyên 46 2.3 Bài toán 11174 P P Dalyay 47 KẾT LUẬN 51 TÀI LIỆU THAM KHẢO 52 MỞ ĐẦU Các định lý Stolz-Cesàro cổ điển nhà toán học Otto Stolz (1842-1905) Ernesto Cesàro (1859- 1906) đưa Định lý đề cập tới an+1 − an an tồn giới hạn lim lim điều kiện n→∞ bn+1 − bn n→∞ bn để giới hạn Định lý xuất lần [11] kể từ đó, xuất lại nhiều tài liệu khác có chủ đề dãy số chuỗi số Định lý xem phiên rời rạc quy tắc L’Hopital giới hạn hàm số cho ta ∞ phương pháp hữu hiệu để tính giới hạn có dạng khơng xác định ∞ tốn tính giới hạn, đặc biệt tốn tính giới hạn liên quan tới tổng Gần đây, định lý sử dụng tính hệ số đa thức định nghĩa tổng lũy thừa số nguyên ([7]) nghiên cứu tính chất tuần hồn hàm số ([5]) Với ứng dụng kể trên, định lý Stolz-Cesàro ngày nhà toán học quan tâm mở rộng, phát biểu dạng khác có thêm ứng dụng mới, điển hình kết C Mortici ([8]), G Nagy ([9]) S Puspană ([10]) Luận văn tổng hợp trình bày số dạng cổ điển định lý Stolz-Cesàro; số dạng mở rộng G Nagy S Puspană; số dạng đưa C Mortici Tiếp theo, luận văn trình bày số ứng dụng định lý Stolz-Cesàro việc tính giới hạn dãy số, có tính giới hạn tổng, toán hay thường xuất đề thi toán dành cho học sinh sinh viên Một ứng dụng khác định lý Stolz-Cesàro tính tổng hữu hạn lũy thừa nguyên chúng tơi trình bày luận văn 2 Cuối cùng, sử dụng dạng mở rộng định lý Stolz-Cesàro G Nagy để nghiên cứu tính chất tuần hồn hàm số tốn 11147 P P Dalyay Ngồi phần mở đầu kết luận, luận văn gồm chương: Chương Một số dạng định lý Stolz-Cesàro Phần đầu chương trình bày số khái niệm phục vụ cho mục sau luận văn Tiếp theo, chúng tơi trình bày dạng cổ điển, số dạng mở rộng định lý Stolz-Cesàro Chương Một số ứng dụng định lý Stolz-Cesàro Chương tìm hiểu số ứng dụng định lý Stolz-Cesàro việc tính giới hạn dãy số, tính tổng lũy thừa số nguyên nghiên cứu tính chất tuần hồn hàm số tốn 11147 P P Dalyay Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên Lời tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo TS Trần Văn Thắng Thầy dành nhiều thời gian hướng dẫn giải đáp thắc mắc suốt q trình làm luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy Tác giả xin chân thành cảm ơn tồn thể thầy Khoa Toán Tin, trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên tận tình hướng dẫn, truyền đạt kiến thức suốt thời gian theo học, thực hoàn thành luận văn Xin cảm ơn bạn bè, đồng nghiệp trường THPT Tiên Du số gia đình thân yêu tạo điều kiện thời gian ln ủng hộ tơi suốt q trình học tập Thái Nguyên, tháng 05 năm 2018 Người viết luận văn Nguyễn Thị Nga Chương Một số dạng định lý Stolz-Cesàro Chương trình bày số kiến thức bản, dạng cổ điển số dạng mở rộng định lý Stolz-Cesàro 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1.1 Dãy số Định nghĩa 1.1.1 Dãy số hàm số từ N vào tập hợp số (N, Q, R) Các số hạng dãy số thường ký hiệu un , , xn , yn Dãy số ký hiệu {un }, {vn }, {xn }, {yn } Nhận xét 1.1.2 Vì dãy số trường hợp đặc biệt hàm số nên có tính chất hàm số Định nghĩa 1.1.3 (i) Dãy số {xn } gọi dãy giảm xn+1 ≤ xn với n ∈ N∗ (ii) Dãy số {xn } gọi dãy tăng xn+1 ≥ xn với n ∈ N∗ (iii) Dãy số {xn } gọi dãy giảm ngặt xn+1 < xn với n ∈ N∗ (vi) Dãy số {xn } gọi dãy tăng ngặt xn+1 > xn với n ∈ N∗ Dãy số tăng dãy số giảm gọi chung dãy đơn điệu Định nghĩa 1.1.4 Dãy số {xn } gọi bị chặn tồn số thực M cho xn ≤ M với n Dãy số {xn } gọi bị chặn tồn số thực m cho xn ≥ m với n Một dãy số vừa bị chặn trên, vừa bị chặn gọi dãy bị chặn Định nghĩa 1.1.5 (i) Ta nói dãy số {xn } có giới hạn hữu hạn a n dần đến vô với > 0, tồn số tự nhiên N0 (phụ thuộc vào dãy số {xn } ) cho với n > N0 ta có |xn − a| nhỏ Ta viết lim xn = a ⇔ > 0, ∃N0 ∈ N : ∀n > N0 , |xn − a| < n→∞ (ii) Dãy số {xn } dần đến dương vô n dần đến vô với số thực dương M lớn tuỳ ý, tồn số tự nhiên N0 (phụ thuộc vào dãy số {xn } M ) cho với n > N0 ta có |xn | lớn M Ta viết lim xn = +∞ ⇔ ∀M > 0, ∃N0 ∈ N : ∀n > N0 , |xn | > M n→∞ (iii) Dãy số có giới hạn hữu hạn gọi dãy hội tụ Dãy số khơng có giới hạn dần đến vô n dần đến vô gọi dãy phân kỳ Giả sử {xn } dãy bị chặn Với n ta đặt un = sup{xn+1 , xn+2 , } = sup xn+k , k=1,2, = inf{xn+1 , xn+2 , } = inf xn+k k=1,2, Dễ thấy un đơn điệu giảm bị chặn dưới, nên tồn giới hạn Giới hạn gọi giới hạn dãy {xn } ký hiệu lim sup xn n→∞ Tương tự, dãy {vn } dãy tăng bị chặn trên, nên tồn giới hạn Giới hạn gọi giới hạn dãy {xn } ký hiệu lim inf xn n→∞ Định lý 1.1.6 Điều kiện cần đủ để dãy hội tụ giới hạn giới hạn dãy Định lý 1.1.7 (Sự hội tụ dãy đơn điệu) Dãy số tăng bị chặn hội tụ Dãy số giảm bị chặn hội tụ 5 Định lý 1.1.8 Nếu {xn }, {yn } dãy hội tụ cógiớihạn tương xn ứng a, b dãy số {xn + yn }, {xn − yn }, {xn yn }, hội yn a tụ có giới hạn tương ứng a + b, a − b, ab (trong trường hợp b dãy số thương, ta giả sử yn b khác không) Định lý 1.1.9 Giả sử an ≤ bn ∀n ≥ N0 , N0 ∈ N lim an = a, n→∞ lim bn = b Khi đó, ta có a ≤ b n→∞ Định lý 1.1.10 (Nguyên lý kẹp) Giả sử lim an = lim bn = a n→∞ n→∞ an ≤ zn ≤ bn với n ∈ N Khi đó, ta có lim zn = a n→∞ 1.1.2 Chuỗi số Định nghĩa 1.1.11 Cho dãy số u1 ; u2 ; ; un ; Khi gọi tổng vơ hạn u1 + u2 + + un + ∞ P un un số hạng tổng quát; sn = u1 + u2 + chuỗi số ký hiệu n=1 + un gọi tổng riêng thứ n chuỗi số; rn = un+1 + un+2 + gọi phần dư thứ n Nếu lim sn = s (hữu hạn) chuỗi gọi n→∞ hội tụ s tổng chuỗi Nếu sn không dần tới giá trị hữu hạn chuỗi gọi phân kỳ Định lý 1.1.12 Chuỗi số ∞ P un hội tụ lim un = n=1 Chuỗi số ∞ P n→∞ un gọi chuỗi số dương un > với n ∈ N n=1 ∞ P Định lý 1.1.13 (Tiêu chuẩn so sánh) Cho chuỗi số dương ∞ P un ≤ với ∀n ≥ n0 (n0 ∈ N ) từ hội tụ n=1 hội tụ ∞ P n=1 ∞ P n=1 un từ phân kỳ ∞ P n=1 un n=1 ∞ P suy n=1 un suy phân kỳ Định lý 1.1.14 (Tiêu chuẩn tương đương) Cho hai chuỗi số dương ∞ ∞ P P un lim un = k Khi đó, ta có: n→∞ n=1 n=1 Nếu (0 < k < +∞) hai chuỗi cho hội tụ phân kỳ Nếu k = từ hội tụ ∞ P suy hội tụ n=1 Nếu k = +∞ từ phân kỳ ∞ P un n=1 ∞ P , ta suy phân kỳ n=1 ∞ P un n=1 1.1.3 Hàm số Cho hàm số thực f (x) xác định miền R Định nghĩa 1.1.15 Cho hàm số y = f (x) có tập xác định D (a; b) khoảng D Hàm số gọi hàm số đồng biến khoảng (a; b) x1 , x2 ∈ (a; b) : x1 ≤ x2 ⇒ f (x1 ) ≤ f (x2 ) Hàm số nghịch biến khoảng (a; b) x1 , x2 ∈ (a; b) : x1 ≤ x2 ⇒ f (x1 ) ≥ f (x2 ) Hàm số đồng biến nghịch biến khoảng (a; b) gọi đơn điệu khoảng (a; b) Định nghĩa 1.1.16 Cho hàm số y = f (x) xác định lân cận a (có thể trừ điểm a) Số thực l hữu hạn gọi giới hạn hàm số f (x) x → a nếu: ∀ > 0, ∃δ > : < |x − a| < δ ⇒ |f (x) − l| < Định nghĩa 1.1.17 Cho hàm số y = f (x) xác định lân cận a (có thể trừ điểm a) Số thực l hữu hạn gọi giới hạn trái (phải) hàm số f (x) x → a nếu: ∀ > 0, ∃δ > : −δ < x − a < 0(0 < x − a < δ) ⇒ |f (x) − l| < Định nghĩa 1.1.18 Cho hàm số y = f (x) xác định lân cận x0 Khi hàm f (x) gọi liên tục x0 lim f (x) = f (x0 ) x→x0 Định nghĩa 1.1.19 Hàm số y = f (x) gọi liên tục trái (phải) x0 hàm f (x) xác định lân cận trái (phải) x0 (kể x0 ) lim f (x) = f (x0 )( lim+ f (x) = f (x0 )) x→x− x→x0 Định nghĩa 1.1.20 Hàm f (x) gọi liên tục khoảng (a; b) f (x) liên tục x thuộc khoảng (a; b) Hàm f (x) gọi liên tục [a; b] f (x) liên tục khoảng (a; b), liên tục phải x = a liên tục trái x = b Định nghĩa 1.1.21 Hàm f (x) gọi liên tục D với ε > tồn δ > cho với x, y ∈ D thỏa mãn |x − y| < δ ta có |f (x) − f (y)| < ε Định lý 1.1.22 Hàm f (x) liên tục tập compact D liên tục tập D Một hệ suy từ định lý Hệ 1.1.23 Mọi hàm liên tục tuần hoàn R liên tục Định lý 1.1.24 (Định lý giá trị trung gian) Cho f (x) hàm số liên tục [a; b], f (a) 6= f (b) Khi f (x) đạt giá trị trung gian f (a) f (b) [a; b] Định nghĩa 1.1.25 Hàm f (x) gọi tuần hoàn với chu kỳ T > miền D x ± T ∈ D với x ∈ D f (x ± T ) = f (x), ∀x ∈ D 8 Định nghĩa 1.1.26 Cho hàm số y = f (x) xác định khoảng (a; b), x0 ∈ (a; b) Nếu giới hạn f (x) − f (x0 ) x→x0 x − x0 lim tồn hữu hạn giá trị giới hạn gọi đạo hàm hàm số y = f (x) điểm x0 , ký hiệu f (x0 ) Định lý 1.1.27 (Định lý giá trị trung bình Cauchy) Cho hàm số f g liên tục [a; b] khả vi (a, b) Khi tồn điểm c ∈ (a; b) cho (f (b) − f (a))g (c) = (g(b) − g(a))f (c) Nếu g(a) 6= g(b) g (c) 6= 0, điều tương đương với f (c) f (b) − f (a) = g (c) g(b) − g(a) 1.2 Một số dạng định lý Stolz-Cesàro Mục trình bày số dạng cổ điển, số dạng mở rộng số dạng định lý Stolz-Cesàro 1.2.1 Một số dạng cổ điển định lý Stolz-Cesàro Phần này, chúng tơi trình bày ba dạng cổ điển định lý Stolz-Cesàro nhà toán học Otto Stolz Ernesto Cesàro đưa Định lý 1.2.1 Cho {an } {bn } hai dãy số thực, dãy {bn } tăng ngặt không bị chặn Nếu tồn giới hạn an+1 − an = l ∈ R, n→∞ bn+1 − bn lim an = l n→∞ bn lim Chứng minh Xét trường hợp l ∈ R giả sử {bn } dãy tăng lim bn = ∞ Cho V lân cận l, tồn α > cho an+1 − an (l − α, l + α) ⊆ V Cho β ∈ R cho < β < α Do lim =l n→∞ bn+1 − bn nên tồn k ∈ N∗ cho ∀n ≥ k n→∞ an+1 − an ∈ (l − β, l + β), bn+1 − bn từ suy rằng: (l − β)(bn+1 − bn ) < an+1 − an < (l + β)(bn+1 − bn ), ∀n ≥ k Ta lại có: (l − β)(bk+1 − bk ) < ak+1 − ak < (l + β)(bk+1 − bk ), (l − β)(bk+2 − bk+1 ) < ak+2 − ak+1 < (l + β)(bk+2 − bk+1 ), (l − β)(bn − bn−1 ) < an − an−1 < (l + β)(bn − bn−1 ) Cộng vế bất đẳng thức ta được: (l − β)(bn − bk ) < an − ak < (l + β)(bn − bk ) Vì lim bn = ∞ nên số n ta có bn > Do n→∞ (l − β)(bn − bk ) < an − ak < (l + β)(bn − bk ) an ak bk bk ⇔(l − β)(1 − ) < − < (l + β)(1 − ) bn bn bn bn Do ak + (β − l)bk ak − (β + l)bk = lim = 0, n→∞ n→∞ bn bn nên tồn số p ∈ N∗ cho ∀n ≥ p có: lim ak + (β − l)bk ak − (β + l)bk , ∈ (β − α, α − β) bn bn Do có bất đẳng thức sau: ak + (β − l)bk ak − (β + l)bk > β − α, < α − β bn bn 10 Chọn m = max{k, p}, đó, ∀n ≥ m có: an l−α< < l + α bn an an ∈ V Suy lim = l Điều có nghĩa n→∞ bn bn Trong trường hợp l = ±∞ ta chứng minh tương tự ta chọn V = (α, +∞) V = (−∞, α) Nhận xét 1.2.2 Dạng phát biểu đảo định lý Stolz-Cesàro khơng an cịn đúng, nghĩa với giả thiết {bn } tăng, không bị chặn lim =l n→∞ bn chưa có khẳng định an+1 − an = l lim n→∞ bn+1 − bn Để thấy điều ta lấy an = 3n − (−1)n bn = 3n + (−1)n , ta có an lim = n→∞ bn + 2(−1)n an+1 − an = bn+1 − bn + 2(−1)n+1 Dễ dàng không tồn giới hạn an+1 − an lim n→∞ bn+1 − bn Từ kết định lý thu hệ sau Hệ 1.2.3 Cho dãy số thực dương {un } Nếu tồn giới hạn un+1 lim = l có: n→∞ un √ un+1 lim n un = lim n→∞ n→∞ un Chứng minh Chúng ta có √ n ln un n→∞ n→∞ n Đặt an = ln un bn = n, áp dụng Định lý 1.2.1 cho hai dãy {an } lim ln un = lim {bn } ta thu an+1 − an ln un+1 − ln un un+1 = lim = lim ln = ln l n→∞ bn+1 − bn n→∞ (n + 1) − n n→∞ un lim 11 Do lim √ n n→∞ un = lim eln √ n n→∞ un lim ln √ n = en→∞ un = eln l = l Nhận xét 1.2.4 Hệ phát biểu dạng tương đương sau: Cho dãy số thực dương {un } với lim un = l Khi có n→∞ lim √ n n→∞ u1 u2 un = l Chứng minh Đặt an = u1 u2 un , ta có an+1 = lim un+1 = l n→∞ an n→∞ lim Áp dụng Định lý trung bình nhân Stolz-Cesàro cho dãy {an } ta thu √ √ an+1 = lim n an = lim n u1 u2 un = l n→∞ n→∞ n→∞ an lim Từ sau gọi Hệ 1.2.3 dạng phát biểu tương đương Định lý trung bình nhân Stolz-Cesàro Hệ 1.2.5 (Định lý trung bình cộng Stolz-Cesàro) Cho dãy số {un }, lim un = l Khi có n→∞ u1 + u2 + + un = l n→∞ n lim Chứng minh Đặt an = u1 + u2 + + un bn = n, ta có an+1 − an = lim un+1 = l n→∞ bn+1 − bn n→∞ lim Áp dụng Định lý 1.2.1 cho hai dãy {an } {bn } ta thu an u1 + u2 + + un = lim = l n→∞ bn n→∞ n lim 12 Nhận xét 1.2.6 Bằng cách đặt = u1 + u2 + + un ta thu phát biểu dạng tương đương với hệ sau Cho dãy số thực {vn } Nếu tồn giới hạn lim (vn+1 − ) = l ta có n→∞ = lim (vn+1 − ) n→∞ n n→∞ lim Từ sau gọi Hệ 1.2.5 dạng phát biểu tương đương Định lý trung bình cộng Stolz-Cesàro Tiếp theo chúng tơi trình bày dạng khác định lý Stolz-Cesàro Định lý 1.2.7 (Trường hợp ) Nếu {an } {bn } hai dãy số thực thỏa mãn i lim an = lim bn = 0, n→∞ n→∞ ii {bn } dãy số giảm, an+1 − an = l ∈ R, n→∞ bn+1 − bn an = l lim n→∞ bn iii lim Chứng minh Ta chia ba trường hợp sau: an+1 − an - Trường hợp 1: lim = l ∈ R Khi đó, với > 0, tồn n→∞ bn+1 − bn số N cho l−< an+1 − an < l + , bn+1 − bn với n ≥ N Vì {bn } dãy số giảm, nên bn+1 − bn < với n Suy (l − )(bn+1 − bn ) > an+1 − an > (l + )(bn+1 − bn ), với n ≥ N Cố định số n, viết bất đẳng thức tương ứng với n, n + 1, , n + p, ta (l − )(bn+2 − bn+1 ) > an+2 − an+1 > (l + )(bn+2 − bn+1 ) (l − )(bn+3 − bn+2 ) > an+3 − an+2 > (l + )(bn+3 − bn+2 ) 13 (l − )(bn+p − bn+p−1 ) > an+p − an+p−1 > (l + )(bn+p − bn+p−1 ) Cộng vế bất đẳng thức ta nhận (l − )(bn+p − bn ) > an+p − an > (l + )(bn+p − bn ) Cho p → ∞, ta (l − )(−bn ) ≥ −an ≥ (l + )(−bn ) Do ta kết luận an ≥ (l + ) với n ≥ N bn an+1 − an = ∞ Khi với > 0, tồn + Trường hợp 2: lim n→∞ bn+1 − bn số N cho an+1 − an > với n ≥ N bn+1 − bn (l − ) ≥ Với m > n ≥ N ta có: an − am = m−1 X k=n (ak − ak+1 ) > m−1 X (bk − bk+1 ) = (bn − bm ), (1.1) k=n an bm am > 1− + bn bn bn an Giữ n cố định cho m → ∞, ta nhận > với m > n ≥ N bn an Từ ta kết luận lim = ∞ n→∞ bn an+1 − an - Trường hợp 3: lim = −∞ Trường hợp chứng minh n→∞ bn+1 − bn tương tự Trường hợp Nhận xét 1.2.8 Dạng phát biểu đảo Định lý 1.2.7 không đúng, nghĩa với giả thiết lim an = lim bn = 0, {bn } dãy số giảm n→∞ n→∞ an lim = l chưa có khẳng định n→∞ bn an+1 − an lim = l n→∞ bn+1 − bn 14 Thực vậy, chọn an = 3n −(−1)n bn = 3n +(−1)n an = n→∞ bn , ta có lim (3n + (−1)n )(3n + + (−1)n+1 ) + 2(−1)n an+1 − an = · bn+1 − bn (3n − (−1)n )(3n + − (−1)n+1 ) + 2(−1)n+1 Dễ dàng không tồn giới hạn an+1 − an n→∞ bn+1 − bn lim Dạng đảo định lý Stolz-Cesàro phát biểu sau Định lý 1.2.9 Nếu {an } {bn } hai dãy số thực thỏa mãn i {bn } dãy số dương, tăng ngặt không bị chặn bn+1 n→∞ bn ii lim an n→∞ bn iii lim = L ∈ R \ {1}, = l ∈ R, an+1 − an = l n→∞ bn+1 − bn Khi đó, lim Chứng minh Chúng ta có an+1 an+1 − an bn+1 an bn = (1 − )+ bn+1 bn+1 − bn bn bn bn+1 Lấy qua giới hạn hai vế đẳng thức ta thu được: an+1 − an + lL n→∞ bn+1 − bn l = (1 − L) lim an+1 − an = l n→∞ bn+1 − bn Suy lim 1.2.2 Một số dạng mở rộng định lý Stolz-Cesàro Phần đầu mục chúng tơi trình bày số mở rộng định lý Stolz-Cesàro đưa Gabriel Nagy ([9]) Định lý mở rộng Định lý 1.2.1 phát biểu sau 15 Định lý 1.2.10 Nếu {bn } dãy số thực dương cho ∞ X bn = ∞, n=1 với dãy {an } ⊂ R ta có bất đẳng thức lim sup n→∞ a1 + a2 + + an an ≤ lim sup ; b1 + b2 + + bn n→∞ bn a1 + a2 + + an an lim inf ≥ lim inf n→∞ b1 + b2 + + bn n→∞ bn an Đặc biệt, dãy có giới hạn, bn (1.2) (1.3) an a1 + a2 + + an = lim n→∞ bn n→∞ b1 + b2 + + bn lim Chứng minh Ta cần chứng minh (1.2), bất đẳng thức (1.3) chứng minh cách thay an −an Bất đẳng thức (1.2) tầm thường, vế phải +∞ Giả sử an giá trị L = lim sup hữu hạn −∞ Lấy l > L, theo định nghĩa n→∞ bn lim sup, tồn số số k ∈ N cho an ≤ l, ∀ n > k bn (1.4) Sử dụng (1.4) ta có bất đẳng thức a1 +a2 + .+an ≤ a1 + .+ak +l(bk+1 +bk+2 + .+bn ), ∀n > k (1.5) Đặt a1 + a2 + + an = An b1 + b2 + + bn = Bn , bất đẳng thức trở thành An ≤ Ak + l(Bn − Bk ), ∀n > k Chia hai vế bất đẳng thức cho Bn ta Ak − lBk An ≤l+ Bn Bn (1.6) Vì Bn → ∞, cố định k lấy giới hạn cận (1.6) ta nhận An lim sup ≤ l Nói cách khác, ta bất đẳng thức n→∞ Bn lim sup n→∞ a1 + + an ≤ l, ∀l ≥ L, b1 + + bn 16 suy lim sup n→∞ a1 + + an ≤ L b1 + + bn Để thấy rõ định lý mở rộng Định lý 1.2.1 phát biểu lại dạng tương đương sau Định lý 1.2.11 Nếu {yn } dãy tăng ngặt với lim yn = ∞, với bất n→∞ kì dãy {xn } có bất đẳng thức sau lim sup n→∞ xn xn − xn−1 ≤ lim sup ; yn n→∞ yn − yn−1 xn xn − xn−1 ≥ lim inf n→∞ yn n→∞ yn − yn−1 xn − xn−1 có giới hạn Đặc biệt, dãy yn − yn−1 lim inf (1.7) (1.8) xn − xn−1 xn = lim n→∞ yn − yn−1 n→∞ yn lim Chứng minh Do lim yn = ∞, không tính tổng quát ta giả sử tất n→∞ yn dương Xét dãy {an } {bn }, xác định a1 = x1 , b1 = y1 an = xn − xn−1 , bn = yn − yn−1 , ∀n ≥ 2, ta có xn = a1 + + an yn = b1 + + bn Như định lý chứng minh Từ kết mở rộng thu hệ sau Hệ 1.2.12 Bất kì dãy {an } ⊂ R ta có bất đẳng thức sau lim sup n→∞ a1 + a2 + + an ≤ lim sup an ; n n→∞ a1 + a2 + + an ≥ lim inf an n→∞ n→∞ n Đặc biệt, dãy {an } có giới hạn lim inf a1 + a2 + + an = lim an n→∞ n→∞ n lim Chứng minh Trường hợp đặc biệt Định lý 1.2.10 với bn = (1.9) (1.10) 17 Nhận xét 1.2.13 Bằng cách sử dụng phương pháp đổi biến thích hợp, đặt xn = a1 + a2 + + an ta thu phát biểu dạng tương đương với hệ sau: Cho dãy {xn }, ta có bất đẳng thức sau xn ≤ lim sup(xn − xn−1 ); n n→∞ n→∞ xn lim inf ≥ lim inf (xn − xn−1 ) n→∞ n n→∞ Đặc biệt, dãy (xn − xn−1 )∞ n=1 có giới hạn lim sup (1.11) (1.12) xn = lim (xn − xn−1 ) n→∞ n n→∞ lim Hệ 1.2.12 dạng phát biểu tương đương ta gọi chung Định lý trung bình cộng Stolz-Cesàro mở rộng Hệ sau mở rộng cho định lý trung bình nhân Hệ 1.2.14 Với dãy số dương {an } có bất đẳng thức sau lim sup √ n a1 a2 an ≤ lim sup an ; lim inf n→∞ √ n a1 a2 an ≥ lim inf an n→∞ Đặc biệt, dãy {an } có giới hạn lim n→∞ √ n a1 a2 an = lim an n→∞ Chứng minh Đặt bn = ln an , ta có √ n (1.13) n→∞ n→∞ b1 + b2 + + bn n a1 a2 an = e Theo Định lý trung bình cộng Stolz-Cesàro mở rộng, ta có b1 + b2 + + bn n lim sup e ≤ lim sup ebn ; n→∞ n→∞ b1 + b2 + + bn n lim inf e ≥ lim inf ebn n→∞ Từ ta có điều phải chứng minh n→∞ (1.14) ... 1.2 Một số dạng định lý Stolz- Cesàro Mục trình bày số dạng cổ điển, số dạng mở rộng số dạng định lý Stolz- Cesàro 1.2.1 Một số dạng cổ điển định lý Stolz- Cesàro Phần này, chúng tơi trình bày ba dạng. .. dạng cổ điển, số dạng mở rộng định lý Stolz- Cesàro Chương Một số ứng dụng định lý Stolz- Cesàro Chương tìm hiểu số ứng dụng định lý Stolz- Cesàro việc tính giới hạn dãy số, tính tổng lũy thừa số. .. Stolz- Cesàro 1.2.2 Một số dạng mở rộng định lý Stolz- Cesàro 14 1.2.3 Một số dạng định lý Stolz- Cesàro 22 Chương Một số ứng dụng định lý Stolz- Cesàro 26 2.1 Tính giới hạn dãy số